Quotient de Fermat, recherches d Andrew Granville et relation avec le Grand Théorème

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1 Quotent de Fermat, recherches d Andrew Granvlle et relaton avec le Grand Théorème Bernard RONK 30 août 205 Table des matères Quotent de Fermat 2. Relatons lées au quotent de Fermat Quelques justfcatons Quelques tests numérques Aroche du document d Andrew Granvlle 2 3 Réflexons sur les résultats d Andrew Granvlle 8 3. Consdératons sur la méthode Extenson des résultats relats à q (2) Autres relatons Relaton avec le derner théorème de Fermat Sur la congruence q(x) + g(x) 0 (mod ) Aroche numérque Aroche analytque Sommes de ussances Exosants ostfs Exosants négatfs

2 Quotent de Fermat La quantté suvante, découlant drectement du théorème de Fermat, est aelée Quotent de Fermat : q (a) a Elle résente quelques rorétés ntéressantes, en artculer : Crtère de Weferch : S satsfat la relaton x + y + z 0 dans le cas n, c est à dre dans le cas où le rodut x.y.z n est as dvsble ar, alors ce quotent est lu-même dvsble ar s a 2, sot : x + y + z est un enter Par la sute, cette rorété a u être étendue à d autres valeurs de a (3, 5 et 7). En rason de cette relaton drecte avec le Grand Théorème de Fermat, ce quotent a fat l objet d études artculères, notamment our a 2.. Relatons lées au quotent de Fermat Les auteurs ont découvert et étudé beaucou de relatons lées au quotent de Fermat. Nous cterons en artculer : q () 0 (mod ) () q ( a) q (a) (mod ) (2) q ( ± ) (mod ) (3) Relatons aarentées aux logarthmes : q (a.b) q (a) + q (b) (mod ) (4) q (a/b) q (a) q (b) (mod )r (5) q (a r ) r.q (a) (mod ) (6) 2

3 Relatons avec des séres fnes : Nous y ajouterons : (Esensten) q (2) 2 ( ) (Esensten) q (2) ()/2 2. (Stern) q (2) (Lehmer) 2.q (2) q (2) q (2) 2 ()/2 ()/2 /3 2. (+)/2 ( ) ( ) (mod ) (7) (mod ) (8) (mod ) (9) (mod ) (0) (mod ) () (mod ) (2) Autres relatons ctées et démontrées ar Andrew Granvlle 2 our > 3 : (Glasher) q (2) 2. (Sula) [q (2)] 2 2 (mod ) (3) 2 2 (mod ) (4). Sére (7) ctée en 924 ar H. Beeger Assocaton françase our l avancement des Scences - Sesson de Lège avec une erreur, robablement tyograhque (oubl du facteur 2 ) 2. vor The square of the Fermat quotent n Electronc journal of combnatonal number theory 4 (2004) La relaton (3) a été ublée en 900 ar James Glasher ( ). Elle ourrat ben être en réalté vrae modulo 2 (vor lus lon). La relaton (4) a été conjecturée ar Sula et démontrée ar Granvlle. 3

4 .2 Quelques justfcatons Rael sur la congruence d un quotent Sot la congruence a 0 (mod ) et b tel que b 0 (mod ). On eut donc écrre : a 0 (mod ) b Inversement, sot la congruence n a b Cette relaton est alors équvalente à : (mod ) avec b 0 (mod ). n.b a 0 (mod ) Ce qu détermne sans ambguïté la congruence modulo entre un enter et une valeur fractonnare. Par alleurs, sot a a, b b et b 0 (mod ) alors : n a b n.b a 0 n.b a 0 n a b (mod ) Ans, l est lcte de consdérer les congruences auss ben dans un numérateur que dans un dénomnateur. Relaton (3) La quantté étant are, on écrt : q ( ) ( ) [ ] ( ). + ().( 2) ( ) + K. (mod ) On démontre de la même manère que q ( + ) (mod ) 4

5 On eut généralser cette aroche : q ( a) (a ) [ ] a ( ).a 2. + ().( 2).a a ( ).a 2 + K. q (a) + a 2 (mod ) et, fnalement : q (a) + a (mod ) q (a) +.q (a) + (a + ).q (a) + (mod ) (mod ) a. [q ( a) q (a)] (mod ) (5) Relaton (4) On art de l dentté : (A.B ) (A ) (B ) AB A B + (A ).(B ) En osant A a et B b, on eut écrre : sot : a.b ce qu démondre (4). a b. a. b q (a.b) q (a) q (b).q (a).q (b) 0 (mod ) Equvalence entre les relatons (7) et (8) On remarque d abord qu à toute valeur 0 < x < on eut assocer une, et une seule, valeur 0 < y < et telle que y (mod ). x 5

