ENSA Nantes Examen TD Analyse de structures 3 ème a. 1 er semestre Janv. 2013

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1 ENSA Nantes Examen TD Analyse de structures 3 ème a. 1 er semestre Janv Documents autorisés. Répondre directement sur la feuille. Préciser systématiquement les unités. EXERCICE 1 : Questions diverses (4 points) 1) On s intéresse au calcul d un poteau : 1a) Quels sont les phénomènes qui peuvent intervenir et endommager le poteau de manière précoce? - Flambement - Surcharge 1b) Que doit-on vérifier pour le calcul de ce poteau? - Coefficient critique de flambement > 1 pour éviter flambement, > 3 par sécurité - Contrainte max < Contrainte admissible 1c) Quel type de section est préférable entre les sections suivantes et pourquoi? (on notera que l aire des sections considérées est identique pour les trois sections) I) Carrée II) Rectangulaire III) Poutre en I Poutre en I Meilleure inertie 2) Calculez le degré d hyperstatisme des structures suivantes (les conditions en gris sont les conditions de contact avec l extérieur, et les disques rayés correspondent aux articulations internes) : a) b) c) 1

2 a) Hypostatique de degré 1 b) Isostatique c) Hypostatique de degré 1 3) Calculez le degré d hyperstatisme intérieur des treillis suivants (tous les nœuds sont articulés) : a) b) Treillis articulé : d h int = b (2n 3) Pour les 2 treillis : 14 nœuds a) 25 barres d h int = 0 => Treillis isostatique intérieurement b) 27 barres d h int = 2 => Treillis hyperstatique de degré 2 intérieurement EXERCICE 2 : Flexion (6 points) Pour franchir un ruisseau, une passerelle est envisagée sur une portée de 1. Il est prévu de réaliser un ouvrage de de large supporté par 2 ou 5 poutres. La charge pour laquelle la passerelle doit être conçue est de 300 kg/m². La passerelle est supportée par un appui simple à chacune de ses extrémités. Le concepteur se pose la question du choix du matériau. Il a retenu deux solutions : - une solution bois en GL28 (Module élastique de 11 GPa; masse volumique de 450 kg/m3; coefficient de poisson de 0,3; coefficient de dilatation de 1,3 * 10-5 ; limite élastique de 18 MPa ; contrainte normale admissible de 12 MPa) : dans ce cas, l ouvrage comporte 5 poutres. - une solution acier avec une nuance d acier 45 SCD6 (Module élastique de 220 GPa; masse volumique de 7850 kg/m3; coefficient de poisson de 0,28; coefficient de dilatation de 1,3 *10-5 ; contrainte normale admissible de 235 MPa) : dans ce cas l ouvrage comporte 2 poutres. 1) Calculer la charge linéique que doit reprendre une des poutres en N/m : - dans le cas où le concepteur choisit la solution acier : 2 poutres sur une largeur de, chaque poutre supporte une largeur de 2.5m de tablier 300 kg /m2 * 2. = 750 kg/m soit 7500 N/m - dans le cas où le concepteur choisit la solution bois : 5 poutres sur une largeur de, chaque poutre supporte une largeur de 1m de tablier 300 kg /m2 * 1 m = 300 kg/m soit 3000 N/m 2

3 2) Le concepteur, dans le cas des poutres en bois, se penche sur une solution de section carrée. Calculer la largeur de la section nécessaire pour respecter une flèche de L/500 (L correspondant à la portée de l ouvrage) à l aide de RDM 6. On pensera à inclure le poids propre de la poutre dans le chargement considéré. Décrivez votre démarche et donnez le résultat. Flèche max : L/500 = /500 = 30 mm Optimisation à la flèche => c = 572,24 mm 3) Dans le calcul précédent, donnez la valeur de la contrainte maximale atteinte pour la section optimisée. Le concepteur décide finalement de ne pas prendre en compte la flèche limite, mais seulement la contrainte maximale du matériau. Quelle est la nouvelle section optimale pour la solution retenue? Contrainte max = 4 MPa Si on optimise uniquement à la contrainte : c = 370.m 4) Quel est à votre avis la forme de section optimale pour le cas des poutres aciers. Argumentez. IPN Meilleure inertie 5) Pour la solution acier, et la forme de section que vous avez choisie, déterminez la section optimale pour les deux cas suivants (attention, n oubliez pas d adapter les chargements en conséquence de la solution étudiée): a) Limite de flèche de L/500 b) Limite en contrainte admissible seulement a) IPN 550 (avec ou sans poids propre) b) IPN 360 (avec poids propre) IPN 340 (sans poids propre) 6) Le concepteur souhaite proposer une solution alternative avec une pile supplémentaire au milieu de la portée de 15m. Quelle est la nouvelle section optimale pour la solution en bois? (On prendra en compte la limite de flèche de L/500) L = portée, L/500 = 1m => c = mm sans poids propre, avec 3

