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1 mx xp Mai 4 ( heures et miutes). a) Soiet A et B avec m,,p IN.Si i {,,...,m} et j {,,...,p}, compléter : [A.B] ij.. (. pt.) b) Démotrer (e justifiat toutes les étapes) que le produit matriciel distribue l additio matricielle. ( pts.) x c) Soiet A et B deux matrices iversibles de Répodre par V (vrai) ou F (faux) das les cases prévues à cet effet. Justifier ue de vos réposes au choix. (A+B).(B+A) (B+A).(A+B) V A.(A + B).B B.(A + B).A V (A + B).(A B) A B F (. pts.). a) Soit A x, IN \ {}. Défiir: - mieur et cofacteur de l'élémet [A] ij avec i et j {,,}. - matrice adjoite de A. ( pt.) b) Si A est iversible, doer, sas justificatio, ue formule doat l'iverse de A. (. pt.) b (6.b+ 8) c) Soit A, avec b. b (6+ b) ) Pour quelle(s) valeur(s) réelle(s) de b la matrice A est-elle smétrique? ) Pour quelle(s) valeur(s) réelle(s) de b la matrice A est-elle iversible? Pour ces valeurs, doer sas justificatio, la matrice iverse de A ( pts.). a) Soit x ( IN ) mui du produit scalaire et de la orme stadards. Défiir: - vecteurs deux à deux orthogoaux - vecteurs liéairemet dépedats x - base orthoormée de (. pt.) b) Que peut-o dire de vecteurs o uls et deux à deux orthogoaux? Démotrer. ( pts.) c) Soiet les vecteurs u - -, v - - et w - de 4x. Les vecteurs u, v et w sot-ils deux à deux orthogoaux? Que peut-o e déduire au sujet de leur dépedace liéaire? Justifier soigeusemet. ( pts.) 4. Soit M x, IN. a) Défiir : - valeur propre et vecteur propre de M. - polôme caractéristique de M. ( pt.)

2 4 c) Soit la matrice M. Détermier toutes les valeurs propres de M. Pour ces valeurs propres, détermier les vecteurs propres associés. M est-elle diagoalisable das? (. pts.). Doer (répose fiale uiquemet) ) das, ue solutio au choix de l équatio z 8.i. 4 - i ( pt.) ) la solutio géérale de la RLACC (récurrece liéaire à coefficiets costats) t t+ t + t Y.Y 7 Y C. t + t.7 C ( pt.) ) la valeur das, si elle existe, de dx x (. pt.)

3 Répose questio a) mx xp Soiet A et B avec m,,p IN.Si i {,,...,m} et j {,,...,p}, o a [A.B] ij [A] ik.[b] kj. k Répose questio b) Il faut motrer que si A, B mx, C, D xp, o a: (A+B).C A.C + B.C et A.(C+D) A.C + A.D. Motros que A.(C+D) A.C + A.D. O a i {,,.,m}, j {,,.,p} [A.(C + D)] ij [A] ik.[c + D] kj (déf. produit matriciel) k [A] ik.([c] kj + [D] kj ) (déf. additio matricielle) k ([A] ik.[c] kj + [A] ik.[d] kj ) (distributivité de. sur + das ) k [A] ik.[c] kj + [A] ik.[d] kj k k [A.C] ij [A.D] ij [A.C A.D] ij (propriété du sige Σ ) + (déf. produit matriciel) + (déf. additio matricielle) Répose questio c) (A+B).(B+A) (B+A).(A+B) V A.(A + B).B B.(A + B).A V (A + B).(A B) A B F Justificatio de (B+A).(A+B) (A+B).(B+A) V : comme l additio matricielle est commutative, o a A+B B+A et les deux membres de l égalité sot égales à (A+B) (ou (B+A) ).

