Contrer l attaque Simple Power Analysis efficacement dans les applications de la cryptographie asymétrique, algorithmes et implantations
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- Marie-Hélène Pageau
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1 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 1 / 60 Contrer l attaque Simple Power Analysis efficacement dans les applications de la cryptographie asymétrique, algorithmes et implantations Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France le 8 décembre 2015
2 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 2 / 60 Soutenance de thèse devant le jury composé de : M. Jean-Claude Bajard Pr. UPMC Examinateur M. Thomas Plantard CR UOW Examinateur M. Christophe Clavier Pr. ULimoges Rapporteur M. Arnaud Tisserand DR CNRS Rapporteur M. Bernard Goossens Pr. UPVD Directeur de thèse M. Christophe Nègre MC UPVD Co-directeur de thèse
3 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 3 / 60 Table des matières 1 Introduction Cryptographie asymétrique Contributions de la thèse 2 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Montgomery revisité, ECC sur F 2 m 3 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Contributions Application aux exponentiations régulières 4 Conclusion
4 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 4 / 60 Table des matières 1 Introduction Cryptographie asymétrique Contributions de la thèse 2 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Montgomery revisité, ECC sur F 2 m 3 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Contributions Application aux exponentiations régulières 4 Conclusion
5 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 5 / 60 Cryptographie Les quatre buts de la cryptographie Confidentialité : mécanisme pour transmettre des données de telle sorte que seul le destinataire autorisé puisse les lire. Authentification : mécanisme pour permettre d identifier des personnes ou des entités et de certifier cette identité. Intégrité : mécanisme pour s assurer que les données reçues n ont pas été modifiées durant la transmission. Non-répudiation : mécanisme pour empêcher la rétractation.
6 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 6 / 60 Principe cryptographie symétrique/asymétrique Cryptographie symétrique Alice et Bob :-) C E k (M) C M D k (C) Bob et Alice utilisent la même clé : k
7 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 6 / 60 Principe cryptographie symétrique/asymétrique Cryptographie asymétrique Alice et Bob :-) C E kpub (M) C M D ksec (C) Alice génère une clé publique et une clé secrète : k pub k sec
8 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 7 / 60 Problèmes difficiles Fonction à sens unique : C E kpub (M) facile à effectuer ; M E 1 k pub (C) impossible en temps raisonnable ; M D ksec (C)[= E 1 k pub (C)] facile ; D ksec est appelé fonction trappe, ou porte dérobée (trapdoor).
9 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 7 / 60 Problèmes difficiles Fonction à sens unique : C E kpub (M) facile à effectuer ; M E 1 k pub (C) impossible en temps raisonnable ; M D ksec (C)[= E 1 k pub (C)] facile ; D ksec est appelé fonction trappe, ou porte dérobée (trapdoor). Deux problèmes mathématiques : la factorisation RSA le logarithme discret échange de clé chiffrement El-Gamal signature (DSA, ECDSA)
10 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 8 / 60 Chiffrement/déchiffrement RSA (Rivest, Shamir et Adlemann) Basé sur le problème de la factorisation. Alice génère une paire de clé. Pour ce faire : elle choisit deux nombres premiers distincts p et q ; elle calcule N = pq ; elle calcule φ(n) = φ(p)φ(q) = (p 1)(q 1) = N (p + q 1) ; elle choisit un entier e tel que 1 < e < φ(n) et pgcd(e, φ(n)) = 1 ; elle calcule d tel que d e 1 mod φ(n) ; e est publié, c est la clé publique, d est conservé, c est la clé secrète.
11 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 9 / 60 Le protocole RSA (2) Pour chiffrer un message M, Bob utilise la clé publique d Alice e : C = M e mod N
12 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 9 / 60 Le protocole RSA (2) Pour chiffrer un message M, Bob utilise la clé publique d Alice e : C = M e mod N Alice déchiffre le message de Bob en utilisant sa clé secrète d : C d mod N = (M e ) d mod N = M e d mod N = M e d mod φ(n) mod N = M 1 mod N = M
13 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 9 / 60 Le protocole RSA (2) Pour chiffrer un message M, Bob utilise la clé publique d Alice e : C = M e mod N Alice déchiffre le message de Bob en utilisant sa clé secrète d : C d mod N = (M e ) d mod N = M e d mod N = M e d mod φ(n) mod N = M 1 mod N = M L opération principale est l exponentiation modulaire.
14 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 10 / 60 Square-and-multiply Square-and-multiply Require: Le module RSA N, g et e = (e t 1,..., e 0 ) 2 entiers {0,..., N 1}, avec e t 1 = 1. Ensure: X = g e mod N Left-to-right X g for i = t 2 downto 0 do X X 2 mod N if e i = 1 then X X g mod N return (X = g e ) Right-to-left X 1 for i = 0 to t 1 do if e i = 1 then X X g mod N g g 2 mod N return (X = g e )
15 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 11 / 60 Simple Power Analysis RSA Left-to-right Square-and-multiply Require: Le module RSA N, g et e = (e t 1,..., e 0 ) 2 entiers [0,..., N[, avec e t 1 = 1. Ensure: X = g e mod N X g for i = t 2 downto 0 do X X 2 mod N if e i = 1 then X X g mod N return (X = g e )
16 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 11 / 60 Simple Power Analysis RSA Left-to-right Square-and-multiply Require: Le module RSA N, g et e = (e t 1,..., e 0 ) 2 entiers [0,..., N[, avec e t 1 = 1. Ensure: X = g e mod N X g for i = t 2 downto 0 do X X 2 mod N un carré correspond à un petit créneau if e i = 1 then X X g mod N return (X = g e )
17 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 11 / 60 Simple Power Analysis RSA Left-to-right Square-and-multiply Require: Le module RSA N, g et e = (e t 1,..., e 0 ) 2 entiers [0,..., N[, avec e t 1 = 1. Ensure: X = g e mod N X g for i = t 2 downto 0 do X X 2 mod N if e i = 1 then X X g mod N une multiplication correspond à un grand créneau return (X = g e )
18 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 11 / 60 Simple Power Analysis RSA Left-to-right Square-and-multiply Require: Le module RSA N, g et e = (e t 1,..., e 0 ) 2 entiers [0,..., N[, avec e t 1 = 1. Ensure: X = g e mod N X g for i = t 2 downto 0 do X X 2 mod N if e i = 1 then X X g mod N return (X = g e ) Vulnérable : la séquence des opérations fait fuire des informations sur l exposant (pas de régularité.)