6 Par sute, s x décrt l ntervalle [, ], les valeurs y, nverses des x, arcourent également ces valeurs mas dans un ordre dfférent. Et, on eut donc écrre : relaton vrae s 2 donc ( ). 2 0 (mod ) (6) Et la sére (7) eut alors s écrre, en retranchant la moté de la quantté nulle c-dessus : q (2) ( ) (mod ) ( ) ( ) (mod ) ( ) (mod ) ( ) (mod ) ( )/2 sot en écrture ndcelle : q (2) 2 ()/2 (mod ) ce qu démontre l équvalence entre les relatons (7) et (8). Relatons () On effectue la même oératon que c-dessus, mas en ajoutant cette fos la quantté nulle : q (2) ( ) (mod ) ( ) + ( ) (mod ) (mod ) 2 Sot en écrture ndcelle : q (2) ()/ (mod )

7 ce qu démontre la relaton (). Relatons (2) Et, enfn, en écrvant la congruence (6) sous la forme : ( )/2 + ( + )/ sot encore : ()/2 + (+)/2 0 (mod ) Ce qu ermet alors d écrre drectement à artr de (8) : 0 (mod ) q (2) 2 ()/2 ce qu démontre la relaton (2). 2 (+)/2 (mod ) Remarque On notera que les seconds membres des congruences (7) et (2) sont non seulement congrus entre eux modulo, mas ls sont égaux entre eux, sot, en osant 2.n : 2.n ( ) 2.n n+ Pour démontrer cette relaton, on suose qu elle est vrae our n et on montre alors qu elle est vrae our n + : ( 2.(n+) ( ) 2.(n+) 2.n ) ( ) + ( )2.n 2.n + + ( )2.n+ 2.n + 2 n+2 ( 2.n ) n n n + 2 n+ (7) Les 5 termes hors sgne du membre de drote s annulent. D où : 2.(n+) ( ) 2.(n+) n+2 2.n 7 ( ) 2.n n+ 0

8 2.n 2.n ( ) Ans, s l égalté est vrae au rang n, alors elle est n+ vrae au rang n +. Or, l est facle de vérfer que cette égalté est vérfé our les remères valeurs de n quelle que sot sa arté. En effet : n 2 2 n Ce qu établt ar récurrence la relaton (7)..3 Quelques tests numérques Il eut être ntéressant de tester certanes des congruences c-dessus, ne serat-ce que our rechercher les cas où la congruence est lus forte qu annoncée (vor en artculer le cas de la congruence (3) ). Relaton (7) : 2 ( ) N D (mod ) Les vérfcatons menées our tout < 00 montre que cette congruence est toujours strctement vrae modulo (jamas modulo 2 ). Voc les résultats corresondant aux remères valeurs de : 8

9 q (2) N D q (2) N D Relaton (3) : 2 2. ( ) N D (mod ) s > 3 Arès vérfcaton effectuée our tout < 000, cette congruence semble en réalté strctement vrae modulo 2 avec toutefos 2 excetons : our 3, ben que la démonstraton suose > 3, la sére est néanmons congrue à (mas as à 2 ) our 7, la sére est congrue à 3 Le tableau suvant résume les résultats our les remères valeurs de : 9

10 q (2) 2 N D q (2) N D S on ouvat démontrer que la congruence (3) état effectvement vrae modulo 2, ce résultat serat d une mortance tout à fat artculère dans la recherche d une démonstraton élémentare du Grand Théorème de Fermat. Cette queston fat l objet de la secton 4. 0

11 Relaton (4) : ( ) 2 2 ( ) N 2 22 ( ) 2 D (mod ) s > 3 L étude de tous les nombres remers 3 < < 00 montre que la congruence est vrae strctement modulo sauf : our 5, elle est vrae modulo 3 our, 3, 23, elle est vrae modulo 2 Le tableau suvant résume les résultats our les remères valeurs de : q (2) 2 N D q (2) N D (non congru à 3)

12 2 Aroche du document d Andrew Granvlle Le mathématcen canaden Andrew Granvlle de l Unversté de Montréal, Déartement de mathématques et statstques, a ublé 3 en 2004 un artcle remarquable sur le quotent de Fermat. La résente secton, ben que ne concernant qu une arte du document, résente néanmons des réflexons et des résultats ersonnels obtenus ar rolongement de la méthode AG our en montrer toute la rchesse. Note : La notaton euroéenne C est utlsée de référence à la notaton anglo-saxonne ( ) our ce qu concerne les coeffcents du bnôme. AG défnt d abord les 3 fonctons : q(x) x (x ) g(x) G(x) x x 2 En utlsant les relatons (55) et (56) (vor c-arès secton 5), on eut écrre : g() G() 0 (mod ) our 3 0 (mod 2 ) our > 3 (8) 2 0 (mod ) our > 3 (9) 3. vor The square of the Fermat quotent n Electronc journal of combnatonal number theory 4 (2004) 2

13 Enfn, on eut écrre G( ) selon : G( ) ( ) 2 ()/2 ()/2 ()/2 (2.) 2 ()/2 (2.) 2 ( 2.) 2 (2.) 2 (mod ) d où : G( ) 0 (mod ) 3 (20) Dans le déveloement de ( + x), tous termes de rang dfférent de 0 et de sont dvsbles ar. Donc, dans le déveloement de ( + x) tous les termes satsfont C + C + 0 (mod ) Mas C 0 donc les coeffcents suvants sont alternatvement congrus à et à - modulo, sot : D où en artculer : C ( ) (mod ) (2) (x ) C.x.( ) x (mod ) 0 0 et, en alquant le Théorème de Fermat, s x (mod ) : x (x ) (mod ) (22) 0 On consdère mantenant la dérvée de q(x) : q (x) x (x ) 3

