11 Mesure de la vitesse du son dans un gaz
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- Marie-Dominique Perras
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1 11 Mesure de la vitesse du son dans un gaz Responsable : J.Roussel Objectif Ce TP utilise un dispositif inventé en 1866 par August Adolph Kundt a qui permet de mesurer la vitesse du son dans les gaz à partir des ondes acoustiques stationnaires qui y règnent. Prérequis Notions élémentaires sur les ondes. a. A.A. Kundt ( ) : Physicien allemand né en 1839 à Schwerin, Mecklenburg, il fit ses études à Leipzig et Berlin. Il fut professeur au Polytechnique de Zürich en 1868 et à Würzburg à partir Fondateur en 1872 de l Institut Physique de Strasbourg, il finit sa carrière en tant que directeur de l institut physique de Berlin Aspects théoriques Les ondes acoustiques Une onde acoustique est une perturbation de la pression locale qui se propage au sein d un milieu matériel. Cette perturbation s accompagne d une variation de densité se propageant à la même vitesse. Il s agit donc d une onde scalaire et longitudinale. Rappel : Une onde est longitudinale lorsque la vibration a la même direction que la propagation. Une onde est transversale quand la vibration est perpendiculaire à la direction de propagation. La lumière est une onde transversale et le son est une onde longitudinale. On peut écrire si l on considère une propagation suivant l axe des x : P (x, t) =P 0 + p(x, t) 71
2 11 Mesure de la vitesse du son dans un gaz où P (x, t) est la pression locale, P 0 la pression moyenne ( 1 atm ici) et p(x, t) π P 0 la perturbation de pression. On montre que p(x, t) vérifie l équation d onde ˆ2p ˆx 1 ˆ2p 2 c 2 s ˆt =0 2 avec c s la vitesse du son. Dans un gaz parfait de masse molaire M et de température T on a Û I RT = C c s = M avec p C v R = 8, 315 J.K 1.mol 1 (11.1) La détermination de la vitesse du son dans un gaz permet donc de déduire des grandeurs thermodynamiques tels que les capacités thermiques C p et C v. L onde acoustique peut donc s écrire p(x, t) =f(t x/c s )+g(t + x/c s ) où f(t x/c s ) est une onde qui se propage vers les x>0et g(t+x/c s ) une onde se propageant vers les x<0. Pour une onde harmonique de pulsation Ê, de fréquence = Ê/2fi on écrira : p(x, t) =A + cos 3Ê(t x 4 )+ + + A cos 3Ê(t + x 4 )+ cs cs Enfin, par définition, la longueur d onde est la distance parcourue par l onde pendant une période : = c s = 2fic s Ê (11.2) Pour un son audible se propageant dans l air, la longueur d onde peut varier entre quelques mm et quelques m Ondes stationnaires Lorsque l on envoie une onde progressive sur un obstacle en incidence normale, celui-ci la renvoie dans l autre sens. Cette onde réfléchie interfère avec l onde incidente pour former une onde qui sera dite stationnaire si l obstacle est parfaitement réfléchissant. Démonstration : Considérons le cas où l obstacle, fixé en O, réfléchit complètement l onde incidente (i pour incident et r pour réfléchi) et intéressons au déplacement (x, t) d une particule d air situé en x à l instant t (le déplacement des particules fluides obéit à la même équation d onde) : 3 (x, t) =A r cos Êt 2fix r + A i cos Êt + 2fix 4 + i 72
3 11.1 Aspects théoriques Y 2 Ondes stationnaires de fréquence 1000 Hz x (m) Figure 11.1: Variations spatiales de l amplitude d ondes stationnaires de fréquence 1000 Hz représentées à di érents instants t = 0, s.. +0, s. L obstacle étant fixe, le déplacement du fluide est nul à la surface de celui-ci. Par conséquent, en x =0,ona 0=A r cos(êt + r )+A i cos(êt + i ) t ce qui implique : I r = i + fi A r = A i L onde réfléchie est en opposition de phase avec l onde incidente. L onde résultante s écrit donc : 3 4 2fix (x, t) = 2A i sin(êt + i ) sin Si le signal acoustique est une onde sinusoidale d amplitude a produite par un haut parleur placé en x = L, on a une autre condition aux limites : 3 4 2fiL (L, t) =a sin Êt = 2A i sin(êt + i ) sin d où l on déduit (x, t) =a sin 1 2 2fix sin 1 2 sin(êt) 2fiL Y ] [ i = 0 2A i = a sin( 2fiL ) L onde est donc stationnaire en ce sens qu elle s exprime comme (x, t) =f(x)g(t) : il n y a plus propagation. Il existe des points de l espace où l amplitude est constamment nulle : ce sont les nœuds de l onde stationnaire. Les nœuds sont tels que 2fix = kfi. Ainsi, deux nœuds voisins sont 73
