Flexion des poutres en béton précontraint

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1 Flexion des poutres en béton précontraint Aspects réglementaires Présentation : comportement d une poutre précontrainte de la mise en tension jusqu à la rupture. Exemple : poutre rectiligne à plan moyen posée sur deux appuis simples et chargée - par son poids propre - par des charges variables v G e 0 v' l Coupe longitudinale Coupe transversale à mi-portée (e 0 < 0)

2 Présentation Le déroulement des opérations est le suivant : 1) bétonnage 2) mise en tension de la précontrainte. Le béton est alors âgé de j jours. La mise en tension provoque généralement le décintrement. Injection (rend les câbles adhérents) 3) application d un chargement croissant (au moyen de vérins par exemple) a Q Q a Flexion 4 points : le moment fléchissant est constant et égal à Qa dans la zone médiane l Présentation On trace l évolution de la flèche f à mi portée en fonction de Q (ou en fonction de M) du début de la mise en charge jusqu à la rupture. La courbe a généralement l allure suivante Q rupture Plastification des aciers Large ouverture de fissures Formation de fissures 0 (origine des flèches = état à vide au début du chargement) f Dans la plupart des cas, la rupture se produit par allongement plastique de l acier, avec une large fissuration de la zone médiane, cela entraîne l écrasement du béton en fibre supérieure et des flèches importantes

3 Présentation Autres cas : Q Très fort taux de précontrainte Rupture brutale par écrasement du béton. Fissures peu ouvertes, flèches faibles Taux moyen de précontrainte. Comportement ductile. On s efforce de rester dans ce cas Faible taux de précontrainte. Rupture de l acier peu après l apparition de la première fissure. Flèche faible 0 Très faible taux de précontrainte Rupture fragile, sans fissuration préalable f Présentation Influence de divers paramètres : A section de béton donnée, la charge à rupture croît avec le taux de précontrainte. En ajoutant des aciers passifs longitudinaux, il n y a pas de changement significatif de l allure des courbes. Le type de comportement et la charge à rupture dépendent de la résistance totale des armatures passives et actives Si la précontrainte n est pas adhérente, l allongement dû à la fissuration se répartit sur toute la longueur du câble. On retrouve le même type de comportement qu avec des armatures adhérentes Avec un taux moyen d armatures (rupture ductile), le comportement reste réversible tant que les fissures ne sont pas trop ouvertes.

4 Commentaires : fissuration On peut observer l évolution de la fissuration en fonction du niveau de charge et de contraintes Contrairement à la résistance à rupture, le développement de la fissuration dépend des conditions d adhérence de la précontrainte et, surtout, de la section et de la répartition des aciers passifs à proximité de la fibre tendue. Pour une même déformation d ensemble, on peut avoir des fissures peu nombreuses et largement ouvertes ou, au contraire, des fissures fines et réparties. Commentaires : maîtrise de la fissuration En section fissurée, les armatures de précontrainte seules n assurent pas une bonne maîtrise de la fissuration s il s agit d armatures de post tension, même rendues adhérentes par injection. Il faut des aciers passifs. De manière générale, dès que le béton se décomprime, il est susceptible de fissurer. Il faut disposer une section minimale d armatures passives dans la zone tendue, pour répartir et maîtriser la fissuration.

5 Conséquences sur les principes de conception En service, sous les charges normales d exploitation le comportement doit rester réversible les matériaux restent dans leur domaine élastique la compression du béton sous charges extrêmes doit rester limitée (fissures longitudinales) la compression du béton sous charges permanentes doit être limitée pour éviter les déformations différées (fluage) trop fortes des dispositions particulières concernant les armatures passives sont à prendre si l on juge nécessaire de maîtriser la fissuration Conséquences sur les principes de conception En exécution, sous les charges certaines de construction le comportement doit rester réversible les matériaux restent dans leur domaine élastique la compression du béton doit rester limitée (fissures longitudinales) des dispositions sont éventuellement à prendre pour la maîtrise de la fissuration

