MECANIQUE DES STRUCTURES

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1 IENE E GENIE IVI ET INRSTRUTURES MENIQUE ES STRUTURES Glle Glleo (dt Gllée ) scors e dmostrzon mtemtche, ntorno à due nuoue scenze urent UEVIE

2 Prémbule e polcopé est un support u cours et trvu drgés de cence de Scences et Technologes, spéclté Géne vl et Infrstructures. Il ne peut se substtuer u ensegnements délvrés pr l éupe pédgogue. Il est consttué d un succnct rppel de cours et de nombreu eercces. Sommre Rppels de cours et formulres.... ses de l Résstnce es Mtéru (RM).... e flmbement.... Théorèmes énergétues Méthode des forces Superposton de problèmes sosttues Poutres contnues - ormules des tros moments Méthode des déplcements ormulre de flèches de poutres sosttues ormulre des réctons de lson de l poutre b-encstrée Intégrles de Mohr...8 Eercces, Problèmes et sujets d emens.... Structures sosttues.... lcul de déformées de structures sosttues (pr pplcton du PTV)...4. Portue sosttue Trells sosttue Poutres hpersttues Méthode des forces Problème : Tbler de pont Problème : lèche de lève-chrges Portue encstré en ped Hpersttcté nterne - Portue à trvée rtculée...9. Portue Méthode des moments...9. Emen de premère sesson.... Emen de seconde sesson.... Poutres hpersttues Méthode des déplcements Emen de premère sesson Emen de premère sesson Emen de premère sesson Emen de premère sesson Emen de premère sesson âtment ndustrel (emen IUP-GI Toulouse)...7. Structure en trells...8. Influence de l fleon dns les trells

3 RPPES E OURS ET ORMUIRES. ses de l Résstnce es Mtéru (RM) Une poutre est un solde dont l une des dmensons est grnde devnt les utres ( >>, b). Une poutre est générée pr une surfce dont le centre de grvté décrt une courbe ppelée fbre moenne de grnde longueur devnt et b. Elle est schémtsée pr un mleu curvlgne. S G (s) τ G (s ) Prte drote s > s Prte guche s < s coupure R Torseur des efforts ntéreurs en G(s ): { T} Efforts eercés pr l prte drote (s>s ) sur l prte guche (s<s ) M τ : vecteur untre tngent en G(s ) à l fbre moenne. Ν : composnte de l résultnte R dns l drecton de τ : effort norml T : projecton de l résultnte R dns le pln de l secton drote : effort trnchnt M t : composnte du moment résultnt M dns l drecton de τ : moment de torson M f : projecton. du moment résultnt M dns le pln de l secton drote : moment fléchssnt Pour un problème pln (cdre du cours), le torseur des efforts ntéreurs se rédut u sclres N, T et M (fleon).. e flmbement force crtue de flmbement (théore de Euler), pour une brre b-rtculée de longueur f, d nerte de fleon I et EI de module d Young E, est : crt π f onfgurton de flmbement de l brre de longueur ongueur éuvlente f f f f f - -

4 . Théorèmes énergétues Pour une poutre drote de longueur sous chrgement pln, l énerge de déformton réelle est : W ( N M T d ) d + + ES EI GS Pour une poutre élncée, l contrbuton de l effort trnchnt à W d est néglgeble devnt celle de l fleon. e trvl réel d une cton mécnue de résultnte r, de moment r en P, ppluée à un solde S en mouvement pr rpport u référentel R est : r r v v We (U P S / R. + ΩS / R.) Prncpe des trvu vrtuels (PTV) : e trvl des efforts ntéreurs réels (N, M, T) dns un chmp de déformton vrtuel (dus u efforts ntéreurs vrtuels N *, M *, T * ) est égl u trvl des efforts etéreurs réels dns le chmp de déplcement vrtuel (ssocé u déformtons vrtuelles). Pour une poutre de longueur soumse à des forces et moments u ponts P, le PTV s écrt : W ( σ, d * ε ) W (, e * U ) * * NN MM ( + ES EI * TT + )d GS r r r * r * [.U (P ) +. Ω (P )] Théorème de l chrge unté : Sot v le déplcement en P selon n r d une poutre de longueur, on pplue une force vrtuelle d ntensté égle à en P selon n r pour détermner v. Selon le PTV et en néglgent l effet de T : ( * N N M M v + ) d ES EI N, M efforts ntéreurs réels et N *, M * efforts ntéreurs dus à l force + * 4. Méthode des forces Superposton de problèmes sosttues / / méthode est llustrée vec l eemple de problème hpersttue de degré h (h) c-contre. e problème est éuvlent à l superposton de (h+) problèmes sosttues ssocés à h condtons cnémtues. Soent X et X les réctons u ppus en et. + + X X problème problème problème ondtons X X + + δ δ cnémtues X X + δ + δ flèche en (,) dns le pb δ j flèche en (,) dns le pb j pour une force X près clculs ou pr utlston d un formulre : δ δ d où X 4 et X , EI 7, δ, EI δ, EI 8-4 -

