Logique propositionnelle classique
|
|
|
- Samuel Simoneau
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Logique propositionnelle classique MLO Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 1 / 60
2 Le calcul des propositions (aussi appelé logique propositionnelle, ou bien CP0) est une des logiques les plus simples, elle ne comporte que des variables et des connecteurs logiques. Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 2 / 60
3 Premier volet : la syntaxe Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 3 / 60
4 Syntaxe ou Comment écrire une formule de la logique des propositions? Définition par induction Soit V un ensemble dénombrable de symboles appelées variables (propositionnelles). L ensemble des formules de la logique propositionnelle sur l ensemble des variables V ( (V {,,,, (, ), }) ) est défini inductivement par : est une formule (lue toujours faux) une variable propositionnelle, élément de V, est une formule si F est une formule alors F est une formule si F et G sont deux formules alors (F G) est une formule si F et G sont deux formules alors (F G) est une formule si F et G sont deux formules alors (F G) est une formule Une formule de la logique propositionnelle est aussi appelée une proposition Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 4 / 60
5 Exemples de formules (avec V = {p, q, r} : ((p q) r)), (p ( q)). Exemples qui ne sont pas des formules: p p, p q Dans la suite on s autorisera à omettre les parenthèses en utilisant les règles de priorité et d associativité classiques : Ordre des priorités: > > >. Associativité: et sont associatifs à gauche, est associatif à droite. Ainsi la formule ((F 1 F 2 ) F 3 ) pourra s écrire F 1 F 2 F 3. Dans toute la suite des transparents p, q, r etc. désignent des variables propositionnelles. F, G, H etc désignent des formules de la logique propositionnelle. Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 5 / 60
6 En OCaml : Les formules sont représentées à l aide d un type somme type formule = Bottom Variable of string Non of formule Et of (formule * formule) Ou of (formule * formule) Implique of (formule * formule) ;; La formule (p ( q)) est représentée par le terme Ocaml suivant : Implique (Variable "p", Ou(Bottom, Variable "q"));; Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 6 / 60
7 Deuxième volet : la sémantique Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 7 / 60
8 Sémantique ou Que signifie cette formule? Formule valeur de vérité {1, 0} (0 signifie faux et 1 signifie vrai) I : interprétation : fonction de V dans {1, 0} Par exemple V = {p, q, r}, I (p) = 1, I (q) = 0 = I (r) On étend I à l ensemble des formules de la façon suivante : si p est une variable alors I (p) est sa valeur de vérité I ( ) = 0 ( est une formule fausse) I ( F ) = 0 si I (F ) = 1, I ( F ) = 1 si I (F ) = 0, I (F G) = 0 si I (F ) = 0 ou I (G) = 0, I (F G) = 1 sinon I (F G) = 1 si I (F ) = 1 ou I (G) = 1, I (F G) = 0 sinon I (F G) = 1 si I (F ) = 1 et I (G) = 1 ou si I (F ) = 0, I (F G) = 0 sinon Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 8 / 60
9 Théorème soit une formule F, soient deux interprétations I 1 et I 2 telles que pour toute variable propositionnelle v de F on a I 1 (v) = I 2 (v) alors I 1 (F ) = I 2 (F ) = Il suffit de connaître les valeurs de vérité des variables qui apparaissent dans une formule pour calculer sa valeur de vérité La table de vérité d une formule F est la fonction qui à chaque interprétation I possible (2 n si n est le nombre de variables de F ) associe la valeur I (F ). p q p q p q (p q) p q Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 9 / 60
10 En OCaml : Les valeurs de vérité sont représentées par des valeurs de type bool : 1 par true, 0 par false. Une interprétation est représentée par une liste de couples (nom de variable, valeur de vérité) c est-à-dire une liste de type (string*bool) list. interp formule : formule -> interpretation -> bool let rec interp_formule f i = match f with Bottom Variable v ->... A vous de jouer... Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 10 / 60
11 Si I (F ) = 1 on dit que I satisfait la formule F et on écrit I = F. Exemple : I tel que I (p) = 1, I (q) = 0 satisfait p q. F est satisfaisable ssi il existe une interprétation I qui la rende vraie (I = F ) Exemple : p q est satisfiable. F est une tautologie (ou est valide) ssi elle est satisfaite par toute interprétation : = F Exemple : = (p q) p q F est une contradiction ssi elle n est satisfaite par aucune interprétation Exemple : p p est une contradiction Théorème F est une contradiction ssi F est valide. Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 11 / 60