19 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 12 / 60 Protocole d échange de clé de Diffie-Hellmann Basé sur le problème du logarithme discret. Alice et Bob s accordent sur un groupe additif (G, +, O) et un générateur du groupe P. Alice Bob
20 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 12 / 60 Protocole d échange de clé de Diffie-Hellmann Basé sur le problème du logarithme discret. Alice et Bob s accordent sur un groupe additif (G, +, O) et un générateur du groupe P. Alice a random() calcule A = a P Bob b random() calcule B = b P
21 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 12 / 60 Protocole d échange de clé de Diffie-Hellmann Basé sur le problème du logarithme discret. Alice et Bob s accordent sur un groupe additif (G, +, O) et un générateur du groupe P. Alice a random() calcule A = a P envoie B envoie A Bob b random() calcule B = b P
22 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 12 / 60 Protocole d échange de clé de Diffie-Hellmann Basé sur le problème du logarithme discret. Alice et Bob s accordent sur un groupe additif (G, +, O) et un générateur du groupe P. Alice a random() calcule A = a P calcule K = a B envoie B envoie A Bob b random() calcule B = b P calcule K = b A
23 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 12 / 60 Protocole d échange de clé de Diffie-Hellmann Basé sur le problème du logarithme discret. Alice et Bob s accordent sur un groupe additif (G, +, O) et un générateur du groupe P. Alice a random() calcule A = a P calcule K = a B envoie B envoie A Bob b random() calcule B = b P calcule K = b A clé secrète partagée K = a b P L opération principale est la multiplication scalaire a P.
24 Introduction Cryptographie asymétrique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 13 / 60 Algorithme de base : Double-and-add Multiplication scalaire d un élément P dans un groupe additif (G, +, O). Left-to-Right double-and-add Require: k = (k t 1,..., k 1, k 0 ), P G Ensure: Q = k P 1: Q O 2: for i from t 1 downto 0 do 3: Q 2 Q 4: if k i = 1 then 5: Q Q + P 6: return (Q)
25 Introduction Contributions de la thèse Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 14 / 60 Table des matières 1 Introduction Cryptographie asymétrique Contributions de la thèse 2 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Montgomery revisité, ECC sur F 2 m 3 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Contributions Application aux exponentiations régulières 4 Conclusion
26 Introduction Contributions de la thèse Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 15 / 60 Contributions L amélioration des performances des opérations arithmétiques utilisées dans les protocoles de la cryptographie asymétrique résistant à l attaque Simple Power Analysis. Sur la multiplication scalaire de point de courbe elliptique : sur F 2 m, opérations combinées (AfricaCrypt 2013) ; sur F 2 m, échelle de Montgomery parallèle (IEEE-TC) ; sur F p et F 2 m, implantation de l approche parallèle de Moreno et Hasan (InsCrypt 2014) ; sur l exponentiation modulaire : multiplications modulaires multiples avec une opérande commune (Arith22).
27 Introduction Contributions de la thèse Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 15 / 60 Contributions L amélioration des performances des opérations arithmétiques utilisées dans les protocoles de la cryptographie asymétrique résistant à l attaque Simple Power Analysis. Sur la multiplication scalaire de point de courbe elliptique : sur F 2 m, opérations combinées (AfricaCrypt 2013) ; sur F 2 m, échelle de Montgomery parallèle (IEEE-TC) ; sur F p et F 2 m, implantation de l approche parallèle de Moreno et Hasan (InsCrypt 2014) ; sur l exponentiation modulaire : multiplications modulaires multiples avec une opérande commune (Arith22).