6 Principes de conception «classiques» Maîtrise de la fissuration : on peut définir trois classes de vérification sous les actions normalement prévisibles en service Classe I on interdit toute traction dans le béton. peu ou pas d armatures passives (1950) Classe II on admet les tractions mais pas la formation systématique de fissures (1980) Classe III on admet des fissures d ouverture modérée sous charges extrêmes mais pas de fissures ouvertes sous charges permanentes (2000) Classe taux de précontrainte taux d armatures passives Principes de conception «classiques» Sécurité à rupture Vérification qu il existe une marge suffisante vis-àvis de la rupture au cas où : La structure subit un dépassement des actions par rapport aux valeurs normales Les matériaux sont moins résistants que prévu La précontrainte est trop faible ou excessive etc. Toutes ces considérations nous amènent à aborder l aspect réglementaire...

7 Flexion - les aspects réglementaires Règlements modernes de calcul (ou codes, ou normes) basés sur la théorie semi-probabiliste résistances mécaniques des matériaux représentées par leurs valeurs caractéristiques f k (définies par des probabilités de dépassement) Flexion - les aspects réglementaires Règlements modernes de calcul (ou codes, ou normes) basés sur la théorie semi-probabiliste valeurs caractéristiques f k de la résistance mécaniquedes matériaux De même les actions sont également représentées par leurs valeurs caractéristiques F k

8 Flexion - les aspects réglementaires Règlements modernes de calcul (ou codes, ou normes) basés sur la théorie semi-probabiliste valeurs caractéristiques f k de la résistance mécaniquedes matériaux valeurs caractéristiques F k des actions facteurs majorateurs (sur les actions) ou minorateurs (sur les résistances) pour couvrir les incertitudes majoration des sollicitations par un coefficient de modèle Flexion - les aspects réglementaires Règlements modernes de calcul (ou codes, ou normes) basés sur la théorie semi-probabiliste valeurs caractéristiques f k de la résistance mécaniquedes matériaux valeurs caractéristiques F k des actions facteurs majorateurs (sur les actions) ou minorateurs (sur les résistances) pour couvrir les incertitudes majoration des sollicitations par un coefficient de modèle vérification que les sollicitations de calcul restent inférieures à celles correspondant à l état-limite limite considéré

9 Etat-limite : «Un état-limite est celui dans lequel une condition requise d une construction (ou d un de ses éléments) est strictement satisfaite» (BPEL - Article 1.2) Les états-limites ultimes (ELU) sont relatifs à la sécurité (capacité portante). équilibre statique résistance à rupture Instabilité de forme

10 Les états-limites de service (ELS) sont relatifs à l aptitude au service et à la durabilité déformations fissuration vibrations etc. Flexion - les aspects réglementaires Règles actuelles pour la conception et le calcul des constructions en béton précontraint Eurocode 2 - conversion vers les versions définitives avec annexe nationale (AN). EN (règles générales et règles pour les bâtiments). Publiée comme NF avec leur AN EN (ponts). Publiée comme NF avec leur AN

11 L Eurocode 2 Flexion - les règles de calcul EN Règles R générales et règles pour les bâtiments oct AN : mars 2007 EN Règles R générales Calcul du comportement au feu oct AN : oct EN Ponts P en béton calcul et dispositions constructives mai AN : avril 2007 EN Silos S et réservoirs déc AN : juillet Flexion -Justifications aux ELS Combinaisons d actions Combinaisons quasi permanentes Combinaisons fréquentes G + P k + Ψ 11 Q 1k + i 2 Ψ Combinaisons caractéristiques G + P k G + P k + Ψ Q i 2 + Q 1k + 2i i 2 ik Ψ 0i Q 2i ik Q ik Valeurs représentatives Valeur caractéristique Valeur de combinaison Valeur fréquente Valeur quasi permanente P : G : Q : Précontrainte Q k ψ 0 Q k ψ 1 Q k ψ 2 Q k Actions permanentes Actions variables Les valeurs caractéristiques de P sont notées P k.sup et P k.inf dans les Eurocodes

