EQUATIONS DIFFERENTIELLES

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1 EQUATIONS DIFFERENTIELLES PC Dae de créaion 006 Cours, Exercices, Aueur (s) de la ressource pédagogique : FACK Hélène [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés.

2 Sommaire EQUATIONS DIFFERENTIELLES : CAS GENERAL 3. Définiion 3. Théorème de Cauchy-Lipschiz 4.3 Soluions maximales 5 EQUATIONS DIFFERENTIELLES SCALAIRES DU PREMIER ORDRE 6. Equaions linéaires 6. Résoluion de l équaion différenielle linéaire du er ordre, homogène 6.. Exemple de résoluion d une équaion différenielle linéaire du premier ordre homogène e moyen mnémoechnique pour rerouver les soluions Résoluion de l équaion différenielle linéaire du er ordre «avec second membre» 8.3. Méhode de la «variaion de la consane» Exemples de résoluion d équaions linéaires du premier ordre «avec second membre» 9.4. Exemples avec une «soluion évidene» Exemple avec la méhode de «variaion de la consane» Equaions à variables séparables 0 3 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES SCALAIRES DU SECOND ORDRE 3. Définiions 3.. Exemple en mécanique Théorème de Cauchy-Lipschiz pour une équaion différenielle du second ordre Soluions des équaions homogènes Résoluion des équaions linéaires homogènes du second ordre, à coefficiens consans Cas fondamenal où les consanes a e b son réelles, e où on cherche des soluions (à valeurs) réelles de (EH) Exemples de résoluion d équaions différenielles linéaires, d ordre, à coefficiens consans Abaissemen de l ordre Exemple d abaissemen de l ordre EQUATION DIFFERENTIELLE LINEAIRE SCALAIRE DU SECOND ORDRE «COMPLETE» 9 4. Principe de résoluion 9 4. Principe de superposiion m Equaion à coefficiens consans don le second membre es P( )e avec P foncion polynôme de degré k,m Exemple, avec un passage par les complexes Variaion d une consane 4.4. Exemple de résoluion par variaion d une consane... 5 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES SCALAIRES D ORDRE N 3 5. Définiions 3 [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés.

3 5. Théorème de Cauchy-Lipschiz pour une équaion différenielle d ordre n Soluions d une équaion homogène Résoluion des équaions linéaires homogènes à coefficiens consans Soluions réelles d une équaion homogène à coefficiens consans réels Résoluion de l équaion complèe m Equaion à coefficiens consans don le second membre es P( )e avec P foncion polynôme de degré k,m Principe de superposiion 6 6 SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS 7 6. Posiion du problème 7 6. Théorème d exisence Technique de résoluion Lien enre valeur propre, veceur propre e soluion Exemples de résoluion de sysèmes différeniels linéaires homogènes Cas d une marice diagonalisable dans Cas d une marice réelle non diagonalisable dans, mais diagonalisable dans Trajecoires 3 [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés.

4 3 Equaions différenielles : cas général Une équaion différenielle es une relaion qui lie une foncion e ses dérivées. Comme dans oue équaion, c es une quesion : l inconnue es la foncion, e on cherche des condiions pour qu une elle foncion exise. Dans oue la suie, les applicaions son définies sur un inervalle ouver non vide I de. Les inconnues seron noées x,,. Définiion n Soi F:U (n es un enier ) une foncion définie sur un ouver U non vide de n, les variables éan noées e X, on a donc F :(,X) F(,X). Par définiion, la foncion n X:I définie sur I inervalle de, es une soluion de l équaion différenielle (vecorielle) : ( E) X' = F(,X) si elle es dérivable sur I, e vérifie : I,,X() U e X'() = F,X(). ( ) ( ) L équaion es scalaire lorsque l enier n es égal à. Sinon elle es die vecorielle. Exemples d équaions scalaires du premier ordre a) Linéaire y' = y [résoluion au II] b) Non linéaire y' = y [résoluion au I.] Exemples d équaions vecorielles a) Sysème différeniel linéaire, à coefficiens consans : X =AX, avec 4 A =, c'es- x'() = x() 4y() à-dire y'() = x() + y() [Résoluion dans le VI.] b) Sysème différeniel linéaire, à coefficiens non consans : ( + )x'() + x() = y() (DS, Annales page 6) qui peu s écrire, sur sous la ( + )y'() + y() = x() x'() x() forme : y'() = ( ) y(). [Résoluion à faire en exercice, cf. énoncé + du DS, qui indique une méhode.] Remarque : dans les définiions «héoriques», les équaions son du premier ordre, c'es-à-dire écries avec uniquemen la dérivée première. Si l équaion es d ordre supérieur, on ajoue de nouvelles variables. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 3

5 Par exemple, l équaion du second ordre y X = y' [cf. paragraphe suivan]. y"()ω + y() 0=, es du premier ordre pour 4 Remarque : l équaion (E) es die résolue en X. On peu renconrer des équaions de la forme F(X,X',) = 0, qui peuven nécessier le héorème des foncions implicies. Remarque 3 : sauf dans des cas simples (équaions linéaires à coefficiens consans par exemple), il n es pas possible d exprimer les soluions d une équaion différenielle à l aide de foncions classiques. Souven, on exprime les soluions à l aide de primiives de foncions classiques (chaque écriure de primiive s appelle une quadraure).. Théorème de Cauchy-Lipschiz Ce héorème perme d affirmer l exisence de soluions locales. n Soi U un ouver non vide de, e F :(,X) F(,X) une foncion de coninue de n U dans, e elle que les n dérivées parielles par rappor aux n variables consiuan X soien coninues.,x U [condiions iniiales, dies «condiions de Cauchy»], il exise un Pour ou ( ) 0 0 inervalle ouver J, 0 J sur J une unique soluion vérifian X( 0) = X0. Ce héorème es admis., el que l équaion différenielle ( ) Un cas pariculier imporan es celui où F es de classe E X' = F(,X) admee C sur U. Exemple : résoluion sur de l équaion scalaire y'() = y (), vérifian la condiion iniiale y( 0) = a0. Dans ce cas, F(,y) = y es de classe C sur, e le héorème de Cauchy- Lipschiz, affirme l exisence d une unique soluion locale auour de ou 0 réel. Si a0 = 0, il y une soluion évidene y = 0, e c es l unique soluion définie sur J =, en veru du héorème de Cauchy-Lipschiz. Si a0 0, l unique soluion locale y es non nulle sur un voisinage de 0. On résou cee équaion, qui es à variables séparables [cf. II.5], en l écrivan : dy = y, d où en divisan par y 0 d au voisinage de 0 : dy d y =. Par inégraion on obien : = + c y = y + c Il es admis, pour les équaions différenielles, d uiliser indifféremmen l écriure y ou y(). [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 4