5 5. Poutres contnues - ormules des tros moments M M + + Poutre contnue soumse à des efforts vertcu. Sot M le moment fléchssnt à l ppu. poutre est supposée d nerte constnte EI. Sot θ+ (resp. θ ) l rotton à drote (resp. à guche) de l ppu pour l trvée à + (resp. - à ) consdérée ndépendnte. formule des tros moments est : 6 EI ( θ + θ ) M + M ( + + ) + M+ + Soent v +, v et v - les dénvelltons des ppus +, et - pr rpport à une lgne de référence. formule devent : v v v v + 6 EI ( θ + θ + + ) M + M ( + + ) M es moment et effort trnchnt dns l secton d bscsse de l trvée - à sont : M() m() + M + M M M T() t() ( ) vec m() et t() les efforts ntéreurs dus u chrgement etéreur sur l trvée consdérée ndépendnte, l bscsse nt son orgne à l ppu Méthode des déplcements os de comportement de l poutre j dns l bse ( r, r ) lée à l poutre N j M j T j E,, M j j T j N j Y α X j onventon : T j force trnsverse en eercée pr l etéreur sur l poutre j. es effort sont orentés pr l bse ( r, r ), donc en j on le torseur des efforts ntéreurs (cton de + sur -), en on l opposé des efforts ntéreurs. onventon : T j force trnsverse en dû u chrgement etéreur pour une poutre encstrée en et j (vor formulre). 4EI EI Mj ω + ωj + (v v j) + M j EI 4EI Mj ω + ωj + (v v j ) + M EI Tj ω + ωj + (v v j) + T j EI Tj ω ωj (v v j) + T E E Nj u u j + Nj E E N j u + u j + N j j j - 5 -

6 Ecrture cnonue de l méthode des déplcements pour une seule poutre j : u v ω U j ; u j v j ωj j Nj Tj M j Nj Tj M j j j j j K U + U j vecteur des déplcements nconnus de l poutre j K j mtrce de rgdté de l poutre j j vecteur des forces nconnues de l poutre j j vecteur des forces connues de l poutre j, dues u chrgement etéreur entre les nœuds d où le sstème à résoudre sur les poutres j : Epressons de En trcton : K j Uj et noeuds j Kglob Uglob brres j noeuds brres j K j dns les bses locle ( r, r ) et de l structure ( X r, Y r ) On note : cos α ; S sn α glob lors u v U j et uj v j j Nj Tj N j Tj E Kj r r, E S Kj S S S S S S S S S S S r r X,Y En fleon : K j E E EI EI 4EI EI vec E E EI EI EI 4EI r r, U j u v ω u j v j ωj E EI + S E EI S S S Kj E EI S E EI S + S S E EI S S E EI S + E EI S + S E EI S S 4EI S EI E EI S E EI S + S S E EI + S E EI S S S E EI S + S E EI S E EI S S E EI S + S EI S 4EI r r X,Y - 6 -

7 7. ormulre de flèches de poutres sosttues α : () α : () P( α) [ -α(-α)] '() 6 Pα [(-) EI -(-α)(+α)(-)] P( α) [ - α (- α)] α P (α) - '() Pα( α) EI 6 Pα [-(-) EI +(-α)(+α)] pour α ( ) - 48 P pour α EI p p p () - (4 + ) '() - (4 6+ ) 4EI 4EI ( p4 ) - 5 pour 8 48EI M α P () ( ) M + '() ( 6 ) M + α : P ( ) () α P( α) '() EI α : Pα ( ) () α () - P pour α EI p p p () - ( ) '() - ( + ) 4EI p () - 4 pour 8EI 8. ormulre des réctons de lson de l poutre b-encstrée j T j ; T j ; M j ; M j j T j ( ) ; T j ( ) + M j (6 8 ) + ; M j (4 ) / / j T j ; T j ; M j ; 8 M j 8 j T j ; T j ; M j ( ) ; M j ( ) b j b T j (b+ ) ; T j (b+ ) ; M j b ; M j b b j T j 6b ; T j 6b ; M j b( b) (b ) M ; j - 7 -

