Les opérations sur les matrices Algèbre linéaire I MATH 1057 F

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1 Les opérations sur les matrices Algèbre linéaire I MATH 1057 F Julien Dompierre Département de mathématiques et d informatique Université Laurentienne Sudbury, 30 janvier 2011

2 Matrices (p. 107) Définition Dans une matrice A(m,n), c est-à-dire à m lignes et n colonnes, l élément au croisement de la i-ème ligne et de la j-ième colonne est noté a ij et est appelé l élément (i,j) de A. A = Colonne j a 11 a 1j a 1n... a i1 a ij a in... Ligne i a m1 a mj a mn

3 Matrices (p. 107) Les colonnes de A sont des vecteurs de IR m et sont notés en lettres grasses a 1,..., a n. a 11 a 1j a 1n... a i1 a ij a in A =... a m1 a mj a mn a 1 a j a n L accent est mis sur ces colonnes lorsque la matrice est écrite sous la forme A = [ a 1 a 2 a n ].

4 Matrices (p. 107) Définition Les éléments diagonaux de A = [a ij ] sont a 11, a 22, a 33,... et forment la diagonale principale de A. Une matrice diagonale est une matrice carrée dont les éléments non diagonaux sont nuls. a A = 0 a ii a nn Une matrice de taille m n dont tous les éléments sont nuls est une matrice nulle et elle est écrite 0

5 Égalité des matrices (p. 107) Définition On dit que deux matrices sont égales si elles sont de même taille (c est-à-dire le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes) et si leurs éléments correspondants sont égaux.

6 Addition de matrices (p. 107) Définition Si A et B sont deux matrices de même taille m n, alors la somme A + B est la matrice de taille m n dont les colonnes sont les sommes des colonnes correspondantes de A et B. Mais, comme l addition vectorielle des colonnes se fait élément par élément, chaque élément de A + B est la somme des éléments correspondants de A et B. Si (A + B)(i, j) désigne l élément (i, j) de A + B, alors (A + B)(i,j) = A(i,j) + B(i,j)

7 Multiplication scalaire (p. 108) Définition Si r est un scalaire et A est une matrice, alors le multiple scalaire ra est la matrice obtenue en multipliant les colonnes de A par r. Tout comme pour les vecteurs, on définit A par ( 1)A et on écrit A B pour A + ( 1)B. Mais, comme la multiplication scalaire des colonnes par r se fait élément par élément, chaque élément de ra est le produit de l élément de A correspondant par r. Si (ra)(i,j) désigne l élément (i,j) de ra, alors (ra)(i,j) = r A(i,j)

8 Théorème 1 (p. 108) Théorème Soient A, B et C des matrices de mêmes tailles et soient r et s des scalaires. a. A + B = B + A b. (A + B) + C = A + (B + C) c. A + 0 = A d. r(a + B) = ra + rb e. (r + s)a = ra + sa f. r(sa) = (rs)a

9 Produit matriciel (p. 109) Un vecteur x multiplié par une matrice B devient le vecteur Bx. Si ce vecteur est multiplié par une matrice A, on obtient le vecteur A(Bx). Multiplication par B Multiplication par A x Bx A(Bx) Multiplication par AB A(Bx) est obtenu à partir de x par la composition des applications linéaires B puis A. La matrice AB est celle de l application composée (AB)x = A(Bx).

10 Produit matriciel (p. 109) La matrice de la transformation linéaire x Bx est B = [ b 1 b 2 b p ] où b i = Be i. On admet que la composée T(x) = A(Bx) est une transformation linéaire. Sa matrice AB est AB = [ T(e 1 ) T(e 2 ) T(e p ) ] = [ A(Be 1 ) A(Be 2 ) A(Be p ) ] = [ Ab 1 Ab 2 Ab p ]

11 Produit matriciel (p. 110) Définition Si A est une matrice de taille m n et B est une matrice de taille n p dont les colonnes sont notées b 1, b 2,..., b p, alors le produit matriciel AB est la matrice de taille m p dont les colonnes sont Ab 1, Ab 2,..., Ab p. Autrement dit, AB = A [ b 1 b 2 b p ] = [ Ab1 Ab 2 Ab p ]. Chaque colonne de AB est une combinaison linéaire des colonnes de A avec comme poids les éléments des colonnes correspondantes de B. Le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B pour qu une combinaison linéaire telle que Ab 1 soit définie. AB a le même nombre de lignes que A et le même nombre de colonnes que B.

12 Règle ligne-colonne pour calculer AB (p. 111) Si A est une matrice de taille m n et B est une matrice de taille n p, alors l élément de AB au croisement de la i-ème ligne et de la j-ème colonne s obtient en faisant la somme des produits des éléments de la i-ème ligne de A par ceux correspondants de la j-ième colonne de B. Si (AB) ij désigne l élément (i,j) de AB, alors (AB) ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj.

13 Théorème 2 (p. 113) Théorème Soit A une matrice de taille m n et soient B et C des matrices telles que les sommes et les produits dans lesquels elles interviennent sont définis. a. A(BC) = (AB)C (Associativité de la multiplication) b. A(B + C) = AB + AC (Distributivité à gauche) c. (B + C)A = BA + CA. (Distributivité à droite) d. r(ab) = (ra)b = A(rB) quel que soit le scalaire r e. I m A = A = AI n (Élément neutre pour la multiplication)

14 Mise en garde (p. 114) Différences entre l algèbre matricielle et l algèbre courante des nombres réels. a. En général AB BA. (Cf. Exemple 7 p. 114) b. La règle de simplification n est pas valable pour la multiplication matricielle. Autrement dit, si AB = AC, il n est pas vrai en général que B = C. (Exercice 10 p. 116) c. Si le produit AB est la matrice nulle, vous ne pouvez pas conclure en général [ que A ] = 0 ou B = 0. (Exercice 12 p. 116, 2 6 par exemple B = ) 1 3

15 Puissance d une matrice (p. 114) Définition Si A est une matrice carrée d ordre n et si k est un entier positif, alors A k désigne le produit de k fois la matrice A par elle-même, A k = A } {{ A}. k fois Si A est non nulle et si x appartient à IR n, alors A k x est le résultat d une multiplication à gauche de x par A, k fois de suite, c est-à-dire, A k x = A } {{ A} x = (A (A(A(Ax))) ). }{{} k fois k fois Dans le cas où k = 0, A 0 x devrait être x lui-même. Aussi A 0 est interprété comme la matrice unité I n.

16 Transposée d une matrice (p. 114) Définition La transposée d une matrice A de taille m n est une matrice de taille n m, notée A T, dont les colonnes sont, dans l ordre, les lignes de la matrice A. A = A T =

17 Théorème 3 (p. 115) Théorème Soient A et B des matrices dont les tailles sont compatibles avec les sommes et les produits suivants. a. (A T ) T = A. b. (A + B) T = A T + B T. c. (ra) T = ra T, quel que soit le scalaire r. d. (AB) T = B T A T. L énoncé (d.) se généralise à plus de deux matrices comme suit : La transposée d un produit de matrices (A 1 A 2 A n ) T est égal au produit de leurs transposées dans l ordre inverse A T n A T 2 AT 1.