Méthodes de calcul de valeurs approchées d une intégrale.

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1 Clcul de vleurs pprochées d intégrles Méthodes de clcul de vleurs pprochées d une intégrle. 1 Les formules de qudrture de type interpoltion : Présenttion On cherche à clculer l intégrle I(f) = b µ(x)f(x) dx où µ est une fonction dite fonction poids et f une fonction réelle. Définition 1.1 On ppelle formule de qudrture à n + 1 points : n i=0 An i f(x i ) où les A n i ne dépendent ps de f et les x i [; b]. Définition 1. On ppelle formule de qudrture de type interpoltion une formule b P f(x)µ(x) dx où P f est un polynôme interpolteur de f. On note R(f) = I(f) b P f(x)µ(x) dx. Définition 1.3 Une formule de qudrture est dite excte sur un ensemble V si f V, R(f) = 0. Définition 1.4 Une formule de qudrture est dite convergente sur V si et seulement si f V R(f) = 0. lim n + Théorème 1.1 Une formule de qudrture à n + 1 points est excte sur l expce vectoriel des polynômes de degré u plus n (que l on noter P n ) ssi elle est du type interpoltion à n + 1 points. Définition 1.5 On dit qu une formule de qudrture un degré de précision n si elle est excte pour tout x k vec k [0; n] et non excte pour x n. Théorème 1. Supposons que f C n+1 et que l formule de qudrture soit de précision n + 1. b Alors on R(f) = 1 f (n+1) (t)k n (t)dt où K n (t) = R(x mx(0, (x t) n ). n! K n est ppelé noyu de Peno. Pr suite, si K n est de signe constnt, ξ ]; b[ tq R(f) = R(xn+1 ) n + 1 f (n+1) (ξ). 1

2 Muriel Epstein 0 novembre 000 Définition 1.6 Une formule de qudrture est dite stble si (ε 0,..., ε n ) R +n M R + tel que n i=0 An i ε i M mx k ε k. Théorème 1.3 Une formule de qudrture est stble ssi M R + tel que n i=0 An i M. Théorème 1.4 Une méthode de qudrture de type interpoltion est convergente sur C[; b] ssi les formules sont stbles. Les formules de Newton-Cotes.1 Présenttion et propriétés On considère l fonction de poids constnte égle à 1. Définition.1 On ppelle formule de Newton-Cotes l formule de qudrture n I(f) = (b ) Bj n f(+jh) où h = b et n Bn j = 1 b n k=0;k j l j (x)dx où l j = (x x k) b n k=0;k j (x j x k ) j=0 n Théorème.1 Bj n = ( 1)n j j!(n j)!n 0 n k=0;k j (t k)dt. On lors B n j = B n n j. Théorème. Le degré de précision des formules de Newton-Cotes à (n + 1) points est n si n est impir, n + 1 sinon. Théorème.3 Si le nombre de points d interpoltion est n+1, dns les formules de Newton- Cotes fermées, vec n pir, l erreur est en h n+3 ; vec n impir, l erreur est en h n+ Théorème.4 Les formules de Newton-Cotes sont instbles. Définition. On ppelle méthodes composites de degré q les méthodes de Newton-Cotes de degré q ppliquées à des sous-intervlles de [; b] Théorème.5 On considère une formule composite de degré q à n + 1 points telle que f C q+ (b )q+3 [; b]. Alors c R tel que R(f) c mx n f (q+) (x) si q pir et q+ x [;b] (b )q+ R(f) c n q+1 mx f (q+1) (x) si q impir. x [;b] Théorème.6 Si q est tel que B q j stble. > 0 pour tout j lors l formule composite de degré q est

3 Clcul de vleurs pprochées d intégrles. Exemples L formule du trpèze Lorsque n = 1, on l formule du trpèze : b (b ) f(t)dt [f() + f(b)]. Considérons p intervlles, [ p 1 ] f() + f(b) l formule composite du trpèze est h f( + kh) +. L formule de Simpson Lorsque n =, on l formule de Simpson : b [ (b ) f(t)dt f() + 4f( + b ] 6 ) + f(b). L formule composite de Simpson est (p )/ (p )/) h f() + f(b) + f( + kh) + 4 f( + (k + 1)h. 3.3 L méthode de Romberg Cette méthode est dérivée des méthodes de Newton-Cotes et permet d ccélérer l convergence. ( ) Soit T m (f) = b f() + f(b) m 1 + f( + k b m ). m Définition.3 L méthode d intégrtion de Romberg est décrite pr Tm 0 = T m et Tm n = 4n Tm+1 n 1 Tm n 1. 4 n 1 Théorème.7 L convergence de T n m vers I(f) lorsque n + est surlinéire (ie. plus rpide que toute suite géométrique). 3 Les formules de Guss 3.1 Générlités Théorème 3.1 L formule de qudrture à (n + 1) points est excte sur P n+1 ssi (1) elle est du type interpoltion à (n + 1) points et () les bscisses d interpoltion sont telles que v(x) = n i=0 (x x i) vérifie b xq v(x)µ(x) dx = 0 q [0; n] (Condition d orthogonlité). Définition 3.1 On ppelle formules de Guss des formules de qudrture vérifint les conditions précédentes. Théorème 3. Si µ(x) > 0 et continue sur [; b],!v P n / v = n i=0 (x x i) où x j x i si i j et i [0; n] x i [; b] tel que b xq v(x)µ(x) dx = 0 q [0; n]. 3

