Chapitre I : Fonctions, expressions algébriques et problèmes

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1 Chpitre I : Fonctions, expressions lgériques et prolèmes I Les ensemles de nomres : Déinition 1 : 0 ;1; 2;3;4 ;...;15;16;... est l ensemle des nomres entiers nturels.... ; -16; -15;...; -4; -3; -2; -1; 0;1; 2;3;4 ;...;15;16;... est l ensemle des nomres entiers reltis. ( Origine : die Zhl ) Remrque: Le nomre 4 pprtient à l ensemle. On note 4. Le symole se lit «pprtient à». De même, on le symole qui se lit «n pprtient ps à». Exemple : 2. Déinition 2: p Un nomre rtionnel est un nomre pouvnt s écrire sous l orme vec p entier relti et q q entier nturel non nul. L ensemle des nomres rtionnels est noté. Exemple: 9 5 p est un nomre rtionnel cr il s écrit sous l orme vec p 5 et q 9. q Déinition 3: Un nomre déciml est un nomre rtionnel pouvnt s écrire entier nturel. L ensemle des nomres décimux est noté D. Exemples: 5, 386 est un nomre déciml cr 5, Déinition 4: p 10n, vec p entier relti et n L ensemle des nomres réels, noté, est l ensemle des points d une droite munie d un repère O, I. Le nomre 0 est l scisse de l origine O et le nomre réel 1 celle du point I. - 3, Déinition 5 : Un nomre réel qui n est ps rtionnel est un irrtionnel.

2 Exemple : On démontrer qu il n existe ps de nomre entier relti p ni d entier nturel q tels que p 2, donc 2 est irrtionnel. ( C Exercices en module : comprison 2 est d un q rtionnel puis démonstrtion de l irrtionlité de 2. ) Propriété : On les inclusions suivntes : ; D ; D ;. Remrque: Le symole se lit «est inclus dns». (Ne ps conondre vec ) II Les intervlles : 1) Déintion : Soit et deux nomres réels tels que. L intervlle noté : est l ensemle des Il est représenté pr : nomres réels x tels que : ; ; ; ; ; x x x x x ; x,, x x [ ] ] [ [ [ ] ] [ ] ] [

3 Remrques : Les réels et, extrémités de l intervlle sont les ornes. [ ; ] contient et, il est dit ermé. ] ; [ ne contient ni ni, il est dit ouvert. [ ; [ est dit ermé en et ouvert en. - et + ne sont ps des réels, on ouvre toujours l intervlle de leur côté. 2) Intersection et réunion d intervlles Déinition : L intersection de deux intervlles est l ensemle des réels qui pprtiennent à l ois ux deux intervlles. Exemple 1 : [ -2 ; 3 ] [ 1 ; 5 ] est l ensemle des réels x vériint : -2 x 3 et 1 x 5 [ ] [ ] C est-à-dire [ 1 ; 3 ]. On note lors [ -2 ; 3 ] [ 1 ; 5 ] = [ 1 ; 3 ]. Exemple 2 : [ -2 ; 3 ] [ 4 ; 5 ] ne contient ucun réel, c est l ensemle vide noté. On dit que les intervlles sont disjoints. Déinition : L réunion de deux intervlles est l ensemle des réels qui pprtiennent à l un ou à l utre des deux intervlles. Exemple 1 : [ -2 ; 3 ] [ 1 ; 5 ] est l ensemle des réels x vériint : -2 x 3 ou 1 x 5 [ ] [ ] C est-à-dire [ -2 ; 5 ]. On note [ -2 ; 3 ] [ 1 ; 5 ] = [ -2 ; 5 ] Exemple 2 : [ -2 ; 3 ] [ 4 ; 5 ] n est ps un intervlle, on ne peut le noter utrement.

4 III Voculire des onctions 1) Déinition : Une onction numérique déinie sur un sous ensemle à chque réel x de On dit que D de est un procédé qui D ssocie un unique réel noté x. x est l'imge de x pr, inversement on dit que x est un ntécédent de Nottion : : D x ( x ) Exemple : : - Clculer (1), (4), (0). x. 2 x ( x) x 3 - Quels sont les ntécédents de 1, de 3, de 0 pr? 2) Ensemle de déinition : L'ensemle de déinition d'une onction est l'ensemle des réels x qui possède une imge (c'est à dire l'ensemle des réels pour lesquels le clcul de Exemples : L'ensemle de déinition de l onction déinie pr x est possile). x 3 x 1 D 1 ( il ut que le dénominteur ne s'nnule ps, on retire nomre 1 ). 3) Représenttion grphique : Soit O, I, J un repère du pln. On ppelle représenttion grphique de l onction déinie sur D, l'ensemle C des points M du pln de coordonnées M(x;y)C équivut à l'églité y=(x). x x, x. est : Quel est l'ensemle de déinition de l onction représentée? D = [ ; ]. ( x) 1 x - 1 O 1 6 Quelle est l'imge de 6? Quelle est l'imge de 0? 6 0 Les ntécédents de 1 sont les réels : et 1 Cr 1 4 possède-t-il un ntécédent? 5 possède-t-il un ntécédent? A2, 3 pprtient-il à C? B 5,2 pprtient-il à C? Remrque : Une onction peut être déinie pr un grphique (voir le tchygrphe). Une onction peut être donnée pr un tleu de vleurs (voir mesures relevées pour le ressort).

