FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2031 CAHIER 7 ET CORRIGÉ
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- Francine Bélanger
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1 FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2031 ET CORRIGÉ
2 TABLE DES MATIÈRES I Introduire le terme * géométrie des transformations TRANSLATIONS Définir une translation Tracer l'image d'une figure par translation... 5 Exercice Déterminer la magnitude et la direction d'une translation... 9 Exercice RÉFLEXIONS Définir une réflexion Tracer l'axe de symétrie dans les figures données Tracer l'image d'une figure par réflexion...14 Exercice Trouver l'image d'une réflexion dans le plan cartésien...21 Exercice ROTATIONS Définir une rotation Trouver l'image par rotation...31 Exercice EXERCICE DE RENFORCEMENT...42 DI-FM BA-PG\98-03
3 THÉORIE INTRODUIRE LE TERME * + TRANSFORMATION Une transformation géométrique est le déplacement des points d'un plan. La figure que l'on obtient s'appelle l'image. Il existe divers sortes de transformations. On va en étudier 3 sortes, soit : 1. la translation; 2. la réflexion; 3. la rotation.
4 THÉORIE TRANSLATIONS 2.1 DÉFINIR UNE TRANSLATION Dans la vie courante, il est possible de faire glisser un objet sans changer sa forme ou ses dimensions. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) 2) Chacune des exemples ci-dessus est un déplacement qui correspond à une translation. On peut aussi employer le terme glissement. Les translations possèdent : 1. un sens (direction); 2. une distance (magnitude).
5 THÉORIE 3 Soit le déplacement par glissement du rectangle ABCD. Le rectangle ArBrCrDr est appelé image par translation de ABCD. A 6 Ar Ar est l'image de A et se lit * A prime +. B 6 Br Br est l'image de B et se lit * B prime +. C 6 Cr Cr est l'image de C et se lit * C prime +. D 6 Dr Dr est l'image de D et se lit * D prime +. Pour décrire une translation, on utilise différentes manières. 1. À l'aide d'une flèche Le point E a subit une translation de 10 unités vers la droite et de 3 unités vers le bas. 2. À l'aide de symboles + - Soit [ 10, 3] 3 unités vers le bas. 10 unités vers la droite.
6 THÉORIE 4 On peut utiliser les symboles suivants pour décrire une translation. D 6 vers la droite G 6 vers la gauche H 6 vers le haut B 6 vers le bas Soit [10D, 3B] signifie 3 unités vers le bas. signifie 10 unités vers la droite. Une translation est un déplacement dans une direction constante dans un plan. L'image est la réplique parfaite de la figure initiale.
7 THÉORIE TRACER L'IMAGE D'UNE FIGURE PAR TRANSLATION On peut observer certaines propriétés en faisant glisser le rectangle ABCD. On remarque que : AB = ArBr pa = par AB ** CD ArBr ** CrDr BC = BrCr pb = pbr BC ** AD BrCr ** ArDr CD = CrDr pc = pcr AD = ArDr pd = pdr Propriétés d'une translation 1. La longueur des côtés correspondants demeure la même. 2. La mesure des angles correspondants demeure la même. 3. La pente des côtés correspondants demeure la même. 4. Les segments (ou droites) parallèles demeurent parallèles. 5. L'ordre des sommets demeure le même.
8 THÉORIE 6 1) Trouver l'image du ª EFG par translation [8G, 10H]. 8G signifie 8 unités vers la gauche. 10H signifie 10 unités vers le haut. 2) Trouver l'image du ABCD par translation [13D, 0]. 13D signifie 13 unités vers la droite. 0 signifie aucun déplacement vertical.
9 THÉORIE 3) Trouver l'image du G HIJK par translation [0,6B]. 0 signifie aucun déplacement horizontal. 6B signifie 6 unités vers le bas. 4) Trouver l'image du LMNO par translation [11D, 9B]. 11D signifie 11 unités vers la droite. 9B signifie 9 unités vers le bas.
