Chapitre II Mouvement d un point matériel. Cinématique.

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1 Chapitre II ouvement d un point matériel. Cinématique. 1-Définitions 1.1 Sstème On a vu la nature discontinue de la matière à l échelle microscopique. Les différentes composantes élémentaires de la matière interagissent entre elles. Cependant, dans un grand nombre de problèmes, il n est pas nécessaire de prendre en compte cet aspect discontinu. On peut adopter une description «macroscopique» où, tout en ignorant la structure microscopique de la matière, on isole par la pensée une partie du monde matériel qui devient un objet. E : une balle qui tombe, une planète en mouvement autour du Soleil etc. Le sstème phsique est un objet ou un assemblage d objets bien défini dont on étudie les propriétés statiques ou dnamiques, avec ou sans échange avec le reste du monde matériel qu on appellera le «monde etérieur». Sstème fermé : sstème sans échange de matière avec l etérieur masse constante (une cellule vivante qui échange des ions avec l etérieur par osmose est un sstème ouvert) Sstème isolé : sstème sans échange du tout (ni matière, ni énergie) masse constante et énergie constante. Remarque : Dans ce cours, on se limitera au sstèmes mécaniques. On peut définir un sstème en thermodnamique, quand on tient compte des échanges de chaleurs possibles. On définira alors l énergie interne d un sstème, qui est constante si le sstème est isolé. 1.2 Cinématique et Dnamique Ce chapitre est une partie de la «écanique» : étude du mouvement et de l équilibre des corps en relation avec les actions eercées sur eu par le «monde etérieur». Cette étude se découpe en deu : cinématique et dnamique. La Cinématique vise à décrire les mouvements (trajectoire d un mobile, équation horaire, vitesse, accélération etc.) sans se préoccuper des causes qui les provoquent. Elle repose cependant sur les notions phsiques de l espace et du temps. 1

2 La Dnamique s intéresse au forces qui provoquent les mouvements. La masse du sstème en mouvement intervient alors dans l étude de son mouvement. 1.3 Solide et point matériel Un solide est un objet considéré comme indéformable dans le problème étudié. C est-à-dire que la distance entre deu points quelconques est fie (constante). C est en fait une idéalisation. Eemple : une balle de tennis est moins rigide qu une boule de pétanque ou une toupie en bois, mais c est un solide si on étudie son mouvement de translation et sa rotation et pas sa déformation. Pour repérer un solide, il faut spécifier la position de son centre d inertie (ou centre de masse, ou barcentre) et son orientation par rapport à un repère fie du laboratoire. Cela se fait par les 3 coordonnées du centre de masse et 3 angles qui caractérisent trois rotations faisant passer trois aes fies liés au solide au trois aes fies). Il peut se déplacer par rapport à ce repère et tourner sur luimême (rotation). Si l on ne s intéresse pas au mouvement de rotation de l objet mais seulement au déplacement de son centre d inertie, on peut alors négliger ses dimensions et l assimiler à un point matériel affecté de sa masse totale. C est une idéalisation. On peut dire que le point matériel est un objet matériel (possédant une masse) dont on peut négliger les dimensions dans le problème étudié et qui ne tourne pas sur lui-même. Eemple : - une bille qui roule n est pas représentée par un point matériel - Un satellite tournant autour de la Terre peut être décrit par un point matériel si on n a pas besoin de spécifier son orientation (smétrie sphérique ou isotropie) mais seulement sa position. La position d un point matériel est donnée par 3 paramètres : les 3 coordonnées de position du point dans l espace. On dit qu il possède 3 degrés de liberté de mouvement. En revanche, le solide possède 6 degrés de liberté (3 de translation, 3 de rotation). Dans ce qui suit, on s intéressera surtout au mouvement d un point matériel, on dit aussi celui d un mobile considéré comme un point. 2