5 IV Résolutions grphiques d équtions est une onction déinie sur un domine D, C est s représenttion grphique dns un repère du pln. 1) Résolution de l éqution (x) = k Un réel k étnt donné, résoudre l éqution (x) = k revient à trouver les nomres x qui ont pour imge k (les ntécédents de k). Les solutions de l éqution (x) = k sont les scisses des points d intersection de l coure C et de l droite d éqution y = k. y 1 C L coure ci-contre est l représenttion grphique d une onction déinie sur. Pour lire grphiquement les solutions de l éqution (x) = - 1 : 0 1 x On repère 1 sur l xe des scisses. On trce l droite d éqution y = -1 (horizontle pssnt pr -1) Elle coupe l coure en 3 points. Les scisses de ces points sont : -2 ; 0 et 3. S = { -2 ; 0 ; 3} 2) Eqution (x) = g(x) y C 1 C g 0 1 x Les solutions sont les scisses des points d intersection des coures représentnt et g. Sur le grphique ci-dessus, les coures se coupent en 3 points. On lit les scisses de ces points : S = {-5 ; 1 ; 8}.

6 V Expressions lgériques 1) Développer ; ctoriser On développe un produit pour le trnsormer en somme. Pour cel, on utilise l distriutivité ou les églités remrqules : développer + c d c d c d ² ² 2 ² ² ² 2 ² ² ² ctoriser On ctorise une somme pour l trnsormer en produit. On peut reconnître un cteur commun ou sinon repérer une églité remrqule. Exemple 1 : (x) 2x 5x 3 2x 5 4x 1 Forme 1 (développée) : (x) 6x² 19x 10 Forme 2 (ctorisée) : (x) 2x 53x Exemple 2 : g(x) 2x 5 x 3 Forme 1 (développée) : g(x) 3x² 26x 16 Forme 2 (ctorisée) : g(x) 3x 2x 8 Remrque : Nous llons voir pr l suite que le choix de l orme à utiliser est ondmentl pour répondre à certines questions. 2) Utiliser un dénominteur commun pour ctoriser une expression rtionnelle x 1 3 x 3 7x 7 Exemple : x 3 2x 1 x 3 2x 1 x 3 2x 1

7 VI Resolution d équtions : Il s git de trouver tous les nomres pour lesquels l églité proposée est vrie. 1) Eqution du premier degré à une inconnue Une éqution du premier degré à une inconnue est du type x + = 0, où et sont deux nomres réels. Pour non nul, l éqution x + = 0 pour solution x. Exemples : Résoudre 3x 2 0 ; 5 3 x 4 x 7 ; 2 x 3 3x 7 x ) Produit nul Un produit de cteurs est nul si, et seulement si, un des cteurs est nul. A B = 0 A = 0 ou B = Exemples : Résoudre x 42x 1 0 ; x 1 (2x 3) 4xx 1 0 ; 3) Quotient nul 2x 7 x 3. Une rction rtionnelle est nulle si et seulement si, son numérteur est nul sns que son dénominteur le soit. A 0, vec B 0 équivut à A = 0. B Exemple : 5x 1 0. x 2 4) Eglité de quotients Si B et D sont non nuls, A C équivut à AD BC. B D En prticulier, vec B non nul, A 0 A 0 B et A 1 A B. B Exemples : 3x 2 2 x 6 ; 4 ; 3x 2 x 4. x 5 3 2x 1 6x 1 2x 9 5) Quelques exemples usuels - pour rechercher le(s) ntécédent(s) de 0 pour une onction, on utiliser s orme ctorisée. Voir (x) = 0 et g(x) = 0 vec les onctions vues u 1) - l orme développée peut être utilisée pour des ntécédents prticuliers : Voir (x) = -10 et g(x) = 16.

8 VII Algorithmique :

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12 Résolutions grphiques d équtions est une onction déinie sur un domine D, C est s représenttion grphique dns un repère du pln. 1) Résolution de l éqution (x) = k Un réel k étnt donné, résoudre l éqution (x) = k revient à trouver les nomres x qui ont pour imge k (les ntécédents de k). Les solutions de l éqution (x) = k sont les scisses des points d intersection de l coure C et de l droite d éqution y = k. y 1 C L coure ci-contre est l représenttion grphique d une onction déinie sur. Pour lire grphiquement les solutions de l éqution (x) = - 1 : 0 1 x On repère 1 sur l xe des. On trce l droite d éqution Elle coupe l coure en..points. Les.. de ces points sont :... S = {.} 2) Eqution (x) = g(x) y C 1 C g 0 1 x Les solutions sont les scisses des points d intersection des coures représentnt et g. Sur le grphique ci-dessus, les coures se coupent en.. points. On lit les scisses de ces points : S =..