Intégration numérique

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1 Chpitre 5 Intégrtion numérique 5.1 Introduction Dns ce chpitre, on s interesse u clcul numérique d intégrles. Plus précisément, on considère une fonction f continue et une fonction w continue et positive sur un intervlle compct [, b]. On cherche à évluer numériquement l quntité : f(x)w(x)dx. 5. Formules de qudrture et interpoltion D une mnière générle une formule de qudrture est une formule de l forme : n λ i f(x i ). (5.1) Définition 1. On dit qu une formule de qudrture est d ordre m, si m est le plus grnd entier tel que l formule soit excte sur R m [X], l espce vectoriel des polynômes de degré u plus m. Soient n+1 réels deux à deux distincts (x j ) 0 j n. Cherchons les reltions que doivent vérifier les sclires λ j pour que l formule de qudrture (5.1) soit d ordre m. On doit voir pour tout monôme x k les reltions suivntes : k {0,..., m}, n λ j x k j = x k w(x)dx (5.) j=0 1

2 CHAPITRE 5. INTÉGRATION NUMÉRIQUE Le système (5.) est un système de n+1 inconnues à m+1 équtions. Son écriture mtricielle est donnée pr : b λ 0 w(x)dx x 0 x 1... x m λ = xw(x)dx.... x m 0 x m 1... x m λ b m m xm w(x)dx Si m > n, l existence d une solution n est ps ssurée. On suppose donc que m n. Pour n = m, on reconnit l mtrice de Vndermonde qui est inversible. Sinon, on peut fixer n m vleurs pour les λ j, n+1 j n, et se rmener u cs d une mtrice crrée. Donc, m n, l éqution (5.) dmet une solution, quelque soit le second membre. Soit (Φ p ) 0 p m l bse des polynômes de Lgrnge sur le support x 0, x 1,..., x m. Alors on, n λ j Φ p (x j ) = w(x)φ p (x)dx, ce qui implique, j=0 p 0,..., m, λ p + n j=m+1 λ j Φ p (x j ) = w(x)φ p (x)dx. c est à dire, n λ p = w(x)φ p (x)dx λ j Φ p (x j ) j=m+1 Dns le cs où m = n, le système (5.) dmet une unique solution : λ p = w(x)φ p (x)dx. L formule de qudrture donne lors pour l intégrle pprochée I n (f) : n I n (f) = ( Φ j (x)w(x)dx)f(x j ) j=0 n = f(x j )Φ j (x)w(x)dx j=0 = P (x)w(x)dx où P est le polynôme d interpoltion de f ux points x j. Dns ce cs l formule de qudrture peut étre interprétée comme suit : on interpole f pr P ux noeuds (x j ) 0 j n (pr le polynôme d interpoltion de degré n) et on pproche l intégrle de f pr celle de P.

3 5.3. ESTIMATION D ERREUR Estimtion d erreur Cs générl On rppelle les résultts suivnts démontrés dns le prgrphe précédent. Si f est de clsse C n+1 sur [, b], lors pour ensemble (x i ) 0 i n d éléments de [, b], l ppliction, F : [, b] R x f[x 0, x 1,..., x n, x] est continue sur [, b]. Si de plus f est de clsse C n+, l ppliction F est dérivble sur [, b], et pour tout réel x, F (x) = f[x 0, x 1,..., x n, x, x]. Pr illeurs, si f est de clsse C n+1 sur [, b], lors on : x [, b], e n (x) = f(x) P n (x) = f[x 0,..., x n, x]( et pour tout réel x de [, b] il existe ξ ], b[ tel que : f[x 0,..., x n, x] = f n+1 (ξ) (n + 1)! n (x x k )) Définition. Soit x 0,..., x n un ensemble de points de l intervlle [, b]. On ppelle intégrle pprochée de f sur [, b] pr rpport u support {x 0, x 1,..., x n }, et on note I n (f) l quntité, I n (f) = P n (x)w(x)dx, où P n le polynôme d interpoltion de f sur le support {x 0,..., x n }. Sous ces nottions, on ppelle erreur d intégrtion et on note E n l quntité, On pose, E n = Ψ n (x) = D près les rppels précédents, on : E n = f(x)w(x)dx I n (f). n (x x k ). k=0 f[x 0,..., x n, x]ψ n (x)ω(x)dx. k=0