4 Muriel Epstein 0 novembre 000 Théorème 3.3 Si l formule de qudrture est excte sur P n+1, lors on i [0; n], A n i > 0 Corollire 3.1 Les formules de qudrtures du type Guss sont stbles, donc convergentes. Corollire 3. Le degré de précision des formules de Guss à (n + 1) points est n + 1. Corollire 3.3 Pour f C n+ [; b], R n (f) = f n+ (α) (n + )! b µ(x)v (x) dx où α ]; b[. 3. Exemples de polynômes suivnt le choix des fonctions de poids Les polynômes de Legendre Théorème 3.4 Les polynômes de Legendre (L n (x) = 1 (x 1) n ) vérifient les conditions dx n du théorème 3.1 pour l fonction de poids µ(x) = 1 sur [ 1; 1]. On lors 1 ( ) A n L n+1 (x) k = dx (x x k )L n+1(x k ) 1 n! n d n Les polynômes de Tchebichev Théorème 3.5 Les polynômes de Tchebichev (T n (x) = cos(narc cos x)) vérifient les conditions du théorème 3.1 pour l fonction de poids µ(x) = 1 1 x sur [ 1; 1]. Théorème 3.6 Soit f C n ([ 1; 1], R). 1 f(x) ξ [ 1; 1] tel que dx = 1 x 1 n i=1 π 1)π f(cos(i ) + π n n n (n)! f n (ξ) Les polynômes de Lguerre Théorème 3.7 Les polynômes de Lguerre ( L n (x) = e x dn dx n (x n e x ) ) vérifient les conditions du théorème 3.1 pour l fonction de poids µ(x) = e x. Les polynômes d Hermite Théorème 3.8 Les polynômes d Hermite ( H n (x) = ( 1) n e x / d n dx n (e x / ) ) vérifient les conditions du théorème 3.1 pour l fonction de poids µ(x) = e x /. 4

5 Clcul de vleurs pprochées d intégrles 4 Méthode de Monte-Crlo 4.1 Principe Soit f L 1 (R d ). On cherche à évluer I = f(x)dx. Supposons que l on puisse écrire R d I = f R d 1 (x)g(x)dx où f = f 1 g et g est l densité sur R d d une loi µ que l on sit simuler. On considère un vecteur létoire U = (U 1,..., U d ) µ, X = f 1 (U) et une suite iid (X n ) de copies de X. On lors, pr l loi des grnds nombres I = E[X] et X n converge ps vers I. Rd De plus (théorème centrl-limite), si f L (R d [f(x)], g(x)dx) V (X) = g(x) dx 4. Remrques Remrque 4.1 L convergence est en σ/ n, ce qui est reltivement lent. Nénmoins, l méthode ne dépend ps de l régulrité de l fonction à intégrer et s pplique isément à des intégrles multiples. Théorème 4.1 Si f 1 (x) A ps, σ B et si 0 β < B A, on P ( X n I βa ) ( ) 1 exp β A n. 4B Remrque 4. Dns l prtique, on cherche f 1 et g de sorte de minimiser l vrince. 4.3 Exemple 1 On cherche à clculer π = 4I vec I = f(x)dx et f(x) = 1 x. 0 Avec l méthode de bse, on obtient σ = (1 x )dx I = 3 I 0, 05. En posnt g(x) = 1 βx 1 β/3 on obtient σ = 1 β 1 3 du minimum en β donne σ 0, 009. (3 β)(1 β) ln(β) β. Une recherche β 5

6 Muriel Epstein 0 novembre 000 Remrques Attention, j i choisi de ne ps ou peu prler des : formules d Euler-Mclurin intégrles vec singulrités intégrles infinies intégrles doubles (pproximées grâce à des interpoltions sur des tringles) formules de Newton-Cotes ouvertes (ne tient ps compte des bornes dns les formules de newton-cotes). formules de Guss-Rdeu et Guss-Lobtto (formules de Guss dns lesquelles on impose l utilistion d une ou des deux bornes.) Bibliogrphie [1] A. Chmbert-Loir et S. Fermigier. Exercices de mthémtiques pour l grégtion, volume Anlyse. Msson, [] J.Stoer et R. Burlisch. Introduction to Numericl Anlysis. Texts in Applied Mthemtics, edition, 199. [3] Michelle Schtzmn. Anlyse numérique. InterEditions, [4] R. Théodor. Initition à l Anlyse Numérique. Msson, 3 edition, [5] Pul S. Toulouse. Thèmes de Probbilités et Sttistiques. Dunod,

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