6 5 La condiion iniiale y( 0) = a0 déermine la consane c, e on obien : y() = a 0. + C es l unique soluion définie sur l inervalle de 0 + conenan a 0. Cee 0 foncion n es pas définie sur ou, mais es définie localemen auour de ou 0. 0 Exemple : pour l équaion vecorielle (DS, Annales page 6) x'() x() y'() = ( ) y(), vérifian la condiion iniiale + x l applicaion F : (,X) F(,X), avec X = y es de classe sysème possède localemen une unique soluion. x(0) = y(0) 0, C sur. Donc ce Inerpréaion avec une équaion d ordre supérieur Soi l équaion scalaire du second ordre y" = f(,y,y') avec les condiions iniiales y( 0) = y0 e y'( 0) = y. On pose z = y' e on considère le veceur X() = ( y(),z() ). On a : y' = z d où, en posan F(,y,z) = (z, f(,y,z)), F es une applicaion de z' = f(,y,z) y0. On obien X' = F(,X()), avec la condiion iniiale X( 0) = X0 = y. L équaion scalaire du second ordre es mainenan écrie comme une équaion vecorielle du premier ordre..3 Soluions maximales Le héorème de Cauchy-Lipschiz affirme, lorsque les hypohèses son vérifiées, l exisence d une soluion locale. Peu-on obenir une soluion «globale»? C'es-à-dire peu-on rouver le plus grand inervalle possible J de où l équaion différenielle a une soluion? Une elle soluion es die maximale. Théorème Avec les hypohèses du héorème de Cauchy-Lipschiz, il exise une soluion maximale unique de ( E) X' = F(,X), vérifian la condiion X( 0) = X0. Exemple l équaion à variables séparables y'() = y (), possède deux soluions maximales ( > a) e ( < a) où a es une consane réelle. a a [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 5

7 6 Equaions différenielles scalaires du premier ordre Dans ce paragraphe, les foncions cherchées son à valeurs dans K = ou K = =. Ces équaions s écriven y' = F(,y()). Si Φ es une primiive de F, les soluions s écriven yφ= c+. En donnan à la consane c des valeurs pariculières, on obien des courbes inégrales (,y()) soluions de l équaion différenielle.. Equaions linéaires On appelle équaion différenielle linéaire du premier ordre une équaion : (E) y'() + a()y() = b() I soi (E) y' + ay = b où a e b son des applicaions coninues de I dans K. L équaion (E), s écri y'() = a()y() + b() = F(,y()). L applicaion F es coninue sur I, sa dérivée parielle par rappor à sa deuxième variable y es égale à a(), qui es coninue sur I K. On pourrai donc appliquer le héorème de Cauchy-Lipschiz. Mais dans ce cas, on monre direcemen l exisence e l unicié des soluions maximales. Cas pariculiers Lorsque b es nul, l équaion es homogène (ou «sans second membre»). Lorsque a es une foncion consane, l équaion es à coefficien consan (b peu êre non consan). Remarque l équaion (E) es écrie dans ce cours avec le coefficien de y égal à. Ce n es pas le cas dans de nombreux exemples. Il fau alors se placer sur des inervalles où le coefficien de y n es pas nul. Exemple On suppose que la empéraure T d un corps homogène es une foncion dérivable du emps. Ce corps es poré à 00, dans un milieu ambian à 0. On consae qu en 0 minues sa empéraure chue de 00 à 60. On peu écrire : T k[ T() 0], soi: T'() = kt() + 0k où k es une consane (dépendan du corps, e qu il fau déerminer.) C es une équaion différenielle linéaire, du premier ordre, à coefficien consan. On rouve comme soluion (cf. suie du chapire) : k T() = e, k = 0,ln.. Résoluion de l équaion différenielle linéaire du er ordre, homogène On uilise ici une méhode spécifique au premier ordre, e on obien direcemen des soluions maximales. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 6

8 7 Théorème L équaion (EH ) y' + ay = 0 où a es une applicaion coninue de I dans K, a pour soluions les applicaions y : A() y() = ke, I, où A es une primiive de a sur I e k une consane de K. On remarque que ces soluions formen une droie vecorielle (c es un sous espace vecoriel de l ensemble des applicaions de I dans K). Comme pour oue droie vecorielle, une base es formée par un élémen non nul, par exemple l applicaion A() obenue pour k =, soi y () = e, I. Démonsraion du héorème Tou d abord il es éviden que y, y() = ke A() es bien soluion de (EH). Réciproquemen, soi y une soluion quelconque de (EH). On va monrer qu elle es bien de la forme annoncée. A On inrodui : z = ye. Cee applicaion es dérivable sur I, e A A z' = y'e + A'ye. A A z' = aye + aye = 0 L applicaion z' es nulle sur I, z es donc une applicaion consane. Si on noe k cee consane : A() z() = k, I y() = ke, I. Cas de l équaion à coefficien consan : une primiive de a es a. Les soluions a s écriven y() = ke, I, k K. Remarque imporane : une exponenielle n éan jamais nulle, si k 0, la soluion y = ke A ne s annule jamais. En pariculier, dans ce cas, elle garde un signe consan sur I (c es le héorème des valeurs inermédiaires appliqué à la foncion coninue y sur l inervalle I). Réciproquemen, si il exise une valeur 0 I elle que y( 0 ) = 0 où y es soluion d une équaion différenielle linéaire du premier ordre homogène, alors cee soluion y es nulle sur I... Exemple de résoluion d une équaion différenielle linéaire du premier ordre homogène e moyen mnémoechnique pour rerouver les soluions. Résoudre sur l équaion (EH ) y'() + y() = 0. Ici a() =. On choisi A() = y() = ke,k,. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 7

9 8 Remarque : si on choisi d écrire + c c A() = + c y() = ke = ke e = k'e. On rerouve les mêmes soluions. Remarque : lorsque on ravaille uniquemen dans, on peu écrire, pour k non nul : y'() y() = ln = y() = ke. y() k En réinroduisan la valeur 0 pour k, on obien bien oues les soluions de l équaion (EH). Z! Comme on a monré que pour oue soluion non ideniquemen nulle, les soluions ne prennen jamais la valeur 0, les dénominaeurs ci-dessus son non nuls! La consane d inégraion k «socke» le signe de y (qui on le rappelle, garde sauf pour la soluion nulle, un signe consan sur l inervalle I)..3 Résoluion de l équaion différenielle linéaire du er ordre «avec second membre» Théorème : principe de résoluion L équaion (E) y' + ay = b où a e b son des applicaions coninues de I dans K, a pour soluions sur I, les applicaions y : y = y+ yp où y es une soluion de l équaion homogène associée (EHA) y' + ay = 0 e y p une soluion pariculière de l équaion complèe. La vérificaion que y es soluion de (E) es évidene. Réciproquemen, si on connaî une soluion y p de (E) e si on cherche oues les soluions y de (E), alors y yp es soluion de l équaion homogène associée. Commen déerminer une soluion pariculière de l équaion complèe? Il ne fau pas négliger les cas où la soluion es «évidene». Sinon on uilise la méhode suivane :.3. Méhode de la «variaion de la consane». A On commence par choisir la soluion y = e [celle avec k=, pour simplifier les calculs], e on cherche une soluion sous la forme yλy= où λ es une applicaion dérivable de I dans K. Alors y'λ'y = λy' +, soi en reporan dans l équaion différenielle : λ'y+ λ [ y' + ay] = b e comme y es soluion de (EHA) : b λ'y = b λ' = (car y n es jamais nulle). y [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 8

