Comment pourrais-tu faire pour construire un triangle ABC si tu connais seulement : la mesure de deux angles : ABC = 40 et ACB = 110 ; le périmètre

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1 omment porrais-t faire por constrire n triangle si t connais selement : la mesre de de angles : = 4 et = 11 ; le périmètre d triangle : = 15? 159

2 ctivité 1 : Mesre d'angles en degrés 1. remière approche de la mesre d'n angle a. écalqe l'angle ci-contre et décope-le por l'tiliser comme gabarit. n prend la mesre de cet angle por nité. b. Utilise le gabarit por constrire n angle de fois pls grand qe celi représenté sr la figre ci-desss. n dira dans cette partie qe ce novel angle a ne mesre de de nités. c. e la même façon, constris n angle de mesre trois nités pis n angle de mesre cinq nités. d. étermine, en nités, la mesre de chacn des angles ➊, ➋ et ➌ ci-dessos. ➏ ➎ e. onne n encadrement, en nités, de la mesre de chacn des angles ➍, ➎ et ➏. f. ette nité est-elle pratiqe por mesrer les angles? orqoi? 2. Mesre en degrés e degré est ne nité d'angle pls pratiqe qe la précédente. Voici n angle dont la mesre est 1. ette mesre a été choisie de telle manière q'n angle droit mesre 9. a. armi les nombres entre 2 et 1, trove ce qi sont des divisers de 9. b. i on cope n angle droit (9 ) en de angles de même mesre, qelle est alors la mesre de chacn des angles? Même qestion si on le cope en trois pis en cinq angles de même mesre. (Voir les trois premières figres ci-dessos.) c. Qelle est la mesre d'n angle plat (angle violet, dernière figre ci-desss) qi est formé de de angles droits adjacents? d. n partage n angle plat en 18 angles de même mesre. Qelle est la mesre de chaqe angle? e. étermine la mesre des angles marqés en ble, vert, roge et jane. onne n encadrement des angles marqés en violet et orange. 16 GE - HE M1

3 ctivité 2 : es angles dnamiqes 1. Un angle avec racenoche a. À l'aide d logiciel racenoche, constris n angle. b. Epliqe comment t as procédé por constrire cet angle. c. ombien de points a-t-il fall définir por constrire cet angle? eqel de ces points joe n rôle «particlier»? ropose alors ne façon de nommer l'angle qe t as constrit. d. r ne novelle page et dans racenoche, constris n angle dont le nom est. À l'aide d boton, marqe cet angle. e. À l'aide d boton, place n point sr la demi-droite [).? Qel atre nom pet-on donner à l'angle 2. ls petit o pls grand q'n angle droit a. À l'aide d boton, fais afficher la mesre de l'angle. b. À l'aide de la soris, déplace le point. ela modifie-t-il la valer de l'angle? c. éplace le point por qe l'angle mesre 9. Qe se passe-t-il qand cette mesre est atteinte eactement? d. Une novelle fois, déplace le point por qe l'angle mesre 18. e. À l'aide d boton, constris la droite perpendiclaire à la demi-droite [) passant par. lace n point U sr cette perpendiclaire. f. oge le point por qe l'angle mesre approimativement 68, 112, 95, 79 et 88. Qe remarqes-t? 3. e rapporter dans l'œil? a. r ne novelle page et dans racenoche, constris n angle. ans afficher sa mesre, essaie de boger les points por qe la mesre de l'angle soit pls petite qe 4. b. onstris alors n point tel qe la mesre de l'angle soit approimativement de fois pls grande qe celle de l'angle. c. ffiche alors la mesre des angles et regarde si t avais bien le rapporter dans l'œil! d. lace approimativement n point E tel qe la demi-droite [E) cope l'angle en de angles de même mesre. e. Une novelle fois, vérifie la précision en affichant la mesre des angles. f. omment pet-on constrire précisément la demi-droite [E)? ette demi-droite est appelée bissectrice de l'angle. HE M1 - GE 161

4 Méthode 1 : ommer n angle Eemple : omme l'angle marqé en violet sr la figre ci-dessos. e sommet de l'angle est le point : c'est la lettre centrale. es côtés de l'angle sont les demi-droites [H) (o [)) et [) (o [) o [)). H ; H ; H ; H ; et angle pet se nommer : ;. t 1 omme les angles marqés sr la figre ci-contre. 2 onstris n losange EU de 5 de côté. Marqe en vert l'angle U et en ble l'angle UE. Eercices «À toi de joer» H Méthode 2 : Utiliser le rapporter. Eemple 1 : Mesre l'angle de la gradation etériere n lit sr la même gradation : 44 centre n place le centre d n place n zéro d rapporter sr le côté [). i rapporter sr le sommet besoin, on prolonge la demi-droite [). de l'angle. a mesre de l'angle est donnée par l'atre côté de l'angle sr la même échelle de gradation. Eemple 2 : onstris n angle U de 18. de la gradation intériere centre U n lit 18 sr la même gradation, on affine avec l'atre gradation. U n trace [U), premier côté de n place n zéro d rapporter sr le côté [U). n l'angle. n place le centre d marqe, d'n petit trait-repère, 18 avec la bonne rapporter sr le point U. gradation. n trace la demi-droite d'origine U passant par le repère. n place n point sr cette demi-droite. Eercices «À toi de joer» ci-contre. 3 Mesre l'angle 4 onstris n angle de GE - HE M1