28 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 16 / 60 Table des matières 1 Introduction Cryptographie asymétrique Contributions de la thèse 2 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Montgomery revisité, ECC sur F 2 m 3 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Contributions Application aux exponentiations régulières 4 Conclusion
29 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 17 / 60 Notre groupe : l ensemble des points d une courbe elliptique E : y 2 + a 1 xy + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6. Loi corde-tangente, exemple sur R :
30 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 17 / 60 Notre groupe : l ensemble des points d une courbe elliptique E : y 2 + a 1 xy + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6. Loi corde-tangente, exemple sur R :
31 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 18 / 60 Cryptographie : courbe elliptique sur corps fini Notre courbe est sur un corps fini F p ou F 2 m (au lieu de R) : E : Y 2 = X 3 + ax + b, a, b F p. E : Y 2 + XY = X 3 + ax 2 + b, a, b F 2 m. opérations sur corps fini F 2 m : Opération élément du corps Addition A + B = Multiplication A B = A, B F 2 m (= F 2 [x]/(f (x) F 2 [x])) A = m 1 i=0 a i x i B = m 1 i=0 b i x i a i, b i {0, 1} i=0 (a i b i ) x i (XOR) A B mod f m 1
32 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 19 / 60 Opérations sur points de courbe elliptique La loi corde-tangente se transcrit en équation. Formules pour le doublement ou l addition (courbe sur F 2 m) : P 1 + P 2 = P 3 (avec P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), P 3 = (x 3, y 3 ).) x 3 = λ 2 + λ + x 1 + x 2 + a y 3 = (x 1 + x 3 )λ + x 3 + y 1 avec λ = y1+y2 x 1+x 2 si P 1 P 2 λ = y1 x 1 + x 1 si P 1 = P 2
33 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 19 / 60 Opérations sur points de courbe elliptique La loi corde-tangente se transcrit en équation. Formules pour le doublement ou l addition (courbe sur F 2 m) : P 1 + P 2 = P 3 (avec P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), P 3 = (x 3, y 3 ).) x 3 = λ 2 + λ + x 1 + x 2 + a y 3 = (x 1 + x 3 )λ + x 3 + y 1 avec λ = y1+y2 x 1+x 2 si P 1 P 2 λ = y1 x 1 + x 1 si P 1 = P 2 Un doublement nécessite 1 inversion, 2 multiplications, 1 élévation au carré, et quelques additions ; Une addition nécessite 1 inversion, 2 multiplications, 1 élévation au carré, et quelques additions ;
34 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 20 / 60 Représentation d un point : coordonnées projectives But : éliminer les inversions (l opération la plus coûteuse). P = (x, y) se transforme en (X : Y : Z) avec { x = X Z y = Y Z on pose 2P = (X 3 : Y 3 : Z 3 ), on a maintenant (sur F 2 m ) : X 3 = C E Y 3 = BC E + A 2 C Z 3 = C D avec A = X 2 B = A + Y Z C = X Z BC = B + C D = C 2 E = (B BC + a D)
35 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 20 / 60 Représentation d un point : coordonnées projectives But : éliminer les inversions (l opération la plus coûteuse). P = (x, y) se transforme en (X : Y : Z) avec { x = X Z y = Y Z on pose 2P = (X 3 : Y 3 : Z 3 ), on a maintenant (sur F 2 m ) : X 3 = C E Y 3 = BC E + A 2 C Z 3 = C D avec A = X 2 B = A + Y Z C = X Z BC = B + C D = C 2 E = (B BC + a D) Complexité des opérations de points de courbe elliptique sur F 2 m. Opération Coût en affine Coût en projective Doublement 1I + 2M + 1S 8M + 3S Addition 15M + 1S 1I + 2M + 1S (coordonnées mixées) 12M + 2S I = inversion, M = multiplication, S = élévation au carré
36 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Représentation d un point : coordonnées projectives But : éliminer les inversions (l opération la plus coûteuse). P = (x, y) se transforme en (X : Y : Z) avec { x = X Z y = Y Z on pose 2P = (X 3 : Y 3 : Z 3 ), on a maintenant (sur F 2 m ) : X 3 = C E Y 3 = BC E + A 2 C Z 3 = C D avec A = X 2 B = A + Y Z C = X Z BC = B + C D = C 2 E = (B BC + a D) Complexité des opérations de points de courbe elliptique sur F 2 m. Opération Coût en affine Coût en projective Doublement 1I + 2M + 1S 8M + 3S Addition 15M + 1S 1I + 2M + 1S (coordonnées mixées) 12M + 2S I = inversion, M = multiplication, S = élévation au carré autres systèmes : jacobiennes, Lopez-Dahab, Kim-Kim... Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 20 / 60
37 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 21 / 60 Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Table des matières 1 Introduction Cryptographie asymétrique Contributions de la thèse 2 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Montgomery revisité, ECC sur F 2 m 3 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Contributions Application aux exponentiations régulières 4 Conclusion
38 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 22 / 60 Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Algorithme de base pour l ECSM : Double-and-add Left-to-Right double-and-add Multiplication scalaire (ECSM) Require: k = (k t 1,..., k 1, k 0 ), P E(F 2 m) Ensure: Q = k P 1: Q O 2: for i from t 1 downto 0 do 3: Q 2 Q 4: if k i = 1 then 5: Q Q + P 6: return (Q)
39 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 22 / 60 Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Algorithme de base pour l ECSM : Double-and-add Left-to-Right double-and-add Multiplication scalaire (ECSM) Require: k = (k t 1,..., k 1, k 0 ), P E(F 2 m) Ensure: Q = k P 1: Q O 2: for i from t 1 downto 0 do 3: Q 2 Q 4: if k i = 1 then 5: Q Q + P 6: return (Q) "addition en coordonnées mixées"
40 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 23 / 60 Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Halving (sur F 2 m seulement) Si Q est un point de la courbe d ordre impair, il appartient à un sous-groupe dans lequel la division par deux de Q = (u, v) est l unique point P = (x, y) tel que P = Q/2. (u, v) = 2 (x, y) λ = x + y/x, (1) u = λ 2 + λ + a, (2) v = x 2 + u(λ + 1). (3)
41 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 23 / 60 Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Halving (sur F 2 m seulement) Si Q est un point de la courbe d ordre impair, il appartient à un sous-groupe dans lequel la division par deux de Q = (u, v) est l unique point P = (x, y) tel que P = Q/2. (u, v) = 2 (x, y) Pour obtenir P : λ = x + y/x, (1) u = λ 2 + λ + a, (2) v = x 2 + u(λ + 1). (3) on résoud l équation (2): λ 2 + λ = u + a λ (équation quadratique); on résoud l équation (3): x 2 = v + u(λ + 1) x (racine carrée); on calcule y (1): y = λx + x 2.