12 Si Σ est un ensemble de formules et I une interprétation, on dit que I satisfait Σ (I = Σ) si I = F pour toute formule F de Σ Exemple : soit I telle que I (p) = 0, I (q) = 1, on a I = {p q, q} Un ensemble de formules est contradictoire s il n existe aucune interprétation qui le satisfasse. Exemple : {p q, p} est contradictoire Une formule F est une conséquence sémantique d un ensemble de formules Σ : Σ = F ssi toute interprétation I qui satisfait Σ satisfait aussi F Exemple : {p q, p} = q Deux formules F et G sont sémantiquement équivalentes (noté F G) si l un est conséquence sémantique de l autre et vice-versa ({F } = G et {G} = F ). Autre caractérisation : F et G ont la même table de vérité. Exemple : (p q) p q Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 12 / 60
13 Un petit problème Un psychiatre pour logiciens écoute un de ses patients énumérer ses sentiments à propos de deux charmantes collègues : J aime Marie ou j aime Jeanne Si j aime Marie alors j aime Jeanne Le psychiatre conclut que le logicien aime Jeanne. Pourquoi? atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 13 / 60
14 Un petit problème : modélisation Soit m la proposition J aime Marie. Soit j la proposition j aime Jeanne. La première proposition s écrit m j. La seconde s écrit m j. On veut montrer que j est conséquence logique de m j et m j, i.e. m j, m j = j On s intéresse aux interprétations où les deux propositions sont vraies. Deux interprétations sont possibles : et I 0 (m) = I 0 (j) = 1 I 1 (m) = 0, I 1 (j) = 1 Dans les deux cas, la valeur de vérité de j est 1. atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 14 / 60
15 Théorème Σ = F G ssi Σ, F = G (prop 8.1) Proof. - Hypothèse Σ = F G - Montrons Σ, F = G Soit I une interprétation telle que I = Σ, F. Montrons qu elle satisfait G. I satisfait Σ donc I satisfait F G (hyp) De plus on a I (F ) = 1 donc I (F G) = 1 = I (G) cqfd - (Réciproque) Hypothèse : Σ, F = G - Montrons Σ = F G Soit I interprétation telle que I = Σ. Montrons que I (F G) = 1. Si I (F ) = 1 alors I satisfait Σ et F donc par hypothèse I satisfait G. Et donc I (F G) = I (G) = 1 Si I (F ) = 0 alors I (F G) = 1 Dans les deux cas on I = F G. cqfd Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 15 / 60
16 Théorème Σ = F ssi Σ, F est un ensemble contradictoire (prop 8.2) Proof. - Hypothèse Σ = F - Montrons Σ, F est un ensemble contradictoire Supposons que Σ, F n est pas contradictoire. Donc il existe une interprétation I qui satisfait Σ et F. On a I ( F ) = 1 donc I (F ) = 0. Or d après l hypothèse puisque I satisfait Σ alors I satisfait F, soit I (F ) = 1. - Hypothèse : Σ, F contradictoire - Montrons Σ = F Soit I interprétation telle que I = Σ. Montrons que I (F ) = 1. Si I (F ) = 0 alors I ( F ) = 1. Alors I satistait Σ et F. Ce qui est impossible de par l hypothèse. Donc I (F ) = 1. cqfd Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 16 / 60
17 Equivalences et tautologies par substitutions Substitution Si F et G sont des formules et p une variable propositionnelle, on définit par induction la formule F [p := G] obtenue à partir de F en substituant G à p dans F. [p := G] = q[p := G] = G si q = p, q sinon ( F 1 )[p := G] = (F 1 [p := G]) (F 1 F 2 )[p := G] = (F 1 [p := G]) (F 2 [p := G]) (F 1 F 2 )[p := G] = (F 1 [p := G]) (F 2 [p := G]) (F 1 F 2 )[p := G] = (F 1 [p := G]) (F 2 [p := G]) Exemple : Soit G la formule p q. (r r q)[r := G] = (p q) (p q) q Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 17 / 60
18 Théorème Soit I une interprétation. Soit I 0 l interprétation définie par I 0 (p) = I (G) et I 0 (q) = I (q) pour tout q p. Alors I (F [p := G]) = I 0 (F ) (prop. 9) Proof. Par induction sur F (on applique le principe d induction structurelle) 1. I ( [p := G]) = I ( ) = 0 = I 0 ( ) 2. soit q une variable propositionnelle. si p = q, I (q[p := G] = I (G) = I 0 (G) par construction de I 0 si p q, I (q[p := G] = I (q) = I 0 (q) par construction de I 0 3. hyps d induction : I (F 1 [p := G]) = I 0 (F 1 ) et I (F 2 [p := G]) = I 0 (F 2 ). I ((F 1 F 2 )[p := G]) = I (F 1 [p := G] F 2 [p := G]) = I (F 2 [p := G]) si I (F 1 [p := G]) = 1, 0 sinon. = I 0 (F 1 F 2 ) 4. de même pour F de la forme F 1 F 2 5. de même pour F de la forme F 1 F 2 6. de même pour F de la forme F 1 (1 seule hypothèse d induction) Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 18 / 60
19 Corollaires : 1. Si = F alors = F [p := G] 2. Si F F alors F [p := G] F [p := G] 3. Si G G alors F [p := G] F [p := G ] atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 19 / 60
20 Il en découle les équivalences suivantes : F F F F F F 3.1 F G G F F G G F 3.2 F (G H) (F G) H F (G H) (F G) H 3.3 F (G H) (F G) (F H) F (G H) (F G) (F H) 3.4 (F G) F G (F G) F G 3.5 F G F G (F G) F G 3.6 F F 3.7 En effet, p p p Donc p p p et donc par le corrolaire précédent on a p[p := F ] (p p)[p := F ] d où F F F. atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 20 / 60
21 Décidabilité Les notions de validité et de satisfaisabilité en calcul des propositions sont décidables. Algorithme (naïf) : etant donnée une formule F ayant n variables propositionnelles. Calculer les 2 n interprétations possibles. Pour chacune d entre elles calculer la valeur de vérité de F. Si toutes les valeurs de vérité de F obtenues sont toutes égales à 1 alors F est valide. Si au moins une est égale à 1 alors F est satisfaisable. (cf TP Caml) atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 21 / 60
