Chapitre 4 - Calcul des propositions et des prédicats, langage ensembliste et calcul booléen

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1 Lycée Maximilien Sorre Année BTS SIO 1 Chapitre 4 - Calcul des propositions et des prédicats, langage ensembliste et calcul booléen 1 Calcul des propositions 1.1 Propositions, valeurs de vérité Définition. Une proposition ou assertion est un énoncé dont on peut dire clairement si il est vrai ou faux. Exemples. Propositions Énoncés n étant pas des propositions = 9 Bonjour! La ville de Cachan est dans le Val de Marne Il pleuvra demain. 4 > Remarque. Les propositions sont utilisées en algorithmique, notamment dans les structures conditionnelles et dans les structures itératives de type Tant Que. Par exemple en Python : 2 3 == 0 est une proposition fausse, 2 < 3 est une proposition vraie. Définition. Les propositions se répartissent en deux classes : les propositions vraies et les propositions fausses et toute proposition appartient à une et une seule de ces classes. Cette convention fondamentale permet d associer à chaque proposition sa valeur de vérité : vrai ou faux. La valeur de vérité d une proposition vraie est notée V, 1, ou True. La valeur de vérité d une proposition fausse est notée F, 0, ou False. Définition. On appelle tautologie une proposition toujours vraie. 1.2 Connecteurs logiques Les connecteurs logiques permettent de construire de nouvelles propositions à partir d un certain nombre de propositions initiales. On décrit de telles constructions à l aide de tables de vérités, qui donnent, en fonction des valeurs de vérités des propositions initiales, la valeur de vérité de la construction Négation Définition. La négation d une proposition P, notée P, P ou non P, est la proposition dont la table de vérité est : P P Autrement dit P est vraie si P est fausse et réciproquement. Exemple. Si P est la proposition Il pleut, P est la proposition... Remarque. En Python, la négation s exprime avec l opérateur not. 1

2 Propriété. ( P ) et P ont la même valeur de vérité. Exercice 1. Démontrer la propriété précédente à l aide d une table de vérité Conjonction Définition. La conjonction de deux propositions P et Q, notée P Q ou P et Q, est la proposition qui n est vraie que si P et Q sont vraies toutes les deux. La table de vérité de P Q est donnée par : P Q P Q Remarque. En Python, la conjonction s exprime avec l opérateur and. Exemple. Si P est la proposition Il pleut et si Q est la proposition Il fait moins de 12 degrés, P Q est la proposition Disjonction Définition. La disjonction de deux propositions P et Q, notée P Q ou P ou Q, est la proposition qui est vraie si au moins une des deux assertions P ou Q est vraie. La table de vérité de P Q est donnée par : P Q P Q Remarques. En Python, la disjonction s exprime avec l opérateur or. En français, le ou peut être inclusif (Entreprise cherche stagiaire parlant anglais ou espagnol), exclusif (Vous voulez une glace à la vanille ou au chocolat?) ou avoir le sens d une implication (Mange ta soupe ou tu n auras pas de dessert). En logique, le ou est toujours inclusif Implication Définition. La proposition P implique Q, notée P Q, est la proposition qui n est fausse que si P est vraie et Q est fausse. La table de vérité de P Q est donnée par : P Q P Q

3 Exemples. Notons P la proposition 1 = 2 et Q la proposition 4 > 10. P Q est la proposition :......, qui est une proposition vraie. Si 1 = 2 alors 4 < 10 est une proposition.... Si 4 < 10 alors 1 = 2 est une proposition.... Propriété. (P (P Q)) Q est une tautologie. Exercice 2. Démontrer la propriété précédente à l aide d une table de vérité. Exercice 3. Montrer que (P Q) et ( P Q) ont la même valeur de vérité Équivalence Définition. L équivalence logique de deux propositions P et Q, notée P Q est la proposition qui n est vraie que si P et Q sont vraies simultanément ou fausses simultanément. La table de vérité de P Q est donnée par : P Q P Q Exemple. Soient n et a deux entiers. a 0[n] a est un multiple de n. est une proposition vraie. Propriété (double implication). (P Q) ((P Q) (Q P )) est une tautologie. Exercice 4. Démontrer la propriété précédente à l aide d une table de vérité. 1.3 Propriétés des connecteurs logiques Complément Propriété. P ( P ) est toujours vraie, et P ( P ) est toujours fausse Commutativité L ordre des éléments n influence pas la valeur d une conjonction ou d une disjonction. Propriétés. 1) P Q et Q P ont la même valeur de vérité. 2) P Q et Q P ont la même valeur de vérité Associativité Si on a plusieurs conjonctions, ou plusieurs disjonction, l ordre dans lequel on effectue les opérations n a pas d importance. Propriétés. 1) (P Q) R P (Q R). 2) (P Q) R P (Q R). 3