5 ommer n angle Mesre d'n angle 1 e totes les colers 4 À ve d'oeil ndiqe les angles qi te paraissent obts, aigs o droits. es points, et sont alignés. E G z w v t M a. omme les angles marqés en coler dans la figre de totes les façons possibles. es segments [] et [] sont sécants en et les segments [] et [] se copent en. rove totes les atres façons de nommer : l'angle ; ; l'angle. l'angle 3 Qelle étordie! oise a recopié la figre ci-dessos qi était a tablea mais elle a oblié de noter les noms des points d'intersection des droites. H 5 omparer avec n gabarit a. eprodis sr d papier ci-contre. calqe l'angle b. À l'aide d gabarit ainsi réalisé, indiqe parmi les angles ci-dessos ce qi ont ne mesre pls petite, pls. grande o égale à celle de l'angle F E v eprodis la figre et nomme les points grâce à ces indications. V r Elle appelle son camarade hmed qi li dit qe les angles en coler se nomment,, F et FE. s b. eprodis la figre pis marqe en ble z, en roge l'angle l'angle M et en vert l'angle. 2 lsiers noms F K s J M w K r t HE M1 - GE 163

6 6 vec l'éqerre 8 Qelle échelle? En tilisant ton éqerre, détermine qels sont les angles aigs, obts o droits de chaqe figre. a. E J c. M v G d H z s b w r or chaqe angle, indiqe s'il est aig o obts. is ensite sa mesre sr la bonne gradation d rapporter. 9 Mesre les angles ci-dessos avec ton rapporter. 7 ien placé? ans chacn des cas sivants, José sohaite mesrer l'angle. et-il effecter ne mesre correcte? i oi, indiqe la mesre de l'angle et si non, epliqe porqoi. a. M b. 1 vec tracé préalable c. a. race n triangle isocèle en tel qe = 3,2 et = 4. d. b. Mesre les angles et. Qe penses-t d résltat? 11 vec n logiciel de géométrie dnamiqe e. f. 164 GE - HE M1 a. race n segment [], pis le cercle de centre passant par. lace n point sr ce cercle. Vérifie qe les propriétés de la figre sont conservées lorsqe t déplaces les points. b. Qelle est la natre d triangle ainsi constrit? Jstifie ta réponse. c. Fais afficher la mesre des angles et éplace les points. Qe remarqes-t?.

7 12 lignés? 17 issectrices ans la figre ci-dessos faite à main levée, on = 44. donne : es points F, et sont-ils alignés? Jstifie. F a. onstris n angle mesrant 82 et trace sa bissectrice [) à l'aide de ton rapporter. b. r la même figre, trace la demi-droite [M), bissectrice de l'angle. c. ombien réponse. onstrire n angle mesre l'angle M? Jstifie ta 18 rogramme de constrction 13 onstris les angles sivants : M = 27 ; U = 151 ; F = 47 et E = 11. a. race [] tel qe = 3. onstris n ange mesrant 6. lace n point sr [) tel qe = 5,6. b. lace le point sr [] tel qe = ans chacn des cas sivants, trace n losange G tel qe : c. lace le point E sr [] tel qe E = 25. d. Qe pet-on dire de la demi-droite [)? a. G = 31 et = 3. b. = 131 et = ecter anglaire c. = 31 et = 3. Voici ne figre constrite par Joséphine. 15 e même triangle? a. race n triangle tel qe = 45 et = 11. b. es camarades obtiendront-ils forcément n triangle identiqe a tien? 16 n a pris des diapositives d'lbert en train de tracer ne figre illstrant n énoncé de géométrie, mais elles ont été désordonnées E a. eprodis la figre sr ton cahier. b. Écris n programme de constrction de cette figre. 2 eprodction de figre iapositive 1 3 iapositive 3 a. ans qel diapositives? ordre 3 2 été prises 3 6 a. eprodis en vraie grander la figre ci-desss faite à main levée, dans laqelle les points, et sont alignés. iapositive 4 ont iapositive 2 62 ces b. Qelle est la natre d triangle? Jstifie. b. Écris les consignes sivies par lbert. HE M1 - GE 165