8 9. Intégrles de Mohr - 8 -

9 - 9 -

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12 . Structures sosttues EXERIES, PROEMES ET SUJETS EXMENS près vor vérfé ue les structures suvntes sont sosttues, détermner les dgrmmes des efforts norml (N), trnchnt (T) et du moment fléchssnt (M) u sen de celles-c. Eercce. Eercce. P P P P Rép. : T T (g) -T (d) -T -P T (d) T (g), M M P Rép. : M -M P/ T T (g) T (d) T -T (d) -T (g) -P/ Eercce. Eercce.4 kn/m 4m b Rép. : T -8kN, T T 4 kn M 8 knm Rép. : T T T /(+b) M (g) -/(+b), M (d) b/(+b) Eercce.5 Eercce.6 6 kn kn 9 kn E kn m 4m m m.5m.5m m Rép. : T +T (g) -. kn T (d) T (g).67 kn, T (d) T - kn M 6.67 knm, M -4 knm Rép. : T T (g) -T (d) -T (g) -4.5 kn T (d) T E(g) -T E(d) -T -.5 kn M.5 knm, M -.5 knm, M E.5 knm Eercce.7 Eercce.8 kn/m 6kN kn/m 6m m m 5m Rép. : T -8 kn, T (g) kn, T (d) -6 kn M m.67 knm, M -6 knm Rép. : T T (g) 6 kn, T (d) -. kn, T.9 kn M -8 knm, M m.5 knm - -

13 Eercce.9 Eercce. 5kN knm kn/m 5kNm E E m m.5m m m m Rép. : T T (g) -.6 kn, T (d) T (g).4 kn, T (d) T E Rép. : T T -6 kn, T T M 5. knm, M M E - knm M - knm, M -4 knm, M M E -5 knm Eercce. Eercce. rtculton P Rép. : T T -T -, M -², M m ²/ Rép. : T T (g) -P/, T (d) T T P/ M P/, M, M -P/ Eercce. kn 5kN/m kn/m 6kN knm m m m m m m m Rép. : V.5 kn, V 8.5 kn T T (g) -.5 kn, T (d) T -.5 kn T T 4 T (g) 9.5 kn, T (d) -9 kn T 5(g) -6. kn, T 5(d) -. kn, T 6 M.5 knm, M knm, M knm, M 4(g) -7.5 knm M 4(d) -5.5 knm, M -5 knm, M 5 -. knm kn/m E Eercce.4 m kn kn/m m Rép. : V kn, V 6.65 kn, H - kn : N 8.65 kn, T T (g) - kn, T (d) T - kn E : N E kn, T 8.65 kn, T E 6.65 kn E : N E kn, T E kn, T 4m M 5 knm, M 55 knm, M E 4.5 knm 4m - -

14 Eercce.5 kn/m P 4 kn P kn kn/m 45 G 4 kn/m E kn/m pkn/m m 5m M o 5 knm.5m m m m Rép. : H -55 kn, V 5 kn, V 45 kn E : N -5 kn, N E -85 kn, T -55 kn, T E 5 kn, M 8.75 knm, M E -4.5 knm E : N N E -4 kn, T 4 kn, T E 55 kn, M E -7.5 knm EG : N E N G -45 kn, T E - kn, T (g) T (d) T (g) 5 kn, T (d) T G 45 kn, M E - knm, M -5 knm, M G -6 knm G : N G N -45 kn, T, T G -45 kn, M G -6 knm, M -5 knm. lcul de déformées de structures sosttues (pr pplcton du PTV) es structures étudées seront supposées consttuées de poutres élncées homogènes, de même module d Young E et de mêmes secton (surfce S et nerte de fleon I). Eercce. étermner l flèche en de l eercce. Eercce. étermner l flèche en de l eercce. Eercce. étermner l rotton en de l eercce.4 Eercce.4 étermner l flèche mmle de l eercce. Eercce.5 étermner l flèche mmle de l eercce. Eercce.6 étermner l rotton et le déplcement horzontl en de l eercce.4 Eercce.7 étermner l rotton et le déplcement horzontl en E de l eercce.5-4 -

15 . Portue sosttue e portue est consttué de brres dentues. 4 m, 5 dn, E GP, I.89-5 m 4. Trcer les dgrmmes de N, T, M. lculer le déplcement horzontl en, u.. émontrer ue l effet de l trcton est néglgeble devnt celu de l fleon. 4. lculer l rotton en, ω. Rép. : u.6 cm, ω rd 4. Trells sosttue P kn 4 es brres du sstème ont toutes l même rgdté en trcton ES. m, ES.5 5 N lculer le déplcement vertcl du nœud. Rép. : f 6 mm 5. Poutres hpersttues Méthode des forces es structures étudées seront supposées consttuées de poutres élncées homogènes, de même module d Young E et de mêmes secton (surfce S et nerte de fleon I). Eercce 5. l/ l/ Eercce 5. l/ l/. étermner les dgrmmes de N, T, M. étermner les rottons en et Rép. : EIω -l/9, EIω l/8. Utlser les résultts de l eercce 5. pour dédure les moments u encstrements. étermner l rotton en - 5 -