10 EXERCICE Trouver l'image de la figure ci-dessous en utilisant les translations suivantes. a. [8G, 0] b. [10D, 5H] c. [0, 3B] d. [11D, 11H] 2. Trouver l'image de la figure ci-dessous en utilisant les translations suivantes. a. [3D, 3H] b. [4G, 0] c. [2G, 2B] d. [9D, 6H]
11 THÉORIE DÉTERMINER LA MAGNITUDE ET LA DIRECTION D'UNE TRANSLATION À partir d'une figure et de son image, il est possible de déterminer la magnitude (la distance) et la direction (le sens) d'une translation. Soit la translation de la figure suivante PQRST P 6 Pr On a exécuté un déplacement de 5 unités vers la Q 6 Qr droite : 5D et de 10 unités vers le bas : 10B. R 6 Rr On peut décrire la translation comme suit : [5D, 10B]. S 6 Sr T 6 Tr Donc, la magnitude serait de 5 unités et de 10 unités; et la direction serait vers la droite et vers le bas.
12 THÉORIE 10 +)))))))), *Exemple *.))))))))- Trouver la magnitude et la direction de la translation suivante. Translation : [D, 4H]
13 EXERCICE Trouver la magnitude et la direction des translations suivantes. a. d. b. e. c. f.
14 THÉORIE RÉFLEXIONS 3.1 DÉFINIR UNE RÉFLEXION Observer les figures suivantes. En observant ces figures, on réalise qu'il est possible de plier ces figures et obtenir deux parties congrues. Chaque figure donne l'idée de réflexion ou de rabattement. Une réflexion est un déplacement par retournement autour d'un axe.
15 THÉORIE TRACER L'AXE DE SYMÉTRIE DANS DES FIGURES DONNÉES Chacune des figures de la page 12 a une propriété commune. Il est possible de les diviser en deux parties congrues. Soient les figures suivantes. La droite qui divise une figure en deux parties congrues s'appelle axe de symétrie.
16 THÉORIE TRACER L'IMAGE D'UNE FIGURE PAR RÉFLEXION Pour tracer l'image d'une figure par réflexion, on doit utiliser l'axe de symétrie. Cette axe agit comme un miroir. On retrouve la même figure appelée image à équidistance de l'axe de symétrie. Soit le ª XYZ et l'axe de symétrie D. On rabat le ª XYZ autour de l'axe D, c'est-à-dire que l'on place l'image du ª XYZ à équidistance de l'axe. Les 3 sommets sont X, Y et Z et les images par réflexion de ces sommets Xr, Yr et Zr.
17 THÉORIE 15 Le sommet X est à 4 unités de l'axe de symétrie, alors l'image de ce point, Xr est à 4 unités de l'axe. Le sommet Y est à 6 unités de l'axe de symétrie, alors l'image de ce point, Yr est à 6 unités de l'axe. Le sommet Z est à 2 unités de l'axe de symétrie, alors l'image de ce point, Zr est à 2 unités de l'axe. En joignant Xr, Yr et Zr, l'on obtient l'image par réflexion du ª XYZ. Le triangle XrYrZr est appelé l'image par réflexion du ª XYZ. X 6 Xr Xr est l'image de X. Y 6 Yr Xr se lit * x prime +. Z 6 Zr
18 THÉORIE 16 Propriétés d'une réflexion 1. La longueur des côtés correspondants demeure la même. 2. La mesure des angles correspondants demeure la même. 3. Les segments XXr, YYr et ZZr sont perpendiculaires à l'axe de symétrie. 4. L'axe de réflexion est la médiatrice de XXr, YYr et ZZr. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Trouver l'image par réflexion du G ABCD.
