Logique Booléenne. 18 novembre 2008

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1 Logique Booléenne MP 18 novembre 2008

2 Table des matières 1 Proposition Connecteurs logique Table de Vérité Identité remarquable classique Autres Loi de De Morgan Associativité Distributivité Circuit Logique Définitions Circuit Combinatoire Circuit Séquentielle Porte logique,circuit logique Sythèse des fonctions booléennes Représentation et-ou-non Forme normales

3 Chapitre 1 Proposition Définition 1 Une proprosition est une phrase non ambiguë, à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité, c est à dire Vrai ou Faux. Cette valeur peut dépendre de paramètre contenu dans la proposition. Propriété 1 Deux propositions p et q ayant la même valeur de vérité sont dites identique. On le note : p q Si les propositions p et q dépendent des paramètres x 1,..., x n, alors, par convention, on dit que p et q sont identique si pour toutes valeurs de (x 1,..., x n ), p(x 1,..., x n ) et q(x 1,..., x n ) ont même valeur de vérité. Définition 2 Une proposition est une tautologie si elle est identique à Vrai 1.1 Connecteurs logique Soient p et q deux propositions. Par convention, les expressions suivantes sont aussi des propositions. Il y a un certain nombre de connecteurs logiques : non p : Notée aussi p, cette proposition est Vrai si p est Faux et vice-versa p et q : Notée aussi p q ou pq, cette proposition est Vrai si p et q sont Vrai p ou q : Notée aussi p q ou p+q, cette proposition est Vrai si p ou q est vrai. Cette opération est appelé disjonction ou somme booléenne p oubien q : Notée aussi p q, cette proposition est Vrai lorsqu une et une seule des deux propositions est Vrai. On peut aussi exprimer ceci 2

4 en disant que cette proposition est Vrai lorsque les deux propositions ont des valeurs de vérité différente p q, cette proposition est Vrai lorsque p et q ont la même valeur de vérité. Ceci est différent de qui est un fait, alors ici, c est une proposition qui peut être Vrai ou Faux. p q. Cette proposition est identique à la proposition (non p) ou q. Cette proposition n est Faux que si p est Vrai et que q est Faux. 1.2 Table de Vérité Définition 3 Soit f(p 1,..., p n ) une proposition dépendent de paramètre p 1,..., p n, qui sont des propositions indéterminé. Les variables p 1,..., p n sont appelé variable propositionnelles de f. Une table de vérité est un tableau donnant la valeur de vérité de f(p 1,..., p n ) pour chaque valeur possible du n-uplets (p 1,..., p n ). Ce tableau possède donc 2 n lignes. Propriété 2 On peut convenir de representer Vrai par 1 et Faux par 0. Dans ce cas : p et q représente valeur(p) valeur(q) p ou q représente le max(p,q) p q représente l addition des deux mod 2 Propriété 3 Ce tableau est utilisé pour définir une fonction booléenne ou pour vérifier une identité remarquable, c est à dire une tautologie 1.3 Identité remarquable classique Autres (p q) ( q p) p q non(p q) ( p q) ( pq + p q) p non(nonp) Loi de De Morgan non (p ou q) = p et q non (p et q) = p ou q 3

5 1.3.3 Associativité p et (q et r) = (p et q) et r p ou (q ou r) = (p ou q) ou r Distributivité p et ( q ou r) = (p et q) ou (p et r) p ou ( q et r) = (p ou q) et (p ou r) 4

6 Chapitre 2 Circuit Logique 2.1 Définitions Définition 4 Un circuit logique est un dispositif physique munie d entrée et de sortie n ayant que deux états stables, notée 1 et Circuit Combinatoire Définition 5 Les états de sorties à un instant donnée ne dépendent que des états d entrée à cet entrée Circuit Séquentielle Définition 6 Les états de sorties sont dépendant aussi des états antécédents des entrées. 2.2 Porte logique,circuit logique Définition 7 Une porte est un circuit logique qui permet soit le passage de l état logique, soit le bloque (porte passante, porte bloquante) Propriété 4 Un circuit est combinatoire si aucune sortie d un composant n est reliéeà une des entrées de ce composant, directement, ou indirectement à travers d autre porte. 5

7 Chapitre 3 Sythèse des fonctions booléennes 3.1 Représentation et-ou-non Théorème 1 Soit f une fonction booléenne des variables p 1,..., p n. Alors f peut être exprimé uniquement à l aide des connecteurs et,ou,non, des variable p i et des propositions constantes Vrai et Faux. On en conclue que toute fonction booléenne peut être réalisé par un assemblage de porte élementaire and,not, et or 3.2 Forme normales Définition 8 Soient p 1,..., p n des variables propositionnelles. On appele littéraux les propositions p 1,..., p n et p 1,..., p n. Un monome est un produit de littéraux comme par exemple m = p 1 p 2 p 3 Un minterme est un monome dans lequel chaque variable p i apparait une et une seue fois, avec ou sans négation. Il y a donc 2 n monome. On monome est vrai pour une unique distribution de vérité des variables p 1,..., p n : p i Vrai si p i est un facteur p i Faux si p i est un facteur Théorème 2 Toutes fonctions booléen f est la somme booléenne des mintermes l impliquent. On peut donc exprimer f à partir de m à l aide de et,ou et non. La décomposition ainsi obtenu de f est appelé forme normale disjonctive. 6