12 ENPC-BAP2 N 1 Béton Précontraint Généralités Prise en compte de la précontrainte dans les justifications Etat limite de service: Pk,sup = rsup. Pm(t) Pk,inf = rinf. Pm(t) r sup r inf Pré tension Précontrainte non adhérente Post tension Précontrainte adhérente Sous réserve de précautions particulières ces coefficients peuvent être réduits. Etat limite ultime: γp = 1.15 (courbe σ/ε du matériau) Exigences de base: Eurocode 2 1 SécuritS curité (résistance structurale) 2 Aptitude au service 3 Durabilité durée e d utilisation d de projet niveau d inspection d et de maintenance Économie Esthétique tique

13 Durabilité Eurocode 2 Objectif de durabilité atteint : Quand pour une durée d utilisation donnée les objectifs de sécurité et d aptitude au service sont atteints sans défaillance significative et sans entretien excessif imprévu. Durabilité Eurocode 2 Satisfaire aux exigences de durabilité par des actions en dehors du champ d application d de l EC2l : Choix de formes de pièces minimisant l exposition à l humidité Conception du drainage Choix du béton b (EN 206) Qualité d exécution

14 Durabilité Eurocode 2 Satisfaire aux exigences de durabilité par application de l EC2 : Influence du milieu environnant : choix de la classe d expositiond Influence de la protection des armatures contre la corrosion : enrobage minimum Règles de justification vis-à-vis des états-limites de service Durabilité Eurocode 2 Classes d exposition d selon l environnement l (EN206) X0 : peu de risque de corrosion ni d attaqued XC i : corrosion par carbonatation XD i : corrosion par chlorures XS i : corrosion par chlorures de l eau l de mer XF i : attaques par gel/dégel XA i : attaques chimiques des sols naturels et eaux souterraines

15 EN Sollicitations : Flexion -Justifications aux ELS Analyse de la structure EC2 Modèle élastique linéaire avec (en général) sections non fissurées La fissuration peut être prise en compte pour évaluer la rigidité des éléments pour évaluer l effet de déformations imposées Contraintes : Les sections sont considérées comme non fissurées si la traction sur les fibres extrêmes ne dépasse pas f ct,eff (=f ctm en général). L EC2 ne fixe pas de coefficient d équivalence acier béton. EN Compression du béton : Flexion -Justifications aux ELS Limites de contraintes EC2 0,45 f ck sous combinaison quasi permanente pour éviter le fluage non linéaire. 0,60 f ck sous les combinaisons caractéristiques pour les classes d exposition XD,XF et XS. Au-delà, peuvent se produire des fissures longitudinales affectant la durabilité. Traction des aciers : il faut éviter la plastification σ s 0,8 f yk (ou f yk si la contrainte provient de déformations imposées) Ces valeurs sont des valeurs recommandées qui peuvent être modifiées par les annexes nationales

16 Flexion -Justifications aux ELS Maîtrise de la fissuration Pourquoi maîtriser la fissuration? Aspect EC2 Durabilité, mais la relation entre fissuration et corrosion des armatures est discutable. La largeur des fissures ne joue qu un rôle secondaire dans l évolution de la corrosion. La compacité du béton et les distances d enrobage sont beaucoup plus importantes Limitation des déformations Les valeurs d ouverture de fissures fixées par l EC2 sont des valeurs de calcul, qui peuvent être notablement différente des valeurs observées. EN Flexion -Justifications aux ELS Maîtrise de la fissuration: bâtiments EC2 Limites d ouvertures des fissures pour les éléments en BP avec armatures adhérentes pour les classes X0 et XC sous combinaisons fréquentes: w < 0,2 mm

