COURS : THEORIE DES POUTRES CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES DES SECTIONS

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1 UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM CURS : THERE DES PUTRES CRCTERSTQUES EMETRQUES DES SECTNS ) ééraltés :.) But de l étude : La stablté des structures est focto de la «soldté» des sectos qu la composet. E effet, s l o place ue secto de dmesos fables à u edrot où les sollctatos sot mportates, l rsque d avor rupture. Le but de la mécaque des structures est aturellemet de chosr la forme la plus adaptée pour la poutre. Des crtères tels que l écoome ous pousset à trouver les dmesos les plus Remarque : ue autre gradeur etre e compte : la résstace du matérau..) Poutres ou barres? Lors de l étude statque, ous avos remplacé les élémets volumques par des barres. La mécaque des structures, elle, trate o plus de barres, mas de poutres (élémets volumques partculers)..) Défto d ue poutre : Ue poutre est u solde egedré par ue are plae () dot le cetre de gravté () décrt ue lge dte moee (L) e restat ormale à cette lge. est auss appelée secto drote de la poutre. d Lge moee L Secto remarque que : - la poutre est composée d ue fté de fbres de secto «d» ; - la lge moee peut auss be être ue drote qu ue courbe (poutres drotes ou poutres courbes) ; - la secto peut auss be être costate que Remarque : ce que l o modélse e statque, c est uquemet la lge moee. Page /

2 UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM ) Hpothèses : f de résoudre le problème grâce à la mécaque des structures, l faut que le volume traté sot ue poutre c est à dre : cocerat la géométre : - les dmesos trasversales dovet être fables devat la logueur de l élémet (evro pour 0 au maxmum) ; - le rao de courbure de la lge moee L dot être grad («ctrage» fable) (rao de courbure supéreur à 5 fos la logueur) ; - la varato de la secto dot être lete et progressve ; cocerat le matérau composat la poutre : - le matérau dot être homogèe ( seul matérau, ce qu exclu le béto armé) et sotrope (même proprété das toutes les drectos, ce qu exclu le bos) ; - le matérau est sollcté das le domae élastque (déformatos réversbles et proportoelles à l effort applqué) ; cocerat les sollctatos : - les déformatos dovet rester fables (o se lmtera à la théore du premer ordre) Remarque : er ordre (déformée églgeable) : ème ordre (déformée o églgeable) : (exemple : plôe aalse dte «Pδ») F F F x Fx F x F x F F x F δx δ x ( ) F δ + F δ x F F x F x F Page /

3 fbre «d» UT Béthue x ée Cvl ée Spécale RDM are totale ) Notatos et déftos d ue secto et d ue fbre :.) Schéma d ue secto : Sot la poutre suvate : Secto «S» de la Remarque : o predra ce repère (,, ) pour la smple raso que l axe des x représete l axe logtudal de la poutre : {, } d {, } L are plae est alors représetée par la secto suvate :.) Déftos : a) Secto : Ue secto est ue trache trasversale fmet fe de la poutre. Elle peut être représetée das u repère cartése orthoormé (,, ). b) Fbre : Ue fbre est u élémet ftésmal de la secto (fmet pette). Elle se ote d. Page /

4 re «d» h bre «d» d α R D UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM» are totale re b Secto «S j» + V) re : de 4.) Défto : la poutre L are est la quatfcato d ue surface plae. 4.) Rappels : a) Valeurs usuelles : rectagle b h tragle b h b) Uté et coverso : L uté S d ue are est le [m²] 000 mm 0 0 mm 0 cm dsque π D 4 porto dsque mm m α D 8 4.) re des sectos décomposables : L are totale correspod à la somme des ares élémetares qu composet la secto : 4.4) re d ue fbre : L are d ue fbre est otée d. d d Remarque : le «d» correspod à «ftésmal». 4.5) re des sectos quelcoques : L are () totale d ue secto correspod à la somme des ares de ses fbres (d) : d d Remarque : c, le terme somme e s écrt pas mas car o e peut pas déombrer d (le ombre de fbres est f). Page 4/