42 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 24 / 60 Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Conclusion sur le Halving Cette opération requiert des coordonnées affines (ou une représentation λ-coordinates). 1 Halving nécessite : 1 Quadratic Solver, 1 racine carrée, 1 M et 1 S. 1 Quadratic Solver 1,5 M; 1 racine carrée 0,5 M; un Halving est moins coûteux qu un doublement.
43 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 25 / 60 Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Multiplication scalaire sur F 2 m : Halve-and-add Le scalaire k est transformé en k = k 2 t 1 mod #<P >, avec dans ce cas : ( t 1 ) k = k 2 (t 1) = k i 2i 2 (t 1) = i=0 t 1 k i 2i (t 1) i=0 }{{} puissances de 2 0 Left-to-Right Halve-and-add Require: k = (k t 1,..., k 1, k 0 ), P E(F 2 m ) Ensure: Q = k P 1: Q O. 2: Réécriture : k = k 2 t 1 mod #<P >. 3: for i from t 1 downto 0 do 4: if k i = 1 then 5: Q Q + P. 6: P P/2. 7: return (Q)
44 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 25 / 60 Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Multiplication scalaire sur F 2 m : Halve-and-add Le scalaire k est transformé en k = k 2 t 1 mod #<P >, avec dans ce cas : ( t 1 ) k = k 2 (t 1) = k i 2i 2 (t 1) = i=0 t 1 k i 2i (t 1) i=0 }{{} puissances de 2 0 Left-to-Right Halve-and-add Require: k = (k t 1,..., k 1, k 0 ), P E(F 2 m ) Ensure: Q = k P 1: Q O. 2: Réécriture : k = k 2 t 1 mod #<P >. 3: for i from t 1 downto 0 do 4: if k i = 1 then 5: Q Q + P. "addition en coordonnées mixées" 6: P P/2. 7: return (Q)
45 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 26 / 60 Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Algorithme parallèle (Taverne et al.) Le scalaire k est transformé en k = k 2 l mod #<P >, avec dans ce cas : k = k 2 l = ( t k i 2i )2 l = i=0 l 1 k i 2i l i=0 }{{} puissances de t k i 2i l i=l }{{} puissances de 2>0
46 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 26 / 60 Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Algorithme parallèle (Taverne et al.) Le scalaire k est transformé en k = k 2 l mod #<P >, avec dans ce cas : k = k 2 l = ( t k i 2i )2 l = i=0 Réécriture de k l 1 k i 2i l i=0 }{{} puissances de Ceci conduit à l algorithme suivant : k est séparé en deux : ( puissances de 2 > 0, et puissances de 2 0). t k i 2i l i=l }{{} puissances de 2>0
47 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 26 / 60 Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Algorithme parallèle (Taverne et al.) Le scalaire k est transformé en k = k 2 l mod #<P >, avec dans ce cas : k = k 2 l = ( t k i 2i )2 l = i=0 Réécriture de k l 1 k i 2i l i=0 }{{} puissances de Ceci conduit à l algorithme suivant : k est séparé en deux : ( puissances de 2 > 0, et puissances de 2 0). t k i 2i l i=l }{{} puissances de 2>0 Double-and-add Calcul de t i=l k i 2i l P. Halve-and-add Calcul de l 1 i=0 k i 2i l P.
48 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 26 / 60 Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Algorithme parallèle (Taverne et al.) Le scalaire k est transformé en k = k 2 l mod #<P >, avec dans ce cas : k = k 2 l = ( t k i 2i )2 l = i=0 Réécriture de k l 1 k i 2i l i=0 }{{} puissances de Ceci conduit à l algorithme suivant : k est séparé en deux : ( puissances de 2 > 0, et puissances de 2 0). Double-and-add Calcul de t i=l k i 2i l P. Halve-and-add Reconstruction finale Q = k P. t k i 2i l i=l }{{} puissances de 2>0 Calcul de l 1 i=0 k i 2i l P.
49 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 27 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Table des matières 1 Introduction Cryptographie asymétrique Contributions de la thèse 2 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Montgomery revisité, ECC sur F 2 m 3 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Contributions Application aux exponentiations régulières 4 Conclusion
50 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 28 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Contributions Construction d une échelle binaire de Montgomery avec Halving ;
51 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 28 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Contributions Construction d une échelle binaire de Montgomery avec Halving ; construction d une échelle binaire de Montgomery parallèle avec Doubling-Halving ;
52 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 28 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Contributions Construction d une échelle binaire de Montgomery avec Halving ; construction d une échelle binaire de Montgomery parallèle avec Doubling-Halving ; implantations et expérimentations.
