Mathématique financière Sous le thème Les annuités variables : cas Des annuités en suite géométrique

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1 Les auités variables : cas e suites géométriques 1 Mathématique fiacière Sous le thème Les auités variables : cas Des auités e suite géométrique Préseter par : TAYEBI par : AHLAM ecadré MERYEM BENJELOUN M. KH BENMLIH WIAM SABAI 1EM1 Remerciemet Aée uiversitaire : 2013/2014 Au momet ou ous préparos otre mii projet, ous aimerios remercier des persoes qui ous aidés ; depuis le début de travail, 1

2 Les auités variables : cas e suites géométriques 2 ous avos l'hoeur de remercie l'ecadret MONSIEUR K.BENMLIH, alors ous voudrios égalemet remercie MONSIEUR Y.CHETIOUI qui ous ecourage. 2

3 Les auités variables : cas e suites géométriques 3 SOMMAIRE : I. Gééralités sur les auités a. A quoi servet les auités b. Les auités variables c. Auité e suite arithmétique d. Auité e suite géométrique e. Rappel : formule II. Valeur acquise par des auités e suite géométrique a. Cas : début de période b. Cas : fi de période III. Valeur actuelle par des auités e suite géométrique a. Cas : Début de période IV. b. Cas : fi de période Coclusio V. bibliographie 3

4 Les auités variables : cas e suites géométriques 4 4

5 Les auités variables : cas e suites géométriques 5 I. Gééralités sur les auités : a. A quoi servet les auités : E gééral, u prêt est pas remboursé e ue seule fois. Les remboursemets sot étalés sur plusieurs périodes. De même, u capital est raremet costitué e u seul versemet, mais plus souvet e ue successio de versemet. Il faut alors savoir calculer les itérêts das ces cas : - O appelle suite d auité ue successio de versemet, pour créer ou rembourser u capital. - Caractéristiques d ue suite d auités : La périodicité Le ombre de versemet Le motat de chaque versemet La date de chaque versemet b. Les auités variables : Les auités variables sot des motats différets de chaque aée. La part de l amortissemet de l emprut reste costate mais la part relative aux itérêts décroit selo u échéacier détermié à l avace. Par exemple : la valeur acquise d ue suite d auités de motat variable, le calcul de la valeur acquise par les divers versemets s effectue e additioat les valeurs acquises de chacu d eux, ce qui doe les formules de calcul suivates : 5

6 Les auités variables : cas e suites géométriques 6 v ᶠ = a i x(1+t) ( i ) i=0 auités de fi de période. v 0 f = i=0 ( i 1) a i x(1+t) auités de début de période. Avec : a i =motat de versemet. =ombre de versemet. t taux d itérêt pério dique(idetique pour toutes les périodes) Exemples : Explique la différece etre les auités costates et les auités variables. Vous placez 200 dh tous les mois sur u compte-éparge : la suite d auité est costate de terme 200 dh. Vous placez 100 dh le 1 er javier, 200 dh le 1 er février et 300 dh le 1 er mars : la suite d auité est variable. Le premier terme est 100 dh, le deuxième terme est 200 dh et le derier terme est 300 dh. Bref : Si les termes sot égaux, c'est-à-dire si tous les versemets sot de même motat la suite d auités est dite costate. Ue suite d auités qui est pas costate est dite variable. c. Auité e suite arithmétique : 6

7 Les auités variables : cas e suites géométriques 7 Ue suite arithmétique de terme géérale u est défiie par la doée du premier terme. La raiso r, et le uméro du terme cosidéré. Nous obteus aisi l expressio : u = +.r Cosidéros désormais la somme de plusieurs termes d ue suite arithmétique. Soit S la somme de terme défiie par : S = + u 1 + u u 1 + u Soit : +r) + ( + r)+ ( +2r) + + ( + ( - 1) r)+ ( Du fait de la commutativité, cette somme peut être exprimée e ses iverse : S = + r) + ( + ( - 1) r) + + ( + 2r) + ( +r) + E additioat les deux équatios, ous obteus doc : 2S = 2(+1). + (+1).r Soit : S = (+1) + ( +1).r 2 C est aisi qu e coaissat uiquemet le premier terme d ue suite aisi que le ombre de termes et la raiso de la suite ous pouvos coaitre la somme. d. Auité e suite géométrique : 7

