Logique. Propositions, Raisonnements, Quantificateurs, Prédicats, Récurrence

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1 Logique Propositions, Raisonnements, Quantificateurs, Prédicats, Récurrence 1

2 INTRODUCTION {La présente affirmation est fausse}????? ni vraie ni fausse Vraie, Fausse, indécidable imprécise : {-1 n est pas un carré} un carré de quoi? un réel, un complexe? 2

3 I. LES PROPOSITIONS Définition Proposition : une affirmation qui est vraie ou fausse, pas indécidable. C est tout objet mathématique auquel est associé une valeur de vérité unique : V ou F. Notation : Vraie 1 Faux 0 Pest l ensemble des propositions But : définir un calcul sur P appelé Calcul propositionnel. Ce calcul s intéresse seulement à la façon dont les propositions sont liées entres elles. Il ne s interesse pas aux valeurs de vérité explicites. 3

4 I.1 LES TROIS CONNECTEURS LOGIQUES DE BASE Opérations sur les propositions : 3 connecteurs fondamentaux La négation : (non p) est vraie si p est fausse. La conjonction ET : lie deux propositions p 1 et p 2. Notation p 1 p 2. p 1 p 2 est vraie si p 1 et p 2 sont vraies toutes les deux. p 1 p 2 est fausse dans les autres cas. La disjonction OU : lie deux propositions p 1 et p 2. Notation p 1 p 2. p 1 p 2 est vraie si l une parmi p 1 ou p 2 est vraie. Important : l une est TOUJOURS au moins une Tables de vérité 4

5 I.2 L IMPLICATION Nouveau connecteur construit à l aide de non,, Définition : p 1 implique p 2 est (nonp 1 ) p 2 Notation p 1 p 2. Table de l implication. Abus de langage : donc, alors,... Valeur de vérité de Il est faux que : l eau bout à 0 degré donc le soleil se lève à l est? Attention à la ponctuation, aux parenthèses... Il est faux que l eau bout à 0 degré, donc le soleil se lève à l est? 5

6 I.3 L EQUIVALENCE Définition : p 1 est équivalent à p 2 est (p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ) Notation p 1 p 2. Table de l équivalence Comparer les tables de p 1 et p 2. Abus de langage et de notation : égale, =. 6

7 I.4 Vocabulaire En combinant des propositions p 1, p n à l aide de connecteurs logiques, on obtient des propositions p dont la VV ne dépend QUE des VV de p 1, p n. Pour construire la table de vérité de p, on fait un tableau de 2 n lignes. p = f (p 1,, p n )est une proposition!! Une proposition est une tautologie si elle est toujours vraie p (nonp) Une proposition est une Contradiction si elle est oujours fausse p (nonp) Deux propositions sont Compatibles si elles ont un modèle en commun : une ligne identique dans les tables, Deux propositions sont Contradictoires si elles n ont pas de modèle en commun : aucune ligne en commun dans leurs tables 7

8 I.5 CONDITIONS NECESSAIRES ET SUFFISANTES A et B deux propositions avec A B est vraie : notation A B B est une condition nécesaire (CN) de A A est une condition suffisante de B FIG.: Table de l implication Abus : A B est noté A B A et B deux propositions avec A B est vraie : notation A B A est une condition nécessaire et suffisante (CNS) de B et B est une CNS de A! 8

9 I.6 LOIS DE MORGAN ET AUTRES FORMULES LOIS DE MORGAN non (p 1 p 2 )=(non p 1 ) (non p 2 ) non (p 1 p 2 )=(non p 1 ) (non p 2 ) FORMULES : à la base des raisonnements p 1 (p 1 p 2 ) p 2 (non p 2 ) (p 1 p 2 ) non p 1 9

10 II. RAISONNEMENTS DEFINITION : un raisonnement est une relation entre une proposition A dite hypothèse et une (ou des!!) proposition B dite conclusion de la forme A B. En général : A = p 1 p n!! Valide : A B Invalide : sinon Ex : Quels sont les raisonnements valides? p 1 (p 1 p 2 ) p 2 (non p 2 ) (p 1 p 2 ) non p 1 p 2 (p 1 p 2 ) p 1 10

11 MONTRER QUE A B Raisonnement direct : A B Raisonnement par contraposée : (nonb) (nona) Raisonnement par l absurde : A (nonb) 0 RAPPEL : on dit souvent montrer que A B au lieu de montrer que A B SENS : Montrer que A B est vraie 11

12 III. PREDICATS III.1 Définition E un ensemble non vide. Un prédicat p sur E est une application de E dans P. Notation : E P x p(x) E est l univers, x est la variable. Ex : ln ln P (a, b) p(a, b) = {a divise b} Si p 1 et p 2 sont définis sur le même univers E, p 1 p 2 : x E (p 1 p 2 )(x) = p 1 (x) p 2 (x) p 1 p 2 : x E (p 1 p 2 )(x) = p 1 (x) p 2 (x) non p : x E (non p)(x) =non(p(x)) Convention : une proposition est un prédicat constant qui peut être définie sur n importe quel univers. Ex : p={2/3}. 12

13 III.2 QUANTIFICATEURS p est un prédicat sur E. E V = {x E, p(x) = 1} E F = {x E, p(x) = 0}. Théorème : E V E F = E E V E F = Ex : E = Z et p(n) = {n est pair} 13

14 DEFINITIONS La proposition {x E; p(x) = 1} = E est une proposition qui se lit quelquesoit x appartenant à E, p(x) (est vraie) et qui se note x E, p(x) La proposition {x E; p(x) = 1} est une proposition qui se lit il existe x appartenant à E, p(x) (est vraie) et qui se note x E, p(x) Ex : Valeurs de vérité de n Z, p(n) et n Z, p(n) 14

15 III.3 Cas où E est fini : E = {e 1,, e n } x E, x E, p(x) est p(x) est 15

16 III.4 Cas où E = A B a A, b B, p(a, b) b B, a A, p(a, b) a A, b B, p(a, b) b B, a A, p(a, b) a A, b B, p(a, b)?? b B, a A, p(a, b) FIG.: Exemple b B, a A, p(a, b) a A, b B, p(a, b) Donner un exemple de table où la réciproque serait vraie 16

17 III.5 CONNECTEURS ET QUANTIFICATEURS Les connecteurs lient les prédicats, les quantificateurs lient les variables des prédicats non ( x E, p(x)) x E, non p(x) non ( x E, p(x)) x E, non p(x) x E, p(x) q(x) ( x E, p(x)) (( x E, q(x)) x E, p(x) q(x) ( x E, p(x)) ( x E, q(x)) x E, p(x) q(x)?? ( x E, p(x)) ( x E, q(x)) ( x E, p(x)) ( x E, q(x))?? ( x E, p(x) q(x)) Exercice : Donner en fonction du prédicat non p : non ( a A, b B, p(a, b))? Voir TD 17

18 III.6 RAISONNEMENT PAR RECURRENCE n 0 entier naturel fixé. E = {n n 0 }. p est un prédicat sur E. On note p n = p(n). Version classique : Variante p n0 [ n n 0, (p n p n+1 )] [ n n 0, p n ] Abus admis : p n0 [ n n 0, (p n p n+1 )] [ n n 0, p n ] p n0 [ n n 0, (p n0 p n0 +1 p n ) p n+1 ] [ n n 0, p n ] Abus admis : p n0 [ n n 0, (p n0 p n0 +1 p n ) p n+1 ] [ n n 0, p n ] 18

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