22 Mise sous forme normale conjonctive Un littéral: une variable ou une négation de variable p, p Une clause: une disjonction de littéraux p q r Formule en FNC: une conjonction de clauses (p q r) ( p t) ( r p) Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 22 / 60
23 Exemples de formules en forme normale conjonctive : (p q) ( r p), p, p q Exemples de formules qui ne sont pas en forme normale : (p q), p q Théorème Pour toute formule propositionnelle, il existe une formule en FNC logiquement équivalente Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 23 / 60
24 Démonstration = Méthode 1. On élimine les en transformant F G par F G. 2. On propage les négations vers les feuilles avec les règles: (F G) devient F G (F G) devient F G 3. On simplifie les double-négations en transformant F en F. 4. On distribue le sur le avec les règles: F (G H) devient (F G) (F H) (F G) H devient (F H) (G H) 5. On simplifie. atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 24 / 60
25 Exemple (p q q p) Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 25 / 60
26 Exemple (p q q p) (( p q) ( q p)) Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 25 / 60
27 Exemple (p q q p) (( p q) ( q p)) ( ( p q)) ( ( q p)) Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 25 / 60
28 Exemple (p q q p) (( p q) ( q p)) ( ( p q)) ( ( q p)) (p q) (q p) Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 25 / 60
29 Exemple (p q q p) (( p q) ( q p)) ( ( p q)) ( ( q p)) (p q) (q p) (p (q p)) ( q (q p)) Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 25 / 60
30 Exemple (p q q p) (( p q) ( q p)) ( ( p q)) ( ( q p)) (p q) (q p) (p (q p)) ( q (q p)) (p (q p)) ( q (q p)) Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 25 / 60
31 Exemple (p q q p) (( p q) ( q p)) ( ( p q)) ( ( q p)) (p q) (q p) (p (q p)) ( q (q p)) (p (q p)) ( q (q p)) ((p q) (p p)) (( q q) ( q p)) Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 25 / 60
32 Exemple (p q q p) (( p q) ( q p)) ( ( p q)) ( ( q p)) (p q) (q p) (p (q p)) ( q (q p)) (p (q p)) ( q (q p)) ((p q) (p p)) (( q q) ( q p)) (p q) ( q p) Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 25 / 60
33 Attention! La formule peut grandir de manière exponentielle. atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 26 / 60
34 Le problème SAT Entrée : une formule propositionnelle F en forme normale conjonctive Sortie : F est-elle satisfaisable? Si oui, fournir un modèle (ie une interprétation qui satisfait F ). Pourquoi en FNC? Forme normale utilisée par les algorithmes F est satisfaite ssi chaque clause a au moins un littéral vrai (p q r) ( p t) ( r p) Ensemble de clauses = ensemble de contraintes à satisfaire atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 27 / 60
35 Utilité pratique de SAT Encoder un problème en logique propositionnelle Utiliser un solveur SAT Retranscrire le modèle pour trouver une solution au problème Application : coloriage de graphes, planification, modélisation de circuits, vérification de modèles (model-checking, algo/protocole) = on a très vite des centaines de variables problème de complexité Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 28 / 60
36 En chiffres : Taille du problème n n 2 n 3 (2 n )/2 1 1ms 1ms 1ms 1ms 10 10ms 100ms 1s 512ms 20 20ms 400ms 8s 8min44s 30 30ms 900ms 27s 6j5h ms 10s 16min40s 20Md de Md d années On ne connaît pas d algorithme polynomial pour la résolution du problème SAT, et on ne sait pas s il peut en exister. atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 29 / 60
37 Algorithmes incomplets Avantages : possible de trouver un modèle rapidement si le problème est satisfaisable Inconvénients : Pas sûr de trouver un modèle, même si la formule est SAT Si la formule est non-sat, aucune réponse A utiliser si on pense que la formule est SAT, si on a besoin d un modèle Algorithmes complets Ils donnent toujours une réponse (si assez de temps et d espace) algorithme DP, algorithme DPLL, algorithmes de décomposition arborescente Etude en TP de DP/DPLL Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 30 / 60
38 Troisième volet : le raisonnement Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 31 / 60
39 Preuve formelle et règles de déduction Jusqu à présent, caractérisation des formules en se ramenant à leur interprétation. Désormais on ne va faire que des manipulations syntaxiques pour déduire qu une formule est vraie ou non. But de ce 3ème volet : quand dirons nous qu une proposition se déduit des propositions F 1, F 2... F n? Pour justifier une déduction, on montrera une preuve. = Au lieu de s intéresser à ce qui est vrai, on s intéresse à ce qui est prouvable Une preuve ou déduction sera un assemblage de raisonnements suffisamment élémentaires pour paraître évidents. Les raisonnements élémentaires sont formalisées au moyen de règles d inférence. Ici : système d inférence de la déduction naturelle (il en existe d autres) Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 32 / 60
