SATELLITES DE TÉLÉCOMMUNICATION

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1 A 7 PHYS. I MP ÉCOLE NAIONALE DES PONS E CHAUSSÉES, ÉCOLES NAIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUIQUE E DE L'ESPACE, DE ECHNIQUES AVANCÉES, DES ÉLÉCOMMUNICAIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAIN-ÉIENNE, DES MINES DE NANCY, DES ÉLÉCOMMUNICAIONS DE BREAGNE, ÉCOLE POLYECHNIQUE (FILIÈRE SI) CONCOURS D'ADMISSION 7 PREMIERE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filièe MP (Duée de l'épeuve : heues) L usage de la calculatice est autoisé Sujet mis à disposition des concous : ENSAE (Statistique), ENSIM, IN, PE-EIVP, Cycle intenational Les candidats sont piés de mentionne de façon appaente su la pemièe page de la copie : PHYSIQUE I MP. L'énoncé de cette épeuve compote 7 pages. Si, au cous de l épeuve, un candidat epèe ce qui lui semble ête une eeu d énoncé, il est invité à le signale su sa copie et à pousuive sa composition en expliquant les aisons des initiatives qu il est amené à pende. out ésultat founi dans l'énoncé peut ête utilisé pou les questions ultéieues, même s'il n'a pas été démonté. Il ne fauda pas hésite à fomule les commentaies (incluant des considéations numéiques) qui vous sembleont petinents, même losque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le baème tienda compte de ces initiatives ainsi que des qualités de édaction de la copie. Notations : vecteu A (gas) ; nome du vecteu V V (italique) ; vecteu unitaie â. Dans toute l épeuve, expime signifie «donne l expession littéale» et calcule signifie «donne la valeu numéique». SAELLIES DE ÉLÉCOMMUNICAION On se popose d'étudie quelques aspects du fonctionnement de satellites de télécommunication en obite autou de la ee. Sauf mention contaie, on considéea que la ee est une sphèe homogène de ayon R et de cente O, immobile dans l espace, sans otation pope. À la fin de cet énoncé (page 7), sont egoupées des valeus de gandeus physiques et un fomulaie utilisables dans cette épeuve. I SAELLIES SUR ORBIE CIRCULAIRE 1 Un satellite de masse M S est en obite ciculaie de cente O, à une altitude h de l ode de quelques centaines de kilomètes (obite basse). Établi la elation ente la péiode Extait gatuit de document, le document oiginal compote 1 pages.

2 Physique I 7 : filièe MP. de évolution et h. Expime de même la elation ente la vitesse v = v et h. Soient E c et E p l énegie cinétique du satellite et son énegie potentielle dans le e du viiel» : E E champ de gavitation de la ee ; établi le «théoèm + =. B N' N O S S' O Fig. 1 : Satellite P, point Q et ligne des hoizons AB. Le plan obital epésenté est dit polaie (la ligne des pôles est N SNS ). L angle est dit ancillaie. Q P A c À chaque position P du satellite coespond un point Q su la ee à la veticale de ce point. L ensemble des points Q définit la tace de la tajectoie. Pou un obsevateu situé en Q, la duée de visibilité τ d un satellite est l intevalle de temps ente son appaition su l hoizon (point A de la Fig. 1) et sa dispaition sous l hoizon (point B). Expime τ en fonction de h, G, M et R. 5 Calcule τ pou h = 8 1 m. 4 Calcule τ. Pou les besoins de la téléphonie mobile, on place su des obites polaies (c est-à-die contenues dans un plan méidien teeste) un ensemble de satellites, identiques, appelé «tain de satellites». Ces satellites sont disposés égulièement su leu obite polaie commune, à l altitude de 8 km. Calcule le nombe minimal de satellites nécessaies pou fome un «tain» afin que tous les points au sol, dans le même plan méidien que l obite, voient au moins un satellite à tout instant. Combien d obites polaies de ce type faut-il pou couvi la suface de la ee, c est à die pou que chaque point de la suface teeste voie au moins un satellite à tout instant? Combien doit-on dispose de satellites en tout? 5 Dans cette question, on pend en compte la otation de la ee. Calcule la péiode et l altitude d un satellite placé su obite géostationnaie. La notion de duée de visibilité gade-t-elle, dans ce cas, un sens? Quels sont les avantages et les inconvénients d'un satellite géostationnaie compaé au tain de la question 4? 6 La ee est entouée d une atmosphèe qui s oppose au mouvement du satellite. La foce de fottement f a céée pa l atmosphèe est popotionnelle au caé de la vitesse v du satellite et elle s expime pa fa = α M S v v, où α a une valeu positive, constante dans cette question. Détemine la dimension de α. Écie le théoème de l énegie cinétique en supposant que le théoème du viiel établi à la question este applicable en pésence de f a. Établi l équation difféentielle véifiée pa h. 7 Un satellite placé su une obite d altitude 8 km subit une diminution d altitude d envion 1 m pa évolution ; sa vitesse est, en nome, tès peu affectée au bout d une évolution. En déduie une estimation au pemie ode de α (ne pas s étonne de la petitesse p Extait gatuit de document, le document oiginal compote 1 pages.