5 ,5 UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM 7,5,5 4.6) Exemple : Calcul de l are de la secto du tabler de pot à casso c-dessous : ( 9 + 5), 75 ( 7,5 +,5) 0, , 5 m² 5,5 0,75 0,75 Page 5/

6 «UT» Béthue are totale ée Cvl ée Spécale RDM S x o x F V) Momet statque et cetre de gravté : 5.) Le etre momet statque et cetre de gravté : a) bservato : Cosdéros ue surface chargée par ue force uformémet réparte. Reversemet observe autour u momet de () hargemet fctf de la Chargemet de reversemet statquemet secto pour proportoel S à l excetremet équvalet (rédut etre sur l axe l axe ) de rotato et le cetre de gravté de la secto. l exste doc ue relato etre ce momet de reversemet (appelé momet statque) par rapport à l axe cosdéré et la coordoée du cetre de gravté. x b) Déftos : Cetre de gravté : Le cetre de gravté (Cd) est le «pot sur lequel u corps se tet e équlbre das toutes ses postos». Notre secto aat pas de pods, o cosdérera qu elle est soumse à ue charge uformémet réparte. Momet statque : Momet de reversemet de la secto lorsque celle-c est soumse à ue charge surfacque de (sas uté. Ce est doc pas exactemet u momet, mas le prcpe est le même). 5.) Momets statques : a) Momets statques d u élémet : Le momet statque autour de l axe vaut : S ( ) - correspod à l testé de la force qu repose sur la secto ; - et correspod au bras de lever de cette force, dstace etre le cetre de gravté de la secto et l axe. S S b) Uté et coversos : L uté du momet statque est le [m ]. 000 mm 0 mm cm mm m Page 6/

7 «d» d» Y UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM x x c) Momets statques des sectos décomposables : Les momets statques s addtoet. E effet, s l o étude ue secto composée de pluseurs élémets : 00 mm 500 mm 00 mm 00 mm [ ] S S [ ] [ ] S S Pour ader au calcul, l est possble d utlser le tableau suvat : [m²] [m] [m ] [m] [m ] d) Momets statques d ue fbre : Le momet de reversemet d ue fbre autour de l axe (o) est : ds F d d o d dso d ( ) S S e) Momets statques d ue forme quelcoque : Par coséquet : S d d d S d d d f) Exemple : Calcul du momet statque par rapport à l axe de la pèce métallque d assemblage de cotrevetemet suvate : [ ] S Page 7/

8 h 4R π D UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM 4,85 5, mm R b b D b b 9 mm 8 80 mm [mm²] [mm] [mm ] , , , S Z -,5.0 6 mm -,5 dm 5.) Cetre de gravté : a) Valeurs usuelles Remarque : pour les sectos possédat u axe de smétre, le cetre de gravté se stue oblgatoremet sur cet axe (doc s la secto possède axes de smétre, le cetre de gravté est à l tersecto. Chaque secto e possédat qu u cetre de gravté, tous les axes de smétre d ue secto so cocourats e u pot). b) Formules : S Comme S et S, o a : Pour les sectos décomposables e surfaces élémetares, o a : [ ] [ ] c) Exemple : Calcul de la posto du cetre de gravté de l PE 80 suvat : S [ ] [ ] [m²] [m] [m ] [m] [m ] 78-45,5 -, , ,5-9, , ,5 -,.0 4,9.0 5 S S 09.0 S ,5mm 5 S mm 5 Page 8/

9 UT Béthue ée Cvl ée Spécale Remarque : o vérfe que le Cd se trouve au pot de recotre des deux axes de smétre! (H) Page 9/