4 Répose questio a) Soit A x, IN. O appelle mieur de l'élémet [A] ij avec i et j {,,} le détermiat de la matrice obteue e supprimat la lige i et la coloe j de A. O le ote A ij. O appelle cofacteur de l'élémet [A] ij avec i et j {,,} le mieur A ij de l'élémet [A] ij multiplié par (-) i+j. O appelle matrice adjoite de A, la trasposée de la matrice des cofacteurs des élémets de A. O la ote Adj(A). O a doc i,j,.,: [Adj(A)] ij (-) i+j.a ji. Répose questio b) Soit A x, IN. Si A est iversible, o a A.Adj(A) déta Répose questio c) b (6.b+ 8) O a A, avec b. b (6+ b) ) A est smétrique ssi A est égale à sa trasposée A, doc ssi b (6.b+ 8) b (6+ b) b b + (6.b + 8) (6 + b) (6.b 8) b b 6.b 8. De là, A est smétrique ssi b + 7 ou a - 7. ) A est-elle iversible ssi dét(a) b (6.b+ 8) 4 dét b.(6 + b) b.(6.b + 8) b 8.b b.(b 8). b (6+ b) Dès lors, A est iversible ssi b \ {,, }. Pour ces valeurs, A (6 + b) (6.b + 8) b.(b 8) b.(b 8). b (b 8) (b 8)

5 Répose questio a) O a x ( IN ) mui du produit scalaire et de la orme stadards. Les p vecteurs w,..., w p de x sot deux à deux orthogoaux ssi <w i,w j > i j avec i,j {,...,p}. Des vecteurs de x sot liéairemet dépedats ssi il existe ue combiaiso liéaire de ces vecteurs à coefficiets o tous uls doat le vecteur ul. Les vecteurs e,..., e de x formet ue base orthoormée de x ssi <e i,e j > δ ij i,j {,...,}. Répose questio b) Soit V, u vectoriel réel à produit scalaire <, >, soiet e,...,e vecteurs o uls deux à deux orthogoaux: ces vecteurs sot liéairemet idépedats. Preuve Supposos que v ve i i. i Alors <v,e j > j {,...,} puisque v doc < ve i i, e j > j {,...,} i < v e + v e v j e j v e, e j > j {,...,} v < e,e j > + v < e,e j > v j < e j,e j > v < e,e j > j {,...,} (par liéarité) qui deviet < > j {,...,} (par hpothèse d'orthogoalité) v. j e,e j j Les vecteurs e j état o uls, < e,e j j > j {,...,} doc v j j {,...,} et les vecteurs e,...,e sot bie liéairemet idépedats. Répose questio c) O a les vecteurs u - -, v - - et w - de 4x. O calcule les produits scalaires (stadards) <u,v>, <u,w>, <v,w> ; <u,v> (-). + (-).(-) + (-). + (-).(-) <u,w> (-).(-) + (-).(-) + (-). + (-) <v,w>.(-) + (-).(-) +. + (-) Costatat que ces trois produits scalaires sot uls, il e résulte que les vecteurs u,v et w sot deux à deux orthogoaux. Comme ces trois vecteurs sot e outre o uls, la propositio doée (et démotrée) e b) cidessus permet d e déduire qu ils sot liéairemet idépedats.

6 Répose questio 4 a) Soit a M x, IN. x Le réel λ est ue valeur propre de la matrice M ssi il existe u vecteur o ul x tel que x x x x x x M. λ.. Les vecteurs tels que M. λ. sot alors les vecteurs propres x x x x x associés à la valeur propre λ. Le polôme caractéristique de M est u polôme de degré e la variable λ égal à dét ( M λ.i ). Répose questio 4 b) 4 O a M. Les valeurs propres de M sot les racies de so polôme caractéristique, doc les solutios de ( ) dét M λ.i 4 λ dét λ.( ) λ λ λ. λ Comme Δ (ou ρ ) 4.. +, les valeurs propres de M sot λ et λ. ) Les vecteurs propres associés à x M.I. λ sot les solutios du sstème ( ) x x.. Par réductio de la matrice augmetée du sstème : 8 4 L L.( ) 8 L L.L - - Les vecteurs propres, associés à cette valeur propre, e foctio de l'icoue secodaire sot x. :x. :. :.

7 x ) Les vecteurs propres associés à λ sot les solutios du sstème M.I x x Par réductio de la matrice augmetée du sstème : 4 8 L L.L 4 Les vecteurs propres, associés à cette valeur propre, e foctio de l'icoue secodaire sot 4 4 x 4. :x. :. :. La matrice M est diagoalisable das puisque les vecteurs et vecteurs propres de M qui sot L.I., doc qui formet ue base de x. 4, par exemple sot deux

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