4 4 CHAPITRE 5. INTÉGRATION NUMÉRIQUE Proposition 1. Soit f une fonction de clsse C n+1 sur [, b] lors 1. si Ψ n est de signe constnt sur [, b], l erreur s écrit vec ξ [, b]. E n = f (n+1) (ξ) (n + 1)! Ψ n (x)w(x)dx. si Ψ n n est ps de signe constnt sur [, b], et si l condition suivnte lieu Ψ n (x)w(x)dx = 0 pour x n+1 quelconque dns [, b], l erreur s écrit E n = f[x 0,..., x n, x n+1, x]ψ n+1 (x)w(x)dx Pour démontrer cette proposition nous urons besoin du Théorème de l moyenne générlisée. Théorème 1 (Théorème de l moyenne générlisée). Soit, b R,, b, f, g deux fonctions continues sur [, b] et g de signe constnt sur [, b], lors il existe ξ [, b] tel que : fgdx = f(ξ) gdx Démonstrtion. Pour g(x) = 1, il s git du Théorème de l moyenne, ξ ], b[ tel que fdx = (b )f(ξ). Dns le cs générl, on effectue le chngement de vrible, u = + (b ) G(b) G(x), où, G(x) = x g(y)dy. Nous urons églement besoin du lemme suivnt,

5 5.3. ESTIMATION D ERREUR 5 Lemme 1. Soit x n+1 un point supplémentire x n+1 de [, b], lors on f[x 0,..., x n, x] = f[x 0,..., x n, x n+1, x](x x n+1 ) + f[x 0,..., x n, x n+1 ] Démonstrtion. f[x 0,..., x n, x n+1, x] = f[x, x 0,..., x n, x n+1 ] = f[x 0,..., x n, x n+1 ] f[x, x 0,..., x n ] x n+1 x On peut mintennt démontrer l proposition (1). Preuve de l proposiotion (1). Si Ψ n (x) est de signe constnt, on, E n = f[x 0,..., x n, x]ψ n (x)w(x)dx = f[x 0,..., x n, ξ] = f (n+1) (ξ) (n + 1)! Ψ n (x)w(x)dx (d près le Théorème de l moyenne) pour un utre ξ, ce qui montre l premiére prtie de l proposition. Dns le cs, où Ψ nw(x)dx = 0, on pplique le lemme (1), E n = = = f[x 0,..., x n ]Ψ n (x)ω(x)dx (f[x 0,..., x n, x n+1, x](x x n+1 ) + f[x 0,..., x n, x n+1 )Ψ n (x)ω(x)dx (f[x 0,..., x n, x n+1, x]ψ n+1 (x)ω(x)dx On en déduit imméditement le corrolire suivnt, Corollire 1. On suppose que f est de clsse C n+ et que, lors, Ψ n (x)dx = 0,

6 6 CHAPITRE 5. INTÉGRATION NUMÉRIQUE 1. si Ψ n+1 est de signe constnt sur [, b], l erreur s écrit vec ξ [, b] E n = f (n+) (ξ) (n + )! Ψ n+1 (x)w(x)dx. si Ψ n n est ps de signe constnt sur [, b], et si l condition suivnte lieu, Ψ n+1 (x)w(x)dx = 0, pour x n+ quelconque dns [, b], l erreur s écrit E n = En itérnt le procédé, on obtient : Corollire. On suppose que f[x 0,..., x n, x n+1, x n+, x]ψ n+ (x)w(x)dx i {n,..., n} Ψ i (x)w(x)dx = 0 où (x i ) n+1 i n+1 sont des points quelquonques de [, b]. Alors l erreur d intégrtion s écrit : E n = f[x 0,..., x n+1, x]ψ n+1 (x)ω(x)dx. Si on suppose de plus que que f est de clsse C n+ et que Ψ n+1 est de signe constnt sur [, b], l erreur s écrit vec ξ [, b]. E n = f (n+) (ξ) (n + )! Ψ n+1 (x)w(x)dx 5.3. Appliction ux formules clssiques Dns ce cs, on w(x) = 1.