3 1.4 Espace et temps d un observateur Espace L espace phsique correspond à un espace euclidien à 3 dimensions. C est l espace géométrique habituel (Par un point etérieur à une droite, il ne passe qu une droite parallèle à celle-ci) où l on peut repérer la position d un point par ses 3 coordonnées. En fait, dans la théorie de la Relativité Générale d Einstein, il eiste un écart entre la géométrie de l espacetemps et la géométrie euclidienne, mais cet écart est très faible à la surface de la Terre. On n a ici qu une ecellente approimation. Pour la écanique Classique (objets de vitesses faibles devant celle de la lumière) on pourra rapporter l espace phsique à l espace euclidien. Les longueurs seront mesurées en mètre dans les unités S.I. Temps L écoulement du temps est une notion intuitive. En effet, intuitivement on sait établir une chronologie pour la succession des évènements. Le temps sert à dater les évènements. Un instrument qui permet de dater est une horloge (ou chronomètre). Origine du temps : un événement choisi comme référence. Le temps ne peut qu augmenter donc il ne peut varier que dans le sens positif mais il peut prendre des valeurs négatives (on dit moins 5 minutes par rapport à une heure prise comme origine par eemple) A priori, n importe quel phénomène évolutif peut-être utilisé pour mesurer le temps : un sablier, une clepsdre, la position apparente du soleil par rapport à la Terre (cadran solaire) mais on peut admettre une eigence supplémentaire à cause de l écoulement uniforme du temps. Pour définir l unité du temps, on choisira un phénomène régi par une loi phsique invariante dans le temps (invariante par translation dans le temps). Les phénomènes périodiques permettent de vérifier si l on a des intervalles égau et de définir une chronologie. Par eemple, le jour solaire, qui est l intervalle de temps séparant deu passages successifs d un point de la Terre devant le Soleil, moenné sur un an a servi à définir la seconde jusqu en 1960 : 1 seconde =1/86400 jour solaire moen. En fait le mouvement de rotation de la Terre sur elle-même se ralentit à cause du frottement de la marée. Le jour, donc l unité de temps, se dilate, ce qui entraîne une accélération apparente des astres. On est 3

4 amené à changer la définition de la seconde à l aide d une horloge atomique à cesium ( périodes du raonnement correspondant à une transition entre 2 niveau hperfins de 133 Cs dans son état fondamental). 2- Référentiel. Relativité du mouvement. Parler du mouvement, c est nécessairement parler de déplacement relatif par rapport à quelque chose qui sert de référence fie. On peut être immobile dans un train qui avance sur la Terre. Les phsiciens décriront toujours le mouvement d un mobile par rapport à un «observateur» lié de manière fie à un solide indéformable (R) appelé «référentiel». En fait c est tout l espace fie par rapport à l observateur. Deu observateurs dans deu référentiels différents voient différemment le même mouvement. Par eemple, on parle du «référentiel du laboratoire» = les murs du laboratoire où se trouve l observateur immobile Autre eemple : un observateur 1 immobile sur le trottoir, un observateur 2 à bicclette sur la route, un observateur 3 dans un train qui passe sur une voie ferrée parallèlement à la route. Pour l obs. 3, le ccliste recule alors qu il avance pour l obs. 1. Pour l obs. 1, un point de la roue décrit une courbe ccloïde. En écanique Classique, le temps est absolu : il est le même quel que soit le référentiel. Deu observateurs dans des référentiels différents attribuent les mêmes dates au mêmes évènements. Ceci n est vrai que pour des vitesses relativement faibles devant celle de la lumière. Pour des vitesses plus grandes, la Relativité restreinte montre qu on doit définir un temps pour chaque référentiel. 3- Description du mouvement d un point matériel 3.1 Vecteurs position, vitesse et accélération Vecteur position On se place donc dans un référentiel (R) donné. Pour définir la position d un point matériel placé en un point géométrique, on doit choisir un point O fie dans le référentiel (R) par rapport auquel on 4

5 pourra la définir. La position du point est alors définie par le vecteur lié (bipoint) O = r appelé «vecteur position». Le choi du point fie O est arbitraire. Si on choisissait un autre point O fie pour repérer, on aurait : r ' = O' = O'O + O. Le vecteur O'O est un vecteur fie dans (R). Quand le point matériel se déplace, le point se déplace et le vecteur O (t) = r (t) varie en fonction du temps. La courbe (C) décrite par le point est la trajectoire du point matériel. 0 O ' (C) s = 0 abscisse curviligne mesure algébrique s = s(t) : équation horaire Attention, la trajectoire est une courbe définie indépendamment du temps. Si on a choisi un trièdre orthonormé (O) et si on connaît les lois horaires (t), (t), (t), on a 3 équations paramétriques de (C) et il est possible d éliminer la variable temps (t) et obtenir une équation de la forme F(,,)=0. Vecteur vitesse Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur O (t) = r (t) : v = do = #r Soit position du point à l instant t et à l instant infiniment voisin t ' = t + t, t = t ' t v ' = lim t0 t O ' # O = lim t0 t = do = dr Attention : Quand est infiniment voisin de, on a ' # ' La vitesse est tangente à la trajectoire au point. le vecteur do est un vecteur d orientation quelconque, pas forcément // O. 5