8 21 25 oble triangle est n triangle tel = 6 et = 73. qe = 7 ; est n = 82. qe triangle tel 87 b. Fais ne figre en vraie grander. artage éqitable Marie organise ne soirée avec cinq de ses amis. ls achètent ne pizza et ne tarte. 26 = 72 qe et place le point, différent d point, tel qe = 72 et = 5 ; complète la figre, en procédant de manière analoge por placer les sommets E et F ; trace le polgone EF. b. onne le nombre de côtés de ce polgone. omment s'appelle-t-il? c. Qel angle choisirais-t por constrire n heagone? Un octogone? Un décagone? escription Écris n programme de constrction por la figre ci-dessos pis reprodis-la sr ne feille blanche. E 6c m M 12 t 3 v z a. alcle, en détaillant, la mesre de l'angle v. b. alcle, en détaillant, la mesre de l'angle. c. Qe pe-t dire des droites () et (zt)? Jstifie ta réponse. d. eprodis la figre mesres d'angles. 27 en respectant les alcls en cascade a. lace trois points, et alignés dans cet ordre. race ne demi-droite [) telle qe l'angle mesre 7.. race la bissectrice [) de l'angle Marqe M le point d'intersection de [) et [].. race la bissectrice [) de l'angle Marqe, le point d'intersection de [) et []. b. alcle la mesre de l'angle. c. alcle les mesres des angles trace n segment [] de 5 ; alcls d'angles olgones régliers a. race le polgone EF en sivant le programme de constrction : 24 alcle, en détaillant, la mesre des angles v; v ;. b. moment d dessert, ses parents, son frère et sa sœr se joignent à la petite fête. Marie doit décoper la tarte éqitablement. omment procède-t-elle? place le point tel = 5 ; 42 a. omment doit procéder Marie por partager éqitablement sa pizza avec ses amis? 23 v = 57 ; a. éalise cette figre à main levée. ombien a-t-il de possibilités? 22 es points, et sont alignés. 8 GE HE M1 M et d. Qe pet-on dire de l'angle M? Jstifie ta réponse.

9 ,5 m 28 Voici n schéma d'n pilier réalisé par n architecte. 1,5 m,5 15 m 29 rion le observe la constellation d'rion dans le ciel a travers de son télescope. l vodrait la représenter por son prochain eposé. or cela, il réalise qelqes mesres ; il a reporté ses observations sr la figre à main levée ci-dessos. e-t aider le à reprodire correctement la constellation d'rion por son eposé? 1c m 1, ,3 c m 165 2,3 c m , ,7 1m 2, eprodis la figre à la règle et a rapporter, en respectant l'échelle demandée : 3 sr la figre représentent 1 m dans la réalité. 1,4 2m rédit photo : Moser sr Wikimedia ommons icence GU-F e pilier admet n ae de smétrie. olgones étoilés 2e artie : e pentagramme 1re artie : Qelqes recherches f. racez n pentagone réglier pis n pentagramme sr ne feille blanche. oloriez l'étoile. a. r nternet o a, recherchez plsiers eemples de polgones régliers étoilés. Q'observez-vos a centre de ces étoiles? b. orqoi appelle-t-on de telles figres «polgones régliers étoilés»? Qe fat-il tracer a préalable por constrire facilement de telles étoiles? c. ombien de côtés doit avoir, a minimm, le polgone réglier de départ? À qoi cela correspond-il por l'étoile? d. bservez les eemples d'étoiles trovés à la qestion a. et epliqez comment procéder por tracer ne étoile à partir d'n polgone réglier. g. Mesrez les cinq côtés d pentagone réglier pis les branches d pentagramme. h. alclez qelqes rapports côtés d polgone réglier. diagonales d pentagramme i. Qe remarqez-vos? j. e nombre s'appelle «le nombre d'or». l eiste beacop de domaines où apparaît le nombre d'or. rovez-en qelqes-ns dans des livres o sr nternet. e. racez n polgone étoilé à si branches. HE M1 - GE 167

10 est plat z est droit z est obts z est obts aig obts plat droit = 118 = 145 = 12 = e point est le sommet des angles... z À ve d'œil Un angle mesrant 92 est r qelle(s) figre(s) les points,, sont-ils alignés? r qelle(s) figre(s) la demidroite orange est-elle la? bissectrice de l'angle ardioïde (d'après l'em de Grenoble) cte 1 : Entraînement a. race n cercle de centre. Qelle est la mesre de l'angle de sommet marqé sr la figre? s'appelle n angle a c. lace les 1 points sr le b. 'angle centre ; qelle mesre doit avoir cet cercle à l'aide d rapporter angle si on vet partager le cercle en comme ci-dessos. 1 arcs de même longer? cte 2 : Enveloppe de cardioïde race n cercle de 16 de diamètre, pis partage-le en 36 arcs de cercle de même longer. mérote les points comme sr la figre ci-contre. Joins le point 1 a point 2, le point 2 a point 4, le point 3 a point 6, etc. (n doble le nméro.) ecommence avec les nméros violets. n joint le point 1 a point 2, le point 2 a point 4, etc. vois apparaître l'enveloppe d'ne corbe appelée cardioïde. 168 GE - HE M