7 5.3. ESTIMATION D ERREUR 7 Interpoltion pr un polynôme de degré 0 Exercice Soit f une fonction continue sur un intervlle [, b]. On suppose le support réduit à un seul point x 0 =. 1. Clculer l vleur de l intégrle sur [, b] du polynôme d interpoltion de f de degré 0 sur le support x 0 =.. Quelle est l erreur commise pr rpport à l intégrle excte? 3. Donner une estimtion de l erreur qui fsse intervenir l dérivée. Cet exercice conduit u corollire suivnt, Corollire 3 (Méthode du rectngle). On pproche l fonction f pr f(). Alors l vleur pprochée obtenue pour l intégrle est : et l erreur vut E R = I R = (b )f() (b ) f (ξ) vec ξ ], b[ Démonstrtion. Dns le cs générl où on pproche f(x) pr f(x 0 ), on obtient pour l vleur pprochée de l intégrle, et pour l erreur d intégrtion, E 0 = I 0 = (b )f(x 0 ) f[x 0, x](x x 0 )dx. Lors que x =, φ 0 (x) est de signe constnt, et on donc, E R = f[, x](x )dx = (b ) f (ξ) vec ξ ], b[. Exercice Soit f une fonction continue sur un intervlle [, b]. On suppose le support réduit à un seul point x Clculer l vleur de l intégrle sur [, b] du polynôme d interpoltion de f de degré 0 sur le support x 0 = +b.. Quelle est l erreur commise pr rpport l intégrle excte. 3. Donner une estimtion de l erreur qui fsse intervenir l seconde de f.

8 8 CHAPITRE 5. INTÉGRATION NUMÉRIQUE En choisissnt pour x 0 le point milieu il vient : Corollire 4 (Méthode du point milieu). On pproche l fonction f pr f( +b ). Alors l vleur pprochée obtenue pour l intégrle est : I M = (b )f( + b ) et si f est de clsse C sur [, b] lors l erreur d intégrtion vut, E M = (b )3 f (ξ) vec ξ ], b[. 4 Démonstrtion. Soit, lors, Mis E M = m = b +, f[m, x](x m)dx. (x m)dx = 0, on donc d près l seconde prtie de l proposition 1, pour x 1 quelconque dns [, b] : E M = En choisissnt x 1 = m, on obtient : E M = f[m, x 1, x](x x m )(x x 1 )dx f[m, m, x](x x m ) dx et donc d près le corollire 1, il existe ξ ], b[ tel que : E M = f (ξ) (x m) dx

9 5.3. ESTIMATION D ERREUR 9 Interpoltion pr un polynôme de degré 1 Proposition. On suppose le support d interpoltion possède deux points x 0, x 1. Si f est de clsse C sur [, b], l vleur pprochée est : I 1 = et l erreur d integrtion est E 1 = (f[x 0 ] + f[x 0, x 1 ](x x 0 ))dx f[x 0, x 1, x](x x 0 )(x x 1 )dx Démonstrtion. Découle de l écriture de l erreur d interpoltion pour le polynôme. Corollire 5 (Méthode du trpèze). Si f est de clsse C sur [, b] lors pour x 0 =, x 1 = b, l vleur pprochée vut ( ) f() + f(b) I T = (b ) et l erreur vut E T = (b )3 f (ξ) vec ξ ], b[. 1 Démonstrtion. On : I T = et, f[]dx + f[, b](x )dx = (b )f() + E T = f[, b, x](x )(x b)dx. f(b) f() (b ) b Ici, Φ 1 (x) = (x )(x b) grde un signe constnt sur [, b]. On est dns le cs 1 de l proposition 1. Donc, E T = f (ξ) (x )(x b)dx vec ξ ], b[.