10 qx UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM V) Momets quadratques : 6.) ééraltés : a) Noto : Exemple : (c.f. règle) : pour ue même poutre, selo qu o la mette à chat ou à plat, la déformée est dfférete lorsqu o la charge detquemet. dt qu elle est + ou flexble ; ou ou + rgde. L u des phéomèes qu retre e compte das cette observato est u ouveau paramètre : le momet quadratque (ce est pas l are car elle e chage pas). 45 b) Défto : Chargemet Pour fctf schématser de la le momet quadratque par rapport à u axe, ous secto - pouvos dre que c est le momet egedré par u chargemet surfacque tragulare format u pla à 45 et passat à 0 sur l axe : l se ote ou selo l axe : - pour momet quadratque (aceemet appelé momet d erte - terme actuellemet ba par rsque de cofuso avec l éerge accumulée par u solde e mouvemet) ; - (ou ) pour l axe ( : sera remplacé par lorsque le repère passe par le cetre de gravté) Remarque : l exste ecore be d autres momets quadratques comme, par exemple, celu par rapport à u couple d axes. Nous ous boreros à étuder les momets quadratques par rapport à u axe. c) Uté et coverso : L uté du momet quadratque est le m mm 0, 0 mm 0, cm mm m Page 0/

11 h d R R 4R π 4R UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM π R 45 Dd b b Db b 45 s as : : Momet Momet quadratque quadratque selo selo d ue d ue fbre fbre d d 6.) Formules : a) Momets quadratques d ue fbre : x x ( ) d d d ( ) d d d b) Momets quadratques d ue forme quelcoque : Comme les momets quadratques s addtoet, o e dédut que, pour ue secto quelcoque : d d Remarque : les momets quadratques sot toujours postfs. c) Valeurs usuelles : d d d bh hb bh 6 hb 6 πd πr πd πr R π 8 9π 4 πr 8 4 R π 8 8 9π Page /

12 UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM d) Momets quadratques des sectos décomposables : Les momets quadratques (tout comme les momets hargemet fctf statques de et les momets) s addtoet. Mas atteto, ls e la secto peuvet s addtoer que s ls sot par rapport au même axe! l est doc écessare de savor fare ue trasposto de repère. e) Traslato de repère - formules de Huges : démotre que (c.f. aexes) : + + s, pour ue secto composée de élémets, o a : ( ) ( Z + ) Y + avec : : le momet quadratque par rapport au cetre de gravté de la secto (o peut remplacer par pour tout autre pot) ; : les momets quadratques des élémets par rapport à leur propre cetre de gravté. Pour faclter l applcato de telles formules, o peut utlser les tableaux c-dessous : pour calculer : [m²] [m] [m 4 ] [m 4 ] ce repère Z [m 4 ] Z ( + ) Remarque : s l axe du ouveau repère passe par le Cd, o dot vérfer que 0 pour calculer : [m²] [m] [m 4 ] [m 4 ] ce repère [m 4 ] ( + ) Remarque : s l axe du ouveau repère passe par le Cd, o dot vérfer que 0 Page /

13 4,85 UT Béthue 5, ée mm Cvl ée Spécale RDM f) Exercce : Calcul des momets quadratques et par rapport à so cetre de gravté, de l PE 80 suvat : 9 mm 8 80 mm pour calculer : u 70 cm 4 [mm²] [mm] [mm 4 ] [mm 4 ] [mm 4 ] ce repère , , , 0 0, , , , ( + ),7.0 7 pour calculer : u 0 cm 4 [mm²] [mm] [mm 4 ] [mm 4 ] [mm 4 ] ce repère ,4.0 50, , 0 0,05.0, ,4.0 50,4.0 ( + ),0.0 Remarque : l exste des catalogues doat les momets quadratques des proflés ormalsés tels qu PE. Les valeurs qu o trouve sot proches des otre, mas légèremet dfféretes. Cette dfférece provet du fat que ous avos smplfé la secto. Page /

14 UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM V) Raos de grato : 7.) Défto : pose «o» : rao de grato d ue secto selo l axe. 7.) Exemple : Calcul des raos de grato de l PE 80 précédet au veau du Cd : ,4 0 m -6, m Page 4/