16 Eercce 5. Grue de mnutenton (etrt d un sujet de l grégton de géne cvl) Q I.45 m 4, E GP, h m, 6 m, kn, Q5 knm. étermner les ctons de lson Y O, M O, Y h. étermner le déplcement horzontl en, v. étermner les dgrmmes de N, T, M En ft, l ppu smple en une certne souplesse de rgdté k 6 N/m 4. étermner Y et le déplcement horzontl en, v O 5. étermner le déplcement horzontl en, v Rép. :. Y O 5.75 kn, M O.75 knm, Y kn. v 4 cm 4. Y kn v 6.5 cm 5. v 55.7 cm Eercce 5.4 Poutre encstrée sur ppus es nconnues hpersttues sont les réctons u ppus E. étermner les ctons de lson. étermner les dgrmmes de T, M Rép. :. Y /6, Y 945/464, Y /464, Y 559/. T -/6, T (g) 5/6, T (d) -55/464, T (g) 4/464, T (d) 95/, T (g) 7/ T (d) T E -, M /58, M -4/6, M -/, M -, M E, M(m>).87 Eercce 5.5 Résoudre l eercce 5.4 en détermnnt les moments u lsons pr l méthode des moments - 6 -

17 6. Problème : Tbler de pont Nous llons comprer deu conceptons possbles d'un tbler de pont. premère géométre envsgée est de tpe poutre sur luelle vent reposer le plncher du pont. deuème géométre est de tpe trells. ns l dernère prte du devor nous consdèrerons l géométre de tpe poutre ms hpersttue. Premère prte : Un tbler de pont est conçu à prtr d'une rchtecture de tpe poutre à secton non constnte. sollctton dns l poutre ser mmle und l chrge mmum dmssble ser u centre du pont. e pods du plncher et du véhcule seront schémtsés pr une force ponctuelle P unue u centre du tbler. poutre est de lrgeur b constnte (selon z), de huteur h() non constnte (selon ) et de longueur l (selon ). S secton est rectngulre, son module d Young est E, s msse volumue ρ, O euème prte : O l/ l/ h() l P l P z b δ b b h() poutre est en cer de msse volumue ρ, de lmte élstue f e, le coeffcent globl de sécurté dopté est s. On suppose l» h et b.. uels tpes de sollcttons cette poutre est-elle soumse? Peut-on les rmener à une sollctton pure unue?. étermner h() fn ue l condton lmte de résstnce élstue sot ttente en tout pont, on ppelle lors ce tpe de poutre : " poutre d'égle résstnce ".. lculer le pods de cette poutre. e tbler de pont est mntennt conçu à prtr d'une rchtecture de tpe trells. es poutres seront choses tubulres à secton constnte crrée de lrgeur b. 'épsseur des tubes est de,b (sot δ,8).. e trells est-l rgde, sosttue? étermner les efforts dns les brres. es résultts seront donnés sous forme de tbleu.. mensonner le trells (c-à-d détermner b) u pods mnmum.. lculer le pods de ce trells. Trosème prte : Pour des uestons de rgdté, on encstre l'ppu en O. On chost l géométre de tpe poutre de secton constnte. chrge ponctuelle P des deu premères prtes est remplcée pr le pods réprt et pr l chrge ponctuelle P'. O l/ l P'. lculer le moment d'encstrement M O pr l méthode de superposton.. lculer le moment d'encstrement M O pr le théorème des tros moments. 4. lculer l secton de l poutre. onnées numérues : s, fe 5 8 P, E P, l m, P.5 6 N P' 6 N,.5 5 N/m, ρ 78 kg/m, b. m - 7 -