4 1.3.4 Double distributivité Si on indique : Pour entrer dans le château, passez le pont-levis et prenez la porte de droite ou la porte de gauche., il y a deux façons d entrer dans le château : passer le pont-levis et prendre la porte de droite, ou bien passer le pont-levis et prendre la porte de gauche. Propriétés. 1) P (Q R) (P Q) (P R). 2) P (Q R) (P Q) (P R). Exercice 5. Démontrer la propriété précédente à l aide d une table de vérité Éléments neutres, éléments absorbants Propriété. Soit V une proposition vraie, et F une proposition fausse. Alors, pour toute proposition P : 1) (P V )..., 2) (P F )..., 3) (P V )..., 4) (P F ).... On dit que V est l élément neutre du connecteur, et l élément absorbant du connecteur. Exercice 6. Formuler une phrase similaire pour l élément F Contraposée Propriété. (P Q) (( Q) ( P )). Exemple. Soit P la proposition Il pleut et Q la proposition Je prends mon parapluie. P Q est la proposition... ( Q) ( P ) est la proposition... Les deux sont équivalentes. Exercice 7. Démontrer la propriété précédente à l aide d une table de vérité. Remarques. (( Q) ( P )) s appelle la contraposée de (P Q). La proposition suivante est très utile pour démontrer certains résultats (démonstration par contraposée). Attention, (P Q) et (( P ) ( Q)) ne sont pas équivalentes. Exemple. Soient x, y et z trois réels. Si x + y + z = 0, alors l une des trois réels au moins est négatif ou nul. Preuve : Loi de De Morgan La négation de il fait beau et chaud n est pas il fait moche et froid mais il fait moche ou froid. Ceci est établi par les lois de De Morgan : Propriétés. 1) ( (P Q)) (( P ) ( Q)). 2) ( (P Q)) (( P ) ( Q)). Exercice 8. Démontrer la propriété précédente à l aide d une table de vérité. 4

5 2 Vocabulaire ensembliste 2.1 Notion d ensemble Définitions. Un ensemble désigne une collection d objets, qui sont appelés les éléments de l ensemble. Un ensemble fini se note entre accolades. Pour tout ensemble E, si x est un élément de E, on dit que x appartient à E, et on note x E. Si le nombre d éléments appartenant à un ensemble E est fini, on dit que E est un ensemble fini et on appelle cardinal de E le nombre d éléments de E, noté card(e). On dit qu un ensemble A est inclus dans un ensemble E si tout élément de A est aussi élément de E. On dit alors que A est un sous-ensemble ou une partie de E, et on note A E. L ensemble vide, noté est l ensemble ne contenant aucun élément. Exemple. E = {1; 2; 15; 4; } est un ensemble. Alors : Définition. Soit E un ensemble non vide, P (E) est l ensemble des sous-ensembles (ou parties) de E. Exemple. Si E = {2; 5; 4}, P (E) =... Propriété. Si card(e) = n, alors card(p (E)) = 2 n. Exercice 9. Soit E l ensemble E = {1; 2; 3; 4}. Donner tous les éléments de P (E). 2.2 Opérations sur les ensembles Définition. Soient A et B deux sous-ensembles d un ensemble E. L union des ensembles A et B, notée A B, est l ensemble des éléments de E appartenant au moins à l un des deux ensembles A ou B. Autrement dit : A B = {x E (x A) (x B)}. Exemple. Si A = {1; 3; 4} et B = {2; 3; 5}, alors A B =... Définition. Soient A et B deux sous-ensembles d un ensemble E. L intersection des ensembles A et B, notée A B, est l ensemble des éléments de E appartenant à la fois à A et à B. Autrement dit : A B = {x E (x A) (x B)}. Exemple. Si A = {1; 3; 4} et B = {2; 3; 5}, alors A B =... Définition. Soient A un sous-ensemble de E. Le complémentaire de A dans E, noté A est composé des éléments de E qui n appartiennent pas à A. Autrement dit : Exemples. Soit E = {1; 2; 3; 4; 5}. A = {x E x / A} = {x E (x A)}. Si A = {1; 3; 4}, alors A =... =... E =... 5

6 Propriétés. Complémentaire : Éléments neutres/absorbants : Associativité/Commutativité : Double distributivité : Loi de De Morgan : 2.3 Prédicats et quantificateurs Prédicats Définition. Un prédicat défini sur un ensemble E est un énoncé qui est vrai pour certaines valeurs de E et faux pour d autres. Exemple. Dans l ensemble des nombres entiers naturels, le prédicat : Le reste de la division euclidienne de l entier n par 3 vaut 0 est vrai si n est un multiples de 3, et faux sinon Quantificateurs Définition. Le quantificateur universel, noté, et un quantificateur permettant d énoncer une propriété commune à tous les objets d un ensemble donné. Il se lit pour tout. Exemple. x R, x 2 0. Définition. Le quantificateur existentiel, noté, et un quantificateur permettant d affirmer l existence d au moins un objet vérifiant une certaine propriété. Il se lit il existe. Exemple. n N, n 3 > Propriétés Remarque. Attention, l ordre des quantificateurs est très importants. Par exemple : x N, y N, y > x 2 est une proposition..., et y N, x N, y > x 2 est une proposition.... Propriétés (négations). Soit p un prédicat. La négation de x E, p(x) est... La négation de x E, p(x) est... Exemples. La négation de la proposition Tous les élèves de la classe sont des garçons est :... La négation de la proposition x R, x > 10 est la proposition :... Remarque. La propriété précédente permet de dire que : Pour montrer que la proposition x E, p(x) est fausse, il faut montrer que p(x) est vraie pour tout élément x de E. Pour montrer que la proposition x E, p(x) est fausse, il suffit d exhiber un élément x de E qui ne vérifie pas p(x). 6