3 Physique I 7 : filièe MP. extême du ésultat!). Calcule, avec la même appoximation, ce qu il advient de l altitude au bout de 1 ans de fonctionnement du satellite. Compae à la solution exacte. Le fait d avoi une augmentation de la vitesse en pésence d une foce opposée au mouvement est-il paadoxal? 8 En éalité, les fottements dépendent de la densité de l atmosphèe et donc de γ l altitude. Dans un cetain domaine d altitudes, α vaie selon la loi α ( h) =, où γ et β β h sont positifs. Le même satellite que celui de la question 7 (pedant 1 mète pa évolution pou h 8 km ) ped, à l altitude de 4 km, mètes pa évolution. Calcule γ et β. II SABILISAION DE L AIUDE D'UN SAELLIE SUR SON ORBIE PAR GRADIEN DE GRAVIÉ La méthode de stabilisation d attitude pa gadient de gavité a été mise en œuve pou les satellites atificiels afin qu ils pésentent ves la ee toujous le même côté. Elle ne equiet aucune essouce d énegie embaquée. Le pincipe de cette méthode a été établi pa Lagange, au XVII ème, afin d explique pouquoi la Lune pésente toujous la même face ves la ee. Modèle : le satellite est constitué de deux points matéiels M 1 et M de masses 1 identiques m= M S eliés pa une tige igide de masse nulle et de longueu l. Le baycente S du satellite décit autou de la ee une obite ciculaie de ayon = R + h (l << ). Le éféentiel géocentique (R) lié au epèe (Oxyz) est supposé galiléen. Le plan obital est Oxy. Le éféentiel (R') défini pa le epèe (Ox y z) lié au satellite toune autou de Fig. : Le satellite, son éféentiel R (Ox y ) et le la ee avec une vitesse angulaie Ω éféentiel R lié à la ee (Oxy). (Fig. ). Les points M 1 et M sont dans le plan obital : OS = uˆ, OM1 = 1 uˆ 1 et OM = uˆ, où û, û 1 et û sont unitaies. On appelle θ l angle de M 1 M avec l axe Ox de (R ). On cheche à détemine les éventuelles positions d équilibe du satellite dans le éféentiel (R ) et leu stabilité. On suppose qu il n y a pas de fottements. Étude dynamique, dans le éféentiel mobile 9 Expime les foces gavitationnelles F 1 et F qui agissent su M 1 et M. 1 Expime dans (R ) les foces d'ine tie d'entaînement qui agissent su M1 et M, en fonction de m, Ω, 1 et. Expime dans (R ) les foces d'inetie de Coiolis qui agissent Extait gatuit de document, le document oiginal compote 1 pages.

4 Physique I 7 : filièe MP. dθ su M 1 et M, en fonction de m, Ω, SM 1, SM et θ =. dt 11 Monte que dans (R ) le mome nt des foces d inetie de Coiolis en S est nul. Établi que dans (R ) le moment ésultant calculé en S des actions extéieues a pou amplitude, l pou l <<, Γ S = 6GmM sin ( θ) cos( θ). Pécise la diection et le sens de ce moment cinétique. 1 Monte que θ = est une position d équilibe stable. Existe-t-il une position 14 À pati de la position θ =, le satellite subit une petite petubation qui l'écate d'un 1 Applique le théoème du moment cinétique dans (R'). Établi l'équation difféen- tielle du mouvement. Détemine les valeus de θ qui coespondent à une position d'équili- be dans (R ). d équilibe instable? Quelle est la fome de l équation difféentielle pou les petits mouve- ments autou de cette position d équilibe instable? angle θ o. Calcule la péiode des oscillations au voisinage de la position d équilibe, pou un satellite d'altitude h = 8 km. Compae cette péiode avec la péiode du satellite autou de la ee. Étude énegétique, dans le éféentiel géocentique galiléen 15 Expime le potentiel de gavitation, en fonction des données du poblème et en pocédant aux appoximations qui s imposent (l << ). 16 Considée l énegie mécanique du satellite et en déduie la péiode des petites oscillations autou de la position d équilibe stable. III EFFE DYNAMO û θ û O û z û x M S M 1 Fig. La ee est entouée d un champ magnétique B. On admet que les lignes de champ à l extéieu de la ee sont équivalentes à celles que poduit un moment magnétique Nod- Sud μ placé au cente O de la ee, le pôle magnétique Nod étant voisin du pôle Nod géogaphique. Dans le système de coodonnées sphéiques dont l axe Oz est colinéaie au moment, μ μ cos 4π ( θ ) B = et B μ μ sin 4π ( θ ) θ =. Extait gatuit de document, le document oiginal compote 1 pages.

