Contrôleurs : domaine fréquentiel

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1 Chapitre 9 Contrôleurs : domaine fréquentiel Dans ce chapitre, on se sert des diagrammes de Bode pour designer des compensateurs pour améliorer la stabilité, la réponse transitoire, et l erreur statique.. Le critère de Nyquist (et la marge de phase) permet de déterminer la stabilité d un système. 2. Le dépassement maximal (M p ) est réduit en augmentant la marge de phase, et la vitesse de réponse est améliorée en augmentant la largeur de bande. 3. L erreur statique est réduite en augmentant l amplitude de la réponse à basses fréquences. Les techniques utilisées pour améliorer les caractéristiques des systèmes à l aide des diagrammes de Bode sont des méthodes empiriques. Il n y a pas de méthode exacte au design de compensateurs à avance de phase, à retard de phase ou à avance-retard de phase. On présente ici une méthode, celle du livre de Nise, mais il en existe d autre. Lors du design des compensateurs, il faut faire des approximations ; on suppose que le système sous étude se comporte de façon assez près d un système de deuxième ordre. Plus cette supposition est vraie, plus les calculs obtenus seront corrects à la première itération. En effet, dans les méthodes présentées ici, il n existe pas de solution exacte ; il faudra souvent recommencer ou modifier le design parce qu une contrainte n est pas atteinte. 9. Réponse transitoire : ajustement par gain On veut illustrer ici le lien entre la marge de phase, la réponse transitoire, et le gain.

2 Pour une une fonction de transfert CHAPITRE 9. CONTRÔLEURS : DOMAINE FRÉQUENTIEL G o (s) = ω 2 n s(s + 2ζω n ) (9.) On peut démontrer que la marge de phase est Φ M = tan 2ζ 2ζ ζ 4 (9.2) Puisqu il existe une relation directe entre l amortissement et le dépassement maximal, on peut ajuster le dépassement en changeant la marge de phase. Selon la figure 9., si on ajuste Φ M, ceci équivaut à augmenter le gain. Amplitude A 0 ω Augmentation de gain B Phase 0 ω C 80 Φ M D Figure 9. Modification de la marge de gain Pour avoir une marge de phase de CD, il faut augmenter le gain d un facteur AB. La procédure pour améliorer la réponse transitoire en ajustant la marge de phase est :. Tracer le diagramme de Bode. 2. Déterminer la marge de phase nécessaire pour obtenir le dépassement maximal M p voulu (Équations 3.29 et 9.2). 3. Trouver la fréquence ω pc qui donne la marge de phase calculée en Trouver le gain à la fréquence ω pc. Ajouter ce gain au gain du système. Gabriel Cormier 2 GELE533

3 Exemple Soit le système suivant : R(s) + 00 C(s) K s + 00 s + 36 s Calculer la valeur de K nécessaire pour obtenir un dépassement maximal de 9.48% pour une entrée échelon unitaire. La fonction de transfert en boucle ouverte est : G o (s) = = 00K s(s + 00)(s + 36) = K/36 s( + s 00 )( + s 36 ) 00K s( + s 00 )( + s 36 ) Il faut choisir une valeur de K appropriée pour tracer le diagramme de Bode. G o (jω) = K 36 ω On choisit K pour avoir un gain de à ω = 0.. = K 36 On trace alors le diagramme de Bode : + ( ) ω K = ( ) ω 2 36 Pour un dépassement maximal de 9.48%, on trouve ζ = 0.6. Ceci veut dire que Φ M = Selon le diagramme de Bode, la phase est (soit -80+Φ M ) à la fréquence ω pc = 4.8 rad/s. À cette fréquence, le gain est -44.5dB. Il faut donc ajouter 44.5dB au gain calculé précédemment. Le nouveau gain est K = (3.6)( ) = Donc, G o (s) = s(s + 00)(s + 36) Gabriel Cormier 3 GELE533

4 Amplitude (db) G M 00 Phase ( ) Φ M Fréquence (rad/s) On simule alors le nouveau système pour vérifier les paramètres. On obtient : Proposé Actuel K v 6.8 Φ M ω p 4.8 rad/s M p 9.48% 9% T p 0.8s 9.2 Compensateur à retard de phase Le but de ce compensateur est d améliorer l erreur statique en augmentant le gain à basses fréquences, sans provoquer l instabilité. La fonction de transfert de ce compensateur est G c (s) = K c(s + z) (9.3) (s + p) où p < z. On écrit souvent la fonction de transfert de la forme : G c (s) = K c s + T s + αt (9.4) Gabriel Cormier 4 GELE533

