Rappels de trigonométrie

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1 r cos(α) cos(α) Rappels de trigonométrie Définition des fonctions trigonométriques Le cercle trigonométrique (cercle de rayon ) est la situation de base permettant de définir les fonctions sinus et cosinus pour tout nombre réel. ( ; ) } α A cos(α) } tan(α) ( ; ) À toute valeur réelle de α correspond un point A situé sur le cercle trigonométrique. n peut considéré que celui-ci est repéré par l angle α. l faut remarquer que l angle est orienté et qu il peut donc avoir des valeurs positives ou négatives. À intervalle de, les points sont identiques, ainsi que les coordonnées! cos(α)} Si on passe à un cercle de rayon quelconque r, les coordonnées des points sur le cercle s obtiennent comme suit: Les coordonnées du point A repéré par l angle y α sont, par définition : A = (cos(α) ;) r A r α T Le point T, quant à lui, a les coordonnées T = (r cos(α) ;r ) l suffit d appliquer Thalès au triangles emboîtés pour trouver ces dernières coordonnées. Graphes des fonctions sinus et cosinus Si pour chaque valeur réelle de α, on a une et une seule valeur pour le cosinus (abscisse du point repéré par α) ou le sinus (ordonnée du point), alors le cosinus et le sinus sont des fonctions qui ont une représentation graphique. l est possible de l obtenir point par point avec un peu de patience en utilisant simplement la définition de ces fonctions données à partir du cercle trigonométrique.

2 . Représentation graphique de la fonction sinus Chaque valeur d angle est reportée sur l ae des du graphique à gauche du cercle trigonométrique. n choisit bien entendu une certaine échelle pour ces valeurs. L image de chacun de ces est donnée par la hauteur du point repéré par l angle de valeur α = sur le cercle trigonométrique. 5,5 5,5 5,5 5 Si on poursuit la construction de la courbe au-delà de et jusqu à respectivement et, on obtient la courbe pour un tour complet du cercle. Si on insiste en poursuivant avec des angles dépassant ces valeurs, la courbe se reproduit à l identique. C est pourquoi l on dit que le sinus est une fonction périodique de période.,5,5

3 . Représentation graphique de la fonction cosinus,5 5 Pour trouver le graphique de la fonction cosinus, il faut faire un travail semblable, mais en considérant cette fois les abscisses des points sur le cercle, car c est ainsi qu est défini le cosinus.,5 5 Si on poursuit la construction de la courbe au-delà de et jusqu à respectivement et, on obtient la courbe pour un tour complet du cercle. Si on insiste en poursuivant avec des angles dépassant ces valeurs, la courbe se reproduit à l identique. C est pourquoi l on dit que le cosinus est une fonction périodique de période. En appliquant une rotation de 9 o à notre graphique, on obtient:,5,5

4 Valeurs remarquables et propriétés élémentaires. Valeurs remarquables du sinus, du cosinus et de la tangente Un triangle rectangle isocèle et un triangle équilatéral ont des angles particuliers. En calculant les rapports trigonométriques, on trouve les valeurs suivantes cos sin tan??. Propriétés élémentaires Les valeurs du sinus et du cosinus respectent les inégalités cos sin La périodicité du sinus et du cosinus permet d écrire pour tout réel et tout entier relatif k cos(+k) = cos sin(+k) = sin Grâce à Pythagore, on vérifie aisément (cos()) +(sin()) = ou, autrement écrit, cos ()+sin () = Les signes du cosinus et du sinus sont cos sin cos sin cos sin cos sin n a aussi: tan = sin cos

5 . Angles complémentaires Deu points du cercle associés à deu angles complémentaires sont symétriques par rapport à la droite d d équation y =. Pour cette raison, leur coordonnées sont «échangées». Si la coordonnées d un point est (a,b), l autre a pour coordonnées (b,a). n a ainsi ( ) cos = sin ( ) sin = cos d : y = M (cos(/ ), sin(/ )) M(cos, sin). Angles associés En lisant attentivement le cercle trigonométrique, on trouve les résultats cos( ) = cos sin( ) = sin M (cos( ), sin( )) M M M(cos, sin) + M M (cos( +), sin( +)) M M (cos( ), sin( )) cos( +) = cos sin( +) = sin cos( ) = cos sin( ) = sin Quelques identités remarquables cos(α+β) = cos(α)cos(β) sin(β) sin(α+β) = cos(β)+cos(α)sin(β) cos(α) = cos (α) sin (α) = sin (α) = cos (α) = cos(α) 5