Produit vectoriel dans l espace euclidien orienté de dimension 3. Point de vue gé omé trique, point de vue analytique. Applications.

Transcription

1 Produit vectoriel dans l espace euclidien orienté de dimension 3. Point de vue gé omé trique, point de vue analytique. pplications. Dany-Jack Mercier IUFM de Guadeloupe, Morne Ferret, BP399, Pointe-à-Pitre cedex 9759, France dany-jack.mercier@univ-ag.fr 8 mai En terminale, la dé nition de l orientation d un espace euclidien de dimension trois est sommairement admise et pré senté e avec des dessins. La dé nition du produit vectoriel est donné e à l aide du sinus, mais les proprié té s fondamentales d antisymé trie et de biliné arité sont admises. L expression analytique du produit vectoriel de deux vecteur peut ensuite être obtenue, puis tous les e orts se portent sur l utilisation du nouvel outil. En ce qui nous concerne, nous supposerons connues : - les gé né ralité s sur les espaces vectoriels euclidiens. - les dé terminants 3 3 et quelques notions sur les formes multiliné aire alterné e. On sait donc calculer le dé terminant d une matrice de taille 3. - la dé nition de l orientation d un espace vectoriel euclidien de dimension 3, et celle d une orientation compatible d un plan et d une droite. Si e et e dé signent des bases d un plan vectoriel ou de l espace! E, on note Pe e la matrice de passage de e vers e, et l on rappelle que les bases e et e ont même orientation si et seulement si det Pe e >. - la dé nition d un angle orienté de deux vecteurs non nuls dans le plan euclidien. - la dé nition d une mesure d un angle dans le plan euclidien orienté et les dé nitions des sinus et cosinus d un angle (ou d une mesure d angle). On rappelle que, si l on change l orientation du plan, la mesure et le sinus d un angle sont transformé s en leurs opposé s tandis que le cosinus d un angle est inchangé. On note E l espace a ne euclidien de dimension 3 et! E sa direction. vectoriel engendré par les vecteurs! u et! v est noté Vect (! u ;! v ). Produit mixte et produit vectoriel Le sous-espace Thé orè me Le déterminant de trois vecteurs! u ;! v ;! w de! E dans une base orthonormale directe e = (! e ;! e ;! e 3 ) est indépendant du choix de la base e. [cprv] v. c, D.-J. Mercier. Vous pouvez faire une copie de ces notes pour votre usage personnel.

2 Preuve : L application dé terminant det e (:) dans une base e est l unique forme multiliné aire alterné e sur! E vé ri ant la condition det e (e) =. On sait que l espace vectoriel des formes multiliné aires alterné es est de dimension. Si e dé signe une autre base orthonormale directe, il existera né cessairement un ré el tel que 8! u ;! v ;! w! E det e (! u ;! v ;! w ) = det e (! u ;! v ;! w ) : Comme det e (e) =, on dé duit = det e (e) = det P e e = puisque la matrice P e e de passage de la base e à la base e est une matrice orthogonale positive. utre solution : Considé rons deux bases orthonormales directes e et e. Fixons trois vecteurs! u,! u,! u 3 dans! E, et dé nissons les endomorphismes f, g, h en posant 8i N 3 f (! e i ) =! e i ; g! e i =! u i ; h (! e i ) =! u i : L é galité h = g ±f entraîne det h = (det g) (det f), et pour conclure, il su t de constater que det g = det e (! u ;! u ;! u 3 ), que det h = det e (! u ;! u ;! u 3 ) et que det f = puisque f est orthogonale positive (elle transforme une base orthonormale directe en une base orthonormale directe). Dé nition Ce déterminant est appelé produit mixte de! u ;! v ;! w et noté [! u ;! v ;! w ]. insi [! u ;! v ;! w ] = det e (! u ;! v ;! w ). Thé orè me Soient! u et! v! u ^! v, tel que deux vecteurs donnés. Il existe un unique vecteur, noté 8! w! E (! u ^! v ) :! w = det e (! u ;! v ;! w ) : Preuve : Le produit scalaire ' dé ni sur! E est une forme biliné aire symé trique dé nie positive, donc l application e' :! E!! E! w 7! ' (:;! w ) est un isomorphisme de! E sur son dual! E. Si les vecteurs! u et! v sont xé s, l application! w 7! [! u ;! v ;! w ] est bien une forme liné aire, donc il existera un unique vecteur, noté! u ^! v, qui vé ri e la condition du Thé orème. Dé nition Le vecteur! u ^! v est appelé produit vectoriel de! u par! v. Proprié té s Thé orè me 3 L application est bilinéaire antisymétrique.!! E E!! E (! u ;! v ) 7!! u ^! v