53 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 29 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Contrer la SPA : l échelle binaire de Montgomery! Montgomery Require: k = (k t 1,..., k 1, k 0 ) avec k t 1 = 1, P E(F q ) Ensure: Q = k P 1: Q 0 P, Q 1 2P 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 0 + Q 1, Q 0 2 Q 0 5: else 6: Q 0 Q 0 + Q 1, Q 1 2 Q 1 7: return (Q 0 ) Échelle binaire de Montgomery pour l ECSM
54 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 30 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment fonctionne-t-elle? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = 2P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 0 + Q 1,Q 0 2 Q 0 5: else 6: Q 0 Q 0 + Q 1,Q 1 2 Q 1 i init k i Q 0 Q 1
55 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 30 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment fonctionne-t-elle? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = 2P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 0 + Q 1,Q 0 2 Q 0 5: else 6: Q 0 Q 0 + Q 1,Q 1 2 Q 1 i init k i P Q 0 Q 1
56 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 30 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment fonctionne-t-elle? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = 2P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 0 + Q 1,Q 0 2 Q 0 5: else 6: Q 0 Q 0 + Q 1,Q 1 2 Q 1 i init k i Q 0 P 2P Q 1
57 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 30 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment fonctionne-t-elle? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = 2P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 0 + Q 1,Q 0 2 Q 0 5: else 6: Q 0 Q 0 + Q 1,Q 1 2 Q 1 i init k i Q 0 P Q 1 2P 3P
58 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 30 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment fonctionne-t-elle? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = 2P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 0 + Q 1,Q 0 2 Q 0 5: else 6: Q 0 Q 0 + Q 1,Q 1 2 Q 1 Double: Q 0 2 Q 0 (Q 1 Q 0 + Q 1 = 2 Q 0 + P on a alors Q 1 Q 0 = P) i init k i Q 0 P 2P Q 1 2P 3P
59 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 30 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment fonctionne-t-elle? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = 2P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 0 + Q 1,Q 0 2 Q 0 5: else 6: Q 0 Q 0 + Q 1,Q 1 2 Q 1 Double-and-add: Q 0 Q 0 + Q 1 = 2 Q 0 + P (Q 1 2 (Q 0 + P) on a alors Q 1 Q 0 = P) i init k i Q 0 P 2P 5P Q 1 2P 3P
60 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 30 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment fonctionne-t-elle? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = 2P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 0 + Q 1,Q 0 2 Q 0 5: else 6: Q 0 Q 0 + Q 1,Q 1 2 Q 1 Double-and-add: Q 0 Q 0 + Q 1 = 2 Q 0 + P (Q 1 2 (Q 0 + P) on a alors Q 1 Q 0 = P) i init k i Q 0 P 2P 5P Q 1 2P 3P 6P
61 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 30 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment fonctionne-t-elle? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = 2P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 0 + Q 1,Q 0 2 Q 0 5: else 6: Q 0 Q 0 + Q 1,Q 1 2 Q 1 Double-and-add: Q 0 Q 0 + Q 1 = 2 Q 0 + P (Q 1 2 (Q 0 + P) on a alors Q 1 Q 0 = P) i init k i Q 0 P 2P 5P 11P Q 1 2P 3P 6P
62 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 30 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment fonctionne-t-elle? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = 2P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 0 + Q 1,Q 0 2 Q 0 5: else 6: Q 0 Q 0 + Q 1,Q 1 2 Q 1 Double-and-add: Q 0 Q 0 + Q 1 = 2 Q 0 + P (Q 1 2 (Q 0 + P) on a alors Q 1 Q 0 = P) i init k i Q 0 P 2P 5P 11P Q 1 2P 3P 6P 12P
63 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 30 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment fonctionne-t-elle? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = 2P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 0 + Q 1,Q 0 2 Q 0 5: else 6: Q 0 Q 0 + Q 1,Q 1 2 Q 1 i init k i Q 0 P 2P 5P 11P Q 1 2P 3P 6P 12P 23P
64 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 30 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment fonctionne-t-elle? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = 2P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 0 + Q 1,Q 0 2 Q 0 5: else 6: Q 0 Q 0 + Q 1,Q 1 2 Q 1 Double: Q 0 2 Q 0 (Q 1 Q 0 + Q 1 = 2 Q 0 + P on a alors Q 1 Q 0 = P) i init k i Q 0 P 2P 5P 11P 22P Q 1 2P 3P 6P 12P 23P
65 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 30 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment fonctionne-t-elle? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = 2P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 0 + Q 1,Q 0 2 Q 0 5: else 6: Q 0 Q 0 + Q 1,Q 1 2 Q 1 Double-and-add: Q 0 Q 0 + Q 1 = 2 Q 0 + P (Q 1 2 (Q 0 + P) on a alors Q 1 Q 0 = P) i init k i Q 0 P 2P 5P 11P 22P 45P Q 1 2P 3P 6P 12P 23P
66 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 30 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment fonctionne-t-elle? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = 2P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 0 + Q 1,Q 0 2 Q 0 5: else 6: Q 0 Q 0 + Q 1,Q 1 2 Q 1 Double-and-add: Q 0 Q 0 + Q 1 = 2 Q 0 + P (Q 1 2 (Q 0 + P) on a alors Q 1 Q 0 = P) i init k i Q 0 P 2P 5P 11P 22P 45P Q 1 2P 3P 6P 12P 23P 46P
67 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment fonctionne-t-elle? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = 2P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 0 + Q 1,Q 0 2 Q 0 5: else 6: Q 0 Q 0 + Q 1,Q 1 2 Q 1 i init k i Q 0 P 2P 5P 11P 22P 45P Q 1 2P 3P 6P 12P 23P 46P l algorithme renvoie : Q 0 = 45P Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 30 / 60
68 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 31 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Échelle binaire de Montgomery avec Halving Comme pour l échelle binaire de Montgomery (avec doublings), nous voulons obtenir :
69 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 31 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Échelle binaire de Montgomery avec Halving Comme pour l échelle binaire de Montgomery (avec doublings), nous voulons obtenir : régularité des opérations ;
70 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 31 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Échelle binaire de Montgomery avec Halving Comme pour l échelle binaire de Montgomery (avec doublings), nous voulons obtenir : régularité des opérations ; conserver une différence constante entre Q 0 et Q 1, les deux points calculés au long de l algorithme.
71 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 31 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Échelle binaire de Montgomery avec Halving Comme pour l échelle binaire de Montgomery (avec doublings), nous voulons obtenir : régularité des opérations ; conserver une différence constante entre Q 0 et Q 1, les deux points calculés au long de l algorithme. Pour construire un Montgomery-Halving, nous récrivons le scalaire k comme pour l approche Halve-and-add: k P = (k 2 (t 1) mod #<P >) P.
