Université Paul Sabatier Année 2007/2008

Transcription

1 Bibliographie : P. Malliavi : Itégratio et probabilité. W.Rudi : Aalyse réelle et complexe. J. Faraut : Calcul itégral (espace 34) Barbe-Ledoux : Probabilités (Espace 34) 1 Itroductio Pourquoi ue ouvelle itégrale? E L1 et L2, ous avos vu la théorie de l itégrale de Riema, qui permet de défiir l itégrale d ue foctio cotiue ou mootoe par morceaux défiie sur u itervalle. Cette itégrale s éted sas problème aux foctios défiies sur R p. Mais elle e permet pas de répodre à u certai ombres de questios. C est le but de l itégrale de Lebesgue (développée e autre par Johaes Stieltjes, Heri Lebesgue, Emile Borel et Adrei Kolmogorov das le cadre de la théorie des probabilités). Certaies foctios comme 1 Q [0,1] sot o itégrables pour la théorie de Riema, mais vot l être das la théorie de Lebesgue (avec ue itégrale ulle). La théorie de Lebesgue permet de mesurer des esembles très irréguliers, comme le tryadique de Cator, ou le tapis de Sierpiski. Elle permet d itégrer des foctios défiies sur des esembles autres que R ou R, comme les sphères. Elle permet d iclure le calcul des probabilités et l axiomatique de Kolmogorov das le cadre de la théorie géérale de l itégratio. Elle permet de mettre das ue même théorie la sommatio des séries et le calcul itégral, et doc e particulier das le cadre de la théorie des probabilités, de avoir qu u seul formalisme pour les variables aléatoires discrètes et les variables aléatoires cotiues. Elle permet d obteir des théorèmes de covergece beaucoup plus puissats et robustes que das la théorie de Riema. Pla du cours 1. Espaces mesurables, foctios mesurables, mesures. 2. Itégrale des foctios mesurables. Théorèmes fodametaux 3. Produit d espaces mesurables, théorèmes de Fubii et applicatios. 4. Espaces L p, dualité, elémets d aalyse. 5. Trasformatio de Fourier. Rappel de théorie des esembles. Les opératios fodametales de la théorie des esembles sot : uio, itersectio, complémetaire, différece symétrique, produit d esembles. December 3, Licece - Itégratio

2 Idicatrice d u esemble : 1 A (x) est la foctio qui vaut 1 sur A et 0 sur A c. Cette otatio permet de faire des calculs rapides sur les esembles. Par exemple, 1 A B = 1 A 1 B, 1 A c = 1 1 A, 1 A B = 1 A 1 B. Uio d ue famille quelcoque d esembles A i = {x i I, x A i }. i I O défiit de même l itersectio. Esembles déombrables. U esemble déombrable est u esemble e bijectio avec N. U esemble est dit au plus déombrable s il est fii ou déombrable. Exemples : R est pas déombrable, o plus qu aucu itervalle o vide de R. Par cotre, Q, les ombres dyadiques, les décimaux, etc., sot déombrables. Ue uio fiie ou déombrable d esembles déombrables est déombrable. U produit fii d esembles déombrables est déombrable. C est faux pour u produit déombrable, même d esembles fiis. S il existe ue ijectio de E das N, alors E est au plus déombrable. S il existe ue surjectio de N sur E, alors E est au plus déombrable. 2 Espaces et foctios mesurables, mesures. 2.1 Esembles mesurables, tribus Das tout ce qui suit, o cosidère u esemble Ω. O va chercher à mesurer des sous-esembles de Ω. La structure de la famille d esembles qu o va mesurer est doée par la otio de σ-algèbre, ou tribu. Défiitio. 1. Algèbres de Boole. C est u sous esemble de P(Ω) qui est stable par complémetaire, itersectio, et qui cotiet l esemble vide. Il est alors stable par toutes les opératios fiies de la théorie des esembles. Exemples d algèbre de Boole : 1. P(Ω). 2. Les réuios fiies d itervalles (sur R). 3. La plus petite algèbre de Boole qui cotiet l esemble A (Ω, A, A c, ). 4. De faço géérale, la plus petite algèbre de Boole qui cotiet ue famille doée E d esembles. O la ote A(E). Remarquer que si E est fiie, alors A(E) est aussi fiie. Le démotrer à titre d exercice. December 3, Licece - Itégratio

3 Défiitio. 2. Ue σ-algèbre A (ou tribu) est ue algèbre stable par uio déombrable : si (A ) N A, alors A A. Remarque 1. Si A est ue algèbre de Boole, pour qu elle soit ue tribu, il est équivalet de demader (au choix) que 1. A soit stable par uio croissate déombrable. 2. A soit stable par itersectio déombrable décroissate. Coséquece : ue algèbre de Boole fiie est ue σ-algèbre. Défiitio. 3. U espace mesurable (Ω, A) est u esemble Ω mui d ue tribu A de parties de Ω. Ue itersectio quelcoque d algèbres est ue algèbre. Ce est pas le cas d ue réuio. Il e va de même d ue itersectio quelcoque de σ-algèbres. O peut aisi défiir la plus petite algèbre de Boole qui cotiet E : A(E) : c est l itersectio de toutes les algèbres de Boole qui cotieet E, et la plus petite σ-algèbre (tribu) qui cotiee E. O la ote σ(e) Remarque 2. Ue partitio de Ω est ue famille de parties S i telle que S i S j = si i j et telle que is i = Ω. Pour ue partitio fiie de Ω, soit E = (S 1,..., S ), o peut etièremet décrire A(E). Elle cotiet 2 élémets. C est la famille de toutes les réuios fiies d élémets de E. Cette tribu est alors fiie. Pour ue partitio déombrable E de Ω, σ(e) est formée de toutes les réuios de sous-familles de E. Elle est alors pas déombrable, car l esemble des sous-esemble d u esemble déombrable est pas déombrable. Tribu iduite Si o a ue tribu A et que C A, l esemble des B A tels que B C est ue tribu sur C. O la ote A C Défiitio. 4. La tribu des Borélies de R est la plus petite tribu qui cotiee les itervalles. Propositio 1. La tribu des borélies est 1. σ([a, b], a < b). 2. σ(]a, b[, a < b). 3. σ(], a[, a R). 4. σ([a, b], a < b, a, b Q). 5. σ(]a, b[, a < b, a, b Q). 6. σ(], a[, a Q). 7. etc. Remarque 3. Les réuios fiies d itervalles (de toutes les formes, borés ou o) et ue algèbre de Boole. Ce est pas ue σ-algèbre. La famille des réuios déombrables d itervalles est pas ue σ-algèbre. D autres défiitios de la tribu boréliee de R. December 3, Licece - Itégratio

