Exercices de révision - Niveau seconde

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1 Exercices de révision - Niveau seconde NB: cette fiche d'exercices est à destination des élèves passant en classe de première S et ES. Les exercices portant une étoile * sont exclusivement destinés aux élèves entrant en 1erS. Généralités sur les fonctions Exercice 1 La courbe ci-dessous représente celle de la fonction f. 1. Lire graphiquement l'ensemble de définition D de f 2. Lire graphiquement les images par f des nombres -5, 3 et 6 3. Lire graphiquement les antécédents par f des nombres 4, -1 et 3 4. Résoudre graphiquement sur l'ensemble D les équations et inéquations suivantes: f(x) = 1 f(x) = -3 f(x) < 0 5. Dresser le tableau de variation de f sur D (on précisera les valeurs des extremums). 6. En déduire un encadrement possible de f x lorsque x [-3 ; -1]. Même question lorsque x ]4 ; 5[ Exercice 2 Soit f la fonction définie par : f x = x x 1. Réaliser avec la fonction TABLE de la calculatrice un tableau de valeurs de f sur [0; 3] avec un pas de 0,5. 2. L'équation f x =0 semble -t-elle admettre des solutions sur l'intervalle [0;3]? 3. A l'aide de la fonction «résolution graphique» de la calculatrice, donner une valeur approchée de cette solution. 4. Résoudre algébriquement cette équation et vérifier vos résultats de la qst 3. Exercice 3 * Un algorithme de dichotomie f une fonction définie sur un intervalle [a ; b] représentée ci contre. On suppose que l'équation f x =0 admet une solution unique x 0 dans l'intervalle [a ;b]. On considère l'algorithme suivant, (la fonction f étant donnée): 1

2 Entrées a, b les bornes de l'intervalle de définition N entier naturel 1 Début saisir a, b et N Pour k de 1 jusqu'à N m prend la valeur a b 2 Si f(m) et f(a) sont de même signe alors a prend la valeur m Sinon b prend la valeur m Finsi Fin pour Sorties Afficher a et b 1. On applique cet algorithme à la fonction f définie sur l'intervalle [0;1] par f x =x 3 2 x 2 Pour N = 4, remplir le tableau suivant: k m 0,5 a 0 0,5 b Quel est le rôle de cet algorithme? Expliquer en particulier le rôle de la variable N 3. Traduire cet algorithme sur Algo Box. Tester ce programme avec N = 4, 10, 20. Exercice 4 Soient f et g deux fonctions définies sur R par f x =x 2 et g x =x 2 2x 1 1. A l'aide la la calculatrice, conjecturer la position relative des courbes Cf et Cg sur R. 2. Démontrer la conjecture de la question 1. Fonction carré et homographique Exercice 5 Soit f la fonction polynôme de degré 2 représentée ci dessous: 1. Comment se nomment les deux écritures a x x 1 x x 2 et a x 2? 2. Lire sur la courbe les valeurs de et, x 1 et x Que dire de a par lecture graphique? Comment retrouver la valeur de a par le calcul? 2

3 Exercice 6 Soit f la fonction définie sur R par f x =x 2 8 x Montrer que f x = 2 x Donner le tableau de variation de f sur R. Exercice 7 Soit f la fonction définie par f x = 3x 5. Montrer que la fonction f est une fonction homographique. 2 3 x Donner son ensemble de définition D. Exercice 8 Résoudre dans R les inéquations suivantes: a. 3 x 1 x 4 0 b. 5 x 2 3 x 6 2 x 7 0 c. 3 x 0 d. 2 x x 1 Trigonométrie Exercice 9 * 1. Construire un cercle trigonométrique et placer les points associés aux nombres réels suivants: - / 3-2 /3 3 /4 7 /4 5 /6 26 /12 /5 2. Donner le cosinus et sinus des nombres réels suivants: - /3 et 3 /4. Exercice 10* Soit x un nombre réel de l'intervalle [- ; 0] tel que cos x= Placer sur le cercle trigonométrique le point M associé à ce nombre réel. 2. Déterminer le signe, puis la valeur exacte de sin x. Exercice 11* Soit (O; i ; j ) un repère orthonormé et A un point du cercle trigonométrique de centre O représenté ci contre: 1. Déterminer le réel de l'intervalle [0 ; /2], associé au point A. Donner tous les réels associés à ce point. 2. Déterminer les coordonnées exactes de A 3