72 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 32 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Algorithme pour le Montgomery Halving Montgomery Halving Require: Réécriture de k en k avec k = k 2 (t 1) mod #<P >, k i {0, 1} avec k t 1 = 1, P E(F 2 m ) Ensure: Q = k P 1: Q 0 P, Q 1 P 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: T Q 0 /2, Q 0 T, Q 1 Q 1 T 5: else 6: T Q 1 /2, Q 1 T, Q 0 Q 0 T 7: return (Q 0 ) Avec cet algorithme, nous avons atteint nos objectifs : Régularité : 1H + 1A à chaque itération de la boucle ; Q 1,j Q 0,j = 2 P tout au long du calcul ; l efficacité/complexité est moins bonne.
73 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 33 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment le Montgomery Halving fonctionne-t-il? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 1 Q 0 /2,Q 0 Q 0 /2 5: else 6: Q 0 Q 0 Q 1 /2,Q 1 Q 1 /2 i init k i Q 0 Q 1
74 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 33 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment le Montgomery Halving fonctionne-t-il? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 1 Q 0 /2,Q 0 Q 0 /2 5: else 6: Q 0 Q 0 Q 1 /2,Q 1 Q 1 /2 i init k i Q 0 P Q 1
75 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 33 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment le Montgomery Halving fonctionne-t-il? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 1 Q 0 /2,Q 0 Q 0 /2 5: else 6: Q 0 Q 0 Q 1 /2,Q 1 Q 1 /2 i init k i Q 0 P Q 1 -P
76 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 33 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment le Montgomery Halving fonctionne-t-il? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 1 Q 0 /2,Q 0 Q 0 /2 5: else 6: Q 0 Q 0 Q 1 /2,Q 1 Q 1 /2 i init k i Q 0 P Q 1 -P -3P/2
77 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 33 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment le Montgomery Halving fonctionne-t-il? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 1 Q 0 /2,Q 0 Q 0 /2 5: else 6: Q 0 Q 0 Q 1 /2,Q 1 Q 1 /2 Halve : Q 1 Q 0 = 2P i init k i Q 0 P P/2 Q 1 -P -3P/2
78 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 33 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment le Montgomery Halving fonctionne-t-il? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 1 Q 0 /2,Q 0 Q 0 /2 5: else 6: Q 0 Q 0 Q 1 /2,Q 1 Q 1 /2 i init k i Q 0 P P/2 5P/4 Q 1 -P -3P/2
79 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 33 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment le Montgomery Halving fonctionne-t-il? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 1 Q 0 /2,Q 0 Q 0 /2 5: else 6: Q 0 Q 0 Q 1 /2,Q 1 Q 1 /2 Halve-and-add: Q 1 Q 0 = 2P i init k i Q 0 P P/2 5P/4 Q 1 -P -3P/2-3P/4
80 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 33 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment le Montgomery Halving fonctionne-t-il? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 1 Q 0 /2,Q 0 Q 0 /2 5: else 6: Q 0 Q 0 Q 1 /2,Q 1 Q 1 /2 i init k i Q 0 P P/2 5P/4 13P/8 Q 1 -P -3P/2-3P/4
81 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 33 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment le Montgomery Halving fonctionne-t-il? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 1 Q 0 /2,Q 0 Q 0 /2 5: else 6: Q 0 Q 0 Q 1 /2,Q 1 Q 1 /2 Halve-and-add: Q 1 Q 0 = 2P i init k i Q 0 P P/2 5P/4 13P/8 Q 1 -P -3P/2-3P/4-3P/8
82 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 33 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment le Montgomery Halving fonctionne-t-il? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 1 Q 0 /2,Q 0 Q 0 /2 5: else 6: Q 0 Q 0 Q 1 /2,Q 1 Q 1 /2 i init k i Q 0 P P/2 5P/4 13P/8 Q 1 -P -3P/2-3P/4-3P/8-19P/16
83 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 33 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment le Montgomery Halving fonctionne-t-il? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 1 Q 0 /2,Q 0 Q 0 /2 5: else 6: Q 0 Q 0 Q 1 /2,Q 1 Q 1 /2 Halve : Q 1 Q 0 = 2P i init k i Q 0 P P/2 5P/4 13P/8 13P/16 Q 1 -P -3P/2-3P/4-3P/8-19P/16
84 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 33 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment le Montgomery Halving fonctionne-t-il? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 1 Q 0 /2,Q 0 Q 0 /2 5: else 6: Q 0 Q 0 Q 1 /2,Q 1 Q 1 /2 i init k i Q 0 P P/2 5P/4 13P/8 13P/16 45P/32 Q 1 -P -3P/2-3P/4-3P/8-19P/16
85 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 33 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment le Montgomery Halving fonctionne-t-il? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 1 Q 0 /2,Q 0 Q 0 /2 5: else 6: Q 0 Q 0 Q 1 /2,Q 1 Q 1 /2 Halve-and-add: Q 1 Q 0 = 2P i init k i Q 0 P P/2 5P/4 13P/8 13P/16 45P/32 Q 1 -P -3P/2-3P/4-3P/8-19P/16-19P/32
86 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 33 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Comment le Montgomery Halving fonctionne-t-il? Exemple : k = = 0x2D = [1, 0, 1, 1, 0, 1] 2 1: Q 0 = P; Q 1 = P. 2: for i from t 2 downto 0 do 3: if (k i = 0) then 4: Q 1 Q 1 Q 0 /2,Q 0 Q 0 /2 5: else 6: Q 0 Q 0 Q 1 /2,Q 1 Q 1 /2 i init k i Q 0 P P/2 5P/4 13P/8 13P/16 45P/32 Q 1 -P -3P/2-3P/4-3P/8-19P/16-19P/32 L algorithme renvoie : Q 0 = 45P/32 (puissances négatives de 2.)
