Probabilité. Chapitre 1 : Notion de probabilité

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1 Probabilité Chapitre : Notion de probabilité / Issues, événements : Une expérience est dite aléatoire loesqu elle a plusieurs résultats ou issues possibles et que l on ne peut pas prévoir avec certitude quel résultat se produira. Lancer d une pièce équilibrée Tirage d une boule dans une urne Tirage avec roue de loterie Pour chaque exemple, décrire l expérience et les issues possibles. Ensuite représenter sous forme d arbres les issues possibles. Un événement est constitué par des issues d une expérience aléatoire. On dit qu une de ces issues réalise l événement. La mère de Kevin lui permet de prendre un bonbon dans un sachet opaque. Kevin ne voit donc pas les bonbons. Le nombre de bonbons de chaque couleur contenus dans le sachet est illustré par le graphique suivant : Quelle est la probabilité que Kevin prenne un bonbon rouge? Moyen de représentation et de traitement : Calculer la probabilité de l événement ne pas tirer une boule portant le numéro Calculer la probabilité de l événement tirer une boule portant un numéro pair GD Année scolaire 009/00

2 Remarque : la somme des probabilités est égale à. Approche géométrique : On imagine qu un tireur tire parfaitement au hasard sur la cible ci-contre, sans jamais la rater. Tous les carrés sont concentriques et leurs côtés ont pour mesure a, a et a. Quelles sont les probabilités pour qu il gagne 0 points, 5 points, point? La probabilité relative à une région est proportionnelle à son aire : c est le rapport de son aire à celle de la cible. La probabilité d une issue est un nombre compris entre 0 et. La somme des probabilités des issues est égale à. Un événement est dit impossible s il ne peut pas se produire, sa probabilité est 0. Un événement est dit certain s il se produit nécessairement, sa probabilité est de. / Approche fréquentiste des probabilités : Lorsqu on répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d un évenement devient proche de sa probabilité. Exemples : lancer de pièces ou lancer de dés. / Vocabulaire : évenements incompatibles, événements contraires : définition : évenements sont incompatibles s ils ne peuvent se réaliser en même temps propriété : Lorsque événements sont incompatibles, la probabilité pour que l un ou l autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilité. 6 GD Année scolaire 009/00

3 Les évenements A : sortie du et B : sortie d un nombre pair sont incompatibles. La probabilité de la sortie du ou d un nombre pair est : p(a) + p(b) = + 6 = Propriété : La somme des probabilités d un événement A et de son contraire est : p(a) + p(non A) = le contraire de l événement A : sortie du est l événement non A : sortie d un numéro autre que le. Sa probabilité est : p(non A) = - p(a) = - = Définition : Lorsque toutesles issues d une expérience aléatoire ont la même probabilité de se produire, il s agit d un cas d équiprobabilité. Dans ce cas, s il y a n issues possibles la probabilité de chaque issue est n. Lancer de dé non truqué. Contre exemple : boules dans une urne. Chapitre : Expérience à deux épreuves : Propriété : Lors d une expérience aléatoire à épreuves, lors de sa représentation sous forme d arbre, on appelle chemin la succession de deux branches. La probabilité de l issue auquel conduit un chemin est égale au produit des probabilités rencontrées sur ce chemin. On considère l expérience suivante, qui se déroule en deux étapes : d abord, on fait tourner la roue de loterie située ci-dessous à gauche (on obtient la couleur Rouge avec une probabilité de 0,5 et la couleur Bleu avec une probabilité de 0,75). Ensuite, on fait tourner la deuxième roue de loterie (on obtient le numéro avec la probabilité /6, le numéro avec la probabilité / et le numéro avec la probabilité /). Un arbre non pondéré permet de déterminer tous les résultats possibles à l issue de ces deux étapes. Les résultats possibles peuvent être notés ainsi : (R, ), (R, ), (R, ), (B, ), (B, ), (B, ). Chacun de ces résultats est représenté dans lšarbre ci-dessous par la succession de deux branches : GD Année scolaire 009/00

4 Ainsi (R,) est l issue obtenir rouge et. p(r,) = 4 6 = 4 Exercice : Dans une urne, il y a boules bleues et boules vertes. On tire au hasard une boule, on regarde la couleur avant de la remettre puis on tire de nouveau une boule au hasard. / Dessiner l arbre des issues possibles en indiquant les probabilités sous forme décimale. / Calculer la probabilité de tirer boules bleues. / Calculer la probabilité de tirer boules vertes. Chapitre : Exercices Exercice Arthur a observé : Si le professeur m interroge à un cours alors il m interroge au cours suivant avec la probabilité /. S il ne m interroge pas à un cours alors il ne m interroge pas au suivant avec la probabilité /9. Aujourd hui, mardi, Arthur a été interrogé. Les cours suivants ont lieu mercredi et jeudi.. Construire un arbre illustrant cette situation.. Quelle est la probabilité qu Arthur soit interrogé jeudi? Exercice Le bulletin météorologique du jour prévoit que, de à 8 heures, les probabilités de pluie sont de 0 %. Laquelle des affirmations suivantes est la meilleure interprétation de ce bulletin? A - Il va pleuvoir sur 0 % de la zone concernée par les prévisions. B - Il pleuvra pendant 0 % des 6 heures (un total de 08 minutes). C - Dans cette zone, 0 personnes sur 00 auront de la pluie. D - Si la même prévision était faite pour 00 jours, il pleuvrait à peu près 0 jours sur 00. E - La quantité de pluie tombée sera 0 % de celle tombée lors d une forte pluie (mesurée en termes de précipitations par unité de temps). Exercice Une urne contient sept boules indiscernables au toucher : quatre boules bleues et trois boules rouges.. On tire successivement et avec remise deux boules de l urne. Calcule les probabilités que : a. la première boule soit bleue et la seconde boule soit rouge; b. les deux boules aient la même couleur.. Reprendre la question précédente en supposant que le tirage s effectue sans remise.. Reprendre les questions précédentes en supposant que l urne contienne aussi deux boules noires. GD 4 Année scolaire 009/00

5 Exercice 4 Une usine fabrique des DVD à l aide de trois machines dans les proportions suivantes : 5 % pour la machine A, 45 % pour la B et 0 % pour la C. Les fiabilités respectives des machines A, B et C sont 0,95; 0,9 et 0,85 (autrement dit : la probabilité pour qu un DVD fabriqué par la machine A soit bon est 0,95...). Quelle est la probabilité qu un DVD sortant de l usine soit bon? Et défectueux? GD 5 Année scolaire 009/00