COLLEGE MAX BRAMERIE DE LA FORCE. Épreuve : mathématiques Date : vendredi 07 mai Ce sujet comporte : 3 pages Série collège : 1/3

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1 Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la présentation ( points). L usage de la calculatrice est autorisé conformément à la circulaire n du 1 novembre PRMIÈR PRTI : TIVITÉS NUMÉRIQUS (1 points) xercice 1 et exercice est un questionnaire à choix multiples (QM). Pour chaque ligne du tableau, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte. ucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse. Indiquer sur votre copie, le numéro de la question et, sans justifier, recopier la réponse exacte. Questions Réponses proposées 1/ est égal à : / 18 8 est égal à : / L équation x = 7x + a pour solution : / 10 est égal à : - 5 0, , 5/ L arrondi à 1/100 près de 18 8 est égal à : 1,,1 1,1 xercice = (x ) + (x )(x + 8) 1/ Développer puis réduire l expression algébrique. / Factoriser l expression algébrique. / Résoudre l équation (x )(x + 5) = 0 xercice Voici le diagramme en bâtons des notes obtenues par une classe de 5 élèves de Troisième au dernier devoir d espagnol. 1/ alculer la moyenne des notes. 5 ffectifs / Déterminer la médiane des notes. / Déterminer l étendue de la série des notes. / alculer le pourcentage des élèves ayant obtenu une note strictement supérieure à Notes OLLG MX RMRI D L FOR Temps alloué : h oefficient : RVT LN N Épreuve : mathématiques Date : vendredi 07 mai 010 e sujet comporte : pages Série collège : 1/

2 xercice 1 DUXIÈM PRTI : TIVITÉS GÉOMÉTRIQUS (1 points) L unité est le centimètre. La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. On considère le cercle ( 1 ) de diamètre [] et le cercle ( ) de diamètre [D]. Le point est situé sur ( 1 ) et la droite () recoupe ( ) en. On donne = ; = 5 et D = 9. 1/ Parmi les trois propriétés suivantes, recopier sur la feuille double celle qui permet d affirmer que les triangles et D sont des triangles rectangles : D 1 a/ Si le carré de la longueur d un côté d un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. b/ Les bissectrices d un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans ce triangle. c/ Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle. / Dans le triangle rectangle en, calculer. / n vous aidant du résultat donné à la question 1/, montrer que les droites () et (D) sont parallèles. / Montrer que = 7,. xercice Voici un pentagone régulier D. Le point I est le milieu du segment []. On donne : O = O = O = OD = O = 5,7 cm. La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. I 1/ Quelle est la nature du triangle O? / alculer la longueur (arrondir au millimètre). O / Montrer que la mesure de l angle O est 7. / n considérant le cercle ( ) passant par les points,,, D et, déterminer la mesure de l angle. Justifier. D e sujet comporte : pages Série collège : /

3 TROISIÈM PRTI : QUSTIONS NHINÉS (1 points) On considère la figure ci-dessous où les dimensions sont données en cm et les aires en cm D est un point variable du segment [F] = ; F = D est un rectangle Le triangle DF est rectangle en D On note x la longueur du segment [DF]. Partie 1 1/ Dans cette question, on a se place dans le cas où x =. a/ alculer l aire du rectangle D. b/ alculer l aire du triangle DF. / Dans cette question, on a se place dans le cas où x est un D nombre inconnu. insi, DF = x et D = x. a/ Montrer que l aire du rectangle D est x. b/ Montrer que l aire du triangle DF est x. c/ Résoudre l équation x = x. x Pour quelle valeur de x l aire du rectangle D est-elle égale à l aire du triangle DF? F Partie 1/ On note f la fonction définie par : f(x) = x et g la fonction définie par : g(x) = x. ompléter le tableau ci-après, puis représenter graphiquement la fonction f dans le repère ci-après sur lequel figure la représentation graphique (d ) de la fonction g. / Par lecture graphique, déterminer pour quelle valeur de x l aire de DF est égale à cm. / Par lecture graphique, déterminer l aire de D pour x =,5 cm. / Par lecture graphique, retrouver le résultat de la question /c/ de la partie 1. Pour les questions /, / et /, on laissera en vert les traits et flèches utiles sur le graphique. Découper et coller sur votre feuille double, le tableau et le graphique suivant bien complétés : y 0 x f(x) = x (d ) x Le sujet comporte : pages Série collège : /