18 7. Problème : lèche de lève-chrges P 'objet de cette étude est le dmensonnement d'une flèche de lève-chrges. On néglge le pods des brres. On note N l tenson dns l brre. E G Queston prélmnre : Justfer l hpothèse consstnt à consdérer ue les brres sont rtculées entre elles. I. Trells sosttue. Vérfer ue le problème est sosttue. étermnez les réctons u ppus et.. étermner les tensons dns les brres. Rép. : N -P, N P, N P, N -P, N E -P, N E P, N P, N E -P, N EG -P, N G P. ns le but de dmensonner de mnère optmle ce trells, deu crtères de dmensonnement sont retenus: - Pods mnmum: les poutres peuvent être de sectons dfférentes. - oût mnmum: les poutres sont toutes de même secton (pr untre dégressf en foncton du nombre d'untés).. Queston prélmnre: Pour une poutre clculée u flmbement pr l théore d'euler, uel est le rpport rp /P des pods P et P d'une poutre crculre plene (δd/) et d'une poutre tubulre (δd/.8). oncluson? nt chos d'utlser des tubes (δd/.8) pour chcune des brres, détermnez les dmètres etéreurs selon les crtères : b. Pods mnmum. c. oût mnmum (sectons dentues). Quel est l'ecès reltf de pods pr rpport u dmensonnement précédent. 4. ns l sute du problème, le dmensonnement retenu ser celu du c. étermner le déplcement vertcl en G. 5. étermner le déplcement vertcl en. d II. Trells hpersttue E G ns le but de rgdfer l structure, un ppu smple à récton vertcle est nstllé en.. e problème est lors hpersttue, de uel degré? En utlsnt le prncpe de superposton, epluer uelle ser l démrche de résoluton.. étermner l récton vertcle en : Y.. étermner les tensons dns les brres. 4. étermnez le déplcement vertcl en G. 5. Que pensez vous lors du dmensonnement u vt été retenu. Que fudrt-l fre? onnées numérues: - oeffcent globl de sécurté : s (dem en flmbement et en trcton-compresson, nclut tous les coeffcents prtels de sécurté) - mte élstue: fe 5 MP, Module d'young: E GP - m, P N P - 8 -

19 8. Portue encstré en ped structure S 4 est un portue d nerte constnte EI, consttué d une poutre et de poteu d élncement mportnt encstrées entre eu. es effets des efforts trnchnt et norml seront néglgés devnt celu du moment fléchssnt. E GP, 8 kn/m, 4 m. étermner les ctons de lson 4 Rép. : X -9/6, Y /, M 7/9, X -9/, X 4 -/5, Y 4 9/, M 4 /45. Trcer les dgrmmes de N, T, M. étermner l rotton en 9. Hpersttcté nterne - Portue à trvée rtculée structure S est un portue à brres d nerte constnte I, et sont relées pr une trverse de secton S rtculée u etrémtés. es brres sont élncées et de module d Young E. E es effets des efforts trnchnt et norml seront néglgés devnt celu du moment fléchssnt.. étermner le degré d'hpersttcté de cette structure. Trcer le dgrmme du moment fléchssnt. étermner l flèche en. Portue Méthode des moments structure étudée est un portue 4 à 4 brres en béton rmé encstrées entre elles. secton des brres supposées homogènes est crrée de coté. E 4 MP, f t f c 45 MP, coeffcent globl de sécurté : s, kn, m 5 4. étermner le degré d'hpersttcté de cette structure. Isoler et fre l'nventres des efforts sur les tros poutres, et 4. lculer les moments u nœuds pr l méthode des moments. Trcer les dgrmmes des efforts ntéreurs 4. près vor justfé le ft de néglger les effets de l'effort trnchnt et de l'effort norml devnt celu du moment fléchssnt, dmensonner ce cdre 5. lculer le déplcement vertcl en 5 6. lculer les déplcements et l rotton en Rép. : 7.4 cm, mm,,, ω -5-4 rd - 9 -

20 . Emen de premère sesson ns tout le problème, les nfluences de l effort trnchnt et de l effort norml sont néglgées devnt celu du moment fléchssnt. Eercce - Etude d un portue sosttue EI e portue c-contre est consttué de deu poteu d nerte double de l trverse. e mtéru de module d Young E est le même sur toute l structure. trverse est encstrée en et rtculée en. es poteu sont rtculés en et.. émontrer ue cette structure est sosttue EI EI. Trcer les dgrmmes de l effort trnchnt T et du moment fléchssnt M sur l structure. Montrer ue l dérvée du moment fléchssnt le long de est nulle en.. lculer le déplcement horzontl 4. lculer l rotton? du pont. U du pont. Eercce - Etude d un portue hpersttue e portue précédent est mntennt encstré en et. Notons S cette structure. EI. Quel est le degré d hpersttcté h de l structure S?. Trcer l structure sosttue S ssocée à l structure S. re pprître les nconnues hpersttues ue l on noter X vec..h. écomposer le chrgement pplué à S en h+ chrgements et détermner dns chue cs le dgrmme du moment fléchssnt, sot un dgrmme M et h dgrmmes M (chrges untres). 4. Ecrre les condtons de comptblté permettnt de détermner les h nconnues hpersttues X, en dédure le sstème lnére stsft pr les h nconnues hpersttues X. 5. étermner les h nconnues hpersttues X. 6. lcul du déplcement horzontl U c. Pour cel, l vous est proposé d utlser le prncpe de superposton.. Ecrre le théorème de l chrge unté permettnt de détermner U c. Précsez clrement uels sont les moments ntervennt dns ce théorème (structure, chrgement). b. lculer U c. EI EI - -