40 Un séquent est un couple noté Γ F où Γ est un ensemble fini de formules et F une formule. Γ appelé contexte du séquent F est appelée conclusion du séquent. Les séquents sont les objets manipulés dans les déductions/preuves. atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 33 / 60
41 Règles de déduction : généralités Les règles de déduction sont présentées de la manière suivante : 1 F 1... k F k F Une telle règle se lit si on peut déduire F 1 des hypothèses 1,..., si on peut déduire F k des hypothèses k, alors on peut déduire F des hypothèses. On peut aussi lire cette règle en mode arrière de la façon suivante : pour prouver F à partir des hypothèses, il suffit de prouver F 1 avec les hypothèses 1,... et de prouver F k à partir des hypothèses k. Séquents au dessus du trait horizontal : les prémisses de la règle Séquent en dessous du trait : conclusion de la règle La règle comprend des méta-variables : on les notera A, B : elles peuvent être remplacées par n importe quelle formule. A B A Exemple : B Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 34 / 60
42 Notion de Preuve Une règle sans prémisses est un axiome Une preuve de Γ F est une suite d applications de règles d inférence commençant par Γ F et se terminant par des axiomes. Autre définition : une preuve du séquent s est un arbre dont la racine est le séquent à prouver s, les noeuds les séquents obtenus en appliquant les règles d inférence. Les feuilles de l arbre sont des instances des axiomes. Un théorème est une formule prouvable. F est un théorème sera noté F, cela signifie qu il existe une preuve du séquent F (pas d hypothèses). Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 35 / 60
43 Déduction naturelle Il y a trois sortes de règles : les règles élémentaires (la règle dite de l axiome et celle de l affaiblissement) pour chaque connecteur, une ou plusieurs règles d introduction Le connecteur apparaît quand on lit la règle de haut en bas., A B Exemple : A B pour chaque connecteur, une ou plusieurs règles d élimination Le connecteur disparaît quand on lit la règle de haut en bas. A B A Exemple : B atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 36 / 60
44 Déduction naturelle : les règles élémentaires (ax), A A (aff ) A, B A Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 37 / 60
45 Déduction naturelle : élimination et introduction de, ( i ) ( e ), A B A B A B B A ( i) ( e g ) ( e d ) A B A B A B A A B B Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 38 / 60
46 Déduction naturelle : élimination et introduction de, ( i g ) ( i d ) ( e) ( i) ( e) A A B B A B A B, A C, B C C, A A A A atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 39 / 60
47 Déduction naturelle : Absurdité classique ( c ), A A Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 40 / 60
48 Exemple : F G G F est un théorème Montrons que l on peut dériver le séquent F G G F à partir des règles d inférence précédentes. ax F G F G Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 41 / 60
49 Exemple : F G G F est un théorème Montrons que l on peut dériver le séquent F G G F à partir des règles d inférence précédentes. ax F G F G ed F G G atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 42 / 60
50 Exemple : F G G F est un théorème Montrons que l on peut dériver le séquent F G G F à partir des règles d inférence précédentes. ax F G F G ed F G G ax F G F G eg F G F atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 43 / 60
51 Exemple : F G G F est un théorème Montrons que l on peut dériver le séquent F G G F à partir des règles d inférence précédentes. ax ax F G F G F G F G ed eg F G G F G F i F G G F Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 44 / 60
52 Exemple : F G G F est un théorème Montrons que l on peut dériver le séquent F G G F à partir des règles d inférence précédentes. ax ax F G F G F G F G ed eg F G G F G F i F G G F i (F G) (G F ) atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 45 / 60
53 Exemple : F G G F est un théorème Montrons que l on peut dériver le séquent F G G F à partir des règles d inférence précédentes. Il peut être plus facile de construire la dérivation en remontant (en chaînage arrière). atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 46 / 60
54 Exemple : F G G F est un théorème Montrons que l on peut dériver le séquent F G G F à partir des règles d inférence précédentes. Il peut être plus facile de construire la dérivation en remontant (en chaînage arrière). (F G) (G F ) i atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 46 / 60
55 Exemple : F G G F est un théorème Montrons que l on peut dériver le séquent F G G F à partir des règles d inférence précédentes. Il peut être plus facile de construire la dérivation en remontant (en chaînage arrière). F G G F (F G) (G F ) i i Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 46 / 60
56 Exemple : F G G F est un théorème Montrons que l on peut dériver le séquent F G G F à partir des règles d inférence précédentes. Il peut être plus facile de construire la dérivation en remontant (en chaînage arrière). ed F G G F G G F (F G) (G F ) i i Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 46 / 60