3 Preuve : Cela provient des proprié té s du dé terminant et du Thé orème. Thé orè me 4 Si! u et! v sont colinéaires, alors! u ^! v =!. Si! u et! v sont linéairement indépendants, alors! u ^! v est orthogonal au plan vectoriel Vect (! u ;! v ) et la base (! u ;! v ;! u ^! v ) est directe. Preuve : Si! u et! v sont coliné aires, (! u ^! v ) :! w = det e (! u ;! v ;! w ) = pour tout! w E. La non dé gé né rescence du produit scalaire entraîne alors! u ^! v =!. Si! u et! v sont liné airement indé pendants, les é galité s (! u ^! v ) :! u = det e (! u ;! v ;! u ) = et (! u ^! v ) :! v = det e (! u ;! v ;! v ) = montrent que! u ^! v est orthogonal au plan vectoriel Vect (! u ;! v ). Le vecteur! u ^! v n est pas nul (autrement det e (! u ;! v ;! w ) = (! u ^! v ) :! w = pour tout! w, ce qui est absurde). De det e (! u ;! v ; (! u ^! v )) = (! u ^! v ) : (! u ^! v ) = k! u ^! v k > on dé duit que la base (! u ;! v ;! u ^! v ) est directe. Thé orè me 5 Soit e = (! e ;! e ;! e 3 ) une base orthonormale directe de! E. Si i; j N 3 et i 6= j, alors! e i ^! e j = " (¾)! e k où " (¾) désigne la signature de la permutation ¾ de N 3 dé nie par µ 3 ¾ = : i j k Le vecteur! e i ^! e j sera donc celui des vecteurs! e k qui sera directement orthogonal au couple (! e i ;! e j ). Preuve : Si i 6= j, le vecteur! e i ^! e j est directement orthogonal à Vect (! e i ;! e j ), et sera par consé quent coliné aire à! e k où l on pose N 3 = fi; j; kg. Notons! e i ^! e j =! e k. On a (! e k ) :! e k = (! e i ^! e j ) :! e k = det e (! e i ;! e j ;! e k ) = " (¾) d où = " (¾) et! ei ^! e j = " (¾)! e k. Thé orè me ³ 6 Expression analytique du produit vectoriel:!i!! Soit e = ; j ; k une base orthonormale directe de! E. Si l on identi e les vecteurs! E et les vecteurs-colonnes de leurs coordonnées dans la base e, x x y y z y y = x x z z B z z x C x y y Preuve : On a! u ^! v = ³x! i + y! j + z! k ^ ³x! i + y! j + z! k = xy! i ^! j + xz! i ^! k + yx! j ^! i + yz! j ^! k + zx! k ^! i + zy! k ^! j = xy! k xz! j yx! k + yz! i + zx! j zy! i = yz zy! i + zx xz! j + xy yx! k : 3