4 EXERCICE 3 : Ossatures (10 points) Créer un dossier sous la forme Nom_Prénom dans le dossier «Mes documents» de votre PC et y enregistrer tous vos résultats sous la forme Nom_X (X étant précisé pour chacune des questions). L exercice consiste à étudier le fonctionnement d un poste d aiguillage de 15m de long supporté par deux portiques. 1) Dans cet exercice, on étudiera la structure suivante : C D 3 m B E 1. F Pour cette question, vous enregistrerez votre modèle dans le dossier créé précédemment en le nommant Nom_1. Le portique ABCD est en acier S355 et est encastré au sol. La poutre BEF en bois lamellé-collé est articulée en B sur le portique et est maintenue par un tirant DE en acier S355. Les propriétés de l acier S355 sont : Module élastique de MPa Masse volumique de 7850 kg/m 3 Coefficient de poisson de 0,3 Coefficient de dilatation de 1,3*10-5 K -1 Limite élastique : 355 MPa Coefficient de sécurité : 1,5 A 4

5 Les caractéristiques du bois lamellé-collé sont les suivantes : Module élastique de 12 GPa Masse volumique de 450 kg/m 3 Coefficient de poisson de 0,3 Coefficient de dilatation de 1,3*10-5 K -1 Limite élastique : 18 MPa Coefficient de sécurité : 1,5 - Quel est à votre avis le rôle de l élément DE pour la structure? Stabiliser BEF - Le poids propre, les charges d exploitation, et de neige conduisent à une charge linéairement répartie de 10 kn/m sur la poutre CD et de 5 kn/m sur la poutre BE. On applique également une force ponctuelle de 20 kn au point F. - Modélisez la structure et complétez les diagrammes qui suivent pour la déformée, l effort normal, le moment fléchissant et la contrainte normale. On prendra en compte les sections suivantes pour les différents éléments (les sections des éléments AC et BF sont à choisir dans la bibliothèque) : - Elément AC : Section carrée creux de 200 mm de côté et de 8 mm d épaisseur, - Elément CD : Section rectangulaire de hauteur 200 mm et de largeur 150 mm, - Elément BF : Section HEA 200, - Elément DE : Tirant de section cylindrique de 30 mm de diamètre. 10 kn/m C D 3 m B 5 kn/m 20 kn E 1. F A 5

6 Déformée Effort Normal Moment fléchissant Contrainte normale - Que trouvez-vous pour : Le poids de la structure (en kg) : 1582 kg La valeur de la contrainte maximale dans la structure et sa localisation : 883 MPa au point C La valeur de la flèche (en cm) aux points D et F : En D : 160 cm En F : 192 cm Commentez. Que proposez-vous pour réduire ces valeurs de flèches? Valeurs de flèches très élevées! Augmenter les sections, Changer de matériaux, Ajouter une poutre, Etc. => Rigidifier la structure Pour cette question, vous devez donc avoir créé un fichier Nom_1 6

7 2) Quelles sont les poutres en compression? AC (AB et BC) et CD Intéressez-vous aux risques de flambement de la structure précédente en calculant les coefficients de criticité des trois premiers modes (500 éléments). Reportez les valeurs de ces coefficients et commentez. Coefficient critique de flambement : Mode 1 : Mode 2 : Mode 3 : Valeurs négatives! Concernent des poutres en traction! 1 ère valeur positive : mode 6 : (AC) => pas de risque de flambement Pour cette question, vous devez avoir créé un fichier Nom_2 3) Relevez les contraintes maximales (sigma N+Mf) dans chacune des poutres. Indiquez également dans le tableau ci-dessous la contrainte admissible de chacune des poutres et précisez s il est nécessaire ou non de redimensionner les différentes poutres. Poutre Contrainte maximale (MPa) (en valeur absolue) Contrainte admissible (MPa) Faut-il redimensionner? AC 883 MPa 355/1.5 = MPa Oui CD 312 MPa 355/1.5 = MPa Oui BF 80.7 MPa 18/1.5 = 12 MPa Oui DE 59 MPa 355/1.5 = MPa Non Que proposez-vous pour la poutre CD? Section variable Redimensionnez les poutres qui le nécessitent afin que leur contrainte maximale soit inférieure à la contrainte admissible du matériau (dans l intervalle [σ adm -20%, σ adm ]). Poutre Section initiale Contrainte admissible Nouvelle section (Type, dimensions) Contrainte maximale (MPa) (en valeur absolue) AC Carré creux , MPa 200, 8 mm CD Rectangle Rectangle 230* MPa 200*150 Rectangle variable MPa 250*150, 150*150 Etc. BF HEA HEA MPa DE Rond 30 mm 237 Pas de redim demandé Rond 1m 236 MPa Relevez les valeurs de flèches aux points D et F : En D : entre 25 et 30 cm En F : entre 30 et 35 cm Commentez vos résultats : Valeurs de flèche plus acceptables (même si elles restent encore assez élevées) Pour cette question, vous devez avoir créé un fichier Nom_3 7

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