7 3 Calcul booléen 3.1 Algèbre de Boole Un phénomène binaire est constitué d éléments se présentant sous la forme de deux états distincts, notés 1 et 0, qui s excluent mutuellement. Le cas le plus élémentaire est celui d un interrupteur d un circuit électrique, qui peut être ouvert (état 0) ou fermé (état 1) : cet exemple très simple est pourtant au fondement même de l informatique (les transistors y jouant le rôle des interrupteurs), du moins telle qu on la pratique aujourd hui. Ce type de situation peut être modélisé par l utilisation de règles logiques qui reviennent à effectuer un calcul dans le cadre d une certaine structure qu on appelle, en mathématiques, une algèbre de Boole. Dans le tableau ci-dessous, nous pouvons constater que les propositions logiques et les ensembles ont des propriétés analogues. Nous allons voir que ce sont deux exemples d algèbres de Boole. Le tableau ci-dessous donne également les notations généralement utilisées pour les algèbres de Boole. Propositions V F P Q Sous-ensembles de E = A E A B Algèbre de Boole + = a 1 0 a b Définition. Un ensemble B non vide muni de deux lois de composition interne (addition et multiplication), d une opération unaire, notée a a, et possédant deux éléments privilégiés, notés 0 et 1, a une structure d algèbre de Boole si les propriétés suivantes sont vraies : a B, b B, c B, (a + b) + c = a + (b + c) (associativité de +) (ab)c = a(bc) (associativité de ) a + b = b + a (commutativité de +) a + 0 = a (élément neutre de +) a + bc = a + (bc) = (a + b)(a + c) (distributivité de + sur ) a + a = 1 (complément pour +) Remarques. Par convention, l opération a priorité sur l opération +. On peut noter ab au lieu de a b. 3.2 Propriétés a b = b a (commutativité de ) a 1 = a (élément neutre de ) a(b + c) = (ab + ac) (distributivité de sur +) a a = 0 (complément pour ) Soit B un ensemble muni d une structure d algèbre de Boole. Des axiomes ci-dessus, on peut déduire les propriétés suivantes : Propriétés. a B, b B, c B, a + a = a a a = a a + 1 = 1 a + ab = a a 0 = Tableaux de Karnaugh a(a + b) = a a = a Loi de De Morgan : ab = a + b Loi de De Morgan : a + b = ab. Les tables de Karnaugh (prononcer : karno, du nom de Maurice Karnaugh, ingénieur américain qui inventa ces tables en 1950) sont des représentations graphiques astucieuses qui facilitent grandement l utilisation pratique des règles de calcul dans une algèbre de Boole, en permettant de visualiser des expressions booléennes. Conformément au programme, nous nous limiterons aux cas de deux et trois variables. 7

8 Exemple. Forme général d un tableau de Karnaugh à trois variables : b b b b a abc abc abc abc a abc abc abc abc c c c c Exemple concret : Ici le ou est traduit par l addition et le et est traduit par la multiplication. Une société de distribution de gaz décide de recruter en interne des collaborateurs pour sa filiale en Extrême-Orient. Pour chaque employé, on définit les variables booléennes suivantes : a = 1 si l employé a plus de cinq ans d ancienneté dans l entreprise, et a = 0 sinon, b = 1 s il possède un BTS Service Informatique aux Organisations (BTS SIO), et b = 0 sinon, c = 1 s il parle couramment l anglais, et c = 0 sinon. La direction des ressources humaines décide que pourront postuler les employés : qui satisfont aux trois conditions, ou qui ont moins de 5 ans d ancienneté mais qui maîtrisent l anglais, ou qui ne maîtrisent pas l anglais mais qui possèdent un BTS SIO. 1) Écrivons une expression booléenne E traduisant les conditions de la direction. On a : E =... 2) On représente la situation dans un tableau de Karnaugh : b b b b a a c c c c 3) À l aide du tableau de Karnaugh, on donne une expression simplifiée de E. Pour cela, on fait les regroupements les plus gros possibles dans le tableau. On obtient : E =.... Exercice 10. a) Déduire du résultat précédent une version simplifiée des règles de la direction. b) Retrouver ce résultat par le calcul booléen. Le mot de la fin : Une logicienne vient d accoucher. Sa voisine lui demande : C est une fille ou un garçon? Que répond-elle? Oui. 8