10 9 D où λ en inégran. On voi que cee équaion es oujours «résoluble», même si on ne sai pas calculer b expliciemen une primiive de y. Conseils praiques : effecuer les calculs en gardan le plus longemps possible la forme y. De plus, si au momen d inégrer pour obenir λ, on inrodui les consanes d inégraion, on obien immédiaemen la forme y = y+ yp des soluions..4 Exemples de résoluion d équaions linéaires du premier ordre «avec second membre».4. Exemples avec une «soluion évidene» Résoudre sur l équaion (E) y'() + y() =. On commence par éudier l équaion homogène associée (EHA) : y'() + y() = 0. On reconnaî l équaion résolue en II. : ses soluions s écriven : y() = ke,k,. Une soluion pariculière (SPEC) de l équaion es y p () =. Les soluions de (E) s écriven, d après le principe de résoluion : y() = ke +, k, Résoudre sur l équaion (E) ( )y'() y() =. C es une équaion différenielle linéaire, à coefficiens non consans. Elle compore un coefficien devan y qui es nul en e -. On choisi donc un inervalle I ouver inclus dans ], [ ],[ ], [. L équaion homogène associée (EHA) es : ( )y'() y() = 0, qui s écri sur I : y' y k = ln = ln y = y k On remarque qu une soluion évidene de l équaion complèe es -. k Les soluions de (E) s écriven : y =, k, I. Z! L ensemble ], [ ],[ ], [ n es pas un inervalle. Si on écrire les soluions de ( E ) sur ce ensemble, il fau uiliser rois consanes, à priori différenes. Il es commode, pour les exercices, d uiliser les abréviaions EHA, SPEC, SGEC,... [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 9

11 0.4. Exemple avec la méhode de «variaion de la consane» + e Résoudre sur l équaion (E) y' y =. Préciser la soluion y elle que y() =. C es une équaion différenielle linéaire, à coefficiens consans 3. L équaion homogène associée a pour soluions les applicaions y : y = ke. Une echnique de recherche d une soluion pariculière es présenée au paragraphe IV.3, mais ici le second membre n en perme pas l uilisaion. On cherche donc une soluion pariculière de l équaion complèe par la echnique de variaion d une consane. On pose y = e ( y es une soluion de l équaion homogène) e yλy=, où λ es une applicaion dérivable. En remplaçan dans l équaion complèe, e on obien : λ'y =. On remplace mainenan y par son expression, d où + les soluions de (E) sur : y = ke + e ln(), k La condiion iniiale y() = ke = impose la valeur k =. e On rouve une seule soluion vérifian cee condiion iniiale : + y = e + e ln(),. λ' = λ = ln + k e on obien Le fai qu on rouve une e une seule soluion es la conséquence, pour l ordre, des «condiions de Cauchy» du héorème de Cauchy-Lipschiz..5 Equaions à variables séparables Définiion une équaion différenielle es die à variables séparables si elle s écri f(x) y' =, où f es une applicaion coninue e g une applicaion de classe C sur une g( y) parie de (où g ne s annule pas). f(x) Cee équaion s écri y'(x)φ(x,y = ) =, la foncion Φ vérifian les hypohèses du g( y) héorème de Cauchy-Lipschiz. Résoluion On écri cee équaion sous la forme dy = f (x) (E) f (x)dx = g(y)dy. dx g( y) La variable x e la foncion cherchée y jouen alors des rôles symériques e on peu êre amené à les permuer. 3 Dans cee équaion, le «second membre» impose de se placer sur un inervalle qui ne conien pas 0. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 0

12 Soi F une primiive de f e G une primiive de g. Si y es une soluion de (E), la foncion f(x) G y a pour dérivée G'(y(x))y'(x) = g(y) = f (x). g( y) Comme F'(x) = f(x), on a F(x) = G(y(x)) + c que l on peu écrire : f (x)dx = g(y)dy + c. Réciproquemen, la relaion encadrée défini (impliciemen) y en foncion de x. Si on dérive, on obien l équaion (E). Exemples a) L équaion y'() = y () a éé résolue au I x b) Inégrer l équaion y' = vérifian y(0) =. y L équaion es à variables séparables e s écri : y x 3 4 y dy = x dx = + c y = x + 3c , avec y(0) = 3c =. 3 4 On obien y = x +. Cee soluion maximale es définie sur ou. 4 [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés.

13 3 Equaions différenielles linéaires scalaires du second ordre 3. Définiions On appelle équaion différenielle linéaire du second ordre une équaion : (E) y"() + a()y'() + b()y() = c() I soi (E) y" + ay' + by = c où a, b e c son des applicaions coninues de I dans K. Résoudre (E), c es chercher oues les applicaions y, deux fois dérivables de I dans K, e vérifian (E). Cas pariculiers Lorsque c es nul, l équaion es homogène (ou «sans second membre»). Lorsque a e b son des consanes, l équaion es à coefficiens consans (c peu êre non consan). Remarque comme pour l équaion du premier ordre, les équaions éudiées dans ce cours on le coefficien de y" égal à. Ce n es pas le cas dans de nombreux exemples. Il fau alors se placer sur des inervalles où le coefficien de y" n es pas nul. 3.. Exemple en mécanique En mécanique, on a le schéma suivan d un véhicule se déplaçan sur une roue de profil f : véhicule, masse m ressor, rigidié k amorisseur, caracérisique λ roue sol équaion : f() On noe y l écar (verical) de la masse m par rappor à sa posiion d équilibre, en foncion du emps. La roue ayan un profil f, le déplacemen es donc y+ f. Le ressor oppose [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés.

