Représentations multiples d un signal électrique triphasé

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1 Représenaions muliples d un signal élecrique riphasé Les analyseurs de puissance e d énergie Qualisar+ permeen de visualiser insananémen les caracérisiques d un réseau élecrique riphasé. Les Qualisar+ affichen les signaux de oues les enrées simulanémen. Les mesures s affichen sous de valeurs, de forme d ondes, de représenaion specrale ou encore sous la forme d une représenaion de Fresnel. Représenaion emporelle Représenaion specrale Représenaion vecorielle

2 Représenaions muliples d un signal élecrique riphasé Représenaions muliples d un signal élecrique riphasé 1. ensions riphasées Le ranspor de l'énergie élecrique depuis sa producion (source) jusqu'à sa disribuion (charge) es réalisé à ravers rois fils conduceurs. Ce son surou les insallaions indusrielles qui son alimenées par du couran alernaif riphasé. Un circui riphasé reçoi rois ensions sinusoïdales de même fréquence. Une disribuion de ensions riphasées (fig. 1) es composée de 3 conduceurs de ligne e (parfois) d un conduceur di «de neure». Les mesures de ensions s effecuen alors ainsi : B. Représenaion emporelle Le sysème riphasé de ensions simples (fig. 2) es composé de 3 sinusoïdes de ension qui se succèden avec un décalage de 6.6 ms. En effe, v 1 (), v 2 (), v () 6.67 ms v 1 () v 2 () v 3 () A. Equaions e propriéés associées u 12 () u 31 () v 1 () u 23 () v 2 () v 3 () Fig. 1 : disribuion riphasée de ensions L1 L2 L3 Neure ω. 2π 3 2π 3.ω 2π 6, 67ms C. Représenaion vecorielle Le sysème riphasé de ensions simples décri plus hau peu se représener dans un plan vecoriel (fig. 3). La longueur des veceurs correspond à l ampliude des sinusoïdes qui formen le sysème. En élecroechnique, ce son pluô les valeurs efficaces qui inéresse les uilisaeurs, la représenaion vecorielle du sysème es rès souven réalisée à parir des valeurs efficaces des foncions sinusoïdales. Fig. 2 : sysème riphasé de ensions V3 3 V2 V1 ω Fig. 3 : représenaion vecorielle d un sysème riphasé de ensions simples Le sysème riphasé de ensions représené par v1(), v2() e v3() es défini par les équaions suivanes : v 1 () V 1 2 sin(ω.) v 2 () V 2 2 sin(ω. 2π 3 ) v 3 () V 3 2 sin(ω. 4π 3 ) En héorie : les ampliudes des 3 ensions son égales, les déphasages respecifs son égaux (de 12 ), les ensions son parfaiemen sinusoïdales. En praique, ces propriéés ne son pas vérifiées. L imporance des défaus peu êre quanifiée par des mesures de aux de déséquilibre e de aux de disorsion harmonique. 2. Représenaion emporelle des signaux La représenaion des signaux élecriques es effecuée sur un oscillogramme. Unsignal es la variaion d une grandeur élecrique analogique (ension ou couran) en foncion du emps. Ces signaux varien de façon coninue dans le emps selon une loi mahémaique. Un signal de ension ou de couran (fig. 4) qui évolue en foncion du emps peu êre caracérisé par une relaion mahémaique du ype : x() où x() représene la valeur du signal pour chaque valeur du emps qui passe. Il es d usage de lui donner le nom de valeur insananée. x() Fig. 41 : signal de ension ou ou de de couran Les ensions v 1 (), v 2 () e v 3 () son appelées «ensions simples» ou «ensions phase-neure». Les ensions prises enre phases son dies «ensions composées». Dans le cas où les sysèmes riphasés de ensions simples son parfais, les équaions de ces ensions composées son alors définies de la manière suivane : u 12 () v 1 () v 2 () V 2 3 sin(ω. + π 6 ) Propriéés pariculières Signal périodique Un signal x() es périodique quand la relaion suivane es vérifiée : x( +) x() x() u 23 () v 2 () v 3 () V 2 3sin(ω. π 2 ) u 31 () v 3 () v 1 () V 2 3sin(ω. + 5π 6 ) L ampliude (ainsi que la valeur efficace) des ensions composées es 3 fois plus grande que celle des ensions simples. La somme des 3 composanes d un sysème riphasé parfai de ensions es égale à. Le signal se reprodui ideniquemen à lui-même au cours du emps. L inervalle de emps qui sépare deux insans où le signal reprend exacemen les mêmes caracérisiques s appelle la période (fig. 5). 3 Fig. 5 : signal périodique