10 10 CHAPITRE 5. INTÉGRATION NUMÉRIQUE Interpoltion pr un polynôme de degré Proposition 3. On suppose le support d interpoltion possède trois points x 0, x 1, x. Si f est de clsse C 3 sur [, b], l vleur pprochée est : I = (f[x 0 ] + f[x 0, x 1 ](x x 0 ) + f[x 0, x 1, x ](x x 0 )(x x 1 ))dx et l erreur d intégrtion est E = f[x 0, x 1, x ](x x 0 )(x x 1 )(x x )dx Démonstrtion. Idem que pour les propositions précédentes. Corollire 6 (Méthode de Simpson). Si f est de clsse C 4 sur [, b] lors pour x 0 =, x 1 = b, x = +b, l vleur pprochée vut et l erreur vut Démonstrtion. On : et, et, I S = = (b ) I S = b + b (f() + 4f(m) + f(b)) où m = 6 f[]dx + (b )5 E S = 880 f (4) (ξ) vec ξ ], b[. f() + f(b) f[, b](x )dx + f[, b, m](x )(x b)dx + f[, b, m](x )(x b)dx f[, b, m] = f[, m, b] = 1 f(m) f() ((f(b) ) (f(m) )) b b m m (f() f(m) + f(b)) = (b ) (x )(x b)dx = (b )3 6 On en déduit le résultt pr clcul. Pour l erreur d intégrtion ; E S = f[, b, m, x](x )(x b)(x m)dx.

11 5.3. ESTIMATION D ERREUR 11 Ici, Φ (x) = (x )(x b)(x m)dx = 0. On est dns le cs del proposition 1. On donc, E S = f[, b, m, m, x](x )(x b)(x m) dx. Alors Φ 3 (x) = (x )(x b)(x m) est de signe constnt sur [, b], donc E S = f (4) (ξ) 4 D où le résultt pr clcul. (x )(x b)dx vec ξ ], b[. Remrque 1. Bien que construite sur un support de trois points, l méthode de Simpson est excte sur les polynômes de degré inférieur ou égl é 3. Exercice Soit à clculer l intégrle 0 (3x4 + x 3 + x + 5)dx. Clculer l pproximtion donnée pr l méthode de Simpson, insi que l erreur commise lorsquec x 0 = 0 et x 1 = Formules clssiques et estimtion d erreur Formule composée des rectngles L formule des rectngles consiste à pprocher l intégrle pr I R,N = N f(x)dx f(x i )(x i+1 x i ). Formule composée du point milieu L formule du point milieu consiste à pprocher l intégrle pr I M,N = N f(x)dx f( (x i+1 + x i ) )(x i+1 x i ).

12 1 CHAPITRE 5. INTÉGRATION NUMÉRIQUE Formule composée des trpèzes L formule des trpèzes consiste à pprocher l intégrle pr I T,N = N f(x)dx f(x i ) + f(x i+1 ) (x i+1 x i ). Formule composée de Simpson L formule de Simpson consiste à pprocher l intégrle pr I T,N = N f(x)dx 1 6 (f(x i) + 4f( x i + x i+1 ) + f(x i+1 ))(x i+1 x i ). Proposition 4 (Estimtion d erreur pour l formule composée des rectngles). Soit f une fonction de clsse C 1 sur [, b]. On suppose qu on une subdivision régulière de l intervlle [, b], vec x 0 =, x 1 = + h,..., x N = b = + Nh (on donc h = b N ). Si on pproche pr lors, E R,N = Démonstrtion. E R,N = I R,N = b N f(x)dx f(x)dx I R,N = h N = h f(x i )(x i+1 x i ), (b ) f (ξ) vec ξ ], b[ (x i+1 x i ) f (ξ i ) vec ξ i ]x i, x i+1 [ N f (ξ i ) vec ξ i ]x i, x i+1 [