4 3 Dé nitions gé omé triques Thé orè me 7 Le produit vectoriel de deux vecteurs! u et! v de! E est un vecteur de! E noté! u ^! v et dé ni de la façon suivante : () Si! u et! v sont colinéaires, alors! u ^! v =!. () Si! u et! ³!i! v ne sont pas colinéaires, on choisit une base orthonormale ; j quelconque de Vect (! u ;! v ), et l on pose! u ^! ³ v = k! u k k! v k sin (! u ;! v )! k où! k désigne le!i! vecteur unitaire directement orthogonal à ; j et où sin (! u ;! v ) désigne le sinus de l angle (! u ;! v ) dans le plan Vect (! u ;! ³!i! v ) orienté par la base orthonormale ; j. ³!i!! Preuve : Premiè re solution : Soit e = ; j ; k une base orthonormale directe de ³!i! E telle que ; j oriente ¼ = Vect (! u ;! v ) et! k oriente D = ¼?. Notons On peut é crire 8 >< >:!!! u = x i + y j! v = x! i + y! j! w = ³! i +! j +! k : (! u ^! v ) :! w = det e (! u ;! v ;! x x w ) = y y soit (! u ^! v ) :! w = det (!! i ; j ) (! u ;! v ). En dé veloppant le produit scalaire et en se rappelant que l é galité est vraie pour tous ; ; R, on trouve! u ^! v = det(! i ;! j ) (! u ;! v )! k = k! u k k! v k sin (! u ;! v )! k : Deuxiè me solution : ( ) montre que! u ^! v est³ orthogonal à ¼, donc coliné aire à! k.!k Si p dé signe la projection orthogonale sur D = Vect, on aura donc! u ^! v = p (! u ^! v ) = ³(! u ^! v ) :! k!k = h!u ;! v ;! k i!k : On calcule (avec les notations de la première solution) h i!u ;!! x x v ; k = y y d où le ré sultat. = det (! i ;! j ) (! u ;! v ) = k! u k k! v k sin (! u ;! v ) Thé orè me 8 Le produit vectoriel de deux vecteurs! u et! v de! E est un vecteur de! E noté! u ^! v et dé ni de la façon suivante : () Si! u et! v sont colinéaires, alors! u ^! v =!. () Si! u et! v ne sont pas colinéaires, on pose! u ^! v = k! u k k! v k jsin (! u ;! v )j! k où! k désigne le vecteur unitaire directement orthogonal à(! u ;! v ). 4

5 Preuve : Si! u et! v sont coliné aires, le Thé orème entraîne! u ^! v =!. Supposons maintenant que! u et! v ne sont pas coliné aires. On sait (Thé orème 4) que! u ^! v est directement orthogonal aux vecteurs! u ;! v donc coliné aire et de même sens que le vecteur! k. Le Thé orème 7 montre que k! u ^! v k = k! u k k! v k jsin (! u ;! v )j pour n importe quel choix d orientation de Vect (! u ;! v ), et cela nous permet de conclure à! u ^! v = k! u k k! v k jsin (! u ;! v )j! k : 4 pplications 4. ire d un triangle Thé orè me 9 L aire du triangle BC est BC =! B ^! C: Preuve : Soit H le pied de la hauteur issue de ³ C du triangle BC. L aire du triangle BC est BC = B CH =! sin B C! B; C=! B ^! C. 4. Distance d un point à une droite dans l espace Thé orè me Soit D une droite de l espace euclidien orienté de dimension 3 passant par et de vecteur directeur! u. La distance d un point M àd est! M ^! u d (M; D) = k! : u k Preuve : On a d (M; P ) = MH où H dé signe le projeté orthogonal de M sur D, puis! M ^! ³!! u = MH + H ^! u = MH! ^! u = MH k! u k. Exercice : Quel est l ensemble des points M de l espace qui vé ri ent! M ^! MB = r où et B sont deux points donné s et où r > est donné? Solution : La distance de M à la droite (B) s é crit M! ^! B! M ^! MB d (M; (B)) =! = B! B donc l ensemble cherché sera un cylindre de ré volution d axe de symé trie (B) et de r rayon k! Bk. 4.3 Distance d un point à un plan dans l espace Thé orè me Soit P un plan de l espace euclidien orienté de dimension 3 passant par et de direction Vect (! u ;! v ). La distance d un point M àp est! M: (! u ^! v ) d (M; P ) = k! u ^! : v k 5