3 Représenaions muliples d un signal élecrique riphasé Représenaions muliples d un signal élecrique riphasé Série de FOURIER Lorsque le signal es périodique mais non sinusoïdal e sous réserve de ceraine propriéés mahémaiques (qui son en général vérifiées pour les signaux habiuellemen raiés en élecroechnique), il es possible d obenir, par une ransformaion en série de FOURIER, une représenaion emporelle uniquemen composée d un signal coninu e de signaux sinusoïdaux de fréquence muliple de la fréquence du signal de base. Cee propriéé es pariculièremen inéressane pour des raisons calculaoires (calcul avec des nombres complexes) e de représenaion (représenaion specrale). Calcul de la série de FOURIER Calcul de I I 1 2 I d + 2 ( I) d I /2 /2 I I Le résula de ce calcul éai prévisible compe enu de la symérie par rappor à l axe du emps du signal i(). Cee ransformaion s effecue de la manière suivane : Soi x(), un signal périodique de période. La décomposiion en série de FOURIER de x() es donnée par la formulaion suivane : 1 + x() A 1 cosω + A 2 cos2ω +K+ cosnω + avec : 2 B 1 sinω + B 2 sin2ω +K+ sinnω 2 es appelé composane coninue du signal x() ; e son des coefficiens qui représenen les ampliudes des harmoniques de rang n du signal x(). Exemples ension coninue u() E La ension u() (fig. 6) ne varie pas au cours du emps. Elle n es pas périodique, elle n es donc pas décomposable en série de FOURIER. Couran alernaif sinusoïdal (fig. 7) i() I max sinω Ce signal es périodique de période car : i() I max sinω i( +) I max sin ω( +) [ ] I max sin(ω + 2π ) I max sinω i(+) i() ce signal es donc périodique de période. Le calcul de la série de FOURIER de ce signal n es pas uile puisque i() es sinusoïdal pur. Couran en créneaux (fig. 8) i() I sur une demi période i() I sur une demi période E I max i() + I - I i() u() x() d x().cos(n.ω..) d x().sin(n.ω..) d Fig. 6 : ension coninue Fig 3 : ension coninue Fig. 7 : Couran alernaif sinusoïdal /2 Fig. 8 : créneaux de couran Calcul des 2 /2 I. cos(n. 2π.)d I. cos(n. 2π /2.)d I. 2π.n sin(n. 2π.) /2 sin(n. 2π.) /2 I [ sin(n.π ) sin() sin(n.2π )+ sin(n.π )] 2π.n Pour n pair, Bn es égal à. Pour n impair, Bn s écri : nπ La décomposiion du signal i() en série de FOURIER s écri alors : i() sinω + sin3ω + sin5ω +L+ π 3π 5π nπ sinnω Représenaion emporelle Avec la série calculée précédemmen, il es possible de reconsruire le signal original avec plus ou moins de précision. Avec seulemen le premier erme (fig. 9) : Ce premier erme es aussi appelé le fondamenal. Avec les deux premiers ermes : Avec les rois premiers ermes : i() π i() π sinω () sinω + π 3π sin3ω Calcul des 2 /2 I. sin(n. 2π.)d I. sin(n. 2π /2.)d 2.I. 2π.n cos(n. 2π.) /2 + cos(n. 2π.) /2 I [ cos(n.π )+ cos()+ cos(n.2π ) cos(n.π )] π.n I π.n ( 1)n +1+1 ( 1) n 2.I 1 ( 1)n π.n (n impaire) sinω + sin3ω + 3π 5π sin5ω Plus on ajoue de ermes de la série, plus le signal recomposé se rapproche du signal original. I i() Remarque imporane : Pour faire le calcul des e des, il peu êre judicieux de choisir l origine des emps de manière à créer des syméries dans la descripion mahémaique du signal. Cee opéraion peu conduire à un allégemen significaif des calculs. Fig. 9 : i() représené par son fondamenal