15 m] v supéreur 0 00 UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM v supéreur 00 V) v féreur Modules de flexo élastque : 8.) Défto : Sot «v» la dstace de la fbre extrême au cetre de gravté parallèlemet à l axe ; et «v» la dstace de la fbre extrême au cetre de gravté parallèlemet à l axe ; v féreur a : W el v W el v 8.) Exemple : Coassat la posto du cetre de gravté : {74,00} (das u repère postoé e bas à drote de la secto), détermer - les dstaces v -féreur, v -supéreur, v -féreur, v -supéreur ; - les modules de flexos élastques féreurs et supéreurs selo chaque axe ( et ) das le repère (,,). v -féreur -00 mm v -supéreur 00 mm v -féreur -74 mm v -supéreur 6 mm [mm²] [mm] [mm 4 [mm 4 ] ] [mm 4 ] ce repère ,.0 6,.0 6-8, , , , ( + ) [mm²] [mm] [mm 4 ] [mm 4 ] [mm 4 ] ce repère ,0.0 6, ,.0 6-8, , , ( + ) 45,.0 6 Doc W W el supéreur el féreur 6 45, mm v 6 supéreur féreur 6 45, mm v 74 W W el supéreur el féreur 6 7, mm v 00 supéreur féreur 6 7, mm v 00 Page 5/

16 UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM X) Résumé : 9.) Formules : Désgato Formule Uté Remarque re d d d [m²] Momet statque Selo Selo S d d d S d d d Posto du cetre de gravté Selo S Y Selo S Z Momet quadratque Selo d d d Selo Rao de grato Selo Selo Module de flexo élastque Selo Wel Selo d d d Wel supéreur v supéreur [m ] [m] [m 4 ] [m] [m ] [ ] S S S 0 [ ] S S Wel féreur féreur Welsupéreur v féreur v v féreur supéreur Page 6/

17 UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM 9.) Démarche de résoluto : ) Desser la secto e posat u repère quelcoque Remarque : pour que toutes les coordoées soet postves, l est cosellé de postoer le repère e bas à Remarque : cette étape est pas écessare s l o coaît la posto du Cd. ) Détermer la posto du cetre de gravté Remarque : pour cela, calculer le momet statque. l est cosellé d utlser le tableau c-dessous : [m²] [m ] [m] [m ] [m] S S ) Calculer les momets quadratques (gééralemet et ) Remarque : avat de se lacer das le calcul, redesser la secto avec le repère placé Remarque : o coselle d utlser les tableaux suvats : [m²] [m] [m 4 ] [m 4 ] ce repère Z [m 4 ] [m²] Z ( + ) [m] [m 4 ] [m 4 ] ce repère + [m 4 ] ( + ) 4) Modules de flexo élastque Remarque : postoer des cotatos pour précser la posto des fbres extrêmes. 5) Raos de grato Remarque : u résultat dot oblgatoremet comporter ue uté! Remarque : ous sommes e ée Cvl ; tout résultat dot avor u ombre lmté de chffres après la vrgule reflétat sa précso. coselle vvemet chffres sgfcatfs pour les résultats faux et 4 pour les résultats termédares. Page 7/

18 UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM x x NNEXES : Démostrato des momets quadratques usuels : Démostrato de la formule de Huges : x x Z Doc Z + et, par permutato crculare : Y + Page 8/

19 / h/ UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM h h/ R Momet quadratque d u rectagle : b b Ø Par rapport au bas de la secto : h ( b h) h bh Ø Par rapport au cetre de gravté de la secto : h h h bh Remarque : o peut vérfer la formule de Huges : bh h bh ( b h) Momet quadratque d u tragle : b h h bh 6 bh b h h bh 6 Momet quadratque d u dsque : 4 R π ( s θ) d r dθ dr 0 0 ( θ ) R π R π cos r ( s θ) dθ dr r dθ dr R R 4 r π s r R ( ) dr r dr θ θ π 0 π π R 4 Page 9/

20 UT Béthue θ ée Cvl ée Spécale RDM d utres momets C quadratques : θ Momet quadratque composé (ou momet quadratque par rapport à u couple d axes) : d θ Momet quadratque polare : r d + Momet quadratque par rapport à u axe touré d u agle θ : S l o fat tourer le repère d u agle θ, o démotre que le momet quadratque vare comme sut Remarque : Les axes pour lesquels les momets quadratques sot extremums sot appelés axes prcpaux. Nous travalleros toujours das ce repère. S est maxmal, ous avos térêt à charger la poutre selo l axe des. Rappel des formules des momets quadratques coues : Y Z ' d YZ d Relatos lat les coordoées de la fbre d das les deux repères : ' cos θ + s θ ( ) ( ) ( θ) ( θ) ' s + cos d Relatos trgoométrques coues : Page 0/