21 . Emen de seconde sesson. Trcer l llure du moment fléchssnt et en précser les vleurs crctérstues dns les structures sosttues suvntes:. Poutre-console b. Portue à jmbge (brres dentues) ns cet eercce on nduer l vleur du moment fléchssnt en et u mleu E de l trverse []. / / /. lculer, pour le portue précédent, le déplcement horzontl u c en.. Un ppu smple est jouté en sur l poutre console précédente, clculer l récton d ppu en.. Poutres hpersttues Méthode des déplcements Eercce. Eercce.. l l / l / l l / l / 6kN, 8 kn/m, l 8 m, l 6m E Gp, I5/ -5 m 4. étermner les ctons de lson. étermner l rotton en. Trcer les dgrmmes de N, T et M Mêmes données et uestons ue pour l eercce. Eercce. Mêmes données et uestons ue pour l eercce. ms l ppu smple en est remplcé pr un ressort de rdeur kei/l vec l m. Eercce.4 Résoudre l eercce 5.4 pr l méthode des déplcements. - -

22 4. Emen de premère sesson structure S étudée est consttuée d une poutre de module d Young E, d nerte I. effet de l effort trnchnt ser néglgé. es tros eercces sont ndépendnts. / / Eercce - Méthode des forces. étermner le degré d hpersttcté de cette structure.. Trcer l structure sosttue S ssocée à l structure S. écomposer le chrgement pplué à S en h+ chrgements fsnt pprître les nconnues hpersttues ue l on noter Y vec..h.. étermner dns chue cs de chrgement le dgrmme du moment fléchssnt, sot un dgrmme M et h dgrmmes M (chrges untres). 4. Ecrre les condtons de comptblté permettnt de détermner les h nconnues hpersttues Y. étermner les h nconnues hpersttues Y. 5. Trcer le dgrmme de l effort trnchnt le long de S. 6. Trcer le dgrmme du moment fléchssnt le long de S. 7. Pr l pplcton du PTV, détermner les rottons u ppus et, ω et ω. Eercce - Théorème des tros moments. étermner les moments u ppus et, M et M.. Trcer le dgrmme de l effort trnchnt le long de S.. Trcer le dgrmme du moment fléchssnt le long de S. 4. étermner les réctons u ppus et, Y et Y. 5. Pr l pplcton du PTV, détermner les rottons u ppus et, ω et ω. Eercce - Méthode des déplcements. Quels sont les prmètres cnémtues de S?. Ecrre les reltons de comportement permettnt de détermner les prmètres cnémtues.. près l écrture des reltons d éulbre déutes, détermner les prmètres cnémtues. 4. étermner les forces et moments u etrémtés des brres et. 5. Trcer le dgrmme de l effort trnchnt le long de S. 6. Trcer le dgrmme du moment fléchssnt le long de S. 7. étermner les réctons u ppus et, Y et Y. - -

23 5. Emen de premère sesson es pplctons numérues seront effectuées und cel est demndé. 5m ; KN ; E GP ; I cm 4 Eercce Poutre sosttue / /. Trcer les dgrmmes des efforts ntéreurs N, T et M.. étermner, l flèche en pr pplcton du PTV.. étermner les rottons ω et ω pr pplcton du PTV. 4. N : clculer le moment mmum M m, et ω. Eercce Poutre hpersttue / /. étermner le degré d hpersttcté de cette structure.. Utlser les résultts précédents pour détermner M et M, les moments des encstrements sur l poutre (méthode des forces).. étermner le moment fléchssnt M en. 4. Trcer le dgrmme du moment fléchssnt. 5. N : lculer le moment fléchssnt M. Eercce Portue hpersttue / / 4. étermner le degré d hpersttcté de cette structure.. es nfluences des efforts normu et trnchnts sont néglgées, détermner les prmètres cnémtues prncpu.. Ecrre les reltons de comportement des brres. 4. Ecrre les éutons d éulbre nécessres à l détermnton des prmètres cnémtues. 5. étermner les prmètres cnémtues. 6. Trcer l llure du dgrmme du moment fléchssnt. 7. étermner les efforts N j et T j u etrémtés des brres. 8. Trcer les dgrmmes de T et N. 9. N: lculer les rottons ω et ω 4 et le moment fléchssnt M. - -