4 Géométrie plane et repérage Exercice 12* Dans un repère orthonormé, on donne: A( - 2 ; 4) B ( 3; 3 ) C (-1 ; 0 ) D(4 ; -1) 1. En utilisant les diagonales, démontrer que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. 2. ABDC est-il un losange? Exercice 13* Écrire un algorithme permettant de déterminer si un point M est sur la médiatrice d'un segment [AB]. (On utilisera la propriété caractérisant les points d'une médiatrice) Équations de droite Exercice 14 Dans un repère, on donne les points A(1;2) B(5;1) C(-1 ; -3) 1. Démontrer que les points A, B et C forment un triangle. 2. Faire une figure et calculer les coordonnées du milieu I de [CB]. Placer I. 3. Par lecture graphique, déterminer l'équation de la médiane (AI) du triangle ABC. 4. Tracer la parallèle à (AI) passant par B. Déterminer par le calcul son équation. Exercice 15 Dans un repère, on donne les points A(-1 ; 3) B(-3 ; -2) C(4;1 ) D(1 ; 5) 1. Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes? 2. Déterminer les équations de droite de (AB) et (CD). 3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de ces deux droites. Vecteurs Exercice 16* ABCD un parallélogramme. E et F sont les points tels que AE= 1 3 AB et CF= 1 3 CD et O milieu de [AC]. Faire une figure 1. Démontrer que AE= FC 2. En déduire que les points O, E et F sont alignés Exercice 17* ABCD un quadrilatère. Réduire l'écriture de chaque vecteur avec la relation de Chasles. u= AC BA CB v= AB AC BC BA w= AB AC DC DB Exercice 18* Dans un repère, on donne les points A (-1 ; 3) B(2 ; 5) C(4 ; -3) D(-11 ; -13) Démontrer en utilisant les vecteurs que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 4

5 Statistiques Exercice 19 On observe la longueur des pantalons vendus dans un magasin durant une semaine Longueur (cm) effectif Calculer la longueur moyenne des pantalons vendus 2. Donner la distribution des fréquences puis des fréquences cumulées décroissantes. Combien de pantalons mesurent 82 cm ou plus? Exercice 20 Au cours d'une étude biométrique, on a mesuré la longueur, en mm, des noix d'un lot. Longueur [30;32[ [32;34[ [34;36[ [36;38[ [38;40[ [40;42[ [42;44[ [44;46[ [46;48[ [48;50[ Effectif Calculer et représenter la série des effectifs cumulés croissants. 2. Lire graphiquement la médiane et les quartiles Q1 et Q3. Comment interpréter ces 3 valeurs? Probabilités Exercice 21 On place dans un sac 4 jetons marqués A, B, C et D. On tire au hasard, l'un après l'autre, sans les remettre, 3 jetons du sac. 1. A l'aide d'un arbre, écrire toutes les issues possibles. 2. Calculer les probabilités des évènements: E = «le premier jeton tiré porte la lettre B» F = «le jeton marqué C n'est pas tiré» 3. Quelles sont les issues qui réalisent E F? Calculer P(E F) 4. En déduire P( E F) Exercice 22 On colorie chaque face d'un cube ABCDEFGH au hasard soit en rouge, soit en vert. 1. Combien y a-t-il de coloriages possibles? 2. On note U l'événement «le cube est colorié des deux couleurs». Définir l'événement U et calculer sa probabilité. 3. En déduire la probabilité de l'événement U. Exercice 23 Un joueur lance deux fois un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6. On calcule le produit des deux numéros obtenus. 1. Construire un tableau double entrée permettant d'obtenir toutes les issues possibles. Sont-elles équiprobables? 2. Si le résultat est pair, le joueur perd la partie, sinon il gagne. Calculer la probabilité pour que le joueur perde la partie; gagne la partie. 5

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