XVII. Les nombres complexes.

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1 XVII. Les ombres complexes.. Itroducto Progressvemet, ous avos agrad les esembles de ombres e passat de N à Z pus à Q et ef à R. Ces agradssemets ot doé la possblté de résoudre de plus e plus d'équatos. L'équato x + 5 = 'a pas de soluto das N mas e a ue das Z : x = - L'équato x + 5 = 'a pas de soluto das Z mas e a ue das Q : x = L'équato x - = 0 'a pas de soluto das Q mas e a deux das R : x = Cepedat ous avos recotré des équatos du secod degré 'ayat pas de soluto das R Exemple : l'équato x - x + 5 = 0 'admet pas de soluto réelle car so réalsat est égatf : = - Nous allos mateat mager u ombre dot le carré serat égal à -. Ce ombre 'appartet évdemmet pas à l'esemble des réels pusque le carré de tout ombre réel est postf : c'est u ombre magare. E supposat que l'o calcule avec comme s'l s'agssat d'u ombre réel, ous pouvos poursuvre la résoluto de l'équato proposée et ous obteos les solutos : x = + et x = - Chacue de ces solutos est appelée ombre complexe. Cocluso : u ombre complexe s'écrt sous la forme a + b où a et b sot des ombres réels et u ombre magare dot le carré est - a est la parte réelle et b la parte magare de a + b Les ombres complexes dot la parte réelle est ulle sot appelés ombres magares. Les ombres complexes dot la parte magare est ulle sot des ombres réels. Les ombres complexes ot de ombreuses applcatos das le domae scetfque, otammet e électrcté où les "phaseurs" sot des ombres complexes représetat l ampltude et le déphasage du courat.. Représetato géométrque : le pla de Gauss. Noto Lors de la costructo des esembles de ombres, ous avos représeté ces esembles (N, Z, Q, R) sur ue drote graduée. Cette drote s'est as progressvemet "remple" Nous costatos drectemet que les ombres complexes a + b où b 0 e trouverot pas place sur ue telle drote. Assez aturellemet, à tout ombre complexe z = a + b, ous allos y Z(a,b) assocer u pot Z de coordoée (a, b) z=a+b Ce pot Z(a, b) est appelé pot-mage du ombre complexe z = a + b Le ombre complexe z = a + b est appelé affxe du pot Z(a, b) Le pla mu d'u repère orthoormé où les pots sot marqués par des ombres complexes est appelé pla complexe ou pla de Gauss. Das ce pla, l'axe Ox est appelé axe réel et l'axe Oy, l'axe magare. O x. Exercces Détermer l'mage, das le pla complexe, de chacu des ombres complexes suvats : //0 CNDP Erpet - Les ombres complexes XVII -

2 . Règles de calcul. Addto de deux ombres complexes (a + b ) + (a' + b') = (a + a') + (b + b') Ex : ( + 5) + (-6 - ) = - +. Produt de deux ombres complexes (a + b ). (a' + b') = aa' + ab' + a'b + bb' = (aa' - bb') + (ab' + a'b) Ex : ( + 5). (6 - ) = Multplcato d'u ombre complexe par u réel. r. (a + b) = ra + rb.4 Pussaces de à exposats aturels. 0 = = = - = -. = - 4 = ( ) = (-) = 5 = 4. = et à partr de là 6 = - 7 = - 8 =... Gééralsato : 4k = 4k+ = 4k+ = - 4k + = - Exemple : 57 = 56. = 78. = (-) 78 =.5 Quotet de deux ombres complexes.5. Iverse d'u ombre complexe Remarquos : (a + b). (a - b) = a + b Les ombres complexes a + b et a - b ot la même parte réelle et des partes magares opposées. Ces ombres sot appelés complexes cojugués ; leur produt est u ombre réel postf Le complexe cojugué du ombre complexe z est oté z Cette proprété est utle pour calculer l'verse d'u ombre complexe : Exemple : 5 ( 5)( 5) 5 6 Remarquos que est be l'verse de (+5). E effet :. (+5) = = Exemple : = -.5. Quotet Exemple : ( ).( ) 6 ( ).( ) 9 = Exercces A. Calculer :. ( ) + 5 ( + ). (4 ). ( + 5) ( ) ( ) cos a s a B. Calculer. z pour z = + et z = - z. z pour z = et z = - z XVII - CNDP Erpet - Les ombres complexes 7//0