13 5.3. ESTIMATION D ERREUR 13 or puisque f est C 1, on : donc, m h m f (x) M, f (x) h M h On donc pour tout i {0,..., N 1}, m h f (ξ i ) h M h. Soit en sommnt pour i llnt de 0 à N 1 : ou encore : m Nh E R,N M Nh, m E R,N Nh M, Donc, d près le théorème des vleurs intermédiires, il existe ξ [, b] tel que : Donc, f (ξ) = E R,N Nh E R,N = (b )h f (ξ). Lemme. Soit f une fonction de clsse C k sur [, b] et α un réel positif. Si pour tout i {0,.., N 1} lors Démonstrtion. E N = E i,n = αh k+1 f (k) (ξ i ) vec ξ i ]x i, x i+1 [ N E i,n = α(b )h k f (k) (ξ) vec ξ [, b]. E i,n = αh k+1 f (k) (ξ i ) vec ξ i ]x i, x i+1 [, or puisque f est de clsse C k, on : m f (k) (x) M,

14 14 CHAPITRE 5. INTÉGRATION NUMÉRIQUE on donc, Nmαh k+1 E N NMαh k+1. Donc d près le Théorème des vleurs intermédiires, il existe ξ [, b] tel que : f (k) (ξ) = E N Nαh k+1. Donc, E N = α(b )h k f (k) (ξ). On en déduit l proposition suivnte, Proposition 5. Soit f de clsse C (resp. C,C 4 ) sur [, b], lors l erreur pour l formule composée du point milieu (resp. des trpèzes, Simpson) est donnée pr : E M,N = h b 4 f (ξ) (E T,N = h b 1 f (ξ)) (E S,N = h 4 b 880 f (4) (ξ)) 5.4 Intégrtion de Guss-Legendre Les polynômes de Legendre Les polynômes de Legendre sont définis pour tout n N pr l formule de récurrence suivnte : vec, n N, L n+1 (x) = n + 1 n + 1 xl n(x) n n + 1 L n(x), L 0 (x) = 1 et L 1 (x) = x. Théorème. Les polynômes de Legendre vérifient les propriétés suivntes : 1. i < n, L n (x)x i dx = 0. L n (x) posséde n rcines réelles distinctes sur ] 1, 1[.

15 5.4. INTÉGRATION DE GAUSS-LEGENDRE 15 Démonstrtion. Nous dmettrons l premiére prtie du Théorème mis démontrerons l seconde. Le polynôme L n (x) est de degré n, il dmet donc u plus n rcines réelles. Notons z 1, z,.., z k, (k n) les rcines de L n dns ] 1, 1[ comptées sns répétitions et qui provoquent un chngement de signe pour L n. Nous llons montrer que k = n. Supposons k < n. Soit k q(x) = (x z i ) Alors, q et L n sont soit de méme signe, soit de signe contrire, donc : L n qdx 0 Ce qui est une contrdiction d près le 1) du théorème Intégrtion de Guss-Legendre Soit f une fonction continue sur l intervlle [, 1], on cherche à clculer l intégrle : I = f(x)dx. L méthode d intégrtion de Guss-Legendre consiste à pprocher l intégrle I pr l intégrle, I n = p n (x)dx, où p n (x) est le polynôme d interpoltion de l fonction f sur le support {x 0, x 1,..., x n } constitué des rcines du n + 1 ème polynôme de Legendre L n+1 (x). Théorème 3. Supposons f de clsse C n+ sur [, 1]. Soit E n = I I n lors il existe ξ ] 1, 1[ et une constnte réelle α tels que Démonstrtion. On pose, et pour tout i {n, n + 1}, E n = α f (n+) (ξ) (n + )!. x n+1 = x 0, x n+ = x 1,..., x n+1 = x n, Ψ i = i (x x k ). k=0

16 16 CHAPITRE 5. INTÉGRATION NUMÉRIQUE Alors, il existe α tel que : L n+1 (x) = αψ n (x) On donc Ψ n (x)x i dx = 0 i {0,..., n}, ceci implique que, Ψ i (x)dx = 0 i {n,..., n} cr Ψ i (x) = Ψ n (x)g(x) où g(x) est un polynôme de degré i n, et que, Ψ n+1 = (Ψ n ) est de signe constnt sur [, 1]. Donc pr ppliction du corollire il existe ξ ] 1, 1[ et β tels que, E n = β f (n+) (ξ) (n + )! Lemme 3. L formule d intégrtion de Guss-Legendre peut s écrire où pour tout i {1,..., n}, on : n I n = p n (x)dx = λ i f(x i ) λ i = (n + 1)L n+1 (x i)l n (x i ) les (x i ) 0 i n étnt les rcines de L n+1 (x).