4 Propositio 2. La tribu boréliee est la plus petite tribu qui cotiee les ouverts de R. C est aussi la plus petite tribu qui cotiee les fermés. Démostratio. Ceci repose sur le fait élémetaire suivat : tout ouvert est ue réuio déombrable d itervalles ouverts O écrit, pour u ouvert O, O = I J I, où J est l esemble des itervalles ]a, b[, a < b, a, b Q, ]a, b[ O. O peut aussi démotrer qu u ouvert est ue réuio déombrable d itervalles ouverts disjoits, mais c est plus difficile. Les borélies (de même que toutes les familles d esembles mesurables e gééral) sot impossible à décrire par leurs propriétés (comme les ouverts ou les fermés). Il est d ailleurs assez difficile d exhiber u esemble o borélie. Remarque 4. Pourquoi se limite-t-o à des uios déombrables? Si l o veut que les poits soiet das ue tribu, et si o acceptait les uios o déombrables, alors toutes les parties de R seraiet mesurables : ceci aboutirait à ue cotradictio, car o verra plus loi qu il est illusoire de vouloir mesurer toutes les parties de R : certaies d etre elles sot si mostrueuses qu aucue défiitio raisoable de leur logueur e peut avoir de ses. Quad o dispose d ue tribu sur u esemble Ω, o e dispose aussi d ue sur toutes les parties de Ω. E pratique, o se limitera aux sous-esembles mesurables (c est à dire apparteat à la tribu) de Ω. Défiitio. 5 (Tribu iduite). Soit (Ω, A) u esemble mesurable, et Ω 0 Ω u élémet de A. Alors, A Ω0 = {A A, B Ω 0 } est ue tribu sur Ω 0, qu o appelle la tribu iduite de Ω sur Ω 0. Pour démotrer qu ue propriété est vraie pour tous les borélies, o démotrera e gééral qu elle est vraie pour des borélies simples (comme les ouverts), et o l étedra à tous les borélies à l aide de la propositio suivate, qui est fodametale. Théorème 1 (Théorème des classes mootoes, versio esembliste). Ue classe M de parties est ue classe mootoe si 1. Ω M. 2. Si A, B M, A B alors B \ A M. 3. Si A est ue suite croissate d élemets de M, alors A M. Si E et ue famille de parties, o ote M(E) la plus petite classe mootoe qui la cotiee. Alors, si E est stable par itersectio fiie, alors M(E) = σ(e). Nous verros plus bas e quoi ce théorème est u outil très puissat. La coditio fodametale est bie sûr la stabilité de E par itersectio (par exemple la classe des itervalles, ou des itervalles fermés borés, etc..). Démostratio. Pour démotrer, o commece par remarquer qu ue tribu est ue classe mootoe, et doc que M(E) σ(e). December 3, Licece - Itégratio

5 O remarque aussi qu ue classe mootoe stable par itersectio est ue tribu (car elle est déjà stable par complémetaire). O va doc motrer que M(E) est stable par itersectio. O défiit et M 1 = {B M(E), B E M(E), E E} M 2 = {B M(E), B E M(E), E M(E)}. Alors, M 1 est ue classe mootoe, et M 2 aussi. Puisque M 1 est ue classe mootoe est que E est stable par itersectio, M 1 cotiet E, doc M(E). Puisque M 1 cotiet M(E), alors M 2 cotiet E et doc M(E). C est exactemet ce qu o voulait démotrer. 2.2 Mesures, foctios additives d esembles. Avat de parler de mesures, ous commeços par u lemme fodametal et facile, sur lequel repose toute la théorie de la mesure. Lemme 1 (Lemme fodametal). Soit a,p ue double suite de réels positifs, qui est croissate e et e p. Alors, lim lim p a,p = lim p lim a,p. De plus, si k et p k sot des sous-suites qui coverget vers l ifii, alors o a ecore lim a k,p k = lim lim a,p. k p Sa démostratio est élémetaire et laissée à titre d exercice. Attiros l attetio sur le fait qu ici les limites sot à cosidérer au ses de [0, ]. Remarquos tout de même qu o peut toujours se rameer au cas des suites borées, quitte à choisir ue foctio strictemet f croissate de R + à valeurs das u itervalle boré (par exemple arctag, et à chager a,p e b,p = f(a,p ). Défiitio. 6. Sur ue algèbre de Boole A, ue foctio additive d esembles est ue applicatio A [0, ] telle que 1. µ( ) = 0 2. µ(a B) = µ(a) + µ(b) si A B =. Exemples : 1. Sur les parties de R ou de N, le cardial de A. 2. µ(a) = 0 si A est fii, et µ(a) = si A est de cardial ifii. Remarque 5. Pour ue foctio additive d esembles, si A B, alors µ(a) µ(b). De même, pour tout couple (A, B) d éléméts de A, o écésairemet disjoits, o a µ(a B) µ(a) + µ(b). December 3, Licece - Itégratio

6 Cette défiitio est isuffisate. O veut u peu plus : ue propriété de cotiuité. O appelera cela ue mesure. Défiitio. 7 (Mesures). Soit (Ω, A) u espace mesurable ( c est à dire u esemble mui d ue σ-algèbre). Ue applicatio µ : A [0, ] est ue mesure si 1. C est ue foctio additive d esembles. 2. Si A A, et A est ue suite croissate d esembles, avec A = A, alors µ(a) = lim µ(a ). U espace mesuré est la doée d u triplet (Ω, A, µ), où Ω est u esemble, A est ue tribu de parties de Ω, et µ ue mesure sur A. Isistos sur le fait que la limite das la défiitio précédete peut être fiie ou ifiie. Mais si Ω est de mesure fiie (µ(ω) < ), alors pour tout A A, µ(a) < et la limite est toujours fiie. Remarque 6. Il est équivalet de demader, e plus d être ue foctio additive d esembles, de vérifier Si A est ue suite disjoite d élemets de A, et A = A, alors µ(a) = X µ(a ). Ou bie ecore µ est ue applicatio de A das [0, ] telle que µ( ) = 0 et, pour toute partitio (A ) de A (composée évetuellemet d élémets vides), µ(a) = X µ(a ). De même, lorsque µ(ω) est fii, il est équivalet de demader que, si A est ue suite décroissate et A = A, alors µ(a) = lim µ(a ). Il suffit pour cela de chager A e A c. Ue fois de plus, isistos sur le fait que la somme peut être fiie ou ifiie. Remarquos aussi que cette série état à termes positifs, la somme e déped pas de l ordre de sommatio. Cela est cohéret avec le fait que A = A est idépedat de l ordre das lequel ous avos éuméré les esembles A. Si µ est ue mesure, alors pour toute suite décroissate A telle que µ(a 0 ) <, µ(a ) coverge vers µ( A ). Pour le voir, o applique ce qui précède à A 0 \ A. Mais ceci peut être faux si µ(ω) = (voir l exemple plus bas de la mesure de décompte sur N). Défiitio. 8 (Masse). µ(ω) s appelle la masse de la mesure. Ue mesure de masse 1 est ue probabilité. L exemple le plus simple de mesure est la masse de Dirac. Soit x Ω. O défiit δ x (A) = 1 A (x). C est ue mesure, comme o le vérifie immédiatemet. December 3, Licece - Itégratio