6 Vecteur accélération Dans un mouvement quelconque, la vitesse peut varier au cours du temps. Elle change en tout point de la trajectoire en grandeur et en direction. Le vecteur accélération est défini comme la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps : a = dv = d 2 O 2 a = lim t0 v (t ') # v (t) t = d 2 r = ## r 2 = lim t0 v (t) t = dv Ces définitions sont données par rapport à un référentiel donné. Remarques : - Si on avait choisi un point O fie dans (R), différent de O, on aurait : Vecteur position r ' = O' = O'O + O, O'O fie dans (R) Vitesse do ' v' = = doo' + do' on a donc v' = v et a' = a = do = v - Si (R1) se déplace en translation à la vitesse V par rapport à (R) considéré comme fie. On a V = doo 1, O 1 et O fies respectivement dans (R1) et dans (R) La vitesse relative du point dans (R1) est donnée par : do v r = 1 $ # & = #r $ 1 % (R1 ) %(R 1 ) do $ sa vitesse absolue : v a = # & = #r $ % (R) %(R) do or v a = = doo 1 + do 1 6

7 On a : v a = vr + V où V est la vitesse d entraînement 3.2 Repères et sstèmes des coordonnées Les notions de position, vitesse et accélération d un mobile sont définies par rapport à un référentiel (R). On peut soit manipuler des vecteurs, soit choisir d utiliser leurs composantes par rapport à un repère donné, solidaire de (R). Le choi du repère, comme celui de son origine, est arbitraire. Il est indépendant de la notion du mouvement. On le choisit de manière à simplifier les epressions mathématiques. Il est généralement orthonormé. a) Composantes des vecteurs en coordonnées cartésiennes Dans (R), on choisit un point fie O et trois aes orthogonau aant pour origine commune le point O, portant trois vecteurs unitaires u,, u (de longueur unité). On a alors un repère orthonormé ou un u «trièdre rectangle» (O, u u = u u = u u = 0 u u 2, u, u ), avec ui ui = ui = 1 i =,, et 7 Vecteur position : r =O = u + u + u Vecteur vitesse : v = do = d u d + u d + u v ## ## ## = u + u + u (Notation dérivée par rapport à t) les composantes en coordonnées cartésiennes du vecteur vitesse sont donc : v = = '(t) = d r u O u ; v = = '(t) = d ; v = = '(t) = d Vecteur accélération : a = dv = dv u dv + u dv + u = ## u + u ## + ##u

8 les composantes en coordonnées cartésiennes du vecteur accélération sont donc : a = = (t) = dv = d 2 $ # 2 % & ; a = = (t) = dv = d 2 $ # 2 % & ; a = = (t) = dv = d 2 $ # 2 % & Remarques : - les vecteurs position, vitesse, accélération sont définis pour le référentiel (R) dans lequel on observe le mouvement. Les vecteurs ne dépendent pas du repère choisi. En revanche, leurs composantes dépendent du repère choisi. - En phsique, le choi arbitraire de l origine et des aes découle de l homogénéité (invariance par translation) et de l isotropie (invariance par rotation) de l espace. b) Composantes des vecteurs en coordonnées clindriques Ces coordonnées sont adaptées pour décrire un problème à smétrie aiale d ae O.Le plan (O, O) est le plan polaire perpendiculaire en O à O. On choisit un ae polaire O et une orientation dans le plan polaire : le sens positif par rapport à l ae O (règle de tire-bouchon : si on tourne un tire-bouchon dans le sens positif, il s enfonce dans le sens de O). u u O # N r u A un ensemble de nombre,, P u u u u Un point se projette en P sur le plan polaire et en N sur l ae O. Les coordonnées clindriques,, ( ) du point sont par définition : - sa distance à l ae O : =OP [ [ 0,+# - l angle polaire : = (O,OP ), [ ] 0,2# - la cote : =ON, identique à la coordonnée cartésienne, #, +# ] [ ( ) correspond un point et un seul mais la réciproque n est pas vraie : pour les points de l ae O, l angle est indéterminé. On peut remarquer que si le problème se limite au plan (O), =OP et = (O,OP ) sont simplement les coordonnées polaires du point P. 8