14 3 au déplacemen verical de la masse m une force proporionnelle au déplacemen, soi k(y + f ) e l amorisseur une force proporionnelle à la viesse, soi λ(y + f )'. D où l équaion du mouvemen : my" = k(y λ(y' + f f ) ') + qui s écri : my"λy' + ky + = kf λf ' On obien une équaion différenielle linéaire, du second ordre, à coefficiens consans. 3. Théorème de Cauchy-Lipschiz pour une équaion différenielle du second ordre On donne les applicaions coninues a, b e c de I dans K. Alors, quel que soi I e β 0,β K, l équaion différenielle : (EC ) y" + ay' + by = c adme une soluion unique y vérifian les «condiions iniiales» : y( 0β ) =, y'( 0 ) 0β = Le héorème du paragraphe I. affirme l exisence d une soluion locale. On adme qu il exise une unique soluion maximale. 3.3 Soluions des équaions homogènes Théorème L ensemble de soluions d une équaion différenielle linéaire homogène d ordre es un espace vecoriel (sur K) de dimension. Démonsraion Soi S l ensemble des soluions de l équaion (EH ) y" + ay' + by = 0. Si y e y appariennen à S e si α es un élémen de K, alors la combinaison linéaire α y+ y es aussi soluion de (EH). Comme l applicaion nulle apparien à S, S es un sous espace vecoriel de l ensemble de oues les applicaions de I dans K. Pour monrer que ce espace es de dimension, on considère pour I fixé, l applicaion Φ de S dans K : yφ(y) (y( = ),y'( 0 )) 0. Il es rapide de vérifier que Φ es linéaire. Le héorème de Cauchy monre que Φ es un isomorphisme de S dans K, donc que la dimension de S es la même que celle de K, soi. Remarque imporane A la différence des équaions différenielles du premier ordre, il n exise pas, pour les ordres supérieurs, de méhode générale de résoluion des équaions différenielles. C es pourquoi il es fondamenal de reconnaîre les cas que l on sai résoudre, par exemple celles à coefficiens consans, éudiées dans le paragraphe suivan. 3.4 Résoluion des équaions linéaires homogènes du second ordre, à coefficiens consans (EH ) y" + ay' + by = 0 Z! On rappelle que ici a e b son des consanes. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 3

15 4 r On cherche si des applicaions de la forme e son soluion de (EH) : r y = e b r y' = re a r y" = r e r y vérifie (EH) (r + ar + b)e = 0 le scalaire r es soluion de «l équaion caracérisique 4» : r + ar + b = 0. Cee équaion es de degré e possède donc, dans, racines disinces ou confondues 5. On va déailler les différens cas possibles suivan les valeurs des racines r e r de cee équaion. De plus, si les consanes a e b son réelles, on va pouvoir obenir des soluions réelles. r Si r r, alors les applicaions r y : e e y : e son soluions. On vérifie qu elles formen une parie libre. Or on sai que l ensemble des soluions de cee équaion (EH) es un espace vecoriel de dimension. Donc : une base de l espace des soluions de (EH) es formée par ces applicaions. C'es-à-dire que oue soluion s écri : r r y = k e + ke,,k,k K. r Si r = r, l applicaion y : e es soluion. On vérifie qu alors y r : e es égalemen soluion, e que la parie { y,y } es libre. Les soluions s écriven : r r y = k e + ke,, k,k K Cas fondamenal où les consanes a e b son réelles, e où on cherche des soluions (à valeurs) réelles de (EH). a Ici, le cas r = r ne pose pas problème : r = es réel e le cas général décri cidessus, avec des consanes réelles répond au problème. Les soluions s écriven : r r y = k e + k e,, k,k. Si r r e que ces racines r e r son réelles, on obien égalemen les soluions r réelles : r y = k e + ke,,k,k Par conre si les racines r e r son complexes, on ravaille momenanémen dans un espace vecoriel sur ; les calculs ci-dessous von permere de changer de base dans 4 Malgré ces similiudes, ne pas confondre avec le polynôme caracérisique d un endomorphisme. 5 Même lorsque, au dépar, K=, il es nécessaire d inroduire les (évenuelles) racines complexes de l équaion caracérisique. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 4

16 5 l espace des soluions. En effe, comme les coefficiens a e b de l équaion caracérisique son réels, les deux soluions r e r de cee équaion son dans ce cas des complexes conjugués : rβ, =α+ r i iβ=α, r d où : (α+ iβ) α r α y = e β = e i sin β), = e y(cos e + e (cos β i = sin β) =. On obien des applicaions à valeurs dans en calculan la parie réelle e la parie imaginaire de y : y + y α y y α y3 = Re( y β, ) = y Im(y = e ) cos 4 = e sinβ= =. i Comme les applicaions y 3 e y 4 son des combinaisons linéaires (à coefficiens complexes) des soluions y e y, elles son soluion (dans un espace vecoriel sur ) de (EH). Il rese à vérifier que les veceurs { y 3,y 4} formen une parie libre, par exemple en écrivan le déerminan de leurs coordonnées dans l ancienne base { y,y } : i i de = = 0 i Lorsque on garde comme corps de base, il s agi juse d un changemen de base, e les soluions de (EH) s écriven mainenan : y = k3y3+ k4y 4,,k 3,k4 E lorsque le corps de base es? On a monré que l espace des soluions es de dimension. Quel que soi le procédé employé, si on rouve deux soluions indépendanes réelles on sai qu elles formen une base de l espace vecoriel des soluions. C es le cas avec y 3 e y 4. D où les soluions réelles de (EH) peuven s écrire : y = k3y3+ k4y 4,,k 3,k4 Remarque C es pour ce ype d équaion, uilisées en physique, mécanique,..., que la noion d espace vecoriel de dimension des soluions perme d évier les erreurs que l on renconre rop souven. En pariculier, on peu noer que les paries réelles de y e y son égales, e n on aucune chance d engendrer l espace vecoriel des soluions! 3.5 Exemples de résoluion d équaions différenielles linéaires, d ordre, à coefficiens consans. Résoudre sur l équaion y" + y' y = 0. L équaion caracérisique r r 0 + = a pour racines e - qui son disinces. Les soluions s écriven y = ce + ce, c,c,. Résoudre sur l équaion y" 4y' + 4y = 0. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 5

17 6 L équaion caracérisique r 4r + 4 = 0 a pour racine double. Les soluions s écriven y = ce + ce, c,c,. + Résoudre sur l équaion y"ω + y = 0, ω. L équaion caracérisique rω+ 0= a pour racines disinces les complexes iω e iω. Avec la méhode du paragraphe précéden, on obien les soluions réelles y = cω cos c + sinω, c,c,. 3.6 Abaissemen de l ordre Bien qu il n exise pas de méhode générale pour déerminer les soluions d une équaion différenielle du second ordre, il arrive qu on dispose d une soluion de l équaion homogène. Par exemple une soluion polynôme, ou sous forme de série enière (cf. chapire «Suies e séries de foncions»). D où le problème : on veu résoudre une équaion différenielle linéaire du second ordre homogène : (E) y" + ay' + by = 0 où a e b son coninues de I dans K, e on connaî une soluion y 0 non nulle de cee équaion différenielle. On cherche une (aure) soluion de cee équaion, sous la forme yλy= 0 applicaion deux fois dérivable sur I. Technique de calcul yλy = 0 b y'λ'y = 0λy' + 0 a y"λ"y = 0λ'y' + 0λy" + 0 y es soluion de (E) si e seulemen si λ( y" 0+ ay' 0+ by 0) + λ'( y' 0+ ay 0) + λ"y0 = 0 Or y 0 es soluion de (E). Il rese donc à résoudre : (E λ'( ) y' ay + ) λ"y + 0 =, où λ es une λ qui es une équaion différenielle linéaire du premier ordre en λ'. Le coefficien de λ" éan y 0, on peu donc, d après le paragraphe II., résoudre cee équaion (E λ )sur les inervalles où y 0 n es pas nul. On inègre alors λ' qui donne λ, puis on obien y par : yλy= 0. Remarque : on peu donc choisir comme soluion de l équaion (E λ ) une soluion λ' elle que λ' ne soi pas l applicaion nulle, e alors l applicaion λ obenue n es pas consane. La soluion yλy= 0 n es donc pas colinéaire à y 0, e la parie { y 0λy, 0} es libre. On a alors une base de l espace vecoriel des soluions. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 6