3 z z. z z pour z = - et z = + 4. z z pour z = + 4 z C. Démotrer a) que la somme des cojugués de deux ombres complexes est égale au cojugué de la somme de ces deux ombres b) que le produt des cojugués de deux ombres complexes est égal au cojugué du produt de ces deux ombres. c) E est-l de même pour le quotet?.7 Iterprétato géométrque des opératos sur les ombres complexes trasformatos du pla..7. L'addto. Exemple : cosdéros les ombres complexes z = -, z = - +, z = et z = + Calculos z ' = z + z, z ' = z + z et z ' = z + z E plaçat les pots Z, Z, Z, Z, Z ', Z ', Z ', affxes des ombres complexes précédets, das le pla de Gauss et e observat les relatos etre ces pots, ous pouvos coclure : y z + z' z Das le pla de Gauss : addtoer deux ombres complexes revet à applquer à l'u d'eux ue traslato de vecteur v z' dot les composates sot la parte réelle et la parte magare de l'autre. O x.7. La multplcato par u réel Exemple : repreos l'exemple précédet, et calculos : z " = z et z" = z Après avor placé les pots Z " et Z ", affxes de z " et z ", ous pouvos coclure : Das le pla de Gauss : Multpler u ombre complexe z par u réel a équvaut à détermer l'mage de ce ombre complexe par ue homothéte de cetre O et de rapport a y O z z' x.7. La multplcato E repreat les valeurs choses das l'exemple précédet, calculos z " = z. z et z " = z. z et plaços les pots Z " et Z " das le pla de Gauss. Nous costatos qu'l est dffcle actuellemet de précser quelle trasformato ot sube les pots Z et Z Nous revedros ultéreuremet sur cette terprétato. 4. Equatos du secod degré. 4. Equatos bômes. O appelle équato bôme ue équato du type z = a + b où z est l'coue. 4.. Exercce résolu Sot à résoudre l'équato z = -8-6 Sot z = x + y où x et y sot des réels. ous avos doc (x + y) = x - y + xy = -8-6 x y 8 () x y 64 4 x xy 6 () 4x y 6 4x x y y E addtoat membre à membre ces équatos, ous obteos : x 4 + x y + y 4 = 00 x y 00 6 y 4 64 x + y = 0 E repreat l'équato () x y 0 x (e addtoat et soustrayat membre à membre ces équatos) : x y 8 y x 8 y 9 7//0 Les ombres complexes XVII -

4 x or, par l'équato (), y = x = et y = - ou x = - et y = y x Les solutos de l'équato proposée sot doc les ombres complexes z = - et z = - + Ce sot les ombres complexes dot le carré vaut Exercces : Résoudre les équatos suvates :. z + = 0. z + 9 = 0. z - = 0 4. z = z = 0 Solutos ) z = ) z = ) z = ( + ) 4) z = ( + ) 5) z = ( + 4) 4. Equatos complètes 4.. Exemple résolu Résoudre l'équato : - x + ( - ) x - ( + ) = 0 = ( - ) - 4 ( + ) = = Les résultats du pot 4.. permettet d'avor = (- + ) et ous obteos as les solutos de l'équato proposée : x = = - et x = = Exercces Résoudre les équatos suvates :. x + x + = 0. x + x + = 0. x + ( + ) x = 0 4. x + ( + )x + = 0 5. x + ( - )x - ( + ) = 0 6. x + x - = 0 7. x + ( + )x + - = 0 8. x - (5 + ) x + 5( + )= 0 Solutos:. = - ; x = ( - ). = -4; -. x = 0 ou x = = - 4 ; x = - ou x = - 5. = ; x = ou x = = -; x = - ou x = - 7. = 4; x = - ou x = = - ; x = - ou x = - 9. = 5 + ; x = + ou x = x - x - ( + ) = 0 0. x - 7x = 0. 6x - (5 + 7)x = 0. - x + ( - ) x - ( + ) = 0. x + ( + ) x - ( - ) = 0 4. (- + )x + (5 - ) x + = 0 5. ( - 4 )x + (8-0)x = 0 0. = ; x = + ou x = -. = 0 + ; x = ou x =. = - 8 6I; x = - ou x = - +. = - ; x = ou x = - 4. = - 8; x = - + ou x = ( + ) 5 5. = 4; x = 0 (- - ) ou x = (- - ) 5. Forme trgoométrque des ombres complexes. 5. Noto Cosdéros u ombre complexe o ul : z = a + b et Z so potmage das le pla complexe. Le pot Z est détermé par sa dstace à l'orge : = OZ et par l'agle formé par les dem-drotes [OX et [OZ. O peut exprmer a et b e focto de et de : a = cos et b = s z = (cos + s) oté auss z = cs Cette écrture du ombre complexe z est sa forme trgoométrque. XVII - 4 CNDP Erpet - Les ombres complexes 7//0