5 où α >. Le diagramme de Bode pour le compensateur à retard de phase pour trois valeurs de z/p est donné à la figure 9.2. Amplitude (db) 0 z/p = 2 z/p = 5 0 z/p = Phase ( ) Fréquence (rad/s) Figure 9.2 Diagramme de Bode pour le compensateur à retard de phase Processus de design. Ajuster le gain K à une valeur qui satisfait la contrainte de l erreur statique. 2. Tracer le diagramme de Bode. 3. Selon la réponse transitoire voulue, calculer la marge de phase Φ M. On ajoute 5 à 2 pour compenser l erreur de phase introduite par le compensateur lui-même. Φ M = Φ M + δφ (9.5) où δφ = 5 à 2. On trouve ensuite la fréquence ω gc qui donne Φ M. 4. On design le compensateur pour obtenir un gain de 0dB à ω gc. (a) À ω gc, trouver le gain G gc. (b) Choisir la fréquence haute du compensateur pour être ω h = 0.ω gc = T = z. (c) La fréquence basse sera calculée en traçant une droite de -20dB par décade de ω h à la ligne de 0dB. On trouve donc la fréquence basse ω b selon : ω b = 0 G gc 20 ωh (9.6) Gabriel Cormier 5 GELE533

6 Ceci permet de trouver : α = 0 G gc 20 (9.7) (d) Le gain du compensateur est K c = α (9.8) 5. Ajuster le gain K pour obtenir l erreur statique voulue. Le compensateur va atténuer la réponse du système et il faut compenser. Exemple 2 On utilise le même système qu à l exemple. On veut concevoir un compensateur à retard de phase pour améliorer d un facteur de 0 l erreur statique tout en gardant le même dépassement de 9.48%. De l exemple, il faut un gain K de pour obtenir M p = 9.48%. L erreur statique est : = K e v = lim sg o (s) = lim ss s 0 s 0 (s + 36)(s + 00) = 6.3 Pour une amélioration d un facteur 0, K v = 6.3. Le gain K devient 5805, et la fonction de transfert en boucle ouverte est : G o (s) = On trace maintenant le diagramme de Bode s(s + 36)(s + 00) Pour M p = 9.48%, on trouve ζ = 0.6 et Φ M = On choisit un δφ de 0. Donc Φ M = Selon le diagramme de Bode, Φ M = 69.9 lorsque ω gc = 9.8rad/s. À cette fréquence, G gc = 24dB. Alors : α = = 5.82 ω h = T = 0.ω gc = 0.98 rad/s ω b = ω h α = rad/s Le gain K c est /α = La fonction de transfert est : G c (s)g o (s) = 36700(s ) s(s + 36)(s + 00)(s ) Gabriel Cormier 6 GELE533

7 Amplitude (db) Phase ( ) Fréquence (rad/s) Si on simule, on peut comparer avec les contraintes imposées : Proposé Actuel K v Φ M ω p 9.82 rad/s M p 9.48% 9.% T p 0.3s 9.3 Compensateur à avance de phase Le compensateur à avance de phase permet d améliorer la réponse transitoire. On augmente la marge de phase et la fréquence de la marge de phase : dans le domaine du temps, ceci réduit le dépassement maximal et le temps de montée. La fonction de transfert du compensateur à avance de phase est la même que l équation 9.3, sauf que p > z. On peut aussi écrire la fonction de transfert de la forme suivante : G c (s) = K c s + T s + βt (9.9) Gabriel Cormier 7 GELE533

8 où β <. Le diagramme de Bode (normalisé pour avoir un gain de à hautes fréquences) pour le compensateur à avance de phase est donné à la figure 9.3 pour différentes valeurs de z/p. Amplitude (db) 0 z/p = 0.5 z/p = z/p = Phase ( ) Fréquence (rad/s) Figure 9.3 Diagramme de Bode pour le compensateur à avance de phase On peut démontrer que la marge de phase maximale du compensateur est : ( ) β φ max = sin + β qui se produit à une fréquence ω max = T β (9.0) (9.) Processus de design. Calculer la largeur de bande nécessaire pour satisfaire aux exigences de T s, T p ou T r. On peut démontrer que : ω BW = ω n ( + 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4ζ (9.2) ou ω BW = 4 ( + 2ζ T s ζ 2 ) + 4ζ 4 4ζ (9.3) Gabriel Cormier 8 GELE533