19 THÉORIE 1
20 THÉORIE 18 2) Trouver l'image par réflexion du ª MNO. 3) Trouver l'image par réflexion de la figure EFGH.
21 THÉORIE 19 4) Trouver l'image par réflexion de la figure de gauche.
22 EXERCICE Trouver l'axe de symétrie des figures suivantes. a. d. b. e. c. f.
23 EXERCICE Trouver l'image par réflexion des figures suivantes. a. d. b. e. c. f.
24 THÉORIE TROUVER L'IMAGE D'UNE RÉFLEXION DANS LE PLAN CARTÉSIEN Quand on utilise le plan cartésien comme grille et l'axe des * x + ou des * y + comme axe de symétrie, on remarque qu'il existe une relation entre les coordonnées des sommets correspondants. Soit à trouver l'image par réflexion du ª ABC en utilisant l'axe des * y + comme axe de symétrie.
25 THÉORIE 23 Les coordonnées des sommets des triangles sont les suivantes. a. ª ABC b. ª ArBrCr - A ( 5,8) Ar (5,8) - B ( 6,3) Br (6,3) - C ( 1,1) Cr (1,1) Soit à trouver l'image par réflexion du G LMNO en utilisant l'axe des * x + comme axe de symétrie.
26 THÉORIE 24 Les coordonnées des sommets des carrés sont les suivantes. a. G LMNO b. G LrMrNrOr L (2,8) Lr (2,-8) M (2,3) Mr (2,-3) N (,3) Nr (,-3) O (,8) Or (,-8) 1. Si l'axe de symétrie est l'axe des * x +, le rapport d'une réflexion est indiqué par la règle de correspondance - suivante : (x,y) 6 (x, y). 2. Si l'axe de symétrie est l'axe des * y +, le rapport d'une réflexion est indiqué par la règle de correspondance - suivante : (x,y) 6 ( x,y).
27 THÉORIE 25 +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Trouver l'image par réflexion du EFGH en utilisant l'axe des * x + comme axe de symétrie. Les coordonnées des sommets des trapèzes sont les suivantes. a. EFGH b. ErFrGrHr E (,6) Er (, 6) F ( 9,3) Fr ( 9, 3) G ( 1,3) Gr ( 1, 3) H ( 3,6) Hr ( 3, 6)
28 THÉORIE 26 2) Trouver l'image par réflexion du PQRS en utilisant l'axe des * y + comme axe de symétrie. Les coordonnées des sommets des parallélogrammes sont les suivantes. a. PQRS b. PrQrRrSr P (, 2) Pr (, 2) Q (10, 5) Qr ( 10, 5) R (5, 5) Rr ( 5, 5) S (2, 2) Sr ( 2, 2)
29 EXERCICE En utilisant l'axe des * x + comme axe de symétrie : a. trouver les images par réflexion des polygones suivants; b. trouver les coordonnées des sommets de ces polygones.
30 EXERCICE En utilisant l'axe des * x + comme axe de symétrie : a. trouver les images par réflexion des polygones suivants; b. trouver les coordonnées des sommets de ces polygones.
31 EXERCICE Compléter le tableau. coordonnées de la figure initiale (10,2) (4,?) - - ( 3, 3) (9,9) (?,8) - ( 6,4) coordonnées de l'image - (?, 2) - ( 4,) (3,?) - (9, 9) - - ( 9, 8) (6,4) axe de symétrie axe des * x + axe des * y + axe des * y +? axe des * x +?
32 THÉORIE ROTATIONS 4.1 DÉFINIR UNE ROTATION En observant les ailes du moulin à vent ci-dessus, on réalise qu'elles changent seulement de position par rapport à un point fixe. Cet exemple est une transformation qui correspond à une rotation. Une rotation est un déplacement qui fait tourner une figure d'un certain angle autour d'un point et dans un sens donné.