7 Doos u autre exemple élémetaire. Sur (N, P(N)), pose µ(a) = A (c est ue otatio pour désiger le cardial (ou ecore le ombre de poits) de A). Alors µ est ue mesure. O le vérifie aussi immédiatemet. Cette mesure s appelle la mesure de décompte sur N. Sur cet exemple, si ous preos A = [, ), alors ous obteos ue suite décroissate d esembles dot l itersectio est vide, mais µ(a ) = e coverge pas vers µ( A ) = µ( ) = 0. Il est souvet plus facile de travailler avec des mesures fiies. O s y ramèe souvet à coditio que la mesure ait ue propriété élémetaire d éétre σ-fiie. Défiitio. 9 (Mesures σ-fiies). O dit que la mesure µ est σ-fiie s il existe ue suite croissate B d élémets de A telle que B = Ω et µ(b ) <. La plupart des mesures itéressates (et toutes celles recotrées das ce cours) serot σ-fiies. Mais par exemple, la mesure, défiie sur toutes les parties de R par µ(a) = 0 si A est au plus déombrable, et µ(a) = sio, est ue mesure, qui est pas σ-fiie. Ue des coséqueces du théorème des classes mootoes est la Propositio 3. Soit (Ω, A) u esemble mesurable et E ue famille de parties stable par itersectio fiie, telle que σ(e) = A. Alors, si µ 1 et µ 2 sot deux mesures fiies qui coïcidet sur E et qui ot même masse, elles sot égales. Démostratio. O vérifie immédiatemet que l esemble des élémets de A A qui vérifie µ 1 (A) = µ 2 (A) est ue classe mootoe. Remarque 7. Isistos sur le fait qu il faut que les mesures soiet fiies. Sio, par exemple, si µ 1 est la logueur d u itervalle (dot o verra plus tard qu elle se prologe e ue mesure) et si µ 2 = 2µ 1, µ 1 et µ 2 coicidet sur les itervalles [a, [, mais e coïcidet pas partout. Parmi les opératios qu o peut faire sur les mesures, les pricipales sot Propositio 4. mesure. 1. Si µ est ue mesure et λ [0, ), alors λµ est ue 2. Si µ 1 et µ 2 sot deux mesures, sur (Ω, A) alors il e est de même de µ 1 + µ Si µ est ue suite croissate de mesures, et si l o défiit µ(a) = lim µ (A), alors µ est ue mesure. 4. (Restrictio) Si A A, alors µ A (B) = µ(b A) défiit ue mesure sur la tribu iduite A A. 5. (Extesio) Si A A et que µ A est ue mesure sur (A, A A ) où A A est la tribu iduite, alors la formule µ(b) = µ A (A B) défiit ue mesure sur (Ω, A). La restrictio de l extesio est la mesure de départ, l iverse est pas vrai. L extesio de la restrictio de µ à A est la mesure µ A (B) = µ(a B). Aisi, o peut idetifier toute mesure défiie sur u sous-esemble mesurable A à ue mesure sur l espace tout etier. December 3, Licece - Itégratio

8 Attetio, das le poit 3, o autorise bie évidemet la limite à avoir lieu das R + = [0, ]. Les deux premiers poits sot triviaux, le derier viet de du lemme fodametal 1. Démostratio. (Du poit 3 de la propositio). Il est évidet que µ = lim µ est ue foctio additive d esembles. Il y a qu à motrer que c est ue mesure. Pour cela, o cosidère ue suite croissate d esembles A p, avec A = p A p et a,p = µ (A p ). Alors, d après le lemme fodametal (Lemme 1) µ(a) = lim (µ (A) = lim lim p (µ (A p ) = lim p lim µ (A p ) = lim p µ(a p ). La première et la derière égalités provieet de la défiitio de µ et la secode du fait que µ est ue mesure. Comme coséquece, o voit aisi que si µ est ue suite de mesures, alors µ est ecore ue mesure. Aisi, la mesure de décompte sur N est rie d autre que δ. C est ue mesure σ-fiie. Remarque 8. Si µ est ue mesure σ-fiie sur l espace mesurable (Ω, A), alors il existe ue partitio (B ) N de Ω telle que µ(b ) <,. Das ce cas, si µ (B) = µ(a B ), µ est ue mesure fiie sur (Ω, A), comme o l a déjà vu. Alors (et puisque (B ) est ue partitio de Ω), µ = P µ. Aisi, toute mesure σ-fiie est ue somme (ifiie) de mesures fiies. Il est pas très facile de costruire des mesures o triviales das le cas o déombrable. Mais le théorème des classes mootoes ous assure de l uicité d ue mesure sous des coditios élémetaires. Pour costruire ue mesure, o part e gééral d ue foctio additive d esembles sur ue algèbre A 0, et o la prologe à la tribu σ(a 0 ). O se sert pour cela du théorème suivat. Théorème 2 (Carathéodory). Soit µ ue foctio additive d esembles fiie sur ue algèbre A 0. Pour que µ se prologe e ue mesure sur A = σ(a 0 ), il faut et il suffit que, pour toute suite décroissate A d élémets de A 0 telle que A =, alors µ(a ) 0. Das ce cas, le prologemet de µ de A 0 à A est uique. Nous allos pas démotrer ce théorème. La coditio est évidemet écessaire. L uicité proviet du théorème précédet. Quad à l existece, ce est pas très difficile mais assez log : le pricipe est le suivat (ous laissos à titre d exercice la vérificatio des détails au lecteur) : O commece par étedre la foctio additive d esembles aux uios déombrables et aux itersectios déombrables d élémets de A 0, e utilisat des limites. Par exemple, si A A 0, est A croissate, pour A = A, o pose µ(a) = lim µ(a ). Ceci est possible justemet à cause de la propriété de µ sur A 0, qui motre que la limite e déped pas de la suite choisie. O défiit esuite µ (A) = if{µ(b), A B}, où B varie das la classe des réuios déombrables d élémets de A 0. et µ (A) = sup{µ(b), B A} où B varie parmi les itersectio déombrables d élémets de A 0. Alors, l esemble des élémets tels que µ (A) = µ (A) est ue σ-algèbre qui cotiet A 0, et sur cette σ-algèbre µ = µ défiit bie ue mesure. Puisque cette σ-algèbre cotiet A 0, elle cotiet A et o a doc étedu la mesure à A. December 3, Licece - Itégratio

9 Remarque 9. De faço géérale, si A 0 est ue algèbre de Boole qui egedre ue σ-algèbre A (A = σ(a 0)), et si µ est ue mesure σ-fiie sur A, alors pour tout A A tel que µ(a) <, et pour tout ɛ > 0, il existe u B A 0 tel que µ(a B) ɛ. O le voit aisémet e appliquat le théorème des classes mootoes, ou bie plus simplemet e remarquat que de tels esembles A formet ue σ-algèbre qui cotiet A 0. Mais le raisoemet du théorème de Carathéodory est plus subtil, car il demade à pouvoir ecadrer A etre deux esembles A 1 A A 2. O e peut pas le faire avec des élémets de A 0, mais o peut le faire avec respectivemet des itersectios déombrables et des uios déombrables d élémets de A 0. Tout ceci ous amèe à la costructio de la mesure de Lebesgue sur u itervalle. Théorème 3. Soit I = [0, 1], et B I la classe des borélies de I. Alors, il existe ue uique mesure µ sur B I telle que, pour tout itervalle [a, b] I, µ([a, b]) = b a. Ce théorème est tout sauf trivial. O a bie sûr le même éocé sur importe quel autre itervalle [A, B]. Démostratio. O commece par appeler A 0 la famille formée des réuios fiies de sous-itervalles de I, quelle que soit leur forme. Ue telle réuio peut être écrite de faço uique comme ue réuio fiie d itervalles disjoits. C est ue algèbre de Boole, et pour u élémet J de cette famille A 0, o défiit sa mesure le Lebesgue λ(j) comme la somme des logueurs des itervalles disjoits qui le composet. C est évidemet ue foctio additive d esembles (relatio de Chasles). Il faut ecore démotrer qu o peut appliquer le théorème de Carathéodory. Pour cela, o utilise la propriété suivate : Pour tout J A 0 et tout ɛ > 0, il existe u élémet compact K A 0 tel que 1. K J. 2. λ(j \ K) ɛ. Les élémets compacts que ous cosidéros sot ici les réuios fiies d itervalles fermés. l existece d u tel K est alors évidete (ou presque) si l o raisoe séparémet sur chacu itervalle disjoit qui compose J. La propriété fodametale des compacts que ous utilisos est que si (K ) est ue suite décroissate de compacts et que K =, alors il existe u 0 pour lequel K 0 =. Esuite, o cosidère ue suite J d élémets de A 0 qui décroit vers. O veut démotrer que λ(j ) 0. O fixe ɛ > 0, et pour tout J, o cosidère K compact, iclus das J, tel que λ(j \ K ) ɛ/2. Alors, si K = K 1... K, K est ue suite décroissate de compacts, o a J \ K p=1(j p \ K p ), et doc λ(j \ K ) λ(j p \ K p ) 1 p=1 ɛ 2 p ɛ. December 3, Licece - Itégratio

