CH.4 PROBLEMES NP - COMPLETS

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1 CH.4 PROBLEMES NP - COMPLETS 4. Les classes P e NP : problèmes NP-comples 4. De eemples de problèmes NP-comples 4. La méhode de séparaion-évalaion 4.4 La programmaion dnamiqe Opi-comb ch 4 4. Les classes P e NP : problèmes NP-comples Por n cerain nombre de problèmes (chemins hamiloniens, coloriage des graphes, problèmes d'emplois d emps, facorisaion des nombres eniers), ne solion pe êre difficile à rover, mais, si on en propose ne, il es facile (= polnomial) de vérifier si elle convien. La plpar des problèmes iles son soi résolbles a moen d'n algorihme polnomial, soi on pe vérifier si ne solion proposée en es bien ne en n emps polnomial. Un eamen aenif de ce deième pe de problèmes a donné lie, en 97, à n ravail de Cook, à Torono, inilé "The Complei of Theorem Proving Procedres" où es inrodie la noion de NP-compléde. De façon inaende, cee propriéé absraie d'n problème rès arificiel se rove êre saisfaie par plsiers cenaines o milliers de problèmes concres.. Opi-comb ch 4

2 La qesion de savoir si P = NP es le problème non résol le pls imporan de l'informaiqe héoriqe, figran parmi les 7 problèmes mahémaiqes non résols jgés les pls imporans par l'insi Cla e doés chacn d'n pri d'n million de dollars. La classe P es celle des problèmes por lesqels il eise n algorihme polnomial en la aille des données permean de les résodre. Les problèmes décris dans les chapires précédens son polnomia. La classe NP es celle des problèmes por lesqels on pe vérifier en n emps polnomial si ne solion proposée convien. Un problème P es polnomialemen rédcible à n are problème Q s'il eise n algorihme polnomial pemean de ramener la recherche d'ne solion de P à celle d'ne solion de Q. Opi-comb ch 4 Si P es polnomialemen rédcible à n problème P, il es li-même P. Le héorème de Cook éabli qe o problème NP es polnomialemen rédcible a problème SAT de la saisfiabilié des foncions booléennes. En fai, beacop de problèmes NP son éqivalens à SAT. Ces problèmes son appelés NP-comples. C'es-à-dire qe si n sel de ces problème es résolble a moen d'n algorihme polnomial, os les problèmes NP le son. Lorsq'n problème es conn por êre NP-comple, o pire, on pe donc raisonnablemen penser q'il es inile d'en chercher ne solion sos forme d'n algorihme de compleié polnomiale. C'es le cas por de problèmes qi nos serviron d'eemples : le problème d sac à dos e celi d voager de commerce. Opi-comb ch 4 4

3 4. De eemples de problèmes NP-comples Les problèmes considérés son polnomialemen rédcibles à des problèmes d'opimisaion linéaire en nombres eniers. Opimisaion linéaire : rover n n-ple = (,,..., n ) de nombres réels qi maimisen ne forme linéaire c en respecan des condiions A b e 0. En fai, si les coefficiens son raionnels, les solions évenelles son raionnelles. Des algorihmes polnomia eisen. Une variane de l'algorihme d pivo de Gass perme de résodre de els problèmes. Si les coefficiens son des eniers relaifs e les solions des eniers posiifs o nls, on sai qe le problème de l'opimisaion linéaire (en nombres eniers) es NP-comple (aenion! la aille en mémoire d'n enier es le logarihme de ce enier...) Opi-comb ch 4 - Le problème d sac à dos. On a des objes de volmes v,..., v n e d'iliés,..., n. On ve mere dans n sac à dos de volme V n nombre i de chaqe obje. On ve maimiser l'ilié oale. C'es n problème d'opimisaion linéaire en nombres eniers : Maimiser i i i sos les n + conraines i 0 e i v i i V. Par eemple, maimiser avec les conraines de posiivié (sos-enendes) e la conraine Le problème d voager de commerce. On considère le graphe non-oriené comple à n sommes K n. Chaqe arêe de ce graphe a n poids posiif o nl p v. On cherche n ccle passan ne fois e ne sele par chaqe somme (on di hamilonien) e de poids oal minimm. Opi-comb ch 4