9 ou π ω BW = ( + 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4ζ (9.4) T p ζ 2 2. Calculer le gain K nécessaire pour obtenir l erreur statique voulue. 3. Tracer le diagramme de Bode. 4. Calculer la marge de phase requise Φ Mr, selon le critère de ζ ou M p. Évaluer la phase additionnelle requise par le compensateur, φ max = Φ Mr Φ Ma + δφ (9.5) où Φ Ma est la marge de phase actuelle du système, et δφ est un facteur de sécurité, de 5 à Calculer la valeur de β (selon l équation 9.0). 6. Calculer l amplitude à la fréquence ω max. G(jω max = β (9.6) 7. Déterminer la fréquence où le gain du système est G(jω max ). 8. Calculer /T et /(βt ). 9. Ajuster le gain du système, K c = β (9.7) 0. Simulation et redesign si nécessaire. Exemple 3 On utilise le même système qu à l exemple. On veut concevoir un compensateur à avance de phase pour obtenir M p = 20% et K v = 40, avec T p = 0.s. Rappel : G o (s) = 00K s(s + 36)(s + 00) Pour T p = 0.s, et M p = 20% (ζ = 0.456), on obtient ω BW = rad/s Pour K v = 40, 00K K v = lim sg o (s) = lim s 0 s 0 (s + 36)(s + 00) K = 440 Gabriel Cormier 9 GELE533

10 On trace le diagramme de Bode pour K = 440, Amplitude (db) 0 50 Phase ( ) Φ Ma Fréquence (rad/s) Pour M p = 20%, on trouve Φ Mr = Selon le diagramme de Bode, la marge de phase actuelle Φ Ma est 34. à une fréquence de 29.6 rad/s. Donc, φ max = Φ Mr Φ Ma + 0 = 24. On cherche β, sinφ max = β + β β = 0.42 On trouve ensuite G(jω max ), G(jω max ) = β = 3.77 db En regardant le diagramme de Bode, on trouve l amplitude 3.77dB à une fréquence ω max = 39.0rad/s. On peut maintenant trouver T, Et donc les deux fréquences sont, T = ω max β = T = et βt = 60.8 Gabriel Cormier 0 GELE533

11 Et le gain du compensateur, K c = β = 2.38 La fonction de transfert du compensateur est : G c (s) = 2.38(s ) (s ) On simule le système, et on compare avec les valeurs voulues, et les valeurs obtenues avec seulement un gain pour compenser. Proposé Système avec gain K Avance de phase K v Φ M ω p 29.7 rad/s 39.0 rad/s ω BW rad/s 47 rad/s 68 rad/s M p 20% 37% 2% T p 0.s 0.s 0.075s 9.4 Compensateur à avance-retard de phase Pour le design d un compensateur à avance-retard de phase, on pourrait bien sûr faire le design de deux compensateurs séparément, un à avance de phase et l autre à retard de phase. Le compensateur total serait alors la mise en série des deux compensateurs. Si on réalise un compensateur à avance-retard de phase en utilisant un seul circuit, on obtient : s + T G c (s) = G lead (s)g lag (s) = s + T 2 s + γ T s + γt (9.8) 2 où γ >. On design deux compensateurs, avec la restriction que α = /β. Processus de design. Trouver ω BW nécessaire (selon T r, T p ou T s ). 2. Calculer le gain K pour obtenir l erreur statique voulue. 3. Tracer le diagramme de Bode. Gabriel Cormier GELE533