10 Par ailleurs, K J =. Puisque les K sot compacts, alors il existe u 0 tel que K 0 =, et doc µ( K 0 ) = 0. Pour 0 λ(j ) λ(j 0) = λ(j 0 \ K 0) ɛ, et o a fii. O peut alors défiir la mesure de Lebesgue sur R tout etier de la faço suivate Défiitio. 10. Soit I = [, ] et λ la mesure de Lebesgue sur l itervalle [, ]. O pose pour u borélie A R µ (A) = λ (A I ). Alors µ est ue suite croissate de mesures. La limite de cette suite est par défiitio la mesure de Lebesgue sur R. Foctios de répartitio et mesures borées sur R. Si µ est ue mesure borée (disos de masse 1) sur R, alors o cosidère la foctio F µ (x) = µ(], x]). O l appelle la foctio de répartitio de µ. Le théorème précédet ous motre qu elle caractérise etièremet la mesure µ. Elle a les propriétés suivates 1. F µ est croissate, cotiue à droite. 2. lim x F µ (x) = 0, lim x + F µ (x) = µ(r) = 1. Ue foctio vérifiat ces deux propriétés sera appelée ue FR (foctio de répartitio). Remarquos qu ue FR a des limites à gauche e tout poit. Si l o ote F (x ) la limite à gauche de F e x, il y a au plus qu u ombre fii de poits pour lesquels F (x) F (x ) > 1 (Il y e a au plus F ( ).) L esemble des x pour lesquels F (x) F (x ) > 0 est doc au plus déombrable (c est la réuio des esembles précédets). U esemble déombrable a toujours u complémetaire dese. Doc, l esemble des poits de cotiuité d ue FR est toujours dese. Théorème 4. Soit F ue FR. Alors, il existe ue (et doc ue seule) mesure borée sur R telle que F = F µ. La mesure (de Stieltjes) associée à F sera oté µ F (et plus tard parfois df lorsqu o parlera de l itégratio de foctios). Démostratio. La démostratio se fait exactemet comme das le cas de la mesure de Lebesgue. La difficulté est qu il faut faire attetio aux sauts de F (qui vot correspodre aux masses de Dirac das la mesure µ). Pour cela, o pred comme algèbre les réuios fiies d itervalles dot les extrémités sot das les poits de cotiuité de F. Pour u tel itervalle (a, b), quels que soiet ses bords (ouverts ou fermés), o pose µ(a, b) = F (b) F (a). O applique alors la même méthode que pour la mesure de Lebesgue. Remarquer que si µ(], b]) = F (b), o doit avoir pour tout itervalle, dot les extrémités e sot pas écéssairemet das D, µ(]a, b]) = F (b) F (a) et de même µ([a, b]) = F (b) F (a ), µ(]a, b[) = F (b ) F (a),... December 3, Licece - Itégratio

11 Cela permet de défiir µ sur l algèbre A 0 des réuios fiies d itervalles. O cosidère alors l esemble (dese) D des poits de cotiuité de la foctio F, et o cosidère l algèbre de Boole A 1 des réuios fiies d itervalles à extrémité das D. O a σ(a 1 ) = B(R). Puisque les extrémités d itervalles d u élémet de A 1 sot des poits de cotiuité de F, o peut établir le même résultat que pour la mesure de Lebesgue : pour tout élémet de A de A 1 et tout ɛ > 0, il existe u élémet compact K de A 1 iclus das A tel que µ(a \ K) ɛ. O peut alors faire la même démostratio que pour la mesure de Lebesgue sur [0, 1]. Nous laissos les détails au lecteur. Le théorème précédet permet de décrire toutes les mesures borées sur R. Si la mesure est pas borée, o peut faire la même chose à coditio que la mesure µ doe ue masse fiie à tous les itervalles borés (ou de faço équivalete à tous les itervalles compacts). Ces mesures formet ue sousclasse des mesures σ-fiies, qu o appelle les mesures de Rado. Pour ue telle mesure, o e pose pas F (x) = µ(], x]), qui peut être ifii. O choisit plutôt F (x) = µ(]0, x]) si x 0 et F (x) = µ(]x, 0]) si x < 0. De cette faço, o aura toujours ue foctio F croissate cotiue à droite, avec F (0) = 0, et qui vérifie pour tout itervalle ]a, b]. O a alors µ(]a, b]) = F (b) F (a), Théorème 5. Soit F ue foctio croissate cotiue à droite ulle e 0. Il existe ue uique mesure de Rado µ sur R telle que F (x) = µ(]0, x]) si x 0 et F (x) = µ(]x, 0]) si x < 0. La démostratio se fait exactemet comme plus haut pour les mesures fiies. Le choix du poit 0 pour avoir F (0) = 0 est arbitraire et a rie de particulier. Reveos aux mesures fiies. Les poits de discotiuité de F µ sot les poits x tels que µ({x}) 0, puisque F µ (x) F µ (x ) = µ({x}). Ces poits sot e ombre déombrable. Euméros les e ue suite (x ) et posos α = µ({x }). La mesure ν = α δ x satisfait ν(a) µ(a), A B(R). Ue telle mesure (somme de masses de Dirac) est dite puremet atomique. La mesure µ 1 = µ ν est ue mesure (positive) qui vérifie pour tout x µ 1 ({x}) = 0. Ue telle mesure est dite sas atome. Il est est équivalet de dire que sa foctio de répartitio est cotiue. (U atome est ue partie de mesure positive qu o e peut pas découper e esembles mesurables de mesure strictemet plus petite.) December 3, Licece - Itégratio

12 Nous avos aisi décomposé la mesure µ e µ = µ 1 +ν, où µ 1 est sas atome et µ est puremet atomique. Parmi toutes les mesures de Rado sur R, le rôle particulier joué par la mesure de Lebesgue est expliqué par le théorème suivat. Théorème 6. Pour u borélie A B(R), et pour tout x R, posos A + x = {y y x A}. Alors A + x est u borélie et λ(a + x) = λ(a). (E d autres termes, la mesure de Lebesgue est ivariate par traslatio.) De plus, si ue mesure de Rado µ est ivariate par traslatio, alors il existe ue costate c telle que µ = cλ. Démostratio. Pour motrer que A + x est u borélie, ous fixos x et ous remarquos que {A A + x} B(R) est ue σ-algèbre, qui cotiet les itervalles et doc toute la tribu boréliee. Motros que la mesure de Lebesgue est ivariate par traslatio. Pour A B(R) et M (0, ), posos A M = A [ M, M]. Posos, x état fixé M = {A M (0, ), λ(a M + x) = λ(a M )}. O vérifie immédiatemet que M est ue classe mootoe. Elle cotiet les itervalles [a, b], doc toute la tribu boréliee. O voit doc que, pour tout x R, pour tout M (0, ) et pour tout borélie A, λ(a M + x) = λ(a M ). Il suffit de maiteat de faire coverger M vers l ifii pour obteir le résultat. Démotros l uicité. Cosidéros ue mesure de Rado µ ivariate par traslatio. Si µ(]0, 1]) = 0, alors par traslatio µ(]p, p + 1]) = 0 pour tout p Z et doc µ est ulle. Il y a rie à démotrer. Sio, quitte à multiplier µ par ue costate, o peut toujours supposer que µ(]0, 1]) = 1. Démotros qu alors µ = λ. Remarquos tout d abord que, pour p N, p 1, l itervalle ]0, 1] est la réuio disjoite de p traslatés de l itervalle ]0, 1 p ]. Ces itervalles ot tous même mesure, et doc pµ(]0, 1 ]) = µ(]0, 1]) = 1, p d où µ(]0, 1 p ]) = 1 p. Par traslatio, o trouve que µ(] k p, k + 1 p ]) = 1 p, December 3, Licece - Itégratio