4 Ce problème pe êre radi en n problème d'opimisaion linéaire en nombres eniers. Les variables son v, avec v 0 e v. La forme es à minimiser. c'es, v p v v, avec les conraines spplémenaires q'en chaqe somme de arêes eacemen son choisies, v = por o v, e qe le ccle ne se décompose pas en ccles pls peis, donc por o sos-ensemble Y de sommes le nombre d'arêes aan ses de erémiés dans Y es sricemen pls pei qe le cardinal de Y, c'esà-dire qe por o Y K n,, v v < Y, la somme poran sr os les sommes e v de Y. La recherche d'ne solion eace de ces de problèmes pe êre impraicable. Néanmoins, il eise des méhodes permean d'obenir des solions approchées. Ce son les diverses méhodes herisiqes. Opi-comb ch 4 7 Même por rover ne solion eace, la connaissance de solions approchées perme de rendre l'algorihme meiller, o en en conservan, bien sûr, la compleié eponenielle. - Herisiqe por le sac à dos. On pe chercher ne solion raionnelle par ne méhode de simplee e arrondir à l'enier inférier. En fai, dans ce cas, la méhode d simplee es inile. On rove ne approimaion enière en considéran l'obje aan le pls grand rappor ilié/volme e en remplissan le sac avec le maimm d'objes par ordre décroissan de ces rappors, par n algorihme gloon. On vérifie assi facilemen qe, si on ne se limie pas a solions enières, on rove la solion opimale en ne prenan qe l'obje aan ce pls grand rappor. Opi-comb ch 4 8

5 Dans l'eemple maimiser avec les conraines de posiivié (sos-enendes) e la conraine , On a comme rappors respecivemen 0/, 8/ e /4, déjà classées par ordre décroissan. Une solion raionnelle es ici =,, = = 0, d'ilié oale. Une solion enière approchée es =, = = 0, d'ilié oale 0. On pe déjà dire qe, por ne solion enière opimale, l'ilié es de 0 a moins e de a pls. Opi-comb ch Herisiqe por le voager de commerce. On pe parir d'n ccle hamilonien, voire en essaer qelqes-ns e les modifier localemen en essaan d'améliorer le poids oal (on reviendra). Une are herisiqe (de à Chrisofidès) consise à remarqer qe, si on enlève ne arêe à n ccle hamilonien de poids minimm, on a n arbre recovran de poids minimm por le graphe resan. On pe donc parir d'n arbre recovran de poids minimm por le graphe, pis copler les sommes de degré impair de ce arbre par n coplage de poids minimm, de choses q'on sai faire en emps polnomial. Le résla n'es pas nécessairemen hamilonien. Mais on pe saer par-desss des sommes déjà renconrés. On obien ainsi n circi hamilonien don on pe prover qe le poids es a pls, fois le poids d'n circi de poids minimm. Le o es accompli en n emps cbiqe. Opi-comb ch 4 0

6 4. La méhode de séparaion-évalaion On pe représener les solions d'n problème sos forme d'n arbre. à chaqe noed, on fai n choi d'ne valer possible por ne variable. Les solions son donc disposées a feilles. La recherche d'ne solion opimale revien alors à regarder oes les feilles e à reenir celle qi maimise (o minimise) l'ilié (o le poids). Por le sac à dos, l'ensemble des solions es en nombre a moins n. D'où la compleié eponenielle. Por le voager de commerce, il a a solions a maimm. La méhode de séparaion-évalaion consise à abandonner l'eploraion de branches de l'arbre lorsq'on pe éablir qe oes les solions qi en décolen son moins bonnes q'ne solion q'on possède déjà. Cee solion a priori, obene par ne méhode herisiqe es par aillers acalisée lors d parcors de l'arbre. Opi-comb ch 4 Dans l'eemple d sac à dos, avec les conraines de posiivié (sos-enendes) e la conraine , l'arbre des solions comple es : = 0 o = 0 o = 0, o Uilié Cerains noeds son barrés parce q'on sai déjà qe la conraine de volme sera violée. Opi-comb ch 4