18 7 Remarque : on peu, sur, disposer les calculs sous la forme d une dérivée λ" y' logarihmique 0+ ay0 y' = = 0 a, ce qui facilie le calcul des primiives. λ' y0 y Exemple d abaissemen de l ordre + * On considère l équaion différenielle, définie sur I = : (E) ( + )y" y' + y = 0 ) Chercher les soluions polynômes de (E). ) Résoudre (E) sur I. ) Si il exise une soluion polynôme y de (E) de degré n, on peu écrire : n n y = an + an +... avec a n 0. n n D où y' = nan +... e y" = n(n )an +... En reporan dans (E), e en ne regardan que les ermes de plus hau degré : n a n(n(n ) n + ) +... = 0 Ce qui nécessie que (n(n ) n+ ) = 0. Soi n 3n+ = (n )(n ) = 0. Soi deux valeurs possibles de n, n = ou n =. Z! A ce sade, on n es pas cerain qu il exise une soluion polynôme. Pour le vérifier, on écri y =α β γ+ +, soi y' = β α + e y" = α. En remplaçan dans (E) : (α β4α β + α) )+ (γ 0 + α I+ = γ 0 α = = e β quelconque. Il exise donc des soluions polynômes de (E), de la forme yβ=, qui formen une droie vecorielle. On remarque que la valeur n= ne génère pas de soluion pour (E). ) On noe y 0 la soluion elle que y 0() =, e on cherche une soluion y sous la forme yλy= 0 par la méhode d abaissemen de l ordre. On obien λ' y0 + y' 0( + ) + λ"y 0( + ) = 0. λ" y' 0 λ' + + D où : = ln = ln + ln y 0 = ln λ' = k λ' + y0 k y0 y0 Il es ici conseillé de bien mere en évidence le logarihme au second membre, avan d inégrer. On remplace seulemen mainenan y 0 par sa valeur : + λ' = k = k + +, qui s inègre à vue λ = k + ln + k. Il rese à muliplier par y 0 pour obenir les soluions : + * yλy = 0k= + ln k+,k,k ( ) [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 7

19 8 Remarque : la base des soluions es consiuée de y 0 e de y : + ln. La façon de procéder ci-dessus, avec deux consanes d inégraion, perme d obenir direcemen l espace vecoriel de dimension deux des soluions. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 8

20 9 4 Equaion différenielle linéaire scalaire du second ordre «complèe» 4. Principe de résoluion On revien au cas général, où a, b e c son des applicaions coninues de I dans K. Les soluions de (EC ) y" + ay' + by = c s obiennen en ajouan aux soluions de l équaion homogène associée une soluion pariculière de l équaion complèe. Donc, pour résoudre l équaion complèe, on commence en général par résoudre «l équaion homogène associée» (EHA) de (EC). Il es à noer que dès qu on connaî une soluion de l équaion homogène associée, on sai, au moins formellemen, calculer les soluions de l équaion complèe. Pour déerminer une soluion pariculière de l équaion complèe, on cherche une «soluion évidene» souven polynôme (évenuellemen consane). Sinon on uilise les méhodes des paragraphes suivans : 4. Principe de superposiion Ce héorème peu s uiliser lorsque le second membre es une somme d applicaions coninues, e que séparémen chaque équaion es plus simple à résoudre : (EC ) y" + ay' + by = c+ c On peu alors résoudre les deux équaions : (EC) y" + ay' + by = c (EC) y" + ay' + by = c Si yp une soluion pariculière de (EC ) yp une soluion pariculière de (EC ) alors yp + yp es une soluion pariculière de (EC ). Pour chercher les soluions de (EC) il rese à remarquer que (EC ) associée. e (EC ) on la même équaion homogène Remarque : on peu ainsi superposer un nombre fini d équaions. Par conre, pour un nombre infini d équaions, il fau uiliser les héorèmes du chapire «Séries de foncions». 4.3 Equaion à coefficiens consans don le second m membre es P( )e avec P foncion polynôme de degré k,m. On peu uiliser une méhode de coefficiens indéerminés car on consae qu il exise une soluion pariculière de l équaion complèe sous la forme : α m y p : Q()e, où Q es une foncion polynôme de degré k (à chercher sous forme indéerminée) e où α es la muliplicié de m dans l équaion caracérisique (de l équaion homogène associée). [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 9

21 0 Z! Lorsqu il n y a pas d exponenielle au second membre, cee règle peu s appliquer avec m=0 ; ne pas oublier de vérifier alors la muliplicié de m=0 dans l équaion caracérisique Exemple, avec un passage par les complexes Résoudre sur, l équaion différenielle : (E) y" + y = cos m Pour uiliser la forme «P()e» on commence par résoudre l équaion auxiliaire i ( Aux) y" + y = e Il fau jusifier ce passage par les complexes 6. Soi y une soluion de (Aux). Cee soluion s écri, avec ses paries réelle e imaginaire : y = x + iz où x e z son deux fois dérivables, à valeurs dans. On remplace dans (Aux) e on obien : i ( Aux) x" + iz" + x + iz = e = (cos + i sin). Soi deux équaions (E) x" + x = cos e z" + z = sin. Lorsque les soluion de (Aux) seron connues, il suffira de prendre leurs paries réelles pour obenir les soluions de (E). i Résoluion de ( Aux) y" + y = e On a déjà résolu l équaion homogène associée ( ω=, III.5). Pour l équaion complèe, le second membre es de la forme : k m e ; k =,m = i, α = i On cherche une soluion pariculière y p : ( a + b)e. i i y p es soluion de (Aux) ( 4ai + a + bi)e = e, i i soi a =,b = d où la soluion pariculière de (Aux) y p : ( i)e On en dédui que sa parie réelle es une soluion pariculière de (E) : Re(y p ) = (cos + sin) 4 Les soluions à valeurs dans de (E) s écriven comme somme des soluions de l équaion homogène associée e d une soluion pariculière de l équaion complèe : R, kcos + ksin + (cos + sin) 4 k,k consanes réelles. Z! Ce «passage par les complexes» es différen de celui du paragraphe III.5. Ici on cherche, une soluion de l équaion complèe. 6 La jusificaion es éablie sur ce exemple, mais a une porée générale. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 0