13 pour tout k Z, et par suite µ(] k p, r p ]) = r k p, pour tout k r Z, p N, p > 0. Les mesures µ et λ coïcidet doc sur les itervalles ]a, b] à extrémités ratioelles, qui formet ue classe stable par itersectio qui egedre la tribu boréliee. Elles coïcidet doc partout. 2.3 Foctios mesurables Défiitio. 11. Soiet (Ω 1, A 1 ) et (Ω 2, A 2 ) deux espaces mesurables. Ue applicatio f : Ω 1 Ω 2 est mesurable si B A 2, f 1 (B) A 1. Lorsque Ω 2 = R (c est à dire que f est à valeurs réelles), o supposera toujours que A 2 = B(R). Rappelos que f 1 (B) = {x Ω 1 f(x) B}. L applicatio vérifie 1. f 1 ( ) = ; 2. f 1 (B c ) = f 1 (B) c ; f 1 : P(Ω 2 ) P(Ω 1 ) 3. f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ), et même, pour ue famille quelcoque B i f 1 ( i B i ) = i f 1 (B i ), f 1 ( i B i ) = i f 1 (B i ). Par abus de otatio (mais attetio aux cofusios), o ote souvet f 1 (A) = {f A}. Aisi, o voit que si A 2 est ue tribu sur Ω 2, f 1 (A 2 ) = {A Ω 1 B A 2, A = f 1 (B)} est toujours ue tribu sur Ω 1. C est la plus petite tribu A sur Ω 1 telle que f soit mesurable de (Ω 1, A) (Ω 2, A 2 ). O la ote σ(f) : la plus petite tribu qui rede f mesurable (parfois aussi otée f 1 (A 2 ). Exemple fodametal de foctios mesurable. Si (Ω, A) est u esemble mesurable, alors 1 A est toujours ue foctio mesurable réelle. O a aussi σ(1 A ) = σ(a). Propositio 5. La compositio de deux foctios mesurables est mesurable C est immédiat et laissé au lecteur. Pour vérifier qu ue foctio est mesurable, o a e gééral pas besoi de tester f 1 (B) pour tous les B A 2. E effet o a December 3, Licece - Itégratio

14 Propositio 6. Soit f : (Ω 1, A 1 ) (Ω 2, A 2 ) et supposos que A 2 = σ(e), où E est ue famille quelcoque d esembles. Pour que f soit mesurable, il suffit que, pour tout E E, f 1 (E) A 1. Démostratio. O vérifie immédiatemet que A = {B Ω 2 f 1 (B) A 1 } est ue tribu. Puisqu elle cotiet E, elle cotiet A 2. Aisi, pour qu ue foctio f : Ω 1 R soit mesurable, il suffit que, pour tout x Q {y f(y) < x} A 1. (O applique ce qui précède avec E = {(, x[, x Q}. De même, toute foctio cotiue de R das R est mesurable, puisque la tribu boréliee est egedrée par les ouverts, et que l image réciproque d u ouvert par ue foctio cotiue est u ouvert. Il e va de meme de toute foctio mootoe (remplacer das la phrase précédete ouvert par itervalle). Propositio 7. Si f 1 et f 2 sot des foctios mesurables réelles, il e va de même de 1. f 1 + f 2 ; 2. f 1 f 2, 3. max(f 1, f 2 ). Démostratio. Motros le à titre d exemple pour f 1 +f 2. Les autres poits sot laissés à titre d exercice. Pour x R, o écrit {f 1 + f 2 < x} = r Q ({f 1 < r} {f 2 < x r}). Das le secod membre, o obtiet ue uio déombrable d esembles mesurables, qui est doc mesurable. Le derier poit ous permet de décomposer toute foctio mesurable réelle e différece de deux foctios mesurables positives. Si l o pose f + (x) = max(f(x), 0) et f (x) = max( f(x), 0), f + et f sot mesurables, et o a f = f + f, f = f + + f. Cette décompositio ous sera souvet très utile. Il ous arrivera aussi souvet de cosidérer des foctios preat les valeurs ±. Das ce cas, ous mettros sur R la tribu de σ( R), qui est la tribu egedrée par tous les itervalles (y compris ceux qui cotieet l ifii). Mais il sera e gééral beaucoup plus simple de chager R e u itervalle fermé boré à l aide d ue foctio mootoe borée h (par exemple arctg ou th), et de dire que f est mesurable à valeurs das R si et seulemet si h(f) est mesurable à valeurs das R. La propriété de mesurabilité est très stable. Il est difficile d exhiber ue foctio o mesurable. Toutes les foctios qu o recotre aturellemet le serot. O a e particulier December 3, Licece - Itégratio

15 Propositio 8. Soit f ue suite de foctios mesurables f : Ω R. O suppose que, pour tout x Ω, f (x) coverge vers f(x). Alors, la foctio x f(x) est mesurable. Aisi, la famille des foctios mesurables réelles est stable par limite simple (à l opposé par exemple de la famille des foctios cotiues). Démostratio. O écrit, pour x R {f < x} = r Q,r<x 0 N 0 {f < r}. Cette idetité e fait que traduire e terme de théorie des esembles la phrase f(y) < x si et seulemet si il existe r Q, r < x, et 0 N, tel que pour tout 0, f (y) < r. Le deuxième membre de l idetité précédete est mesurable, car costruit à l aide d u ombre déombrable d opératios sur des esembles mesurables. Ce qu o viet d écrire peut aussi s étedre aux limites das R. D ailleurs, o pourra démotrer de la même faço que, si f est ue suite de foctios mesurables réelles, l esemble des x pour lesquels f (x) coverge est u esemble mesurable. Rappelos au passage les otios de limite sup et limite if (das R ou R). Défiitio. 12 (Limites sup et limites if). Soit x ue suite de réels. O pose x = sup p x p, et x = if p x p. Le sup et l if ici peuvet predre les valeurs + (pour le sup) et (pour l if). x est ue suite décroissate. Elle coverge (das R) vers ue limite qu o appelle la limite sup de la suite x et déotée lim sup x. De même, x est ue suite croissate qui coverge vers ue limite otés lim if x. O a toujours lim if x = lim sup x, et la suite coverge si et seulemet si lim if x = lim sup x. O peut appliquer cela aux suites de foctios à valeurs réelles. D après tout ce qui précède, o voit que, si f est ue suite de foctios mesurables, alors lim if f et lim sup f sot des foctios mesurables (à valeurs évetuellemet das R). Aisi, o voit aisémet que, pour ue suite de foctio borées, l esemble des x où la suite coverge est mesurable, puisqu il s écrit {lim sup f lim if f = 0}. Défiitio. 13 (Foctios étagées). O dit qu ue foctio Ω R est étagée si elle s écrit f = λ i 1 Ai où A i A et λ i R. i=1 Remarque 10. Ue foctio étagée est rie d autre qu ue foctio mesurable réelle e preat qu u ombre fii de valeurs. (A démotrer à titre d exercice) P Remarquos égalemet qu ue foctio étagée admet ue représetatio f = i µi1b i où les Bi sot disjoits et les µi sot disticts o uls. cette représetatio est uique (les µ i sot les valeurs o ulles prises par f et B i = f 1 (µ i)). Nous appeleros cette réprésetatio la représetatio caoique. December 3, Licece - Itégratio