7 Por limier l'eploraion, on va iliser ne borne infériere (borne) correspondan à ne solion eace conne e ne borne spériere (évalaion) fornie par ne solion raionnelle. Ces de bornes son a dépar de 0 e de. On eplore l'arborescence en profonder. A chaqe novea noed, on réévale la borne spériere, en foncion des choi déjà fais. Cee évalaion pe êre approchée (solion non enière) o eace (solion enière). Si cee évalaion es sricemen infériere à la borne infériere corane +, il es inile de coniner à eplorer sos le noed. Si l'évalaion es eace e spériere à la borne infériere corane, on a rové ne solion enière meillere. On acalise donc la borne infériere e on conine. Sinon, on conine. Dans nore eemple, en faisan ne eploraion en profonder, on rove sccessivemen : Opi-comb ch 4 Maimiser avec la conraine éval = = 0 o = 0 o éval = 4,4 opimm éval = 4,8 éval =, éval = 4 = 0, o éval =, On arrive à. Le choi = 0 fai réévaler. On rove l'opimm por = 9/, soi ne évalaion de 4,4 non eace donc on conine. On arrive à. L'évalaion donne = 9/4 donc évalaion de,, on conine e on rove rois solions d'iliés 0, e 0. On reorne en, pis 4. Avec les choi = 0 e =, l'opimm es =, solion eace donnan l'ilié. On acalise donc la borne à. On reorne en, pis en. L'opimm es ici = /, soi ne évalaion de 4,8. On conine vers, où l'opimm es = /4, donc évalaion de,. On pe s'arrêer car on n'ara acne amélioraion possible de la borne. Opi-comb ch 4 4

8 Dans le cas d'n circi hamilonien, il fa définir la foncion d'évalaion. La résolion eace raionnelle d problème linéaire serai en effe rop longe. Il s'agi de minorer n poids. L'évalaion doi donc êre n minoran d poids d'n ccle hamilonien. On choisi n somme, pis on cherche n arbre recovran de poids minimm por le graphe privé de ce somme. On ajoe la somme des poids des de arêes de poids minimm qi arriven à ce somme. Ceci forni n minoran (évalaion). On va ensie faire des branchemens selon des arêes à eclre (=ler poids devien infini). On réévale en recalclan n arbre de poids minimm q'on complèe par les arêes de poids minimm isses d premier somme. Si on obien ainsi n ccle hamilonien de poids inférier, on acalise la borne, e ainsi de sie. Opi-comb ch 4 Eemple G = K On par de. Un ARPM de G es indiqé en gras. On ajoe les de arêes isss de de poids minimm. Le poids oal es, qi forni l'évalaion de la racine. Por la borne, on par d'n ccle hamilonien. Par eemple v de poids 0. Le somme es sr le graphe recovran de degré. On sai qe dans ne solion, a moins l'ne des arêes en gras incidenes à doi êre ecle. On branche en eclan sccessivemen chacne de ces arêes (en passan son poids à ). On réévale en prenan n ARPM d graphe ainsi modifié moins e en ajoan les arêes de poids minimm isses de. Evalaion, non eace. v Déb On ecl 4 v 7 Opi-comb ch 4