5 Physique I 7 : filièe MP. On considèe le satellite bi-point décit dans les paties I et II, en obite ciculaie basse dans le plan équatoial magnétique (Fig. ) et à l altitude h = 8 km. À cette altitude, -6 B = μ = 1. À tout instant, le satellite est stabilisé en position θ =. Les points M 1 et M sont eliés ente eux pa un câble conducteu isolé pa une gaine en téflon. 17 ace l allue des lignes de champ à l extéieu de la ee. Comment est diigé le champ su un cecle de cente O et de ayon R (R > R ) dans le plan équatoial? 18 Monte que, losque le satellite se déplace dans le champ magnétique équatoial de la ee, une f.e.m d induction e M appaaît ente M 1 et M Expime e M en fonction de R, h, B et l, ainsi que de constantes que l on pécisea. Calcule em dans les cas l = 1 m et l = 1 km. 19 Le cicuit est femé pa les ions de l ionosphèe ; un couant d intensité I =,44 A cicule dans le câble. Expime la foce de Laplace execée su le câble, long de 1 m. Quelle est, dans le éféentiel géocentique, la puissance de cette foce? En consevant cette valeu d intensité, quelle est alos la puissance pou l = 1 km? 1 Comment la foce de Laplace affecte-t-elle le mouvement du satellite? On poua compae l intensité de cette foce à celle de la foce de fottement des questions 6 et 7. Gâce à des batteies chagées pa des panneaux solaies, la puissance disponible est de l ode de 5 W. On suppose que l = 1 m. Quelles sont les conséquences de cette ciculation de couant su le mouvement du satellite? Dans quel sens doit-on faie cicule le couant pou pemette au satellite de se place su une obite plus haute? Combien de temps seait alos nécessaie pou une élévation d obite de 5 m? Compae les ésultats obtenus dans la question pécédente avec ceux obtenus dans le cas h = 4 km. 4 Dans le Jounal «Pou la Science» de septembe 4 (n ) était évoqué un satellite composé de deux cabines eliées pa un fil conducteu igide. Commente les phases suivantes publiées dans ce numéo: «En équipant de longs câbles les satellites et les sondes spatiales, les astophysiciens espèent poduie à bon compte de l énegie électique, un moyen de populsion ainsi qu une fome de gavité atificielle. Dans cette technique, un câble conducteu est elié à deux cabines en obite autou de la ee. Le câble de cet engin spatial échange de la quantité de mouvement avec la planète pa l intemédiaie de son champ magnétique.» On poua effectue une appoche compaative quantitative en sachant que le contôle d attitude d un satellite s effectue souvent avec des fusées «venie» dont la poussée est de l ode de,1 N, et que les modifications d obite sont effectuées pa d autes fusées «venie» dont la poussée est de l ode de 5 N. IV COMMUNICAIONS SPAIALES Le satellite communique avec la ee en émettant ou ecevant des ondes électomagnéti- au vide, à l'exception d'une couche ques. Ces ondes tavesent l'atmosphèe, assimilée ici appelée ionosphèe située envion à pati de l altitude z i = 1 km de la ee. L'ionosphèe est constituée d'un gaz sous tès faible pession et patiellement ionisé pa le ayonnement Extait gatuit de document, le document oiginal compote 1 pages.