33 THÉORIE 30 Une rotation est caractérisée par un point fixe appelé centre de rotation et un angle de rotation. On représente une rotation par un arc fléché correspondant à l'angle de rotation. La rotation s'effectue autour du centre de rotation, dans le sens indiqué par la flèche et selon la grandeur de l'angle correspondant à l'arc donné. On appelle sens rétrograde, une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre et sens direct, une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) 90E pour dire une rotation de 90E dans le sens rétrograde (sens des aiguilles d'une montre) 2) 90E pour dire une rotation de 90E dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d'une montre) Souvent on utilise les termes : * demi-tour + pour désigner une rotation de 180E, * quart de tour + pour désigner une rotation de 90E et * trois quarts de tour + pour désigner une rotation
34 THÉORIE 31 de 20E.
35 THÉORIE TROUVER L'IMAGE PAR ROTATION En faisant subir une rotation à une figure, il est possible d'observer certaines propriétés. Soit trouver l'image par rotation du ª ABC s'il subit une rotation de 90E dans le sens direct à partir de * 0 +. On remarque que : AC = ArCr pc AB = ArBr pb BC = BrCr pa = pcr = pbr = par ª ArBrCr est l'image du ª ABC
36 THÉORIE 33 Propriétés d'une rotation 1. L'ordre des points dans les figures demeure le même. 2. La mesure des angles correspondants demeure la même. 3. La mesure des côtés correspondants demeure la même. 4. La forme des figures demeure la même.
37 THÉORIE 34 +)))))))), *Exemples*.)))))))) 1) Trouver l'image par rotation du quadrilatère IJKL si cette figure subit une rotation de 110E, dans le sens direct, à partir du centre de rotation * 0 +.
38 THÉORIE 35
39 THÉORIE 36 On remarque que : 1. L'ordre des points IJKL et IrJrKrLr demeure le même; 2. IJ = IrJr JK = JrKr KL = KrLr IL = IrLr 3. pi = pir pj = pjr pk = pkr pl = plr 4. IJKL = IrJrKrLr Particularité : Il est possible de faire une rotation dans un plan cartésien en utilisant comme centre * 0 + les coordonnées (0,0). Soit dans un plan cartésien, à trouver l'image par rotation du ª RST si ce ª subit une rotation - d'un demi-tour (180E) dans le sens rétrograde. Les coordonnées des sommets sont : R ( 4,2), S ( 5, 6) et T ( 2, 4). Trouver les coordonnées du ª RrSrTr (l'image par rotation) en utilisant comme centre * 0 +, les coordonnées (0,0).
40 THÉORIE 3 - Les coordonnées du ª RrSrTr sont : Rr (4, 2) Sr (5,6) Tr (2,4)
41 THÉORIE 38 2) Trouver l'image par rotation du polygone JKLMN si cette figure subit une rotation de 0E, sens rétrograde à partir du centre de rotation * 0 +. La figure JrKrLrMrNr est l'image par rotation.
42 THÉORIE 39 3) Dans le plan cartésien, le rectangle ABCD subit une rotation de 90E sens direct, à partir du centre. Trouver l'image par rotation de cette figure si ces coordonnées sont : A (5,8); B (1,4); C (3,2) et D (,6). Le ArBrCrDr est l'image par rotation.
43 EXERCICE Mesurer les rotations suivantes. a. b.
44 EXERCICE 5 41 c. d.
45 EXERCICE Reproduire et trouver l'image par rotation des figures suivantes. a. 180E d. 105E b. 20E e. 215E c. 90E f. 60E
46 EXERCICE Dans un plan cartésien, trouver les coordonnées de l'image par rotation du ªLMO dont les coordonnées sont : L (5,5); M (1,2) et N (5,0) si cette figure subit une rotation de 180E sens direct à partir du centre 0.