6 Preuve : On a d (M; P ) = MH où H dé signe le projeté orthogonal de M sur P. Soit p la projection vectorielle orthogonale sur la droite vectorielle Vect (! u ^! v ) orthogonale à! P. On a et le Thé orème s en dé duit. ³!!! M: ( MH = p M =! u ^! v ) k! u ^! v k (! u ^! v ) Remarque : On peut retrouver l expression classique de la distance d un point à un plan. Si P admet l é quation ax + by + cz + d = et si (x M ; y M ; z M ) (resp. (x ; y ; z )) dé signent les coordonné es de M (resp. ), alors les coordonné es de! u ^! v sont ( a; b; c) où R, et d (M; P ) =! M: (! u ^! v ) k! u ^! v k = jax M + by M + cz M + dj p a + b + c : = j a (x M x ) + b (y M y ) + c (z M z )j j j p a + b + c 4.4 Distance entre droites non coplanaires On se place dans l espace a ne euclidien de dimension 3 et on considère deux droites D et D non coplanaires. Le Thé orème de la perpendiculaire commune montre qu il existe une et une seule droite à la fois orthogonale et sé cante à D et à D. Cette droite est appelé e perpendiculaire commune à D et D (redé montrer ce ré sultat en exercice). Supposons que D passe par et admette le vecteur directeur! u, et que D passe par et admette le vecteur directeur! u. La perpendiculaire commune à D et D coupe D en I et D en J. On rappelle que la distance d (D; D ) entre les droites D et D est, par dé nition, la plus petite distance possible entre un point de D et un point de D, c est-à-dire d (D; D ) = Min fmn = M D et N D g. Thé orè me vec les notations précédentes, d! ³ D; D :!u! ^ u = IJ =! u ^! u : Preuve : Si M D et N D, le Thé orème de Pythagore permet d é crire MN =! MI +! IJ +! JN =! MI +! JN +! IJ : Le minimum de MN est donc atteint pour M = I et N = J et vaut IJ. Ce minimum peut-il être atteint en d autres points? utrement dit peut-on avoir! MI +! JN =! avec des ³ points M D et N D di é rents de I et J? Certainement pas puisque le système!u! ; u est libre, que! MI est coliné aire à! u et que! JN est coliné aire à! u. 6

7 D' ' u' D u J I Fig. Notons p la projection vectorielle orthogonale sur la droite! = ³!D! D?. On a! ³ ³!! IJ = p :!u! ^ u =! u ^! u d où d (D; D ) = IJ et la formule annoncé e.! u ^! u 4.5 ire d un quadrilatè re non croisé Thé orè me 3 L aire d un quadrilatère non croisé BCD est BCD =! C ^ BD! : Preuve : Supposons le quadrilatère BCD direct. On a! C ^ BD! =! B ^ BD! +! BC ^! BD: ( ) ³ ³!!!! B; BD et BC; BD sont directes et les Si BCD est convexe (Fig..a), les bases vecteurs! B ^ BD! et! BC ^ BD! sont coliné aires de même sens. L é galité ( ) devient! C ^ BD! =! B ^! BD +! BC ^! BD = BD + BCD = BCD : Si BCD n est pas convexe tout en restant non croisé, plaçons-nous dans le cas de la Fig..b ³ (l autre cas³ de la Fig..c se traiterait de la même façon). Sur cette gure, les!!!! bases B; BD et BC; BD sont de sens contraires. Les vecteurs! B^ BD! et! BC^ BD! sont coliné aires mais de sens contraire et l é galité ( ) devient! C ^! BD =! B ^! BD! BC ^! BD = j BD BCD j = BCD : 7

8 D C D C BD C BCD B B B Fig..a) : convexe Fig..b) D Fig..c) Fig. 4.6 Equation d un plan dans l espace L é quation du plan ³ P passant par les points, B, C non aligné s est obtenue en dé veloppant!! le produit scalaire B ^ C :! h i!!! M =. On reconnaît le produit mixte B; C; M de sorte que cette technique revienne à dé velopper un dé terminant 3 3. On pourra donner un exemple numé rique de calcul de l é quation de P. 8