87 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 34 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Algorithme parallèle Le scalaire k est transformé en k = k 2 l mod #<P >, avec dans ce cas: k = k 2 l = ( t k i 2i )2 l = i=0 l 1 k i 2i l i=0 }{{} puissances de t k i 2i l i=l }{{} puissances de 2>0
88 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 34 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Algorithme parallèle Le scalaire k est transformé en k = k 2 l mod #<P >, avec dans ce cas: k = k 2 l = ( t k i 2i )2 l = i=0 l 1 k i 2i l i=0 }{{} puissances de t k i 2i l i=l }{{} puissances de 2>0 Montgomery parallèle avec Halving/Doubling Require: scalar k, P F 2 m d ordre impair r, une constante l. Ensure: kp. 1: Réécriture : k = 2 l k mod r. (Barrier) 2: // Montgomery Doubling ECSM 4: // Montgomery Halving ECSM 3: Q D [(k t,..., k l )] P 5: Q H [(k l 1,..., k 0 )/2l ] P (Barrier) 6: return Q Q D + Q H
89 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 35 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Montgomery parallèle avec Halving/Doubling : stratégies d implantations Deux plateformes différentes : Optiplex 990, Intel core i7 langage C Nexus 7, Qualcomm Snapdragon (ARM) langage C gcc gcc Ubuntu Ubuntu touch Jeux d instructions : Architecture : MMX, AVX et AES (128 bits) ARM7 32 bits Multiplication de polynômes : approche Karatsuba + PCLMUL Inversion Itoh-Tsujii opérations sur le corps F 2 m Multiplication de polynômes : approche de Lopez-Dahab (Comb method) Inversion Itoh-Tsujii Autres opérations (carré, racine carrée, half-trace...) : approche par look-up table.
90 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 36 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Montgomery parallèle avec Halving/Doubling Figure : Montgomery parallèle avec Halving/Doubling, NIST B233, Intel Core i7
91 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 37 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Performance des implantations Performances échelles binaires de Montgomery Optiplex 990, Intel core i7, TurboMode et hyperthreading desactivés avec Doubling Halving Parallèle Gain (//-Doubling) NIST B cc cc cc 5,4% NIST B cc cc cc 10,5% Nexus 7, Qualcomm Snapdragon avec Doubling Halving Parallèle Gain (//-Doubling) NIST B cc cc cc 19% NIST B cc cc cc 19% (moyenne des minimums sur 2000 exécutions)
92 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 38 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Conclusion En synthèse, nous retenons : contributions sur l échelle de Montgomery, avec Halving et parallélisation ;
93 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 38 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Conclusion En synthèse, nous retenons : contributions sur l échelle de Montgomery, avec Halving et parallélisation ; algorithmes SPA resistant ;
94 Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 38 / 60 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Montgomery revisité, ECC sur F 2 m Conclusion En synthèse, nous retenons : contributions sur l échelle de Montgomery, avec Halving et parallélisation ; algorithmes SPA resistant ; gains de performance (de 5,4 à 19 %, selon la plateforme et la courbe elliptique).
95 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 39 / 60 Table des matières 1 Introduction Cryptographie asymétrique Contributions de la thèse 2 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Montgomery revisité, ECC sur F 2 m 3 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Contributions Application aux exponentiations régulières 4 Conclusion
96 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 40 / 60 Multiplication modulaire de Montgomery Soient A et B [0, N[. On pose C = A B, C < N 2. La réduction modulaire Montgomery de C = A B se présente de la façon suivante :
97 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 40 / 60 Multiplication modulaire de Montgomery Soient A et B [0, N[. On pose C = A B, C < N 2. La réduction modulaire Montgomery de C = A B se présente de la façon suivante : q A B ( N 1 ) mod 2 wn, Y (A B + q N)/2 wn. La division par 2 wn est exacte (les bits de poids faibles sont nuls)
98 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 40 / 60 Multiplication modulaire de Montgomery Soient A et B [0, N[. On pose C = A B, C < N 2. La réduction modulaire Montgomery de C = A B se présente de la façon suivante : q A B ( N 1 ) mod 2 wn, Y (A B + q N)/2 wn. La division par 2 wn est exacte (les bits de poids faibles sont nuls) Y satisfait Y = A B 2 wn mod N et Y < 2N.