16 La propositio suivate ous motre l itérêt des foctios étagées. Propositio Toute foctio mesurable réelle positive est limite croissate de foctios étagées. 2. Toute foctio mesurable borée est limite uiforme de foctios étagées. (Rappelos qu ue foctio est dite borée s il existe u M R + tel que, pour tout x, f(x) [ M, M].) Démostratio. Nous e motros que le premier poit. Le secod est similaire et laissé au lecteur. Pour tout N, > 0, o pose f (x) = 2 2 k=0 k 2 1 A k, A, où A k, = {f ] k 2, k ], at A = {f > 2 }. La foctio f (x) est rie d autre que l écriture e base 2 de f(x), troquée à la k-ième décimale, si f(x) 2, et sio, vaut 2 si f(x) > 2. O voit immédiatemet que la suite f est croissate, que si f(x) <, alors 0 f(x) f (x) 1 2 dès que est assez grad pour avoir f(x) 2, et que si f(x) est ifii, f (x) = 2. Das tous les cas, f (x) coverge e croissat vers f(x). Efi, ous éoços sas démostratio la versio foctioelle du théorème des classes mootoes. Si A est ue tribu, o ote B(A) l espace vectoriel de toutes les foctios réelles A-mesurables et borées. O ote aussi, pour toute famillle de foctio E, σ(e) la plus petite tribu qui red mesurable toutes les foctios de cette famille. Aisi, par exemple, B(R) = σ(x 3 ), ou bie B(R) = σ(c), où C désige l espace de toutes les foctios cotiues, etc.. Défiitio. 14. Soit Ω u esemble, et H u sous-espace vectoriel de l espace vectoriel de toutes les foctios borées Ω R.O dira que H est u espace de classe mootoe si 1. H cotiet les foctios costates 2. Si f est ue suite d élemets de H qui vérifie x,, f (x) [0, 1], f (x) f +1 (x), alors la limite f = lim f est ecore u élémet de H. Théorème 7 (Des classes mootoes, versio foctioelle). Si ue classe moote H cotiet ue famille de foctios E stable par multiplicatio, elle cotiet B(σ(E)). December 3, Licece - Itégratio

17 Nous allos pas démotrer ce théorème, dot la démostratio est sesiblemet plus compliquée que celle du théorème esembliste correspodat. Nous revoyos pour cela au livre de Barbe-Ledoux. Efi, termios ce chapitre par ue remarque sur les limsup et les limif de suites d esembles, qu il e faut pas mélager avec les limsup et les limif de suites de ombres réels. Défiitio. 15 (Limsup et Limif d esembles). Soit (A ) ue suite de sous esembles de Ω. O ote lim sup A = p A p, lim if A = p A p. La limite sup des A est l esemble des poits x qi appartieet à ue ifiité de A. La limite if est ceux qui appartieet à tous les A à partir d u certai rag. Propositio 10. O a les propriétés élémetaires suivates 1. Si A B, alors lim sup A lim sup B, et lim if A lim if B. 2. lim if A lim sup A, (lim sup A ) c = lim if A c, (lim if A ) c = lim sup A c. 3. Si A est croissate, alors lim sup A = lim if A = A. Si A est décroissate, alors lim sup A = lim if A = A. 4. lim sup 1 A = 1 lim sup A ; lim if 1 A = 1 lim if A. 5. Si µ est ue mesure borée, alors µ(lim if A ) lim if µ(a ) lim sup µ(a ) µ(lim sup A ). E particulier, si lim sup (A ) = lim if (A ), alors µ(a ) coverge et o a lim µ(a ) = µ(lim sup A ) = µ(lim if (A ). Ces propriétés sot presques évidetes ue fois que l o a remarqué que p A p est ue suite décroissate d esembles, et que p A p est ue suite croissate. Les détails sot laissés à titre d exercice. O pourra observer comme coséquece que si lim sup A = lim if A et lim sup B = lim if B, alors lim sup A B = lim if A B, lim sup A B = lim if A B, et par coséquet que si A est croissate et B décroissate, alors µ(a B ) coverge. December 3, Licece - Itégratio

18 3 Itégratio de foctios mesurables Das ce chapitre, ous allos cosidérer u espace mesuré (Ω, A, µ) et défiir pour certaies foctios mesurables f l itégrale fdµ. O commece par l itégrale de foctios simples 3.1 Itégratio de foctios étagées. Appelos E l esemble des foctios étagées à valeurs réelles f(x) = λ i 1 Ai (x). i=1 Rappelos que ce sot les foctios mesurables e preat qu u ombre fii de valeurs. Parmi celles-ci, ous allos distiguer les foctios positives ( x, f(x) 0). O appelera E + l esemble des foctios étagées positives. Remarquos que 1. E est u espace vectoriel; 2. E + est stable par (f, g) max(f, g) et (f, g) mi(f, g). D autre part, das la réprésetatio f = k i=1 λ i1 Ai d u élémet de E, o peut toujours supposer que pour tout i, λ i 0. Défiitio. 16. Pour u élémet f E +, si f = i λ i1 Ai, o pose fdµ = λ i µ(a i ). i Il faut faire attetio ici à ce que, si µ(a i ) = mais que λ i = 0, o pose par covetio λ i µ(a i ) = 0. Ceci permet de rester compatible avec 01 Ω = 1. La première chose à remarquer est que cette défiitio e déped pas de la faço dot o a écrit f. Pour le voir, le plus simple est de remarquer si f = i=1 λ i1 Ai a comme représetatio caoique f = p i=1 µ i1 Bi, alors les deux représetatios de f doet la même valeur à I(f), ce qu o motre par exemple par récurrece sur. Cela repose au bout du compte sur la formule µ(a B) = µ(a) + µ(b) si A B =. Il faut faire attetio ici à ce qu o peut avoir I(f) =, si par exemple pour u idice i, o a µ(a i ) = et λ i > 0. Propositio 11. L applicatio f I(f) = fdµ vérifie les propriétés suivates 1. Si λ 0, I(λf) = λi(f); 2. I(f + g) = I(f) + I(g). 3. Si f g, I(f) I(g). 4. Si f est ue suite croissate d élémets de E + dot la limite est u élémet f de E +, alors I(f ) coverge (e croissat) vers I(f). December 3, Licece - Itégratio

19 Démostratio. Les deux premiers poits sot évidets. Pour le troisième, o remarque que si f g, alors h = f g E + et qu alors I(f) = I(g) + I(h) I(g). Le quatrième poit est plus délicat. Choisissos f = k i=1 λ i1 Ai, sous sa représetatio caoique, avec λ i > 0 pour tout i (si tous les λ i sot uls, alors f = 0, et il e va de même de chaque f, et il y a rie à dire). De même, o peut supposer que I(f) > 0, sio, il y a rie à démotrer. Soit alors α = I(f ). La suite α est croissate, majorée par I(f). Elle coverge doc vers ue limite α I(f). Notre problème est de motrer que α = I(f). Nous avos à distiguer deux cas : soit I(f) =, soit I(f) <. Traitos pour commecer le secod poit. Motros que, pour tout ɛ > 0 assez petit, α I(f) ɛ. Commeços par choisir ue foctio g = k i=1 µ i1 Ai, telle que µ i < λ i pour tout i et I(g) I(f) ɛ. La suite f coverge e croissat vers f, doc, sur A i, f (x) µ i pour assez grad (disos i ). Comme il y a qu u ombre fii d idices i, o sait qu il existe 0 (par exemple max( i ) ) tel que, si 0, alors f (x) g(x) partout. Doc, pour 0, α = I(f ) I(g) I(f) ɛ, et doc α I(f) ɛ. Le cas où I(f) est ifii se traite de même, e motrat que, pour tout M > 0, il existe u 0 tel que, pour 0, o a α M. 3.2 L itégrale des foctios positives. Nous pouvos alors doer la défiitio de l itégrale d ue foctio mesurable positive Défiitio. 17. Soit f ue foctio mesurable positive. O pose fdµ = gdµ. sup g E +,g f La même défiitio s applique aux foctios mesurables à valeurs das [0, + ]. O ote parfois, s il y a risque d ambiguité fdµ = f(ω)dµ(ω) = f(ω)µ(dω). Nous savos déjà que toute foctio mesurable positive est limite croissate de foctios étagées. Le résultat suivat (fodametal) permet de motrer commet calculer fdµ. Propositio 12. Soit (f ) ue suite de foctios de E + qui coverge e croissat vers f. Alors, fdµ = lim f dµ. Démostratio. Ue fois de plus, il faut distiguer le cas où fdµ < et où fdµ =. Nous e traitos que le premier, le secod est laissé à titre d exercice. Soit doc I = fdµ et a = f dµ, où f est ue suite croissate étagée qui coverge vers f. Tout d abord, f est majorée par f, et doc a fdµ December 3, Licece - Itégratio