24 6. Emen de premère sesson structure S est un portue d nerte constnte I, de module d Young E, consttué d une poutre et de poteu d élncement mportnt. S est rtculée en et, elle est soumse à une force concentrée d ntensté en. es effets des efforts trnchnt et norml seront néglgés devnt celu du moment fléchssnt. es eercces, et sont ndépendnts. Eercce - Questons prélmnres. Quel est le degré d hpersttcté de cette structure.. Justfer l hpothèse consstnt à néglger les effets de l effort norml et de l effort trnchnt devnt celu du moment fléchssnt. Eercce - Méthode des forces nconnue hpersttue chose pour le clcul de cette structure est X, l force horzontle en.. Trcer l structure sosttue S ssocée à S, décomposer le problème en une superposton de problèmes ssocés à l structure S, écrre l condton de comptblté cnémtue.. émontrer ue X -/. lculer U, le déplcement horzontl en. 4. Trcer le dgrmme du moment fléchssnt sur S. Eercce - Méthode des déplcements. Soent ω, ω, ω, ω les rottons en,, et. Justfer ue ω ω ns ue ω ω. étermner les prmètres cnémtues prncpu de S.. Ecrre les reltons de comportement utles à l détermnton des prmètres cnémtues prncpu.. Ecrre les éutons d éulbre ssocées à chcun des prmètres cnémtues prncpu. 4. lculer les prmètres cnémtues prncpu. 5. Trcer le dgrmme du moment fléchssnt sur S

25 7. Emen de premère sesson 4 4 structure c-contre est consttuée de poutres dentues d élncement mportnt et d nerte constnte EI. S rtculée en 4 et est encstrée en, 5 et 6. S est soumse à une force d ntensté u mleu de. 5 6 es eercces, et sont ndépendnts. es effets des efforts trnchnt et norml seront néglgés devnt celu du moment fléchssnt. Eercce - Questons prélmnres. Quel est le degré d hpersttcté de cette structure.. Justfer l hpothèse consstnt à néglger les effets de l effort norml et de l effort trnchnt. Eercce - Méthode des déplcements. étermner les prmètres cnémtues prncpu de S.. Ecrre les reltons de comportement utles à l détermnton des prmètres cnémtues prncpu.. Ecrre les éutons d éulbre ssocées à chcun des prmètres cnémtues prncpu et clculer ceu-c. 4. étermner les moments et efforts trnchnts u etrémtés des brres utles u trcé du dgrmme du moment fléchssnt. 5. Trcer le dgrmme du moment fléchssnt sur l poutre 4 seule. Eercce - Méthode des forces Pour smplfer l étude, seule l poutre contnue 4 est nlsée. e résultt obtenu ser donc une ppromton cr l revent à néglger les moments trnsms pr les poteu sur l poutre.. Justfer sur le pln cnémtue l hpothèse consstnt à étuder l poutre en consdérnt ue les deu poteu 5 et 6 peuvent être remplcés pr deu ppus smples en et.. Prenons les réctons u ppus, et 4 comme nconnues hpersttues. Ecrre le problème à résoudre en utlsnt le prncpe de superposton (ne ps résoudre).. étermner les moments u ppus pr l méthode des tros moments. 4. étermner les réctons u ppus. 5. Trcer le dgrmme du moment fléchssnt sur l poutre 4. ppromton est elle vlble? - 5 -

26 8. Emen de premère sesson 5 structure S () c-contre est consttuée de poutres dentues d élncement mportnt et d nerte constnte EI, elle est soumse à une force réprte d ntensté sur. Y X Eercce - Questons prélmnres. Quel est le degré d hpersttcté de cette structure.. Justfer les hpothèses H et H consstnt à néglger les effets de l effort trnchnt (H) et de l effort norml (H). Eercce - Méthode des déplcements. étermner les prmètres cnémtues non nuls de S.. ompte-tenu de H, détermner les prmètres cnémtues prncpu de S. Pour l sute, on utlser l méthode. ou b.. Pr l méthode clssue. Ecrre les éutons d éulbre ssocées à chcun des prmètres cnémtues prncpu. 4. Ecrre les reltons de comportement utles à l détermnton des prmètres cnémtues prncpu. b. Pr l méthode cnonue (mtrcelle) Seules les contrbutons ssocées u prmètres cnémtues prncpu seront prses en compte.. Ecrre, dns l bse globle, les mtrces de rgdté des brres (rppel : l trcton est néglgée). 4. étermner le vecteur forces globl, ssembler l mtrce de rgdté globle. Retour u uestons communes 5. lculer les prmètres cnémtues prncpu. 6. lculer u etrémtés des brres :. les moments M j b. les forces trnsverses T j c. les forces les N j Rppel H : les reltons de comportement des brres en trcton ne peuvent ps être utlsées pour 6.c. 7. Trcer les dgrmmes des efforts norml, trnchnt et du moment fléchssnt dns l structure. Eercce Queston supplémentre E Y X l Pour rgdfer l structure, on rjoute une brre E de longueur l de secton S, de rdeur E et d nerte en fleon suffsnte pour u elle ne flmbe ps.. Justfer l hpothèse consstnt à consdérer ue cette brre trvlle essentellement en trcton-compresson?. étermner l nouvelle mtrce de rgdté globle.. On suppose ue S/l 4I/. étermner les prmètres cnémtues prncpu de S - 6 -