9 On passe des coordonnées clindriques au coordonnées cartésiennes par les relations : = cos, = sin, =. On a quelques fois besoin d eprimer les composantes d un vecteur défini en un point d une courbe décrit par le mobile. On introduit alors des vecteurs unitaires «locau» ou «tournants» : OP u = OP et u qui se déduit de u par une rotation de + dans le plan 2 polaire, u complétant un trièdre direct «local». Un vecteur V se décompose sur le trièdre local comme : V = A u + A u + A u où A est la composante radiale, A, la composante orthoradiale, toutes deu dans le plan polaire O, et A, la composante aiale. Le mouvement d un point se décompose selon celui de sa projection P dans le plan (O) et celui de sa projection N sur l ae O : Vecteur position : r =O =OP +ON = u + u avec OP = u ON = u Pour calculer les vecteurs vitesses v ( ) et accélération a ( ), nous avons besoin d abord de calculer les dérivées des vecteurs unitaires tournants par rapport à l angle. Dérivées d un vecteur par rapport à une variable angulaire : u () = cosu + sinu u $ # ' () = cos + % & 2 ( ) u $ # ' + sin + % & 2 ( ) u = *sinu + cosu On connaît les dérivées des fonctions trigonométriques : (sin)' = d(sin) = cos et (cos)' = d(cos) = sin, d d d où ( u et u ne dépendent pas de ) : du () u '() = = d(cos) d(sin) u + u = #sinu + cos u = u d d d 9

10 du de même : u '() = () = d(sin) d(cos) u + u = cosu + sin u = u# d d d La dérivée d un vecteur unitaire par rapport à est un vecteur unitaire obtenu par une rotation de + 2. Vitesse en coordonnées clindriques : v = dr = r = do #### = dop ### + don ### ou encore v ( ) = v (P) + v (N ). Dans le plan (O) : v (P) = dop = d(u ) = d u du + Or u (t) [ ] dépend de t par l intermédiaire de sa direction, puisque sa longueur est constante et égale à l unité, on a donc une fonction composée de t : { u [(t)]} ' = du du d = u '() # '(t) = d = #u d où : v (P) = d u d + u = #u + # u $ &% $ &&% composante radiale composante orthoradiale Sur l ae O : v (N ) = don = d(u ) = d u = # u En résumé, le vecteur vitesse en coordonnées clindriques est : v ( ) = d u d + u d + u = #u $ &% composante radiale + u # $ &&% composante orthoradiale + #u $%& composante aiale Accélération en coordonnées clindriques : Comme du = du d d = #u on trouve : et a = dv = v du = du d d = # #u, a ## = ( # 2 )u $ &&&&&&& % + ## ( # + 2 # )u # $ &&&&&&&& % + u ## $%& accélération radiale accélération orthoradiale accélération aiale c) Composantes des vecteurs en coordonnées sphériques Ces coordonnées sont adaptées pour décrire un problème à smétrie sphérique, c est-à-dire ne dépendant que de la distance à un point, centre de smétrie, mais pas de l orientation autour de ce point. 10

11 u O u $ # r u P u r u u On peut prendre le centre de smétrie comme origine O, un ae O passant par O et un plan de référence contenant O, soit (O, O). Un point se projette en P sur le Les coordonnées sphériques du point sont par définition : - sa distance à l origine : r =O, raon vecteur. r [ 0,+ [ -l angle = (O, O ), colatitude, [ ] 0,# -l angle = (O, OP), angle aimutal ou longitude, [ 0,2# ]. On passe des coordonnées sphériques au coordonnées cartésiennes par les relations : = r sin cos, = r sin sin, = r cos. Si le problème ne dépend pas de, on retrouve les coordonnées polaires dans le plan méridien défini par ( O, O ), l ae polaire étant O. On peut introduire un trièdre local ou «tournant» : u r et u sont définis comme u et u des coordonnées polaires dans le plan méridien, u complétant le trièdre direct (u ur et u# ). Dans ce cours, on ne cherchera pas à écrire les epressions générales des vecteurs vitesse et accélération en coordonnées sphériques, mais on utilisera la composante radiale portée par le vecteur unitaire O u r = O (pour des mouvements à forces centrales). 4. Cas du mouvement circulaire plan Le point matériel décrit une trajectoire circulaire de raon R. On se place dans le plan contenant le cercle, que l on prendra comme plan (O) : = 0, v = = 0, a = = 0 11

12 O R u # u Le point a pour coordonnées polaires : = R =Cte = (O, O ) = (t) On peut écrire r =O = u Vecteur vitesse : v ## ## d u ## ( ) = u + = R u La vitesse est orthoradiale, et dans ce cas, tangente à la trajectoire. le module de la vitesse : v ( ) = R où = d Vecteur accélération : a = dv = R u ## + R du ## = R ## 2 u # $ &&&&% accélération radiale normale à la trajectoire ouvement circulaire uniforme : = d = =Cte v = R =Cte a T = = 0 et a N = R# 2 = v 2 R est la vitesse angulaire. + R u ## $ &&% accélération orthoradiale tangente à la trajectoire accélération centripète (dirigée vers O) 12

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