20 par défiitio. Esuite, a est croissate, majorée par fdµ, doc coverge vers ue limite α fdµ. Tout otre problème est de motrer que α = fdµ. O va doc motrer que, ɛ > 0, α fdµ ɛ. Tout d abord, par défiitio de fdµ, il existe u élémet g E +, g f, tel que I(g) = gdµ fdµ ɛ. La suite h = mi(f, g) est ue suite d élémet de E + qui coverge e croissat vers g. D après la propositio précédete, si o appelle b = h dµ, alors b coverge vers I(g). Mais b a puisque h f. Et doc, α = lim a lim b = I(g) fdµ ɛ. C est bie ce qu o voulait démotrer. Ue fois ce résultat établi, alors les résultats suivats sot élémetaires Propositio 13. L applicatio f fdµ satisfait 1. Pour tout λ 0, λfdµ = λ fdµ 2. (f + g)dµ = fdµ + gdµ. 3. Si f g, alors fdµ gdµ. Démostratio. Motros par exemple le secod poit. O choisit ue suite (f ) et ue suite (g ) de foctios de E +, la première qui coverge e croissat vers f, la secode vers g. O sait que (f + g )dµ = f dµ + g dµ, puis o passe à la limite. Doos tout d abord quelques exemples. 1. Si µ = δ x, fdµ = f(x). 2. Sur N, si µ est la mesure de décompte, alors fdµ = f(). Aisi, l itégrale par rapport à la mesure de décompte est rie d autre que la somme de la série f(). Nous verros plus bas que l itégrale pour la mesure de Lebesgue d ue foctio cotiue ou mootoe est rie d autre que so itégrale de Riema. Aisi, l itégrale de Lebesgue gééralise à la fois l itégrale ordiaire et la sommatio des séries, et permet d éocer des théorèmes gééraux qui s appliquerot das ces deux cas. Les deux résultats suivats sot fodametaux Théorème 8. (Théorème de covergece mootoe) Soit (f ) ue suite de foctios mesurables positives qui coverge e croissat vers f. Alors lim f dµ = fdµ. December 3, Licece - Itégratio

21 Isistos sur le fait que ce résultat s applique même aux foctios qui e sot pas fiies. Remarquez que par comparaiso au résultat précédet, cette fois ci la suite f est plus écessairemet étagée. Démostratio. (Du théorème de covergece mootoe). Soit (f ) ue suite croissate de foctios mesurables positives, et (f,p ) ue suite croissate (e p) de foctios étagées qui coverge vers f. Posos alors g,p = max(f 1,p, f 2,p,..., f,p ). (g,p ) est à la fois croissate e et e p, est majorée par f et coverge aussi vers f lorsque p. Le lemme fodametal (Lemme 1) ous dit que lim lim p g,p = lim g,. et doc la suite g, coverge vers f. Alors, d après ce que l o sait sur les suites croissates de foctios étagées, lim g, dµ = fdµ. Par ailleurs, lim lim p g,p dµ = lim f dµ. O réapplique le lemme fodametal (Lemme 1) avec la suite a,p = g,p dµ, et o obtiet le résultat. Ue applicatio immédiate du théorème de covergece mootoe est le suivat Propositio 14. Si (f ) est ue suite de foctios mesurables positives, f dµ = f dµ. (Il suffit d appliquer le théorème de covergece mootoe à la suite croissate F = p=1 f p.) L autre résultat fodametal est le suivat Théorème 9. (Lemme de Fatou) Soit (f ) ue suite de foctios mesurables positives. Alors (lim if f )dµ lim if( f dµ). Démostratio. (Du lemme de Fatou) O pose g = if p f p. La suite g coverge e croissat (par défiitio) vers lim if f. Et doc, par le théorème de covergece mootoe, (lim if f )dµ = lim g dµ. Mais g dµ f dµ. December 3, Licece - Itégratio

22 Or, si a b, lim if a lim if b (Exercice immédiat d après la défiitio de la lim if.). D où l iégalité du lemme de Fatou. Pour se rappeler du ses de l iégalité das le lemme de Fatou, le mieux est de souveir d u cotre exemple : sur [0, 1], avec la mesure de Lebesgue, o pose f = 1 ]0,1/[. Alors f dx = 1, et lim if f = 0. O pourra chercher à titre d exercice u cotre exemple cotiu. Pour motrer la puissace de ces théorèmes, et l itérêt de e pas se limiter à des foctios fiies, commeços par itroduire ue otio. Défiitio. 18. O dit qu ue propriété P(x) a lieu presque partout (ou µ- presque partout s il y a ambiguïté), si l esemble des x pour lesquels P(x) est fausse est icluse das u esemble mesurable de mesure ulle. Par exemple Propositio 15. Si f est ue foctio mesurable positive et que fdµ <, alors f(x) est fiie presque partout. De même, si f 0 est telle que fdµ = 0, alors f est ulle presque partout. Démostratio. Commeços par le premier cas. Appelos A = {x f(x) = }. Pour tout N, f 1 A, et doc µ(a) fdµ. Doc, > 0, µ(a) 1 fdµ, et e passat à la limite, o trouve µ(a) = 0. Pour le secod, o pose de même A = {x f(x) 1/}, de telle faço que f 1 1 A. D où µ(a ) fdµ = 0. Mais A := {f > 0} = A et par coséquet µ(a) = 0. Voici alors ue applicatio immédiate du théorème de covergece mootoe, qui est à la base de la loi des grads ombres e probabilité. Théorème 10. Soit (f ) ue suite de foctios mesurables positives. Si la série f dµ coverge, alors la série f (x) coverge presque partout. E particulier, f (x) coverge vers 0 presque partout. Démostratio. Soit F (x) = f (x). O e sait pas a priori si F (x) est fii ou o. Mais le théorème de covergece mootoe ous dit que de toutes faços F (x)dµ = f dµ. Si la série au secod membre coverge, alors F (x)dµ <, et doc F (x) < presque partout. Pour u x pour lequel la série coverge, alors le terme gééral f (x) coverge vers 0. December 3, Licece - Itégratio