57 Exemple : F G G F est un théorème Montrons que l on peut dériver le séquent F G G F à partir des règles d inférence précédentes. Il peut être plus facile de construire la dérivation en remontant (en chaînage arrière). ax F G F G ed F G G F G G F (F G) (G F ) i i Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 46 / 60
58 Exemple : F G G F est un théorème Montrons que l on peut dériver le séquent F G G F à partir des règles d inférence précédentes. Il peut être plus facile de construire la dérivation en remontant (en chaînage arrière). ax F G F G ed eg F G G F G F i F G G F i (F G) (G F ) Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 46 / 60
59 Exemple : F G G F est un théorème Montrons que l on peut dériver le séquent F G G F à partir des règles d inférence précédentes. Il peut être plus facile de construire la dérivation en remontant (en chaînage arrière). ax ax F G F G F G F G ed eg F G G F G F i F G G F i (F G) (G F ) Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 46 / 60
60 Encore un autre exemple : démontrons que (F G) F G est un théorème. atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 47 / 60
61 Encore un autre exemple : démontrons que (F G) F G est un théorème. i (F G) (F G) Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 47 / 60
62 Encore un autre exemple : démontrons que (F G) F G est un théorème. ax (F G) F G i (F G) (F G) Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 47 / 60
63 Encore un autre exemple : démontrons que (F G) F G est un théorème. ax (F G) F G i (F G) (F G) ou encore Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 47 / 60
64 Encore un autre exemple : démontrons que (F G) F G est un théorème. ax (F G) F G i (F G) (F G) ou encore (F G) F G (F G) (F G) i i Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 47 / 60
65 Encore un autre exemple : démontrons que (F G) F G est un théorème. ax (F G) F G i (F G) (F G) ou encore (F G), F G (F G) F G (F G) (F G) e i i Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 47 / 60
66 Encore un autre exemple : démontrons que (F G) F G est un théorème. ax (F G) F G i (F G) (F G) ou encore ax F G, F F G (F G), F G (F G) F G (F G) (F G) e i i Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 47 / 60
67 Encore un autre exemple : démontrons que (F G) F G est un théorème. ax (F G) F G i (F G) (F G) ou encore ax F G, F F G ax F G, F F e (F G), F G (F G) F G (F G) (F G) i i Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 47 / 60
68 Encore un autre exemple : démontrons que (F G) F G est un théorème. ax (F G) F G i (F G) (F G) ou encore ax F G, F F G ax F G, F F e (F G), F G (F G) F G (F G) (F G) = Pas unicité de la preuve d un séquent Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 47 / 60 i i
69 Exercices Prouver que: A B B A A A Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 48 / 60
70 Solutions A B A B A B, A A A B, B B Intro A B, A B A d Intro g A B, B B A Elim A B B A Intro A B B A A, A A A, A A Elim A, A Intro A A Intro A A Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 49 / 60
71 Règles dérivées Quand on doit démontrer des résulats sur le ssytème d inférence (apr exempel sa correction), c est un atout d avoir un petit nombre de règles. Les règles précédentes sont élémentaires, si on utilise que celles-ci dans les démonstrations, ces dernières peuvent être longues. On peut introduire des règles dérivées (des utilitaires) qui vont permettre de raccourcir les preuves. Une règle dérivée se démontre à l aide des règles de base (ou d autres règles dérivées déjà démontrées). Pour démontrer une règle dérivée, on doit exhiber un arbre de dérivation dont la racine est le séquent conclusion de la règle dérivée et les feuilles non fermées (non instances d axiomes) les prémisses de la règle dérivée. atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 50 / 60
72 Exemple : la coupure Démonstration H, A B H A cut H B H, A B i H A B H B H A e Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 51 / 60
73 Exemple : manipuler les hypothèses Pour casser un dans une hypothèse H, A, B C Démonstration : au tableau. H, A B C atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 52 / 60
74 Exercices 1. A A 2. A A 3. ((A B) A) A atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 53 / 60
75 Solution I A, A A A, A A elim A, A RAA A A intro A A atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 54 / 60
76 Solution II (A A) (A A) (A A), A A intro g (A A), A A A (A A), A (A A) (A A), A intro (A A) A intro d (A A) A A (A A) RAA A A elim Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 55 / 60
77 Solution III (A B) A, A A Γ, A, A A Γ, A, A A elim (A B) A, A, A elim (A B) A, A, A B intro (A B) A, A (A B) A (A B) A, A A B elim (A B) A, A A elim (A B) A, A RAA (A B) A A Intro ((A B) A) A Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 56 / 60
78 Faire des preuves sur ordinateur Démonstration avec Coq : voir le TP On fait la preuve à l aide tactiques : certaines correspondent directement à des règles de la déduction naturelle, d autres sont des règles dérivées. atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 57 / 60