4 11 Mesure de la vitesse du son dans un gaz séparés par d nn = 2 (11.3) Il existe des points de l espace où l onde passe par une amplitude maximale : ce sont les ventres de l onde stationnaire. Les ventres sont tels que 2fix =(2k +1) fi. Ainsi, deux 2 ventres voisins sont séparés par d vv = 2 (11.4) Résonance d une onde stationnaire L amplitude des ventres dépend du terme 3 4 2fiL sin Lorsque ce terme est nul, l onde est théoriquement infini sur les ventres. Bien sûr, pour des raisons évidentes (dissipation d énergie) l amplitude n est pas infinie mais grande. On est alors en présence d une résonance d onde stationnaire qui se présente lorsque la cavité a pour longueur un multiple de /2 ce qui se produit pour certaines fréquences de résonance L = k 2 k = k c s 2L (11.5) Cette condition de résonance est mise à profit dans les caisses de résonance des instruments de musique pour amplifier certaines harmoniques. Remarque La formule précédente donne les fréquences de résonance d une onde stationnaire unidimensionnelle autrement dit pour un tube de rayon infini. Le rayon étant fini, la relation est à modifier. On montre alors que la relation précédente n est valable qu à haute fréquence : k æ k c s 2L quand k æœ 11.2 Manipulation Le tube de Kundt Il s agit d un cylindre dans lequel on envoie une onde acoustique à l aide d un haut-parleur. On place en général, un obstacle dans le tube de façon à former une cavité cylindrique, 74
5 11.2 Manipulation Figure 11.2: Tube de Kundt. dans laquelle règne un système d onde quasi-stationnaire (cf. fig.11.2). Le Haut parleur est alimenté par un GBF en mode sinus. On peut modifier l amplitude de la tension à l aide du bouton LEVEL ainsi que la fréquence avec FREQ. Le microphone est un transducteur qui produit une tension proportionnelle à l onde de pression. Il peut coulisser dans la cavité pour enregistrer le signal acoustique en un point donné. Le signal sortant du microphone est amplifié puis envoyé soit sur un oscilloscope soit sur un voltmètre Première mesure de c s Le principe consiste à mesurer la longueur d onde pour di érentes fréquences à partir de la postion des ventres et des nœuds. Procédez comme suit 1. Fixez la longueur de la cavité à la valeur L =70cm. 2. Fixez la fréquence à la valeur = 400 Hz. 3. À l oscilloscope, observez le signal et vérifiez que le microphone ne sature pas (sinon, faites en sorte d éliminer la saturation). 4. Observez l alternance de nœuds et ventres en déplaçant le microphone. Mesurer la longueur d onde à l aide de la position des nœuds et des ventres. On cherchera à être précis. 5. Répétez l opération pour les fréquences = 600, 1000,...,2000 Hz En portant en fonction de 1 déduire la vitesse du son Deuxième mesure de c s La détermination des fréquences de résonance permet de déduire la vitesse du son à l aide de la formule Procédez comme suit : 1. Fixez la longueur de la cavité à la valeur L =70cm. 2. Imposez un signal sinusoïdal de fréquence 200 Hz. 75
6 11 Mesure de la vitesse du son dans un gaz 3. Fixez le microphone au voisinage du piston : il se trouve alors sur un ventre de pression. 4. Faites croître la fréquence et repérez les 10 premières fréquences de résonance qui rendent l amplitude du ventre maximum. En portant k en fonction de k déduire la vitesse du son. Confrontez les deux valeurs de la vitesse du son et déduire la valeur du coe l air. Attention Ne pas oublier d éteindre le petit ampli en fin de manip! cient de Matériel : Un tube de Kundt avec le haut-parleur associé, un microphone et son amplificateur, un générateur basse fréquence (GBF), un oscilloscope. 76
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