5 Il s'agt e quelque sorte d'u chagemet de coordoées das le pla de Gauss : (a, b) est la coordoée cartésee du pot Z et (, ) est la coordoée polare de ce même pot. a b Ces deux systèmes de coordoées sot relés par les relatos : a cos b s Remarque : = arcta a b ou = + arcta a b selo le quadrat où se stue le pot (a, b) O peut auss se servr des égaltés cos = a et s = b et ta est appelé module de z et est souvet oté z. Géométrquemet, l est la logueur du segmet qu jot l'orge au pot Z L'agle est appelé argumet de z. est l'agle formé par la parte postve de l'axe réel et le segmet qu jot l'orge au pot Z. N.B. : le ombre 0 'a pas d'argumet et a 0 comme module. Les ombres réels postfs ot u argumet ul et sot égaux à leur module. Les ombres réels égatfs ot u argumet égal à et leur module est égal à leur valeur absolue. Les ombres magares purs (de la forme b) ot u argumet égal à lorsque b > 0 et das ce cas, leur module vaut b. Ils ot u argumet égal à lorsque b < 0 et leur module vaut b. Exemple : Détermer la forme trgoométrque de + Sot Z le pot-mage de +. = = ta = et (, ) quadrat = 45 + = (cos 45 + s 45 ) = cs 45 Exemple : Détermer la forme trgoométrque de - Sot Z le pot mage de - = = = das le pla complexe. ta = et (, - ) 4 ème quadrat = 0 - = (cos 0 + s 0 ) = cs 0 Exemple : Détermer la forme trgoométrque de - Sot Z le pot mage de - das le pla complexe. = = ta = et (-, ) quadrat = 80-56, =,7 - (cos,7 + s,7 ) = cs,7 b a 5. Remarques.. Deux ombres complexes cojugués ot le même module et des argumets opposés. Leurs pots-mages assocés sot symétrques par rapport à l'axe réel.. Le produt de deux ombres complexes cojugués est le carré de leur module : e effet : (a + b). (a - b) = a + b = 7//0 Les ombres complexes XVII - 5

6 5. Exercces Détermer la forme trgoométrque des ombres complexes suvats ( +) 6. Produts, quotets, pussaces de ombres complexes écrts sous forme trgoométrque. 6. Produts Cosdéros deux ombres complexes o uls écrts sous forme trgoométrque : z = (cos + s ) et z' = ' (cos ' + s ') Calculos leur produt : zz'= (cos + s ). ' (cos ' + s ') = ' [cos cos ' - s s ' + (s cos ' + s ' cos )] et zz' = ' [cos ( + ') + s ( + ')] = ' cs ( + ') Cocluso : Le produt de pluseurs ombres complexes o uls est u ombre complexe dot le module est le produt des modules des facteurs l'argumet est la somme des argumets des facteurs. Exemples. [cos 4 + s 4 ]. [cos + s ] = [cos ( 4 + ) + s ( 4 + )] = [cos 7 + s 7 ].. [cos 6 + s 6 ] = [cos + s ]. [cos 6 + s 6 ] = [cos ( + 6 ) + s ( + 6 ) = cos + s Iterprétato géométrque Das le cas de la somme de ombres complexes et de la multplcato d'u ombre complexe par u réel, ous avos pu précédemmet précser le le etre ces opératos et les trasformatos du pla (traslato et homothéte). La règle du produt de ombres complexes écrts sous forme trgoométrque ous permet mateat d'établr u le semblable. Das le pla de Gauss : multpler u ombre complexe z (de module et d'argumet ) par u autre ombre complexe z' (de module ' et d'argumet '), revet à applquer au ombre complexe z ue rotato d'agle ' suve d'ue homothéte de cetre o et de rapport égal au module de z'. Cas partculers : a) Multpler le ombre complexe z par effectuer das 0 ue rotato de cetre O et d'agle de oz b) Multpler le ombre complexe z par a (a R) effectuer das 0 ue homothéte de cetre O et de rapport a sur le vecteur oz comme ous l'avos motré précédemmet. 6. Iverse z = (cos + s ) et z' = ' (cos ' + s ') so verse. O a z. z' = = ' [cos ( + ') + s ( + ')] Or le module de vaut et so argumet vaut 0. ' = et + ' = 0 : ' = et ' = - XVII - 6 CNDP Erpet - Les ombres complexes 7//0