21 UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM + ( θ ) cos( θ ) ( θ ) s ( θ ) cos( θ) s( θ) cos cos ' Démostrato : ' ( s ( θ) cos( θ) ) cos θ cos θ s θ d + d ( ) ( ) ( ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) + s d cos d cos s d ( θ) ( θ) ( θ) cos + cos s + d d d ( θ) ( θ) ( θ ) s cos cos d d + d + d ( ) s θ d + + cos( θ) s ( θ) Å ( ( θ) ( θ) ) ' ' d cos + s d ' ' ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) + + cos d s d cos s d ( θ) ( θ) ( θ) + cos cos s + + d d d ( θ) ( θ) cos cos d + d + d d + ( ) s θ d + + cos( θ) + s ( θ) Ç ( ( θ) ( θ) ) ( ( θ) ( θ) ) ' ' d cos + s cos s d ' ( cos( θ) s ( θ) ) cos( θ) s ( θ) ( cos ( θ) ) s ( θ) ( ) ( ) ( ) cos( θ) s ( θ) ( cos ( θ) s ( θ) ) s + cos d + d + d d + Cercle de Mohr : ( θ) ( θ) É S l o repred les équatos et que l o met au carré et que l o addtoe, o a : + cos( θ) s ( θ) Å ' ' s( θ) + cos( θ) É Page /

22 ZY UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM θ Y Z C Y Z + ' cos + s cos s ( θ) ( θ) ( ) ( θ) ( θ) ' ' ' + + ' ' + s + cos + cos s C est l équato du cercle. E effet, s o pose Z, Y et YZ cous, o à ue équato de la c c + R forme :( ) ( ) ( θ) ( θ) ( ) ( θ) ( θ) Å É de cetre c d abscsse de rao R + + ; omme et Z les extremums (momets quadratques prcpaux). a : Y + Z c+ R + + (valeur max) et + Y c R + (valeur m). Ces deux valeurs état élogées de π sur le cercle, ls sot à agle drot sur la secto. Lorsque Z est maxmal, Y est mmal. Page /

23 UT Béthue ée Cvl ée Spécale RDM THERE DES PUTRES CRCTERSTQUES EMETRQUES DES SECTNS ) ééraltés :....) But de l étude :....) Poutres ou barres?....) Défto d ue poutre :... ) Hpothèses :... ) Notatos et déftos d ue secto et d ue fbre :....) Schéma d ue secto :....) Déftos :... a) Secto :... b) Fbre :... V) re : ) Défto : ) Rappels :... 4 a) Valeurs usuelles :... 4 b) Uté et coverso : ) re des sectos décomposables : ) re d ue fbre : ) re des sectos quelcoques : ) Exemple :... 5 V) Momet statque et cetre de gravté : ) Le etre momet statque et cetre de gravté :... 6 a) bservato :... 6 b) Déftos : ) Momets statques :... 6 a) Momets statques d u élémet :... 6 b) Uté et coversos :... 6 c) Momets statques des sectos décomposables :... 7 d) Momets statques d ue fbre :... 7 e) Momets statques d ue forme quelcoque :... 7 f) Exemple : ) Cetre de gravté :... 8 a) Valeurs usuelles :... 8 b) Formules :... 8 c) Exemple :... 8 V) Momets quadratques : ) ééraltés :... 0 a) Noto :... 0 b) Défto :... 0 c) Uté et coverso : ) Formules :... a) Momets quadratques d ue fbre :... b) Momets quadratques d ue forme quelcoque :... c) Valeurs usuelles :... d) Momets quadratques des sectos décomposables :... e) Traslato de repère - formules de Huges :... f) Exercce :... V) Raos de grato :... 4 V) Modules de flexo élastque :... 5 X) Résumé : ) Formules : ) Démarche de résoluto :... 7 Page /