9 On ecl. Evalaion eace 4 (ccle hamilonien). On acalise la borne. 4 4 v 7 On ecl. Evalaion non eace 4. Egale à la borne, donc inile de coniner. 4 4 v 7 Sans Evalaion Sans Sans Evalaion Evalaion eace 4 Evalaion 4 Opi-comb ch 4 7 v Sel le premier branchemen condi à ne évalaion infériere à la borne. Le premier somme de degré sr le GRPM es alors. On branche en sppriman des arêes de. On ecl e. Novelle évalaion. Inile de coniner. 4 7 Il es inile d'essaer d'eclre. On a déjà envisagé d'eclre cee arêe sans gain. On ecl alors. L'évalaion va 4, donc inile de coniner. 4 v 7 Conclsion : ccle hamilonien de poids 4. Opi-comb ch 4 8

10 4.4 La programmaion dnamiqe On inrodi n paramère spplémenaire el qe le problème à résodre corresponde à la dernière valer d paramère. Ce paramère es choisi de façon qe la résolion d problème por ne valer qelconqe ne dépende qe de la solion por les valers pls peies. Eemple : le problème d sac à dos P : Maimiser i i i sos les n + conraines i 0 e i v i i V. On choisi le paramère k e les problèmes P(k, v) : Maimiser i i i sos les k + conraines i 0 e i v i i v, où les sommes ne poren qe sr les indices de à k. P(, v) es facile à résodre e por P(k, v), on essaie les diverses valers possibles de k, qi à chaqe fois ramènen à n problème de paramère k. Pls précisémen, si (k, v) es le maimm por P(k, v), (k, v) = ma{ (k, v v k k ) + k k }, pris sr les valers possibles de k. Opi-comb ch 4 9 Maimiser avec les conraines de posiivié (sos-enendes) e la conraine , On choisi k =, o e on s'inéresse selemen a k premières variables. v pe prendre oes les valers de 0 à 9 (en fai de 4 à 9). Por k =, on doi maimiser 0 avec v. Por k =, on a (, v) = ma{ (, v ) + 8 }, avec v 0. Por k =, on a (, v) = ma{ (, v 4 ) + }, avec v 4 0 v = k = On rerove le maimm, correspondan à (0,, ) Opi-comb ch 4 0

11 Eemple : le voager de commerce L'idée es de parir d'n somme e de consrire os les sos-ensembles S conenan ce somme e, por chacn d'enre e e por chaqe somme en-dehors de S, de chercher n chemin hamilonien allan de à, en n'ilisan qe des sommes inermédiaires dans S. On reien le pls pei poids de ces chemins. On fai de proche en proche le calcl por os les sos-ensembles. Un ccle hamilonien de poids minimm es n el chemin jsq'à n somme, sivi de l'arêe. On cherche donc le minimm des poids des chemins hamiloniens de à (q'on a rovés à la dernière éape) pls le poids de. L'éape d'acalisaion ressemble n pe à celle de Prim. Mais on raisonne sr des ensembles de sommes... Opi-comb ch 4 Eemple Par eemple, le en dernière colonne, ligne es la valer minimale enre T(, ) + p(, ), T(, ) + p(, ) e T(, ) + p(, ). La longer d ccle hamilonien de pls faible poids es donc le minimm enre T(, ) + p(, ), T(, ) + p(, ), T(, ) + p(, ) e T(, ) + p(, ). Dans l'eemple, les valers son, 7, 7, 7. Le minimm es donc. En gardan race de la façon don son calclés les nombres d ablea T, on pe reconsier le ccle hamilonien. Ici, c'es. Opi-comb ch 4

12 A poin de ve de la compleié, por le ccle hamilonien on a O(n n ), ce qi es mie qe la force brale. Il a en effe (n )! permaions circlaires des n sommes. Les regarder oes condi à ne compleié O(n n e n n) d'après la formle de Sirling. Por le sac à dos, la solion semble polnomiale. En fai, elle es polnomiale en les paramères eniers. Mais chaqe paramère es ne foncion eponenielle de la place q'il occpe en mémoire. L'algorihme es donc bien eponeniel en la aille des données. Un el algorihme es appelé psedo-polnomial. Opi-comb ch 4