4 Solution : TIVITÉS NUMÉRIQUS xercice 1 ( = 5 pts) Les justifications des réponses (en gras) fournies ici n étaient pas demandées. 1/ = = = 1 1 / 18 8 = 9 = 9 = = ( ) = 1 = / x = 7x + x x = 7x + x = x + = x + 9 = x 9 = x = x Vérification pour ( ) : x = ( ) = 1 = 15 7x + = 7 ( ) + = 1 + = 15 ette équation admet une solution (- ) / = = 0, = 0, = 0,5 10 = 5 5/ vec la calculatrice : ( 18) ( 8) 1, ,1 arrondi à 1/100 près xercice (1,5 + 1,5 + 1 = pts) 1/ = (x ) + (x )(x + 8) = (x) x + + (x + 1x x ) = x 1x x + 1x x = x + x 15 / = (x )(x ) + (x )(x + 8) = (x )[(x ) + (x + 8)] = (x )[x + x + 8] = (x )(x + 5) / (x )(x + 5) = 0 Un produit est nul si et seulement si l un au moins de ses facteurs est nul. x = 0 ou x + 5 = 0 x = ou x = 5 donc x = ou x = 5 Vérifications : (x )(x + 5) = ( )( ) = 0 ( ) = 0 (x )(x + 5) = ( ) ( (- 5 ) + 5) = ( ) 0 = 0 ette équation admet deux solutions et ( 5 ). xercice (1 + 0,5 + 0,5 + 1 = pts) / Moyenne = La moyenne des notes est 1,. / La série ordonnée des notes : = 0 5 La médiane des notes est 1. / 17 8 = 9 ; l étendue des notes est 9. 1 notes 1 notes Médiane / Les notes supérieures strictement à 1 sont 1, 15, 15, 15, 1, 1, et 17 soit 7 notes sur 5. 7 = 0,8 = 8 % ; 8 % des élèves ont obtenu une note supérieure strictement à 1. 5

5 xercice 1 ( = 7 pts) Solution : TIVITÉS GÉOMÉTRIQUS 1/ Les triangles et D sont rectangles car : Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle (codages placés en et ). / Dans le triangle rectangle en, on peut utiliser le théorème de Pythagore : + = donc = = 5 = 5 1 = 9 donc =. / Les deux droites () et (D) sont perpendiculaires à la même troisième () donc elles sont parallèles : () // (D). 7, // 5 D 9 1 / Les droites () et (D) sont sécantes en avec () // (D) donc on peut utiliser le théorème de Thalès : = D = D Donc = 5 9 et on déduit = 9 5 = 7, ; = 7, cm. xercice (1 + 1, ,5 = 5 pts) Voici le pentagone régulier D. Le point I est le milieu du segment []. On donne : O = O = O = OD = O = 5,7 cm. 1/ Puisque O = O, alors le triangle O est isocèle en O. / Dans le triangle IO rectangle en I (d après le codage) on peut appliquer la trigonométrie : os OI = cos 5 = I O = I donc I = 5,7 cos 5. 5,7 Puisque I est le milieu du segment [], alors = I I Donc = 5,7 cos 5, Donc,7 cm arrondi au millimètre. O / Dans le triangle O isocèle en O, les angles à la base O et O sont égaux donc O = O = 5 ; la somme des angles du triangle O vaut 180 donc O = = 7 (on pouvait aussi utiliser l angle au centre du pentagone régulier O = 0 5 = 7 ). / Le cercle ( ) circonscrit au pentagone régulier D est tracé ci- D ( ) contre et les angles O et O sont codés égaux à 5. est un angle inscrit interceptant le même arc que l angle au centre 1 1 O, donc = O = 7 =.

6 Solution : QUSTIONS NHÎNÉS (1 points) Partie 1 ( ,5 + 1, = 7 pts) 1/ Dans cette question, on a = ; F = et DF =. a/ D est un rectangle donc (D) = D = ( ) = 1 L aire de D est 1 cm. b/ DF est un triangle rectangle donc (DF) = DF D = L aire de DF est cm. / Pour cette question : = ; F = ; DF = x et D = x. a/ (D) = D = ( x) = x. DF D b/ (DF) = = x = x = x. c/ x = x donc x + x = x + x = x donc = x donc = x Vérification pour x = ; x = = 1 = 8 x = = 8 donc cette équation admet une solution. L aire de D est égale à celle de DF lorsque x = cm. = D x F Partie ( = 5 pts) 1/ Le tableau ci-après est complété et puisque la fonction f est affine, alors sa représentation graphique est la droite (d 1 ) passant par les points de coordonnées (0 ; ) et (5 ; ) représentée ci-dessous. / Par lecture graphique, l aire de DF est égale à cm pour x = cm : on utilise la droite (d ). / Par lecture graphique, pour x =,5 cm, l aire de D est égale à 1 cm : on utilise la droite (d 1 ). / Par lecture graphique, à l intersection des droites (d 1 ) et (d ), se trouve le point de coordonnées ( ; 8). Lorsque x =, les aires de DF et de D sont égales à 8 cm. y 0 = 0 = 1 = = 0 5 = 0 = 0 (d 1 ) x f(x) = x 0 La droite (d 1 ) est tracée ci-contre passant par les points de coordonnées (0 ; ) et (5 ; ). (d 1 ) représente la fonction f modélisant l aire de D. (d ) représente la fonction g modélisant l aire de DF. Les pointillés et les flèches indiquent les sens des lectures (d ) x [Présentation : 0 pt à 9 pts ( pts max) ; 9,5 pts à 18 pts ( pts max) ; 18,50 pts à 0 pts ( pts max)]

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