6 Physique I 7 : filièe MP. solaie, encoe appelé plasma ionosphéique. Ce plasma contient donc des ions positifs de chage + e et de masse M i et des électons de chage e et de masse m e. L ionosphèe étant électiquement neute, ions positifs et électons ont même densité paticulaie n. On étudie la possibilité de popagation selon une veticale locale (Fig. 4) d'une onde électomagnétique monochomatique plane pogessive décite pa les champs E et B : i( ωt kz) E = E e ûx i( ωt kz) B B e û = avec ω éel et constant. On admetta qu étant donné les conditions expéimentales, ω k c. y Figue 4 : schéma de l'ionosphèe. 5 Expime la foce de Loentz execée su les chages. Dans quelle condition peut-on néglige la contibution du champ magnétique devant celle du champ électique? Dans cette hypothèse, expime en notation complexe la vitesse v e pise pa un électon ; expime de même la vitesse v i pise pa un ion. On admet que l amplitude des mouvements de l électon est tès petite devant la longueu d onde du ayonnement. En déduie la densité de couant j qui appaaît dans le plasma. Simplifie cette expession en tenant compte de la elation M i >> m e. 6 Écie les équations de Maxwell dans le plasma. En déduie l'équation aux déivées patielles véifiée pa le champ E, 1 puis l'expession de k en fonction de ω et des données. On intoduia c =. On ε μ ne posea ω p =. mε 7 Discute suivant la valeu de ω la possibilité de popagation de l'onde à taves le plasma. On montea que l'ionosphèe se compote comme un filte passe-haut dont on donnea la féquence de coupue f c. 8 Dans le cas où la popagation est possible, donne la elation de dispesion, la vitesse de phase v ϕ, la vitesse de goupe v g. Le milieu est-il dispesif? ace les gaphes de v ϕ et v g en fonction de ω et donne une elation simple ente v ϕ et v g. Extait gatuit de document, le document oiginal compote 1 pages.

7 Physique I 7 : filièe MP. 9 La densité paticulaie est n =.1 1 m -. Compae cette densité avec celle du cuive, que l on évaluea en admettant pa exemple que chaque atome du cistal de cuive métal founit un électon libe. Donne le domaine de féquences qui pemet de communique avec le satellite. On considèe un canal de communication ente un satellite placé à une altitude de 8 km et un obsevateu teeste tel que le satellite soit exactement à sa veticale. La féquence de ce canal est 1 GHz. Quel sea le etad induit pa l ionosphèe en supposant que celle-ci est homogène ente 1 km et km d altitude (on considéea dans ce poblème que l atmosphèe compise ente km et 1 km d altitude a un indice égal à 1, et qu au dessus de km, la popagation s effectue dans le vide)? Comment se modifie ce etad losque la densité paticulaie passe de la valeu de n =.1 1 m - (valeu typique de nuit) à n 1 = m - (valeu typique de jou), et en supposant que l extension de l ionosphèe ne vaie pas ente le jou et la nuit? FIN DU PROBLÈME DONNÉES PHYSIQUES constante de gavitation G = 6, m.kg -1.s - ayon de la ee R = 64 km masse de la ee M = 6, 1 4 kg masse du satellite M S =, 1 kg peméabilité du vide μ o = 4π.1-7 H.m -1 vitesse de la lumièe c =.1 8 m.s -1 masse de l'électon m e =, kg chage élémentaie e = 1, C ot FORMULAIRE ( ot) = gad( div) Δ FIN DE L ÉPREUVE Extait gatuit de document, le document oiginal compote 1 pages.

8 Physique I Mines MP I 7 Satellites de télécommunication I Satellites su obite ciculaie 1) On se place dans le éféentiel géocentique (R ) supposé galiléen (système ee + Satellite isolé) et on applique la RFD au satellite : Avec g (S) = GM M S a (S/R ) = F = M S g (S) sphéique et homogène (on obtient de Gauss). e, la ee étant supposée g gâce au théoème e θ F S e Ainsi : a (S/R ) = GM e, soit pa pojection su e et e θ : oo o θ = θ = cste (mouvement unifome) o o GM GM θ = θ = o D où : v = θ = GM Puis : = Π = Π o θ GM avec = R + h ) * E C = 1 MS v = GM S M * E P () = d = GMSM F() d = GM S M On a donc bien : E P + E C = Page 1 Fançois MORAND EduKlub S.A. ous doits de l auteu des œuves ésevés. Sauf autoisation, la epoduction ainsi que toute utilisation des œuves aute que la consultation individuelle et pivée sont intedites. Extait gatuit de document, le document oiginal compote 1 pages. 1