22 4.4 Variaion d une consane La même echnique que pour le premier ordre es uilisée pour une équaion différenielle linéaire du second ordre «avec second membre» : (E) y" + ay' + by = c où a, b e c son coninues de I dans K, lorsqu on connaî une soluion y 0 de l équaion homogène. Comme pour l équaion du premier ordre, on cherche une soluion pariculière de l équaion complèe, sous la forme yλy= 0, où λ es deux fois dérivable sur I. Technique de calcul (similaire à celle de l abaissemen de l ordre, III.6) yλy = 0 b y'λ'y = 0λy' + 0 a y"λ"y = 0λ'y' + 0λy" + 0 y es soluion de (E) si e seulemen si λ( y" 0+ ay' 0+ by 0) + λ'( y' 0+ ay 0) + λ"y0 = c " ' Or y 0 es soluion de (EHA), donc vérifie : y0 + ay0 + by0 = 0. On doi donc résoudre : λ'( y' 0+ ay 0) + λ"y0 = c qui es une équaion différenielle linéaire du premier ordre en λ'. Le coefficien de λ" éan y 0, on peu donc d après le paragraphe I résoudre cee équaion sur les inervalles où y 0 n es pas nul. On inègre alors λ' pour obenir λ, puis on obien y par : yλy= Exemple de résoluion par variaion d une consane Résoudre sur I = ], + [, l équaion différenielle : (E) ( + )y" y' y = e On commencera par vérifier que l applicaion y 0, avec homogène associée. y0 = e es soluion de l équaion La vérificaion es immédiae. On cherche les aures soluions de (E), par la méhode de variaion d une consane. yλy = 0 ( ) y'λ'y = 0λy' + 0 ( ) y"λ"y = 0λ'y' + 0λy" + 0 ( ) + y es soluion de (E) si e seulemen si (E)λ'(y' (0 ) + y ) 0 λ"y + (0 ) + e=. On pose uλ' = e on résou cee équaion du premier ordre en u. Pour l équaion homogène, on a : u' y' 0 y 0( + )u' + (y' 0( + ) y 0)u = 0 = + u y0 + [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés.

23 u + en inégran ln = ln + ln y0 = ln, k y0 soi u= k + e, que l on peu écrire, u = k ( + )e, sur I. On coninue par la résoluion de (E) : ( + )u' + ( + )u = e en uilisan la méhode de variaion d une consane pour cee équaion du premier ordre. On pose uμu = 0, avec u 0 = ( + )e. Soi u 0( + μ' ) e = μ' =. ( + ) μ= + k e uμu = 0 = e k + ( )e +. + On revien à l équaion (E) : uλ' = = e k + ( )e A l aide d une inégraion par paries, on obien λ = e k e + k3. 4 Finalemen, comme yλy= 0, e en changean les noms des consanes SGEC : y = e + Ke + K ( + 3)e K,K, I. Remarque Si on cherche les soluions sur I = ], [ les calculs son les mêmes, les consanes pouvan êre différenes. En TD, on pourra éudier si cee équaion possède des soluions sur. Remarque La première parie de cee résoluion (EHA de E) es la méhode de l abaissemen de l ordre. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés.

24 3 5 Equaions différenielles linéaires scalaires d ordre n Ce paragraphe unifie e prolonge les résulas des ordres e. 5. Définiions On donne pour n enier >0, les n+ applicaions coninues de I dans K : a 0,a, a,...,a n, b. On appelle équaion différenielle linéaire d ordre n une relaion de la forme : (n) (n ) (EC ) y + an y ay' + a0y = b où y es une applicaion de I dans K, n fois dérivable sur I e I. L inconnue es l applicaion y. Résoudre cee équaion, c es connaissan a 0,a,...,a n, b rouver oues les applicaions y vérifian (EC). Z! Dans ce cours, le coefficien de la dérivée n ème y (n) de y es égal à. Dans les exercices, ce n es pas oujours le cas. Si on appelle a n ce coefficien, il faudrai «diviser» par ce coefficien a n pour se ramener à la forme ci-dessus. Ceci n es pas possible si a n s annule sur I. Il fau donc se placer sur des sous inervalles de I où a n n es pas nul. Les poins où a n es nul son des poins singuliers pour l équaion différenielle. Dans cerains cas, il es possible de prolonger en un poin singulier les soluions obenues sur les deux inervalles adjacens à ce poin. Lorsque a 0, a,...,an son des consanes, (mais pas nécessairemen b), l équaion es à coefficiens consans. Lorsque b es l applicaion nulle, l équaion différenielle es homogène. Sinon, l équaion es die complèe, e b es le «second membre de l équaion». Classificaion Il es imporan de préciser la naure de l équaion différenielle à éudier. Cee naure donne des indicaions pour résoudre l équaion. Remarque Les méhodes exposées pour l ordre e (abaissemen de l ordre, variaion d une consane) son peu adapées aux ordres supérieurs. 5. Théorème de Cauchy-Lipschiz pour une équaion différenielle d ordre n Soi n+ applicaions coninues de I dans K : a 0,a, a,...,a n,b. Alors, quel que soi 0 I e β 0,β,...,βn K, l équaion différenielle linéaire : (n) (n ) (EC ) y + an y ay' + a0y = b adme une soluion unique y vérifian les «condiions iniiales» : (n ) y( 0β ) =, y'( 0 ) 0β =,..., y ( ) 0β = n [Uiliser l écriure sous forme de sysème différeniel comme au VI. e VI., avec ici une marice à coefficiens coninus.] [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 3

25 4 5.3 Soluions d une équaion homogène Théorème L ensemble de soluions d une équaion différenielle linéaire homogène d ordre n es un espace vecoriel (sur K) de dimension n. Z! En dehors de cerains cas lisés ci-dessous, la déerminaion d une base de ce espace vecoriel dépasse le niveau de ce cours. 5.4 Résoluion des équaions linéaires homogènes à coefficiens consans (n) (n ) (EH ) y + an y ay' + a0y = 0 r On vérifie que si e es soluion de (EH), alors le scalaire r es soluion de «l équaion caracérisique» : n n r + an r ar + a0 = 0. Cee équaion es de degré n e possède donc, dans, n racines disinces ou confondues 7. On regroupe les racines confondues, on noe r, r,...,r p les p racines disinces e α, α,..., αp leur muliplicié dans l équaion caracérisique. Une base de l espace des soluions de (EH) es formée par les n applicaions : r r α r e ; e ;...; e c es à dire α applicaions, r p r p αp r p e ; e ;...; e c es à dire α p applicaions, soi au oal p αi = n applicaions. i= 5.5 Soluions réelles d une équaion homogène à coefficiens consans réels Les a 0, a,...,an son des consanes réelles. Dans ce cas on a souven besoin des soluions de (EH) à valeurs dans. Lorsque oues les soluions de l équaion caracérisique n n r + an r ar + a0 = 0 son réelles, les soluions ci-dessus formen une base de soluions à valeurs réelles de (EH). n n Lorsque l équaion caracérisique r + an r ar + a0 = 0 adme une soluion complexe non réelle r, alors elle adme aussi le complexe conjugué r comme soluion. Le plan vecoriel (complexe) engendré par les deux soluions : r r y : e e y : e y,y avec : adme aussi comme base ( ) Même lorsque, au dépar, K=, il es nécessaire d inroduire les (évenuelles) racines complexes de l équaion caracérisique. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 4