79 Correction et complétude Lien entre sémantique et raisonnement. Lien entre sémantique et raisonnement. Théorème d adéquation/correction Si A alors = A Théorème de complétude Si = A alors A Théorème de la déduction A B ssi A B Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 58 / 60
80 Quelques cas de la preuve de correction On démontre un théorème plus général : si H A alors H = A Démonstration par induction sur la forme de la démonstration H A (autant de cas qu il y a de règles d inférence de base). Cas 1 : La démonstration H A est une instance de ax On en déduit que A H. Soit I une interprétation qui satisfait H. Il faut montrer que I satisfait A. I satisfait H, donc I satisfait toutes les formules de H donc en particulier A, cqfd. Cas 2 : La démonstration H A est une instance de i On en déduit que A est de la forme F G et que l on a une preuve de H F et une preuve de H G. Les hypothèses de récurrence sont : (hyp1) H = F et (hyp2) H = G. Soit I une interprétation qui satisfait H. Il faut montrer que I satisfait F G. I satisfait H, donc I satisfait F (d après hyp1) et I satisfait G (d après hyp2). Et donc I satisfait F G cqfd. Catherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 59 / 60
81 Cas 3 : La démonstration H A est une instance de e On en déduit qu il existe une proposition G telle que l on a une preuve de H G A et une preuve de H G. (C est ici que c était faux au tableau). Les hypothèses de récurrence sont : (hyp1) H = G A et (hyp2) H = G. Soit I une interprétation qui satisfait H. Il faut montrer que I satisfait A. I satisfait H, donc I satisfait G A (d après hyp1) et I satisfait G (d après hyp2). Et donc I satisfait A (définition de la vérité de )cqfd. etc. atherine Dubois, Julien Narboux (Strasbourg) () Logique propositionnelle classique 60 / 60
Utilisation des tableaux sémantiques dans les logiques de description
Utilisation des tableaux sémantiques dans les logiques de description IFT6281 Web Sémantique Jacques Bergeron Département d informatique et de recherche opérationnelle Université de Montréal bergerja@iro.umontreal.ca
Cours de Master Recherche
Cours de Master Recherche Spécialité CODE : Résolution de problèmes combinatoires Christine Solnon LIRIS, UMR 5205 CNRS / Université Lyon 1 2007 Rappel du plan du cours 16 heures de cours 1 - Introduction
La NP-complétude. Johanne Cohen. PRISM/CNRS, Versailles, France.
La NP-complétude Johanne Cohen PRISM/CNRS, Versailles, France. Références 1. Algorithm Design, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Addison-Wesley, 2006. 2. Computers and Intractability : A Guide to the Theory of
Objectifs du cours d aujourd hui. Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet. Complexité d un problème (2)
Objectifs du cours d aujourd hui Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet Complexité des problèmes Introduire la notion de complexité d un problème Présenter
TP3 : Manipulation et implantation de systèmes de fichiers 1
École Normale Supérieure Systèmes et réseaux Année 2012-2013 TP3 : Manipulation et implantation de systèmes de fichiers 1 1 Répertoire de travail courant Le but de l exercice est d écrire une commande
Réalisabilité et extraction de programmes
Mercredi 9 mars 2005 Extraction de programme: qu'est-ce que c'est? Extraire à partir d'une preuve un entier x N tel que A(x). π x N A(x) (un témoin) (En fait, on n'extrait pas un entier, mais un programme
Systèmes déductifs DEA D INFORMATIQUE UNIVERSITÉ BORDEAUX 1. Systèmes déductifs (Retoré) Plan Début Fin Préc. Suiv.
Systèmes déductifs DEA D INFORMATIQUE UNIVERSITÉ BORDEAUX 1 Plan 1 Liens avec d autres domaines de l informatique............... 3 2 La déduction naturelle de base (conjonction, implication)....... 4 3
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Les indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Logique : ENSIIE 1A - contrôle final
1 Logique : ENSIIE 1A - contrôle final - CORRIGÉ Mardi 11 mai 2010 - Sans documents - Sans calculatrice ni ordinateur Durée : 1h30 Les exercices sont indépendants. Exercice 1 (Logique du premier ordre
Limites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Raisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Le théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
La fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
Classes et Objets en Ocaml.
Classes et Objets en Ocaml. Didier Rémy 2001-2002 http://cristal.inria.fr/ remy/mot/2/ http://www.enseignement.polytechnique.fr/profs/informatique/didier.remy/mot/2/ Cours Exercices Slide 1 1. Objets 2.
Calculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables. http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/
Calculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/ Problèmes et classes de décidabilité Problèmes et classes de décidabilité Nous nous intéressons aux problèmes
Chap 4. La fonction exponentielle Terminale S. Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R.