17 EN Flexion -Justifications aux ELS Maîtrise de la fissuration: bâtiments EC2 Limites d ouvertures des fissures pour les éléments en BP avec armatures adhérentes pour les classes XC2, XC3 et XC4 sous combinaison quasi permanente Pas de décompression dans le voisinage des armatures de précontrainte (béton situé à moins de 25 mm de l armature) EN Flexion -Justifications aux ELS Maîtrise de la fissuration: bâtiments EC2 Limites d ouvertures des fissures pour les éléments en BP avec armatures adhérentes pour les classes XD et XS sous combinaisons fréquentes: Pas de décompression dans le voisinage des armatures de précontrainte (béton situé à moins de 25 mm de l armature)

18 EN Flexion -Justifications aux ELS Maîtrise de la fissuration: bâtiments EC2 Les éléments en béton précontraint ne comportant que des armatures non adhérentes sont traités comme des éléments BA : w < 0,3 à 0,4 mm sous combinaison quasi permanente EN Flexion -Justifications aux ELS EC2 Maîtrise de la fissuration: Ponts Modifie très peu les règles générales (EN ) Limites d ouvertures des fissures pour les éléments en BP avec armatures adhérentes : classes X0 et XC: 0,2 mm sous combinaisons fréquentes classes XC2, XC3 et XC4: pas de décompression dans le voisinage des armatures de précontrainte sous combinaison quasi permanente (le béton situé à moins de 100 mm de l armature doit être comprimé) classes XD et XS: pas de décompression sous combinaisons fréquentes Les éléments en BP sans armatures adhérentes sont traités comme des éléments en BA : w < 0,3 mm sous combinaison quasi permanente

19 EN Flexion -Justifications aux ELS Maîtrise de la fissuration EC2 Une section minimale d armatures passives longitudinales doit être placée dans les zones susceptibles d être tendues A s,min σ s =k c kf ct,eff A ct Règles particulières pour les éléments précontraints Maîtrise de la fissuration sans calcul direct : la section d acier ci-dessus est suffisante si l on limite le diamètre ou l espacement des armatures en fonction de leur contrainte calculée en section fissurée (dans ce cas σs = valeur de cette contrainte ) Ou calcul direct de l ouverture des fissures (dans ce cas σs = fy ) Flexion aux ELS / Maîtrise de la fissuration Méthode simplifiée de l annexe Nationale de l EC2-2 : Il convient de vérifier que l'espacement des armatures est inférieur à 5(c+φ/2) et que la contrainte dans les aciers passifs ne dépasse pas les valeurs suivantes sous la combinaison d'action considérée : σ s < 1000 w max pour des éléments ou parties d'éléments fléchis (c'est-à-dire ayant une face comprimée et une face tendue) ; σ s < 600 w max tendus. pour des éléments ou parties d'éléments entièrement

20 Flexion aux ELS / Maîtrise de la fissuration Méthode simplifiée de l annexe Nationale de l EC2-2 : Dans ces expressions, σ s est en MPa et w kmax en mm. Lorsque la maîtrise de la fissuration est assurée essentiellement par des armatures de pré-tension, il convient de remplacer σ s par σ p. Conformément au (9), cette méthode dispense du calcul d'ouverture de fissure. Flexion -Justifications aux ELS Conclusions sur la détermination de la force minimale de précontrainte: EC2 classe d environnement XC calcul de P mini sous combinaison quasipermanente. Calcul en section fissurée éventuellement nécessaire pour les aciers passifs (si les tractions dépassent f ctm sous combinaison caractéristique). On peut aussi déterminer P pour éviter les tractions supérieures à f ctm et éviter le calcul en section fissurée Le projet peut prescrire des conditions plus sévères.