26 5 y+ y y y3 = Re(y ) = e y y 4 = Im( y ) =. i r On procède de même si r es racine double, à parir de y 5 : e,. En groupan ainsi deux par deux les soluions complexes de l équaion caracérisique, on obien une base de l espace vecoriel (complexe) des soluions de (EH). En se limian aux combinaisons réelles de ces soluions, on obien l ensemble des soluions à valeurs réelles de (EH). 5.6 Résoluion de l équaion complèe (n) (n ) Les soluions de (EC ) y + an y ay' + a0y = b s obiennen en ajouan aux soluions de l équaion homogène associée une soluion pariculière de l équaion complèe. Donc, pour résoudre l équaion complèe, on commence en général par résoudre «l équaion homogène associée» à (EC) : (n) (n ) (EH ) y + an y a y' + a y = Pour déerminer une soluion pariculière de l équaion complèe, on cherche une «soluion évidene» souven polynôme (évenuellemen consane). Sinon on uilise les méhodes des paragraphes suivans : 5.7 Equaion à coefficiens consans don le second m membre es P( )e avec P foncion polynôme de degré k,m. Une soluion pariculière de l équaion complèe s écri : α m y p : Q()e, où Q es une foncion polynôme de degré k (à chercher sous forme indéerminée) e α la muliplicié de m dans l équaion caracérisique (de l équaion homogène associée). Z! Lorsqu il n y a pas d exponenielle au second membre, cee règle s applique avec m = 0 ; ne pas oublier de vérifier alors la muliplicié de m = 0 dans l équaion caracérisique. Exemple Résoudre sur, l équaion différenielle : (EC) y"' y" + y' = C es une équaion différenielle linéaire d ordre 3, à coefficiens consans «avec second membre». On résou d abord l équaion homogène associée. (EH) y"' y" + y' = 0 L équaion caracérisique es : 3 r r + r = 0, soi r(r ) = 0 don les racines son r=0 simple e r= double. Une base de l espace vecoriel (de dimension 3) des soluions es formée des applicaions : 0 e = ; e ; e Le second membre de l équaion complèe es de la forme : k m e ;k =,m = 0, α = [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 5

27 6 On cherche une soluion pariculière soi y p es soluion de (EC) a =,b =,c = 6 d où la soluion pariculière 3 p 3 y : (a + b + c) = a + b + c. 3a + (b a) + c 4b + 6a =, 3 y p : Les soluions à valeurs dans de (EC) s écriven : 3 R, k+ ke + k3e k,k,k 3 consanes réelles. Remarque : on consae qu il es plus simple de résoudre cee équaion en l écrivan comme une équaion du second ordre en u = y'. 5.8 Principe de superposiion Ce héorème peu s uiliser lorsque le second membre es une somme d applicaions : (n) (n ) (EC ) y an y a y' + a y = b + b où b e b son coninues sur I. On inrodui deux équaions : (n) (n ) (EC ) y an y a y' + a y = b (n) (n ) (EC ) y an y a y' + a y = b Si yp une soluion pariculière de (EC ) e yp une soluion pariculière de (EC ), alors yp + yp es une soluion pariculière de (EC ). Pour chercher les soluions de (EC) il rese à remarquer que (EC ) e (EC ) on la même équaion homogène associée. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 6

28 7 6 Sysèmes différeniels linéaires à coefficiens consans K = ou, I inervalle (ouver, non vide) de. Toues les applicaions considérées dans ce paragraphe son des applicaions de la variable I. Soi n un enier >0. 6. Posiion du problème Soi A une marice carrée d ordre n, à coefficiens (consans) dans K. On cherche n x applicaions dérivables de I dans K : x,x,...,x n, elles que le veceur X = e sa x n x' dérivée X' = vérifien : X =AX x' n Remarque : une équaion différenielle linéaire d ordre n, homogène, à coefficiens consans peu s inerpréer comme un el sysème différeniel. En effe l équaion (n) (n ) y + an y ay' + a0y = 0 peu s écrire : (n) (n ) y = an y... ay' a0y. y y' On pose alors X = ce qui donne en dérivan X' =, e on obien (n ) y (n) y sysème différeniel X =AX : 0 0 y y' X' 0 0 = = AX où A = a (n ) 0 a n y a0 a n 6. Théorème d exisence Pour une marice A d ordre n, à coefficiens (consans) dans K, les soluions du sysème différeniel X =AX formen un espace vecoriel de dimension n sur K. n Si on donne une «condiion iniiale» X( 0) = X 0, 0, X0 K, il exise une seule soluion X du sysème différeniel X =AX. C es le héorème de Cauchy-Lipschiz, appliqué à l applicaion linéaire de marice A. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 7

29 8 6.3 Technique de résoluion L idée es de réduire au maximum la marice A. Ceci peu conduire, lorsque le corps de dépar es, à passer à, c'es-à-dire à changer momenanémen de corps de base. Toue marice A es alors semblable à une marice riangulaire A, (évenuellemen diagonale). Si on noe P la marice de passage e Y les nouvelles foncions : A' = P AP X = PY. Les coefficiens de P son des consanes. En dérivan chaque ligne de X=PY, on obien : X' = PY'. Le sysème X =AX devien : PY' = APY Y' = P APY c'es-à-dire : Y' = A'Y. On a alors, en écrivan les lignes de ce sysème : si A es diagonale, des équaions indépendanes les unes des aures (elles ne comporen qu une applicaion y i e sa dérivée) : ce son des équaions différenielles linéaires homogènes du premier ordre à coefficiens consans que l on résou dans un ordre quelconque (ne pas oublier les n consanes d inégraion). si A es riangulaire supérieure, la dernière équaion es indépendane des aures : c es une équaion différenielle linéaire homogène du premier ordre à coefficiens consans, que l on résou d abord. On remone alors progressivemen dans ce sysème différeniel riangulaire, en uilisan les soluions déjà calculées. Les aures équaions son des équaions différenielles linéaires du premier ordre à coefficiens consans avec un second membre, pour lesquelles on uilise les diverses echniques présenées dans ce polycopié. 6.4 Lien enre valeur propre, veceur propre e soluion Théorème Soi A une marice d ordre n, à coefficiens dans K. Si A adme une valeur propre λ dans K, on noe X un veceur propre associé à λ. Soi 0 e β K. Alors la soluion du sysème X' = AX, vérifian la condiion iniiale X( 0βX= ) es λ donnée par : ( 0) X()β= e X. Démonsraion : il suffi de vérifier. Conséquence : lorsque la marice A es diagonalisable dans K, on déermine une base de veceurs propres X,...,X n associés aux valeurs propres λ,..., λ n. n Alors la soluion du sysème X' = AX, vérifian la condiion iniiale X( 0βX ) = i i où i= n λ βi K es donnée par : i( 0) X()β= e i X i. i= [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 8