47 EXERCICE DE RENFORCEMENT EXERCICE DE RENFORCEMENT 1. Compléter les phrases suivantes. a. On peut appeler un glissement, une. Ce genre de transformation possède deux dimensions : un et une. b. On peut appeler un rabattement, une. La droite qui divise une figure en deux parties congrues s'appelle. c. On peut définir une comme un déplacement autour d'un angle. Il existe deux directions ou sens soit : sens, sens. 2. Trouver l'image de la figure ci-dessous en utilisant les translations suivantes. a. [4G, 4H] b. [0, 3B] c. [D, 2B] d. [5D, 0]
48 EXERCICE DE RENFORCEMENT Trouver la magnitude et la direction des translations suivantes. a. c. b. d.
49 EXERCICE DE RENFORCEMENT Tracer l'axe de symétrie. a. b. c. 5. Trouver l'image par réflexion des figures suivantes. a. c. b. d.
50 EXERCICE DE RENFORCEMENT 4 6. Trouver l'image par réflexion du cerf-volant PQRS en utilisant; a) axe des * y + comme axe de symétrie; b) axe des * x + comme axe de symétrie; c) nommer les coordonnées de ces deux images par réflexion.
51 EXERCICE DE RENFORCEMENT 48. Trouver l'image par rotation des figures suivantes. a. 80E b. 180E c. 90E d. 145E
52 FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2031 CORRIGÉ (Cahier ) DI-NL
53 BA-PG\98-03
54 CORRIGÉ 1 EXERCICE 1, PAGE 8 1. a. b.
55 CORRIGÉ 2 c. d.
56 CORRIGÉ 3 2. a. c. b. d.
57 CORRIGÉ 4 EXERCICE 2, PAGE a. [D, 2B] d. [4D, 4H] b. [8G, 0] e. [2D, H] c. [4D, 9H] f. [3G, 2B] EXERCICE 3, PAGE a. c. b. d.
58 CORRIGÉ 5 e. f. Il est possible d'avoir plus qu'un axe de symétrie. 2. a.
59 CORRIGÉ 6 b. c.
60 CORRIGÉ d. e.
61 CORRIGÉ 8 f. EXERCICE 4, PAGE a.
62 CORRIGÉ 9 b. WXYZ 6 WrXrYrZr - - W ( 6, 3) - - X ( 9, ) - - Y ( 3, ) - - Z ( 3, 3) - 6 Wr ( 6, 3) - 6 Xr ( 9, ) - 6 Yr ( 3, ) - 6 Zr ( 3, 3) ABCDEFGH 6 ArBrCrDrErFrGrHr A (4, 8) - 6 Ar (4, 8) B (4, 5) - 6 Br (4, 5) C (1, 5) - 6 Cr (1, 5) D (1, 2) - 6 Dr (1, 2) - E (10, 2) 6 Er (10, 2) F (10, 5) - 6 Fr (10, 5) G (, 5) - 6 Gr (, 5) H (, 8) - 6 Hr (, 8)
63 CORRIGÉ a.
64 CORRIGÉ 11 b. EFGH 6 ErFrGrHr - E (, 5) Er (, 5) - F ( 8, 1) Fr ( 8, 1) - G ( 3, 3) Gr ( 3, 3) - H ( 2, ) Hr ( 2, ) IJKLMNOP 6 IrJrKrLrMrNrOrPr - I (4, 2) - J (2, 4) - K (2, ) - L (4, 9) - M (, 9) - N (9, ) - O (9, 4) - P (, 2) 6 Ir (4, 2) 6 Jr (2, 4) 6 Kr (2, ) 6 Lr (4, 9) 6 Mr (, 9) 6 Nr (9, ) 6 Or (9, 4) 6 Pr (, 2) 3. coordonnées de la figure initiale (10, 2) (4, ) - - ( 3, 3) (9, 9) - ( 9, 8) - ( 6, 4) coordonnées de l'image - (10, 2) - ( 4, ) - (3, 3) - (9, 9) - - ( 9, 8) - - ( 6, 4) axe de réflexion axe des * x + axe des * y + axe des * y + axe des * x + axe des * x + axe des * y +