Lemme : Si est une fonction dérivable sur R telle que : = et 0! = 1 alors ne s annule pas sur R. Démonstration : Soit la fonction %:& %&!= &!, elle est dérivable sur R et & R, %. &!= &! = &! = %&! gaelle.buffet@ac-montpellier.fr
Image d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Machines virtuelles Cours 1 : Introduction
Machines virtuelles Cours 1 : Introduction Pierre Letouzey 1 pierre.letouzey@inria.fr PPS - Université Denis Diderot Paris 7 janvier 2012 1. Merci à Y. Régis-Gianas pour les transparents Qu est-ce qu une
De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Chap 4: Analyse syntaxique. Prof. M.D. RAHMANI Compilation SMI- S5 2013/14 1
Chap 4: Analyse syntaxique 1 III- L'analyse syntaxique: 1- Le rôle d'un analyseur syntaxique 2- Grammaires non contextuelles 3- Ecriture d'une grammaire 4- Les méthodes d'analyse 5- L'analyse LL(1) 6-
Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
III- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Espérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Introduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
La mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Résolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Continuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
# let rec concat l1 l2 = match l1 with [] -> l2 x::l 1 -> x::(concat l 1 l2);; val concat : a list -> a list -> a list = <fun>
![# let rec concat l1 l2 = match l1 with [] -> l2 x::l 1 -> x::(concat l 1 l2);; val concat : a list -> a list -> a list = <fun>](/thumbs/20/394597.jpg "# let rec concat l1 l2 = match l1 with [] -> l2 x::l 1 -> x::(concat l 1 l2);; val concat : a list -> a list -> a list = <fun>")
94 Programmation en OCaml 5.4.8. Concaténation de deux listes Définissons maintenant la fonction concat qui met bout à bout deux listes. Ainsi, si l1 et l2 sont deux listes quelconques, concat l1 l2 constitue
Cours 1 : La compilation
/38 Interprétation des programmes Cours 1 : La compilation Yann Régis-Gianas yrg@pps.univ-paris-diderot.fr PPS - Université Denis Diderot Paris 7 2/38 Qu est-ce que la compilation? Vous avez tous déjà
Conversion d un entier. Méthode par soustraction
Conversion entre bases Pour passer d un nombre en base b à un nombre en base 10, on utilise l écriture polynomiale décrite précédemment. Pour passer d un nombre en base 10 à un nombre en base b, on peut
Théorie de la Programmation
Théorie de la Programmation http://perso.ens-lyon.fr/daniel.hirschkoff/thpr hop Programmation, Théorie de la programmation Langages de programmation I il existe de nombreux langages de programmation I
Logique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Cours 1 : Introduction Ordinateurs - Langages de haut niveau - Application
Université de Provence Licence Math-Info Première Année V. Phan Luong Algorithmique et Programmation en Python Cours 1 : Introduction Ordinateurs - Langages de haut niveau - Application 1 Ordinateur Un
Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres
Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire
Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Manuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2
éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........
FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES
FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES AYBERK ZEYTİN 1. DIVISIBILITÉ Comment on peut écrire un entier naturel comme un produit des petits entiers? Cette question a une infinitude d interconnexions entre les nombres
Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Calculer avec Sage. Revision : 417 du 1 er juillet 2010
Calculer avec Sage Alexandre Casamayou Guillaume Connan Thierry Dumont Laurent Fousse François Maltey Matthias Meulien Marc Mezzarobba Clément Pernet Nicolas Thiéry Paul Zimmermann Revision : 417 du 1
Table des matières. Introduction
Table des matières 1 Formalisation des virus informatiques 2 1.1 Les machines de Turing........................ 2 1.2 Formalisation de Fred Cohen..................... 2 1.2.1 Définition d un virus informatique..............
Fonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Expression des contraintes. OCL : Object C o n t r a i n t L a n g u a g e
P r o b l é m a t i q u e OCL : O b j e c t C o n s t r a i n t L a n g u a g e Le langage de contraintes d UML Les différents diagrammes d UML permettent d exprimer certaines contraintes graphiquement
Initiation à la Programmation en Logique avec SISCtus Prolog
Initiation à la Programmation en Logique avec SISCtus Prolog Identificateurs Ils sont représentés par une suite de caractères alphanumériques commençant par une lettre minuscule (les lettres accentuées
Proposition de sujet de thèse CIFRE EUROCOPTER / LGI2P
EUROCOPTER SAS Groupe EADS Marignane Ecole des Mines d Alès Laboratoire de Génie Informatique et d Ingénierie de Production LGI2P Nîmes Proposition de sujet de thèse CIFRE EUROCOPTER / LGI2P Titre Domaine
Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...
Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement
Intelligence Artificielle Planification
Intelligence Artificielle Planification Bruno Bouzy http://web.mi.parisdescartes.fr/~bouzy bruno.bouzy@parisdescartes.fr Licence 3 Informatique UFR Mathématiques et Informatique Université Paris Descartes
Cours de Programmation 2
Cours de Programmation 2 Programmation à moyenne et large échelle 1. Programmation modulaire 2. Programmation orientée objet 3. Programmation concurrente, distribuée 4. Programmation monadique 5. Les programmes
3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Cryptographie et fonctions à sens unique
Cryptographie et fonctions à sens unique Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Octobre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Cryptographie et fonctions
Intelligence Artificielle et Systèmes Multi-Agents. Badr Benmammar bbm@badr-benmammar.com
Intelligence Artificielle et Systèmes Multi-Agents Badr Benmammar bbm@badr-benmammar.com Plan La première partie : L intelligence artificielle (IA) Définition de l intelligence artificielle (IA) Domaines
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot
Introduction a l'algorithmique des objets partages. Robert Cori. Antoine Petit. Lifac, ENS Cachan, 94235 Cachan Cedex. Resume
Introduction a l'algorithmique des objets partages Bernadette Charron{Bost Robert Cori Lix, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France, charron@lix.polytechnique.fr cori@lix.polytechnique.fr Antoine
Continuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Raisonnements standard et non-standard pour les systèmes décentralisés de gestion de données et de connaissances
Raisonnements standard et non-standard pour les systèmes décentralisés de gestion de données et de connaissances Nada Abdallah To cite this version: Nada Abdallah. Raisonnements standard et non-standard
Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Systèmes décisionnels et programmation avancée
Systèmes décisionnels et programmation avancée M1 SIR Philippe Muller et Mustapha Mojahid, Matthieu Serrurier, Marie-Christine Scheix 2014-2015 Introduction structure du cours intervenants introduction
Probabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Théorie des Langages
Théorie des Langages Analyse syntaxique descendante Claude Moulin Université de Technologie de Compiègne Printemps 2010 Sommaire 1 Principe 2 Premiers 3 Suivants 4 Analyse 5 Grammaire LL(1) Exemple : Grammaire
O, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Optimisation Discrète
Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES. Ce qui est demandé. Les étapes du travail
La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES Suites géométriques, fonction exponentielle Copyright c 2004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence L objectif de cet exercice
UML et les Bases de Données
CNAM UML et les Bases de Données UML et les Bases de Données. Diagramme de classes / diagramme d objets (UML)...2.. Premier niveau de modélisation des données d une application...2.2. Les éléments de modélisation...2.2..