27 9. âtment ndustrel (emen IUP-GI Toulouse) H Un bâtment ndustrel possède une structure en poteu-plnchers. On étude son comportement sous l cton du vent, modélsé pr une force trnsversle unformément réprte. H ns le pln prncpl, le schém de fonctonnement du bâtment est une structure poutres-poteu comportnt utre fles de poteu (notées,, et ) et tros plnchers (notés, et ). es peds de poteu sont rtculés dns leur fondton (u nveu ). es trvées ont toutes l même longueur et les poteu tous l même huteur H. H e module de fleon des poteu est notée EI. elu des poutres (modélsnt l rgdté des plnchers) est supposé nfnment plus fort, l est noté EI. es déformtons d effort norml et d effort trnchnt sont néglgées.. pror, comben -t-l de degrés de lberté?. Isoler une poutre de plncher uelconue, fre le bln des déplcements des etrémtés et montrer ue, comptetenu de EI, les rottons sont nulles.. posteror, comben reste-t-l de degrés de lberté? 4. Montrer ue pour un étge donné les moments nodu sont les mêmes u etrémtés des poteu des fles, et. 5. Pouruo dffèrent-ls dns l fle? 6. Eprmer l vleur des moments nodu en foncton du déplcement des plnchers notés U, U et U et éventuellement de l force ppluée. 7. Pr pplcton du PTV dns des chmps de vtesse vrtuels rgdfnts pr morceu, étblr tros éutons d éulbre entre moments nodu et forces ppluées. 8. Etblr l mtrce de rgdté de l ossture. 9. lculer les déplcements U, U et U.. lculer les rottons ω et ω ω ω des peds de poteu.. lculer les moments nodu unuement en foncton de l chrge de vent.. Trcer les dgrmmes M, T et N dns l ossture

28 . Structure en trells structure suvnte est consttuée de brres de même mtéru (module d'young E), de secton S (suf les brres oblues u ont une secton S). es msses sont néglgées. c b d e 4 f 5 Eercce - Structure sosttue. Montrer u'une brre non pesnte rtculée à ses deu etrémtés est nécessrement soumse à de l tensoncompresson.. étermner le degré d'hpersttcté de cette structure.. étermner les efforts dns les brres. 4. étermner le déplcement vertcl du pont 5 vec le PTV. 5. étermner les déplcements de tous les nœuds ns ue les réctons u ppus. Eercce - Structure hpersttue On rjoute une brre g entre les nœuds et (secton S).. étermner le degré d'hpersttcté de l nouvelle structure.. étermner l mtrce de rgdté globle du sstème.. Quels sont les degrés de lbertés ndétermnés? 4. étermner le vecteur forces. 5. étermner les déplcements de tous les nœuds ns ue les réctons u ppus en résolvnt les éutons cnonues (mtrcelles) de l méthode des déplcements - 8 -

29 . Influence de l fleon dns les trells structure schémtsée sur l fgure c-dessus est consttuée de deu poutres dentues encstrées à leurs etrémtés entre elles en et sur un mssf en et. es poutres sont de secton crrée de coté, de module d'young E et de longueur. Eercce - Structure sosttue On décde de modfer l modélston en supposnt ue les poutres sont rtculées à leurs etrémtés. étermner le déplcement du pont ns ue les ctons de lson pr résoluton du sstème d éutons donné pr l écrture cnonue (mtrcelle) de l méthode des déplcements Eercce - Structure hpersttue On prend en compte mntennt les encstrements u etrémtés des brres.. étermner le déplcement du pont ns ue les ctons de lson.. émontrer ue s les poutres sont élncées (<<), l'effet de l fleon sur l réponse de l structure est du second ordre devnt celu de l trcton