17 5.4. INTÉGRATION DE GAUSS-LEGENDRE 17 Méthodes numériques. Université du Hvre Feuille de TP Le but de ce TP est d implémenter quelques méthodes permettnt de clculer des intégrles de fonctions continues sur un intervlle compct [, b] de R. Méthodes d intégrtion clssiques 1. Écrire une fonction Scilb [I]=ICl(c,h,,b,f) qui renvoie l vleur pprochée de f(x)dx. Ici, c {1,, 3, 4} est un prmètre indiqunt l méthode d intégrtion à utiliser : si c = 1, on utilise l méthode des rectngles, si c =, on utilise l méthode du point milieu, si c = 3, on utilise l méthode des trpèzes, si c = 4, on utilise l méthode de Simpson. h est un prmètre donnnt l espcement entre deux points consécutifs de l subdivision 0 =,..., n = b.. Clculer, d bord nlytiquement, puis numériquement l vleur des intégrles suivntes : 0 cos(x)dx, 0 exp(x)dx, x dx. On effectuer plusieurs tests pour différentes vleurs de h, et ce pour chque méthode. Méthodes d intégrtion de Guss-Legendre Cette méthode d intégrtion consiste à construire un support d interpoltion {x 0,..., x n }, des points x n+1 = x 0, x n+ = x 1,..., x n+1 = x n et des fonctions telles que l on it : Pour cel : Ψ j = j (x x k ) n j n, k=0 Ψ j (x)dx = 0 pour n j n.

18 18 CHAPITRE 5. INTÉGRATION NUMÉRIQUE on construit les polynômes de Legendre pr récurrence : n N, L n+1 (x) = n + 1 n + 1 xl n(x) n n + 1 L n(x) vec les termes initiux L 0 (x) = 1, L 1 (x) = x. Les x i sont lors les n + 1 zéros de L n+1 (x). On définit pour tout i dns {0,.., n}, W i = L formule de qudrture est lors (n + 1)L n+1 (x i)l n (x i ). n f(x)dx W i f(x i ). 1. Écrire une fonction Scilb [P]=CPGL(n) qui renvoie un tbleu contennt les (n + ) premiers polynômes de Legendre : L 0 (x), L 1 (x)..., L n+1 (x). On pourr pour cel utiliser l fonction scilb poly.. Représenter grphiquement les polynômes L n pour quelques vleurs de n. On pourr pour cel utiliser l fonction scilb horner. À l ide des grphiques, pouvez-vous dire combien de rcines distinctes possède le polynôme L n? 3. Écrire une fonction Scilb [Points,Poids]=PPGL(n) qui renvoie l vleurs des points du support et les poids pour l méthode de Guss-Legendre à n + 1 points. Pour l dérivtion, on pourr utiliser l fonction scilb derivt. 4. Écrire une fonction Scilb Ipp=IGL(n,f) qui clcule l vleur pprochée de f(x)dx pr l méthode Guss-Legendre à n + 1 points. Clculer numériquement, grâce à cette fonction les vleurs de : cos(x)dx, x dx, et exp(x)dx. Vérifier vos résultts en clculnt nlytiquement les intégrles précédentes. Cluler numériquement exp(x) cos(x ) 1 + x 4 dx. Comprer le résultt vec l vleur fournie pr l fonction ICl.

19 5.4. INTÉGRATION DE GAUSS-LEGENDRE Montrer que f(y)dy = ( b ) f( b x + + b )dx En déduire l écriture d une fonction Ipp=IGL(,b,n,f) qui clcule l vleur pprochée de f(x)dx en utilisnt l méthode de Guss-Legendre à n + 1 points. Clculer numériquement : π 0 cos (x)dx puis π 0 exp(x) cos(x ) 1 + x 4 dx.