Commun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Informatique Machines à calculer en théorie et en pratique
Licence Physique-Chimie Histoire des Sciences Informatique Machines à calculer en théorie et en pratique Notes de Cours 1 Introduction Étymologie En Allemagne (1957) le terme «Informatik» est créé par
ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D
ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D TITRE : Les Fonctions de Hachage Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant le jury :.10 minutes Entretien avec le jury :..10 minutes GUIDE
Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE
Université Paris VII - Agrégation de Mathématiques François Delarue) PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Ce texte vise à modéliser de façon simple l évolution d un actif financier à risque, et à introduire,
Élasticité des applications à base de services dans le Cloud
1/40 Élasticité des applications à base de services dans le Cloud Mourad Amziani 12 Tarek Melliti 1 Samir Tata 2 1 IBISC, EA4526, Université d'évry Val-d'Essonne, Évry, France 2 UMR CNRS Samovar, Institut
Exceptions. 1 Entrées/sorties. Objectif. Manipuler les exceptions ;
CNAM NFP121 TP 10 19/11/2013 (Séance 5) Objectif Manipuler les exceptions ; 1 Entrées/sorties Exercice 1 : Lire un entier à partir du clavier Ajouter une méthode readint(string message) dans la classe
Projet d informatique M1BI : Compression et décompression de texte. 1 Généralités sur la compression/décompression de texte
Projet d informatique M1BI : Compression et décompression de texte Le but de ce projet est de coder un programme réalisant de la compression et décompression de texte. On se proposera de coder deux algorithmes
Une introduction rapide à Coq
Une introduction rapide à Coq Yves Bertot Janvier 2009 1 Démarrer le système Pour utiliser Coq on dispose de trois commandes, une commande qui sert à compiler des fichiers (coqc), une commande qui fournit
3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Bases de données Cours 5 : Base de données déductives
Cours 5 : ESIL Université de la méditerranée Odile.Papini@esil.univmed.fr http://odile.papini.perso.esil.univmed.fr/sources/bd.html Plan du cours 1 Introduction 2 approche sémantique approche axiomatique
Introduction à la théorie des graphes. Solutions des exercices
CAHIERS DE LA CRM Introduction à la théorie des graphes Solutions des exercices Didier Müller CAHIER N O 6 COMMISSION ROMANDE DE MATHÉMATIQUE 1 Graphes non orientés Exercice 1 On obtient le graphe biparti
Resolution limit in community detection
Introduction Plan 2006 Introduction Plan Introduction Introduction Plan Introduction Point de départ : un graphe et des sous-graphes. But : quantifier le fait que les sous-graphes choisis sont des modules.
Recherche dans un tableau
Chapitre 3 Recherche dans un tableau 3.1 Introduction 3.1.1 Tranche On appelle tranche de tableau, la donnée d'un tableau t et de deux indices a et b. On note cette tranche t.(a..b). Exemple 3.1 : 3 6
MIS 102 Initiation à l Informatique
MIS 102 Initiation à l Informatique Responsables et cours : Cyril Gavoille Catherine Pannier Matthias Robine Marc Zeitoun Planning : 6 séances de cours 5 séances de TD (2h40) 4 séances de TP (2h40) + environ
Simulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
L exclusion mutuelle distribuée
L exclusion mutuelle distribuée L algorithme de L Amport L algorithme est basé sur 2 concepts : L estampillage des messages La distribution d une file d attente sur l ensemble des sites du système distribué
Théorie des Graphes Cours 3: Forêts et Arbres II / Modélisation
IFIPS S7 - informatique Université Paris-Sud 11 1er semestre 2009/2010 Théorie des Graphes Cours 3: Forêts et Arbres II / 1 Forêts et arbres II Théorème 1.1. Les assertions suivantes sont équivalentes
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Développements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(