4 Représenaions muliples d un signal élecrique riphasé Représenaions muliples d un signal élecrique riphasé 3. Représenaion vecorielle des signaux Exemple 2 : sysème riphasé de ensions Avec la représenaion de Fresnel, nous avons fai apparaîre les ampliudes, les phases des signaux. Nous pouvons alors profier des opéraions vecorielles qui son plus commodes que les opéraions sur les foncions sinus e cosinus. La représenaion vecorielle des relaions couran-ension en régime sinusoïdal es une manière de ne garder du signal qu'un déphasage e une ampliude. Ce résula peu aussi êre obenu grâce à l'uilisaion de nombres complexes. D. Correspondance emporelle vecorielle La représenaion vecorielle n es possible que pour les signaux sinusoïdaux. On considère le signal sinusoïdal x() donné par la relaion suivane : x() sin(ω +ϕ) es l ampliude du signal sinusoïdal x() ω es la pulsaion du signal sinusoïdal x() φ es la phase à l origine du signal sinusoïdal x() Soi le sysème riphasé de ensions représené par les équaions suivanes : v 1 () V max sinω. v 2 () V max sin(ω. 2.π 3 ) v 3 () V max sin(ω. 4.π 3 ) En fig. 3, la représenaion vecorielle (de FRESNEL) de ce même sysème riphasé. V 3 12 V V 1 Fig. 13 : représenaion vecorielle d un sysème riphasé de ension Cee représenaion es basée sur la correspondance enre un veceur d ampliude e ournan à la viesse ω auour d un poin d origine O de ce même signal sur un axe des emps (fig. 1). 4. Représenaion specrale des signaux φ es la phase à l origine (pour!" ). L angle parcouru par le veceur relaivemen à l axe d origine Ox es égal à (ω+φ). La période es donnée par la relaion suivane : 2π ω x() O x Fig. 1 : correspondance enre le veceur!" e le signal x() Un signal non sinusoïdal es plus complexe. Il peu conenir une muliude de fréquences. Son specre nous renseigne donc sur les différenes composanes fréquenielles qu il conien. Le specre d un signal es la représenaion en foncion de la fréquence des ampliudes des différenes composanes présenes dans le signal. Lorsqu un signal x() es périodique mais non sinusoïdal e sous réserve de ceraines propriéés mahémaiques (qui son en général vérifiées pour les signaux habiuellemen raiés en élecroechnique), il es possible d obenir, par une ransformaion en série de FOURIER, une représenaion emporelle uniquemen composée d un signal coninu e de signaux sinusoïdaux de fréquences muliples de la fréquence du signal de base. Cee propriéé es pariculièremen inéressane pour représener le signal en faisan ressorir la fréquence e l ampliude des différenes composanes sinusoïdales données par le calcul de la décomposiion en série de FOURIER. B. Représenaion de FRESNEL Lorsqu on cherche à éudier des signaux sinusoïdaux (couran e ension) relaifs à un même circui, il es couran d uiliser une représenaion vecorielle appelée représenaion de FRESNEL. Les grandeurs sinusoïdales son de même pulsaion, seules les ampliudes e les phases iniiales son différenes. Une représenaion des veceurs pour un insan donné suffi donc pour raier les problèmes (fig. 11). On prend, en général, l origine des emps ( ). u() i() R L Dans le cas d un signal sinusoïdal pur (fig. 14) décri par l expression suivane : x() sinω. nous voyons apparaîre une ampliude pour un signal sinusoïdal de pulsaion ω (ou de fréquence f). Ces deux informaions, rès imporanes sur le plan d une analyse de réseau, peuven êre porées sur un graphique qui pore en ordonnées l ampliude de la sinusoïde, sa fréquence éan porée sur l axe des abscisses. Cee représenaion graphique liée au signal x() es la représenaion specrale du signal x() (fig. 15). Fig. 11 : circui (R, L) Exemple 1 : circui selfique u() U max sinω. en régime permanen, le couran i() es égal à : U i() MA R 2 + (Lω) sin(ω ϕ) avec gϕ Lω 2 R U x() Ampliude ϕ I Avec une représenaion de FRESNEL (fig. 12),! la ension e le couran se représenen par les veceurs U! e I : Il es à noer que l angle φ es oujours (par convenion) oriené du couran vers la ension. Fig. 12 : représenaion vecorielle Fig. 14 : signal sinusoïdal 1 fréquence f 3 Fig. 15 : specre du signal x()

5 Représenaions muliples d un signal élecrique riphasé Exemple : signal carré i() Un couran i() es décri par la relaion mahémaique suivane : + I i() I sur une demi période i() I sur une demi période /2 La figure 16 donne une représenaion emporelle de i(). Le calcul de la série de FOURIER de ce signal i() donne l expression suivane : i() sinω + sin3ω + sin5ω +!+ π 3π 5π nπ sinnω (n impaire) Ce signal n a pas de composane coninue, il es composé : - d un signal sinusoïdal de fréquence f (celle du signal de base) d ampliude - d un signal sinusoïdal de fréquence 3f d ampliude 3.π - d un signal sinusoïdal de fréquence 5f d ampliude 5.π - Cee descripion perme d éablir la représenaion specrale (ou harmonique) suivane (fig. 17) : π - I Ampliude des composanes harmoniques! Fig. 16 : créneaux de couran f1/ 3f 5f 7f Fig. 17 : représenaion specrale fréquence Les analyseurs de puissance e d énergie de la gamme Qualisar+ permeen la visualisaion de l ensemble de ces représenaions Ed. 1-9/212 - Documen non conracuel. FRANCE Chauvin Arnoux 19, rue Championne PARIS Cedex 18 él : Fax : INERNAIONAL Chauvin Arnoux 19, rue Championne PARIS Cedex 18 él : Fax : SUISSE Chauvin Arnoux AG Moosachersrasse AU / ZH él : Fax :

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