12 4. Calculer Φ M nécessaire (selon M p ou ζ). 5. Choisir une nouvelle fréquence ω max près de ω BW. 6. À ω max, calculer le montant de phase requise. où δφ est 5 à Design du compensateur à retard de phase : (a) Calculer ω h2 = /T 2 = 0.ω max. (b) On trouve β selon l équation 9.0. (c) Calculer γ = /β, et donc /(γt ). 8. Design du compensateur à avance de phase : (a) On calcule T selon /T = ω max β. (b) Calculer γ/t. 9. Vérifier la largeur de bande. 0. Simulation et vérification. φ max = Φ Mr Φ Ma + δφ (9.9) Exemple 4 Soit une système à boucle de retour unitaire où G o (s) = K s(s + )(s + 4) Faire la conception d un compensateur à avance-retard de phase pour avoir M p = 3.25%, T p = 2s et K v = 2. On calcule la largeur de bande requise. Pour M p = 3.25%, ζ = La largeur de bande est : ω BW = 2.29 rad/s On trouve K selon la contrainte de l erreur statique : K K v = lim sg o (s) = lim s 0 s 0 (s + )(s + 4) K = 48 On trace le diagramme de Bode, avec K = 48. Le système est instable. La marge de phase requise pour satisfaire au critère du dépassement maximal est : Φ M = tan 2ζ 2ζ 2 + = ζ 4 Gabriel Cormier 2 GELE533

13 50 Amplitude (db) Phase ( ) Fréquence (rad/s) On choisit une fréquence ω max =.8 rad/s. À ω max, Φ Ma = 5. Donc, φ max = Φ Mr Φ Ma + δφ = (on choisit δφ = 5 ) = 55 On calcule les paramètres du compensateur à retard de phase : T 2 = 0.ω max = 0.8 rad/s β = sinφ max + sinφ max = 0. γ = β = 0 γt 2 = 0.08 rad/s K lag = γ = 0. et donc, G lag (s) = 0.(s + 0.8) (s ) Gabriel Cormier 3 GELE533

14 On calcule les paramètres du compensateur à avance de phase : et donc, La fonction de transfert est donc, G c (s)g o (s) = T = ω max β = 0.57 rad/s γ T 2 = 5.7 rad/s K lead = γ = 0 G lead (s) = 0(s ) (s + 5.7) 48(s + 0.8)(s ) s(s + )(s + 4)(s )(s + 5.7) La largeur de bande en boucle fermée est égale à la fréquence où l amplitude en boucle ouverte est -7dB. On trouve que ω BW = 4.5rad/s, ce qui est meilleur que la valeur voulue. On simule le système, et on compare avec les valeurs voulues. Proposé Actuel K v 2 2 Φ M ω max -.7 rad/s ω BW 2.29 rad/s 3.2 rad/s M p 3.25% 2% T p 2.0s.59s 9.5 Réalisation pratique des compensateurs On peut construire les compensateurs de deux façons : circuits actifs avec amplis-ops, et circuits passifs. Pour les circuits actifs, la forme de base est la même ; seule la valeur des composantes est différentes. Pour les compensateurs à avance de phase et retard de phase, les impédances de la figure 9.4 sont : Z = R //C (9.20) Z 2 = R 2 //C 2 (9.2) Gabriel Cormier 4 GELE533

15 Z 2 V i Z + V o Figure 9.4 Ampli-op comme amplificateur avec feedback négatif La fonction de transfert est : ( ) V o (s) V i (s) = C s + R C ( ) (9.22) C 2 s + R 2 C 2 Comme mentionné ci-haut, seule la valeur des composantes diffère : Retard de phase : R 2 C 2 > R C Avance de phase : R C > R 2 C 2 Et pour concevoir un compensateur à avance-retard de phase, on met les deux compensateurs en série. Pour implanter les compensateurs avec des circuits passifs, on utilise les configurations suivantes : + R + R 2 V i C V o Figure 9.5 Compensateur à retard de phase La fonction de transfert du compensateur à retard de phase de la figure 9.5 est : V o (s) V i (s) = R s + R 2 C R + R 2 s + (R +R 2 )C (9.23) La fonction de transfert du compensateur à avance de phase de la figure 9.6 est : V o (s) V i (s) = s + s + R C R C + R 2 C (9.24) Gabriel Cormier 5 GELE533

16 R + C + V i R 2 V o Figure 9.6 Compensateur à avance de phase R + C R 2 + V i V o C 2 Figure 9.7 Compensateur à avance-retard de phase La fonction de transfert du compensateur à retard de phase de la figure 9.7 est : V o (s) V i (s) = ( s + R C )( s + R 2 C 2 ) s 2 + ( R C + R 2 C 2 + R 2 C ) s + R R 2 C C 2 (9.25) Gabriel Cormier 6 GELE533

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