23 3.3 Itégrale de foctios o positives Cotrairemet aux foctios positives, ous e pourros itégrer des foctios o positives que si elles e sot pas trop grosses. Défiitio. 19. O dit qu ue foctio mesurable réelle est itégrable si f dµ <. O ote souvet f L 1 (µ). Notos tout de suite qu ue foctio itégrable est fiie presque partout. Rappelos la décompositio f = f + f avec f = f + + f. Puisque f + et f sot majorées par f, alors si f est itégrable, f + et f le sot. O a alors Défiitio. 20. Si f est itégrable, o défiit fdµ = f + dµ f dµ. Das la défiitio, o aurait pu predre importe quelle autre décompositio de f e différece de deux foctios positives itégrables. Propositio 16. Si f = f 1 f 2, où f 1 et f 2 sot deux foctios positives itégrables, alors alors f est itégrable et fdµ = f 1 dµ f 2 dµ. Démostratio. C est immédiat. f est itégrable puisque f f 1 + f 2 L 1 (µ)/ O écrit f + + f 2 = f + f 1, d où f + dµ + f 2 dµ = f dµ + f 1 dµ, et fialemet, puisque tout le mode est fii f + dµ f dµ = f 1 dµ f 2 dµ. De ceci ous déduisos immédiatemet la Propositio 17. L esemble des foctios itégrables est u espace vectoriel. Sur cet espace, l applicatio f fdµ est liéaire. Observos e plus qu elle satisfait toujours f g = fdµ gdµ, et que fdµ f dµ. December 3, Licece - Itégratio

24 Le troisième théorème fodametal du calcul itégral est le Théorème 11. (Théorème de covergece domiée). Soit (f ) ue suite de foctios itégrables. O suppose que pour tout x f (x) coverge vers ue foctio f(x), et qu il existe ue foctio itégrable positive g telle que, pour tout f (x) g(x). Alors, f est itégrable et lim f dµ = fdµ. Démostratio. Puisque f g, il est évidet que f est itégrable. Quitte à chager f e f f, o peut toujours supposer que f = 0. Esuite, puisque f dµ f dµ, quitte à remplacer f par f, o peut toujours supposer que f 0. Alors, o pose h = g f ; h est positive, et o peut appliquer le Lemme de Fatou à la suite (h ). Mais lim if h = g, et lim if h dµ = gdµ lim sup Le lemme de Fatou ous dit doc que gdµ gdµ lim sup f dµ, d où lim sup f dµ = 0. f dµ. Mais f dµ est ue suite positive. Sa limite sup e peut être ulle sas que sa limite if e le soit, et das ce cas la limite existe et est ulle. C est ce qu o voulait démotrer. Das les situatios pratiques, pour appliquer le théorème, la difficulté est de trouver la foctio g. La plus petite qui puisse faire l affaire est bie sûr g = sup f. Mais elle est pas toujours très facile à calculer. Nous allos das ce qui suit tirer de ces résultats de ombreuses coséqueces. mais ous sommes maiteat e mesure d idetifier l itégrale de Lebesgue avec l itégrale de Riema. Théorème 12. Soit f ue foctio cotiue sur l itervalle [0, 1], et λ la mesure de Lebesgue sur [0, 1]. Alors 1 fdλ = f(t)dt. 0 December 3, Licece - Itégratio

25 Démostratio. Rappelos brièvemet la costructio de l itégrale de Riema : Ue subdivisio σ de [0, 1] est ue suite fiie 0 = t 0 t 1... t = 1. So pas τ(σ) est défii par τ(σ) = 1 sup t i+1 t i. i=0 Pour toute subdivisio σ, et tout i, o choisit x i [t i, t i+1 ], et o forme la somme 1 S σ (f) = f(x i )(t i+1 t i ). i=0 Alors, si f est cotiue (ou mootoe, par exemple), pour toute suite σ de subdivisio dot le pas ted vers 0, la suite S σ (f) coverge vers ue quatité otée 1 f(t)dt. Les foctios Riema-itégrables sot exactemet celes pour 0 lesquelles toutes ces sommes coverget vers la même limite. Remarque 11. La grosse différece etre la théorie de l itégrale de Riema et celle de Lebesgue est que das la première o approche les foctios par des foctios e escalier (combiaiso liéaires d idicatrices d itervalles) et que das celle de Lebesgue o approche les foctios par des foctios étagées (combiaisos liéaires d idicatrices de borélies), qui est ue classe beaucoup plus vaste. Nous ous cocetros ici sur le cas des foctios cotiues, dot o va démotrer qu elles sot Riema-itégrables. E fait, ous allos motrer que, pour ue suite σ de subdivisios dot le pas ted vers 0, alors S σ (f) coverge vers fdλ. Pour cela, o cosidère la suite de foctios étagées 1 f = f(x i )1 [ti,t i+1]. i=0 par défiitio de la mesure de Lebesgue, f dλ = S σ (f). Il ous reste à motrer que f coverge vers f et qu o peut appliquer le théorème de covergece domiée. Mais le théorème de Heie ous dit que ɛ > 0, η, x y η = f(x) f(y) ɛ. Dès lors, puisque f vaut f(x i ) sur l itervalle [t i, t i+1 ] et que x i [t i, t i+1 ], si le pas de la subdivisio est iférieur à η, pout tout x [0, 1], f (x) f(x) ɛ. O voit doc que f coverge vers f. De plus, puisque f, cotiue sur [0, 1] est borée, disos par M, alors il e va de même de f f M. December 3, Licece - Itégratio

26 la foctio costate M est itégrable (sur [0, 1], avec la mesure de Lebesgue), et doc ous pouvos appliquer le théorème de covergece domiée f dλ fdλ. C est bie ce que ous voulios démotrer. Remarque 12. De faço géérale, das la théorie de Riema, o cherche à itégrer des foctios borées f : [a, b] R. Pour cela, pour ue subdivisio doée, o cosidère 1 X S,σ(f) = f i(t i+1 t i) et i=0 1 X Sσ(f) = fi (t i+1 t i) i=0,où f i et f i désiget respectivemet des sup et if de f sur l itervalle [t i, t i+1]. Alors, o dit que f est Riema itégrable si et seulemet si, lorsque le pas de la subdivisio coverge vers 0, S σ(f) et S σ(f) coverget vers la même limite. Il est pas vrai e gééral qu ue foctio Riema itégrable soit mesurable. Il ous faut itroduire ue tribu plus large que la tribu boréliee, la tribu de Baire. Pour la décrire, o dit qu u esemble est égligeable s il est iclus das u borélie de mesure de Lebesgue ulle. La tribu de Baire est {B A B([a, b]), A B est égligeable}. O vérifie immédiatemet que c est ue tribu. La mesure de Lebesgue s éted immédiatemet à cette tribu e disat que λ(a) = λ(b) si A B est égligeable. Alors, ue foctio borée est Riema itégrable si et seulemet si elle est mesurable pour la tribu de Baire, et que l esemble de ses poits de discotiuité est de mesure de Lebesgue ulle. Théorème 13. (Dérivatio sous l itégrale) Soit I u itervalle ouvert de R. O cosidère ue applicatio f : I Ω R, f(x, ω) telle que, pour tout x, la foctio ω f(x, ω) soit mesurable et itégrable, et telle que pour tout ω, la foctio x f(x, ω) soit dérivable sur I. O ote x f(x, ω) sa dérivée. Supposos qu il existe ue foctio positive itégrable g(ω) telle que, pour tout x I, x f(x, ω) g(ω). Alors I(x) = f(x, ω)dµ(ω) est dérivable sur l itervalle I et sa dérivée est I (x) = x f(x, ω)dµ(ω). Démostratio. Nous laissos au lecteur le soi de motrer que x f est mesurable. Nous choisissos x I, ue suite x qui coverge vers x, et cosidéros I(x ) I(x) f(x, ω) f(x, ω) = dµ(ω). x x x x Nous auros motré le résultat si ous pouvos appliquer le théorème de covergece domiée à la suite f (ω) = f(x, ω) f(x, ω), x x December 3, Licece - Itégratio