7 Cocluso : l'verse d'u ombre complexe o ul z est u ombre complexe dot le module est l'verse du module de z l'argumet est l'opposé de l'argumet de z Cas partculer : cos + s et cos - s sot deux ombres complexes verses. = cos - s et = cos + s cos s cos s 6. Quotet A partr de l'égalté : z z' = z. z' et des pots 6. et 6., ous cocluos : Le quotet de deux ombres complexes o uls est u ombre complexe dot le module est le quotet du module du premer par le module du secod l'argumet est la dfférece etre l'argumet du premer et l'argumet du secod. Das le pla de Gauss : dvser u ombre complexe z (de module et d'argumet ) par u autre ombre complexe z' (de module ' et d'argumet '), revet à applquer au ombre complexe z ue rotato d'agle -' suve d'ue homothéte de cetre o et de rapport égal à l'verse du module de z'. 6.4 Pussace à exposat aturel o ul: formule de Movre. Cosdéros u ombre complexe o ul écrt sous forme trgoométrque : z = (cos + s ) et N 0 E applquat la règle du produt au calcul de z o obtet : E partculer, s = coue sous le om de formule de Movre z = [ (cs )] = (cs ) (cs ) = (cs ) E se basat sur l'terprétato graphque du produt de ombres complexes, ous trouvos asémet la représetato das le pla de Gauss des pussaces successves d'u ombre complexe. Extesos de la formule de Movre:. O a auss :(cos - s ) = (cos - s ) = E effet : (cos - s ) = cos s (cos s ) = = cos - s cos s. la formule de Movre est ecore valable pour les pussaces dot l'exposat est u ombre eter strctemet égatf. E effet, s est u ombre eter strctemet postf, alors - est u ombre eter strctemet égatf. Et : (cs ) - = (cos s ) = = cos - s = cos (-) + s (-) = cs (-) cos s 6.5 Applcatos Applcato a) Calculer ( + ) 5 Soluto : 4 ( - ) 7//0 Les ombres complexes XVII - 7

8 b) Détermer la forme trgoométrque de (+) ( -) et de Solutos : a) 6 (cs 45 ) b) 6 6 (cs 05 ) 6.5. Applcato E utlsat la formule de Movre, a) retrouver les formules exprmat s x et cos x e focto de s x et de cos x b) calculer s x et cos x e focto de s x et de cos x 6.5. Applcato : résoluto d'équatos bômes a) résoudre l'équato z = Remarquos que das R, cette équato a ue soluto uque :. Nous allos vor que das C, cette équato a solutos dot la soluto réelle Sot z = cs Or = cs 0 L'équato z = cs = cs 0 = = et = 0 + k (k Z) = k. (k Z) L'équato proposée a doc tros solutos : s k = 0 : z = cs 0 = et ous retrouvos la soluto réelle s k = : z = cos + s = - + s k = : z = cos s = - - Les solutos ot pour pots-mages les sommets d'u tragle équlatéral scrt das le cercle cetré à l'orge et dot le rayo vaut ; u des sommets de ce tragle est le pot-mage de b) résoudre l'équato : z 4 = Sot z = cs or : = 6 cs L'équato z 4 = cs 4 = 6 cs [ 4 = 6 = ] et [4 = + k = + ] L'équato tale a doc quatre solutos : 7 7 s k = 0 : z = (cos + s ) s k = : z = (cos + s ) 9 9 s k = : z = (cos + s ) s k = : z4 = (cos + s ) Les solutos ot pour pots-mages les sommets d'u carré scrt das le cercle cetré à l'orge et dot le rayo est comme l'llustre la fgure c-cotre Gééralsato U ombre complexe z = cs admet races èmes O motre asémet que celles-c k sot doées par z k = cs k {0,,,, } Das le pla de Gauss, ces races sot les sommets d'u polygoe réguler scrt das u cercle de rayo et de cetre O comme l'llustre le graphque c-cotre das le cas où = 5 et = 0 Cas partculer : les races èmes k de l'uté sot cs et se stuet sur u cercle de cetre O et de rayo utare, la premère état l'uté. La fgure c-cotre llustre le cas des races cquèmes de l'uté. XVII - 8 CNDP Erpet - Les ombres complexes 7//0