99 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 40 / 60 Multiplication modulaire de Montgomery Soient A et B [0, N[. On pose C = A B, C < N 2. La réduction modulaire Montgomery de C = A B se présente de la façon suivante : q A B ( N 1 ) mod 2 wn, Y (A B + q N)/2 wn. La division par 2 wn est exacte (les bits de poids faibles sont nuls) Y satisfait Y = A B 2 wn mod N et Y < 2N. représentation de Montgomery : Ã = A 2wn mod N. Ã B 2 wn mod N = (AB) 2 wn mod N
100 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 41 / 60 SmallRed : réduction modulaire d un mot X (n mots machine) motsw bit dewords w bits décalage one word à droite right shift d un mot X X + [x 0 ( N 1 mod 2 w ) mod 2 w ] N X X /2 w, c est-à-dire < X /2 w + N
101 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Complexité : n + 1 WMult., 2n + 1 WAdd. Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 41 / 60 SmallRed : réduction modulaire d un mot X (n mots machine) motsw bit dewords w bits décalage one word à droite right shift d un mot X X + [x 0 ( N 1 mod 2 w ) mod 2 w ] N X X /2 w, c est-à-dire < X /2 w + N SmallRed (un mot machine) Require: Le module N et un entier positif X = (x n 1,..., x 0 ) 2 w de n mots machine et N = ( N 1 ) mod 2 w Ensure: Y = X 2 w mod N avec Y < X /2 w + N 1: q x 0 N mod 2 w 1 WMult. 2: Y (X + q N)/2 w n WMult., 2n + 1 WAdd. 3: return Y
102 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 42 / 60 Multiplication de Montgomery par bloc ABR 1 mod N = ( n 1 j=0 b j2 wj ) A 2 wn mod N
103 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 42 / 60 Multiplication de Montgomery par bloc ABR 1 mod N = ( n 1 j=0 b j2 wj ) A 2 wn mod N A b 0 2 w SmallRed (A b 0 2 w + A b 1 ) 2 w SmallRed ( n 1 j=0 b j 2 wj ) A 2 wn SmallRed
104 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 43 / 60 Multiplication de Montgomery par bloc Complexité : on effectue n smallred : n 2 + n WMult., 2n 2 + n WAdd. n multiplications 1 n : n 2 WMult., n 2 + n WAdd. n 1 additions n + 1 : n 2 1 WAdd. opération # multiplications de mots # additions de mots ABR 1 mod N 2n 2 + n 4n 2 + 2n 1 A 2 R 1 mod N 3 2 n n 1 3n2 + 5n 1
105 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 43 / 60 Multiplication de Montgomery par bloc Complexité : on effectue n smallred : n 2 + n WMult., 2n 2 + n WAdd. n multiplications 1 n : n 2 WMult., n 2 + n WAdd. n 1 additions n + 1 : n 2 1 WAdd. opération # multiplications de mots # additions de mots ABR 1 mod N 2n 2 + n 4n 2 + 2n 1 A 2 R 1 mod N 3 2 n n 1 3n2 + 5n 1
106 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Contributions Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 44 / 60 Table des matières 1 Introduction Cryptographie asymétrique Contributions de la thèse 2 Dans la cryptographie sur courbe elliptique Groupe additif considéré : ECC Multiplication scalaire de point de courbe elliptique (ECSM) Montgomery revisité, ECC sur F 2 m 3 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Multiplication modulaire Contributions Application aux exponentiations régulières 4 Conclusion
107 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Contributions Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 45 / 60 Contributions Notre but est d accélérer les algorithmes résistants à l attaque SPA. Pour y parvenir, nous proposons :
108 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Contributions Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 45 / 60 Contributions Notre but est d accélérer les algorithmes résistants à l attaque SPA. Pour y parvenir, nous proposons : deux multiplications par une opérande commune A B, A C ;
109 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Contributions Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 45 / 60 Contributions Notre but est d accélérer les algorithmes résistants à l attaque SPA. Pour y parvenir, nous proposons : deux multiplications par une opérande commune A B, A C ; des multiplications multiples par une opérande commune A B 0, A B 1,..., A B l ;
110 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Contributions Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 45 / 60 Contributions Notre but est d accélérer les algorithmes résistants à l attaque SPA. Pour y parvenir, nous proposons : deux multiplications par une opérande commune A B, A C ; des multiplications multiples par une opérande commune A B 0, A B 1,..., A B l ; l utilisation des opérations précédentes aux algorithmes protégés contre l attaque SPA.
111 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Contributions Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 46 / 60 CombinedMontMul A B, A C La multiplication modulaire de Mongtomery par bloc effectue : A B R 1 = n 1 b j 2 wj A 2 w(n+1) mod N j=0
112 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Contributions Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 46 / 60 CombinedMontMul A B, A C La multiplication modulaire de Mongtomery par bloc effectue : A B R 1 = n 1 b j 2 wj A 2 w(n+1) mod N j=0 n 1 = b j A 2 w(n+1 j) mod N j=0
113 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Contributions Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 46 / 60 CombinedMontMul A B, A C La multiplication modulaire de Mongtomery par bloc effectue : A B R 1 = n 1 b j 2 wj A 2 w(n+1) mod N j=0 n 1 = b j A 2 w(n+1 j) mod N j=0 n 1 = b j (A 2 w(n 1 j) mod N)2 2w mod N j=0
114 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Contributions Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 46 / 60 CombinedMontMul A B, A C La multiplication modulaire de Mongtomery par bloc effectue : A B R 1 = n 1 b j 2 wj A 2 w(n+1) mod N j=0 = = = où A (j) = A2 w(n 1 j) mod N pour j = 0,..., n 1. n 1 b j A 2 w(n+1 j) mod N j=0 n 1 b j (A 2 w(n 1 j) mod N)2 2w mod N j=0 n 1 b j A (j) 2 2w mod N j=0
115 Dans l exponentiation modulaire, combiner les opérations Contributions CombinedMontMul A B, A C La multiplication modulaire de Mongtomery par bloc effectue : n 1 A B R 1 = b j 2 wj A 2 w(n+1) mod N = = = j=0 n 1 b j A 2 w(n+1 j) mod N j=0 n 1 b j (A 2 w(n 1 j) mod N)2 2w mod N j=0 n 1 b j A (j) 2 2w j=0 mod N où A (j) = A2 w(n 1 j) mod N pour j = 0,..., n 1. Avec la même chose pour A C R 1, on obtient A C R 1 = n 1 c j A (j) 2 2w mod N. Jean-Marc ROBERT DALI/LIRMM, UPVD, France 46 / 60 j=0
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