21 Flexion -Justifications aux ELS Conclusions sur la détermination de la force minimale de précontrainte: EC2 classe d environnement XD ou XS calcul de P mini sous combinaison fréquente. Calcul en section fissurée éventuellement nécessaire pour les aciers passifs (si les tractions dépassent f ctm sous combinaison caractéristique). On peut aussi déterminer P pour éviter les tractions supérieures à f ctm et éviter le calcul en section fissurée Le projet peut prescrire des conditions plus sévères. γ Flexion -Justifications aux ELU Combinaisons d actions Combinaisons fondamentales P P P m + 1,35 G max + G min Combinaisons accidentelles m + G max + G min + F A + γ Q1 Q 1k + ψ Q ,3 1k + i 2 i 2 Ψ Ψ 0i 2i Q Q ik ik Valeurs représentatives Valeur caractéristique Valeur de combinaison Valeur fréquente Valeur quasi permanente Q k ψ 0 Q k ψ 1 Q k ψ 2 Q k γ P = 1 presque toujours γ Q1 = 1,5 ou 1,35

22 Flexion -Justifications aux ELU SOLLICITATIONS D'EFFORT NORMAL et DE FLEXION Hypothèses des calculs de résistance de section: Planéité des sections droites Non intervention du béton tendu Non glissement relatif des matériaux Diagramme de déformation des sections Diagrammes Contrainte-Déformation Matériaux Flexion -Justifications aux ELU EC2 Différents états limites ultimes (EN 1990) Équilibre statique EQU Résistance & Stabilité de forme STR, GEO Fatigue FAT Coefficients partiels coefficient partiel γ F Majoration des actions coefficient partiel γ M Minoration des résistances

23 Flexion -Justifications aux ELU EC2 Écriture symbolique des critères de vérification EQU. STA E d,dst < E d,stb STR et/ou GEO E d < R d (imparfait pour le flambement) FATIGUE E d < C d Flexion -Justifications aux ELU EC2 Effets des actions E d (Sollicitations,déformations ou contraintes) E d = γ Sd. E {γ f,i F rep,i ; a d } F rep,i valeur représentative de l action i, a d γ Sd données géométriques, couvre les incertitudes des modèles E d obtenus par analyse structurale (calcul de la structure)

24 Flexion -Justifications aux ELU EC2 Résistance d une section R d = R { X d,i / γ m ; a d } / γ Rd X d,i propriété matériau ; γ m facteur partiel sur le matériau γ Rd facteur partiel pour les incertitudes sur le modèle de résistance On rencontre plus souvent le facteur γ M = γ m. γ Rd Flexion -Justifications aux ELU EC2 SOLLICITATIONS D'EFFORT NORMAL et DE FLEXION Diagramme des déformations limites des sections A s2 (1-ε c2/ε cu2)h ou (1-εc3/εcu3)h B h d Ap A ε p ε p(0) C A s1 ε s, ε p ε ud εy 0 ε c2 (ε ) c3 ε cu2 (ε cu3 ) εc

25 Flexion -Justifications aux ELU EC2 Diagrammes contraintes-déformations pour le béton Diagramme pour le calcul fin des déformations Diagrammes pour le calcul de résistance des sections Flexion -Justifications aux ELU EC2 Diagrammes contraintes-déformations pour l acier l passif

26 Flexion -Justifications aux ELU EC2 Diagrammes de calcul pour l acier l passif Flexion -Justifications aux ELU EC2 Diagrammes contraintes-déformations pour l acier l de précontrainte

27 Flexion -Justifications aux ELU EC2 Diagrammes de calcul pour l acier l de précontrainte Autres vérifications Rupture fragile : Éviter la rupture fragile d un d élément, causée e par la disparition progressive de la précontrainte sous l effet l de la corrosion Fatigue : Endommagement progressif des matériaux sous sollicitations répétées Concerne essentiellement les aciers tendus dans les sections fissurées.

28 Conclusion remarques importantes Les règles de conception et de calcul sont mises au point à partir de l observation du comportement réel des structures, en laboratoire ou sur le terrain. Elles permettent d assurer un niveau homogène de sécurité et de durabilité à la plupart des constructions courantes, mais elles ne s appliquent que de manière imparfaite aux ouvrages innovants ou exceptionnels. La conception générale d une structure n est pas une affaire de code de calcul mais de réflexion sur le comportement mécanique de l ouvrage. Le strict respect des clauses d un code ne permet pas de compenser les défauts d une mauvaise conception. 55

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