9 6.5.5 Théorème d'alembert (77/78) U polyôme de degré, à coeffcets complexes admet races complexes, dstctes ou o. Ce théorème, appelé auss théorème fodametal d'algèbre sera adms sas démostrato. Remarquos smplemet qu'l est la coséquece du théorème suvat : U polyôme de degré, à coeffcets complexes, a au mos ue race complexe. E effet, dès lors, P(x) état u polyôme de degré, l a ue race x et P(x) = (x x ) Q(x), Q(x) état de degré, et as de sute. Doc P(x) = a (x x ) r (x x ) r (x x p ) rp avec r + r + + r p = 7. Exercces 7. Détermer la parte réelle et la parte magare des ombres complexes dot le module est et l'argumet mesure Démotrer ) z z' z z' ) zz' = z z. ' ) z z 4) z. z = z 7. Calculer le module et l'argumet des pussaces successves de Calculer : ( - ) ) ( + ) 00 ) ( + ) 8 + ( - ) 8 ) ( + ) 8 - ( - ) 8 sol : ) ( - ) 99 )- 8 ) ( + ) 7.5 Résoudre les équatos suvates :. ( - )z - z - ( + ) = 0. z - (5 - )z = 0. z - (5-4 ) z + 9 = 0 Solutos. z = + z = - -. z = - z = z = z = 4. z - 4 ( - ) z + (4 - ) = 0 5. z - ( + )z + - = 0 4. z = - 5 z = + 5. z = - z = 7.6 Résoudre les équatos bômes suvates :. z = - 8. z 5 = -. z 8 = - 8 Solutos. z = cs = z = cs. z k = 5 cs k 0 0 k {0,,,, 4}. z k = 8 8 cs k 6 4 k {0,, 7} 4. z 6 = - 5. z 5 = - 6. z 5 = + 7. z 5 = 8. z = 0 9. z = ( - ) 7 = - - z = cs 6 = 6 - I 4. z k = cs k 6 k {0,, 5} 5. z k = 0 8 cs k 0 5 k {,,, 4, 5} 0. z 4 = + 7//0 Les ombres complexes XVII - 9

10 6. z k = 0 cs k 0 5 k {0,,,, 4} 7. z k = cs k k {0,, 4} 5 8. z k = 8 cs k k {0,,, } 6 9. z k = cs k k {,, } 8 0. z k = 8 cs k k {0,,, } Exercces gééraux. Résoudre : [( - z) - ( + z)] [( - z) + ( - z) ( + z) + ( + z) ] = 0 sol : ) z = 0 ou z =. Résoudre : z 4 - z + z - = 0 sol : z = z =. Résoudre : z 6 + ( - ) z - = 0 Sol : z = z = z = - z 4 = z = z 4 = z 5 = - z 6 = 4. Résoudre : z 8 - ( + 4) z 4 + ( ) = 0 Sol : z = 8 cs z = 8 9 cs 6 6 z = 8 7 cs 6 z 4 = 8 5 cs 6 z 5 = 4 cs 8 z 6 = 4 5 cs 8 z 7 = 4 9 cs 8 z 8 = 4 cs 8 5. a) Résoudre das C : z 8 + z 4 + = 0 b) Décomposer le polyôme z 8 + z 4 + e u produt de 4 polyômes du secod degré à coeffcets réels Sol. : a) z = z = z = z4 = z 5 = z6 = z7 = z8 = b) p(z) = (z + z + ). (z - z + ). (z + z + ). (z - z + ) 7.8 Exercces de sythèse. Démotrer : a) Que les races de l'équato z = ( N) sot les pussaces successves de l'ue d'etre elles. Le chox de cette race partculère est-l arbtrare? b) S N et la somme des races de l'équato z = est ulle et le produt de ces races vaut - s est par et s est mpar. c) S N et la somme des races de l'équato z = u (u C) est ulle et le produt de ces races vaut - u s est par et s est mpar.. Résoudre das C : 4 z 4-4z + 5z 4z + 4 = 0. Calculez les deux races complexes (e focto du paramètre réel a) de l'équato suvate : z a + (a + ) z - - = 0 4 Quelle valeur doer au paramètre a, pour qu'ue de ces races sot puremet magare? XVII - 0 CNDP Erpet - Les ombres complexes 7//0