8 Les auités variables : cas e suites géométriques 8 Nous défiissos ue suite géométrique de terme gééral u par la doée de so premier terme ième terme. de la raiso q et du uméro du Nous obteus doc l expressio : u = + q Là aussi ous pouvos détermier la somme d ue suite de termes d ue suite géométrique. Tout d abord, cosidéros l expressio suivate appelée somme télescopique : (1 x)(1 +x + x2 + x x 1 + x ) Soit : 1 - x 1 Aisi : (1 x) (1+ x + x2 + x3 + + x 1 + x ) = 1 - x 1 Nous pouvos aisi formaliser le tout par : (1 x) k=0 x k =1 - x 1 Et isoler la somme des puissaces croissates de X : x k = k=0 1 x 1 1 x = 1 x 1 1 x 1 1 = x 1 1 x 1 Aisi e appliquat cette formule aux suites géométriques, où u = q Soit S la somme des termes d ue suite géométrique de puissaces croissates : S = + u 1 +u u 1 + u Soit après remplacemet par leurs formules explicites : 8

9 Les auités variables : cas e suites géométriques 9 S = + q + 0 u q q Suit après simplificatio: k=0 q = u q q 1 Bref : e. Rappel : formule Auité e suite arithmétique : S =(x+1) ( x +1) r 2 Auité e suite géométrique : S = q k k=0 = q +1 1 q 1 II. Valeur acquise par des auités e suite géométrique : a. Cas : début de période Ecore appelée valeur future représete le motat capitalisé période après période des versemets effectués. E ce qui cocere d abord les auités costates, les formules de calcul sot : a (1+t) (1+t) 1 t (auités de début de période). Avec : a = motat du versemet périodique costat. = ombre de période de versemet 9

10 Les auités variables : cas e suites géométriques 10 t = taux d itérêt périodique pouvat être proportioel (pour les brèmes de crédit, sauf ceux liés à l éparge logemet) où actuariel (pour les placemets). Doc : pour les auités de motat variable, le calcul de la valeur acquise par les divers versemets s effectue e additioat les valeurs acquises de chacu d eux, ce qui doe les formules de calcul suivates : v d = a i (1+t) ( i +1) (auités de début de période). i=1 - Si le derier versemet est place au début de la derière période. Avec : a i =motat du i e versemet. ombre de versemets. t =taux d itérêt périodique (idetique pour toutes les périodes). b. Cas : fi de période : v f = i=1 période). a i (1+t)( i ) (auités de fi de - Si le derier versemet est place à la fi de la derière période. III. Valeur actuelle par des auités e suite géométrique : a. Cas : début de période : Ecore appelée valeur présete ; représete le motat e valeur «d Aujourd hui» des divers versemets périodiques effectués das le 10

11 Les auités variables : cas e suites géométriques 11 futur pour les auités de motat variable, le calcul de la valeur actuelle des divers versemets s effectue e additioat les valeurs actuelles de chacu d eux. Ce qui doe les formules de calcul suivates : Si le 1 er versemet est placé au début de la première période : v 0 d = i=1 a i (1+t ) i +1 b. Cas : fi de période : Si le 1 er versemet est placé à la fi de la première période : v 0 f = a i i=1 (1+t) i IV. Coclusio : A travers la défiitio des auités qui correspodats à des sommes (costates ou variables) versés à itervalles réguliers (par périodicité fixe à l aée, au semestre, au trimestre, au mois..) par coséquet les auités peuvet être versées e début de période, dès la sigature du cotrat (cas des versemets d éparge) ou bie e fi de période, la première état versée ue période après la sigature du cotrat (cas des versemets de remboursemet d emprut). V Bibliographie : Mathématiques fiacières IGA 11

12 Les auités variables : cas e suites géométriques 12 Webographie : Microsoft ecarta : les auités variables e suite géométriques. assurace-vie-a-auites-variables-... optimidwiter.com/.../optimid_dossier_techique 8-variable_a 12

13 Les auités variables : cas e suites géométriques 13 13

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