65 CORRIGÉ 12 EXERCICE 5, PAGE a. 55E c. b. 180E 90E d. 140E 2. a. b.
66 CORRIGÉ 13
67 CORRIGÉ 14 c. d. e.
68 CORRIGÉ 15 f.
69 CORRIGÉ 16 EXERCICE 5, PAGE L 1 (-5, -5) M 1 (-1, -2) N 1 (-5, 0) EXERCICE DE RENFORCEMENT, PAGE a. Translation, sens (direction), une distance (magnitude) b. Réflextion, axe de symétrie c. Rotation, rétrograde, direct a) 4D3B b) 5D5H c) 5G9B
70 CORRIGÉ 1 d) 6G5H 4. a) 5. a) c)
71 CORRIGÉ 18 b) d)
72 CORRIGÉ 8 6. c. Axe des "y" P (-6, 9), Q (-4, ), R (-6, 2), S (-8, ). Axe des "x" P (6, -9), Q (4, -), R (6, -2), S (8, -).
73 CORRIGÉ 9. a) b)
74 CORRIGÉ 80 c) d)
75 FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2031 DEVOIR ET CORRIGÉ
76 DEVOIR 1 1. (20 pts) Trouver l'image de la figure suivante en utilisant les translations suivantes. a. b. c. d. [2D, 5H] [0, 8B] [4G, 0] [D, 6H] (6 pts) 2. Trouver la magnitude et la direction des translations suivantes. a. b. DI-FM BA-PG\98-04
77 DEVOIR 2 (6 pts) 3. Tracer l'axe de symétrie. 4. Trouver l'image par réflexion des figures suivantes. (10 pts) a. b.
78 DEVOIR 3
79 DEVOIR 4 5. En utilisant l'axe des * x + comme axe de symétrie : (10 pts) a. trouver les images par réflexion des polygones suivants; ( 6 pts) b. trouver les coordonnées des sommets de ces polygones.
80 DEVOIR 5 6. En utilisant l'axe des * y + comme axe de symétrie : (10 pts) a. trouver les images par réflexion des polygones suivants; ( 6 pts) b. trouver les coordonnées des sommets de ces polygones.
81 DEVOIR 6. Mesurer les rotations suivantes. (10 pts) a.
82 DEVOIR b. 8. Reproduire et trouver l'image par rotation des figures suivantes. (10 pts) a.
83 DEVOIR 8
84 DEVOIR 9 b. 9. Dans le plan cartésien, trouver les coordonnées de l'image par rotation du (6 pts) ABCD dont les coordonnées sont : A (1, ); B (3, 2); C (8, 4) et D (6, 9) si cette figure subit une rotation de 20E sens rétrograde à partir du centre 0.
85 CORRIGÉ DEVOIR 1 1. a. b.
86 CORRIGÉ DEVOIR 2
87 CORRIGÉ DEVOIR 3 c. d.
88 CORRIGÉ DEVOIR 4 2. a. [4D, B] b. [0, 9H] a.
89 CORRIGÉ DEVOIR 5 b. 5. a.
90 CORRIGÉ DEVOIR b. Ar ( 2, ) Br ( 5, 2) Cr ( 2, 4) Dr (3, 3) Er (3, ) Fr (5, 9) Gr (, ) Hr (, 3) 6. a b. Ir ( 4, 8) Jr ( 4, 6) Kr ( 2, 6) Lr ( 2, 4) Mr ( 4, 4) Nr ( 4, 2) Or ( 6, 2) Pr ( 6, 4) Qr ( 8, 4) Rr ( 8, 6) Sr ( 6, 6) Tr ( 6, 8) Ur (6, 3) Vr (6, 5) Wr (9, 5) Xr (9, 8) Yr (3, 8) Zr (3, 3)
91 CORRIGÉ DEVOIR. a. 110E b. 180E 8. a.
92 CORRIGÉ DEVOIR 8 b.
93 CORRIGÉ DEVOIR 9 9.
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