30 9 6.5 Exemples de résoluion de sysèmes différeniels linéaires homogènes 6.5. Cas d une marice diagonalisable dans Chercher les soluions réelles du sysème différeniel X =AX, avec 3 A= 4. 3 Les valeurs propres de A son les racines réelles du polynôme caracérisique : 3λ de( AλI ) = 4 λ λ 3 Pour facoriser 8 ce polynôme, on effecue des combinaisons linéaires des colonnes du déerminan, faisan apparaîre un zéro e/ou des faceurs communs : C C C ;C3 C3 C. D où : de( AλI) ( = λ) (6 λ) Les valeurs propres son les réels λ = de muliplicié e λ = 6, simple. Le sous espace propre associé à λ = 6, es de dimension, donc on sai que le sous espace propre correspondan es une droie vecorielle. On rouve la droie de base. L aure sous espace propre vérifie : Eλ= = Ker( f.id) = { X, ( A I )X = 0} Le sysème linéaire homogène à résoudre n es pas de Cramer (son déerminan e nul 9 ). x En noan X = y on obien rois fois l équaion : z x+ y+ z= 0 qui es celle d un plan vecoriel, de dimension (égal à la muliplicié de la valeur propre ). Chaque sous espace propre a pour dimension la muliplicié de sa valeur propre, A es donc diagonalisable dans. On obien alors (par exemple) : 0 0 A' = 0 0 e P = L objecif es de rouver les racines de ce polynôme, donc ou développemen direc (règle de Sarrus) es à évier. 9 C es oujours le cas pour les sous espaces propres, par définiion des valeurs propres. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 9

31 30 Z! Le choix de l ordre des valeurs propres dans A es ici arbiraire, ainsi que le choix des bases dans les sous espaces propres. Mais aenion à bien respecer la concordance enre A e P (l ordre des veceurs de P doi correspondre à l ordre des valeurs propres dans A ). Le sysème Y' = A'Y s écri alors : y' = y y' = y y' = 3 6y3 e a pour soluions : y = Ce y = Ce 6 y3 = Ce 3 où C,C,C 3 son des consanes réelles. Il rese à écrire les soluions du sysème différeniel dans la base de dépar, à l aide de la marice P : 6 x = (C+ C )e + C3e 6 X = PY x = Ce + C 3e. 6 x3 = Ce + Ce 3 Remarque on peu écrire direcemen les soluions à l aide des veceurs X = e, 0 6 X = e 0 e X3 = e, e ( X,X,X 3) es une base de l espace vecoriel des soluions du sysème différeniel. Donc les soluions s écriven X= CX + CX + CX 3 3 avec C,C,C 3 consanes réelles Cas d une marice réelle non diagonalisable dans, mais diagonalisable dans. 4 Chercher les soluions réelles du sysème différeniel X =AX, avec A = Le polynôme caracérisique = + n adme pas de racines réelles. de( AλI ) ( λ ) 4 On va passer par l espace vecoriel sur (celui des applicaions de I dans inroduire les racines complexes : de( AλI ) ( = λ i)( λ i) +. Les valeurs propres (simples) son les complexes conjugués λ = + i e λ = i. ), e [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 30

32 3 Donc A es diagonalisable dans, avec (par exemple) : + i 0 i i A' = e P = 0 i. Z! Il es indispensable de choisir les colonnes de P conjuguées, ce qui es oujours possible pour une marice A à coefficiens réels car : AXλX = AX λx = AX λx =, c'es-à-dire que X es un veceur propre associé à λ. Le sysème Y' = A'Y s écri alors (+ i) y = Ce ( i) y = Ce y' = (+ i)y e a pour soluions : y' = ( i)y où C,C son des consanes complexes. On revien à la base de dépar, à l aide de la marice P : (+ i) ( i) (+ i) ( i) ice ice ie ie X = PY = = C ( i) ( i) + C + (+ i). ( i) Ce + Ce e e (+ i) ie ( i) ie En posan X = e X (+ i) e =, on a X= CX ( i) e + CX, les veceurs X e X n éan pas colinéaires formen une parie libre. Donc ( X,X ) es une base de l espace vecoriel, consrui sur le corps, des soluions du sysème différeniel. On va mainenan changer de base, en posan : X+ X X X3 = Re(X ) = e X X 4 = Im( X ) =. Le déerminan des coordonnées i i i de ces veceurs dans l ancienne base ( X,X ) es = = 0. i i La parie ( X 3,X 4) es donc une parie libre, formée de deux veceurs à composanes réelles. C es donc aussi une base du même ensemble de soluions complexes du sysème différeniel. Si on se limie à des consanes réelles, comme l ensemble des soluions du sysème différeniel es un espace vecoriel de dimension, on obien une base de l ensemble des soluions réelles du sysème différeniel X' = AX. Ces soluions s écriven donc : e sin e cos X = K + K e cos e sin où K,K son des consanes réelles e. [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 3

33 3 6.6 Trajecoires Dans ce paragraphe, on veu illusrer géomériquemen les soluions d un sysème différeniel linéaire à coefficiens consans. Définiion On sai que le sysème différeniel X =AX avec une condiion iniiale X( 0) = X0 adme une unique soluion X. La rajecoire de cee soluion es la courbe de représenaion paramérique X() du plan (cas n= ) ou de l espace (cas n= 3), munis de repères convenables. Les logiciels comme Maple permeen de dessiner ces rajecoires, en foncion de différenes condiions iniiales. Exemples de rajecoires des soluions dans un plan du sysème X =AX, en foncion des valeurs propres de A. x' x On cherche les soluions de A x' = x vérifian les condiions iniiales x (0) =,x (0) =. Valeurs propres réelles posiives : A =. Les valeurs propres son λ = e λ = 3, un veceur propre associé à la valeur propre λ = 3 es X =. La condiion iniiale devien X(0) = X. Les soluions cherchés 3 3 e son donc colinéaires à X e s écriven X() = e X =. 3 e La rajecoire es la demi droie porée par la droie d équaion x = y : 4 Valeurs propres imaginaires : A =. Les soluions on éé calculées au paragraphe précéden. Avec les condiions iniiales, on x () = ( sin + cos )e obien : x () = (cos + sin )e La rajecoire, dessinée par Maple es une spirale : [FACK Hélène], [04], INSA de Lyon, ous drois réservés. 3

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