14 et on utlse la remarque c-dessus : q (x) x C.x.( ) (mod ) 0 x x (mod ) 0 2 x g (x) (mod ) 0 Ans, q(x) + g(x) C 0 (mod ). mas, en fasant x 0 on constate que la constante d ntégraton C 0 est nulle, d où : q(x) + g(x) 0 (mod ) (23) Substtuons alors 2 à x dans (23), on obtent drectement : sot la relaton (3) due à Glasher. q(2) 2.q (2) AG écrt ensute, drectement d arès leur défnton : 2 (mod ) (24) q(x) q( x) (25) ( ) g(x) x.g (mod ) (26) x S (25) est évdent, (26) mérte une ette démonstraton. ( ) Pour cela, montrons que la quantté g(x) + x.g est nulle modulo : x g(x) + x.g ( ) x x + x. x + x.x Mas le numérateur du membre de drote ne change as s on remlace 4

15 ar. On eut donc écrre : g(x) + x.g ( ) x 2 ( (x + x ). + ) 2 (x + x )..( ) 0 (mod ) ce qu établt (26) A artr de (25) et (26), on eut écrre : g(x) q(x) q( x) g( x) (mod ) ( x.g ) ( ) x.g g(x) (mod ) x x Par alleurs : G (x) x g(x) x (27) On eut donc écrre 4 : ( G( x) + x.g d dx ( x )) x + x. g ( ) x x 2. ( ) (mod ) x.g ( ) x (mod ) x.(x ) x.g(x) g(x) x.(x ) (mod ) g(x) x G (x) ) (mod ) C (mod ) g( x) ( G(x) G( x) x.g x Et, en fasant x, la constante C s avère être égale à G() mas, d arès (9), G() 0 (mod ), d où : ( G(x) G( x) x.g ) 0 (mod ) (28) x ( 4. Dans la dérvaton, le terme.x.g ) dsarat usque est en facteur. x 5

16 De la même manère, on eut écrre 5 : d dx q(x)2 2.q(x).q (x) ( ) 2.g(x). x x 0 (mod ) sot, d arès (22) : 2.x. g(x) x + 2.( g( x) x ). x (mod ) 2.x.G(x) 2.( x ).G ( x) (mod ) d dx ( 2.x.G(x) 2.( x ).G( x)) (mod ) d où q(x) x.G(x) + 2.( x ).G( x) C 2 + C 3.x (mod ) et en fasant successvement x 0 us x, on établt que les deux constantes C 2 et C 3 sont nulles, sot : q(x) 2 2.x.G(x) 2.( x ).G( x) (mod ) (29) En substtuant mantenant 2 à x dans cette congruence, l vent : q(2) G(2) 2.( 2 ).G( ) (mod ) mas 2 et G( ) 0 (mod ) d où : sot la relatona (4) due à Sula. [2.q (2)] 2 4.G(2) (mod ) Enfn, AG établt la congruence : q (2) 2 2 (mod ) 2 G(x).(q(x) + g( x)) (mod ) (30) En multlant cette relaton ar et en substtuant 2 à x dans cette congruence, on obtent : 5. bdem.g(2) q(2) + g( ) (mod 2 ) 6

17 mas G(2) q (2) 2 q(2)2 4 (mod ) d arès le résultat de Sula, d où : g( ) q(2) +.q(2)2 4 (mod 2 ) (3) d où une relaton modulo 2 entre q(2), donc q (2), et la somme g( ). 7

18 3 Réflexons sur les résultats d Andrew Granvlle 3. Consdératons sur la méthode Le rasonnement utlsé ar AG our démontrer (23) est ntéressant dans la mesure où les fonctons dérvées consttue un esace mage, esace dans lequel l oératon utle est réalsée (oératon de congruence) avant de revenr fnalement dans l esace ntal ar ntégraton. Ce rasonnement se décomose ans en 3 artes : dérvaton de q(x), oératon de congruence us ntégraton du résultat. Il ne reste lus ensute qu à comarer les relatons de déart et d arrvée. q(x) x (x ) 4. - Comarason q(x) x (mod ). - Dérvaton 3. - Intégraton 2 q (x) x (x ) 2. - Congruence q (x) x (mod ) 0 On eut toutefos se demander s le rasonnement utlsé ar AG est toujours lcte. En effet, on eut écrre, s x 0 et x, et en alquant deux fos le théorème de Fermat : q(x) x (x ) q (x) x (x ) 0 (mod ) et, ar sute q(x) cte (mod ) s x 0 et x. Or, ce résultat est faux. Chosssons ar exemle 5. Alors q(2) 6, q(3) 42 et q(4) 56 avec resectvement comme restes, 2 et modulo. 8

19 Et cette dserson des résultats est d autant lus marquée que est grand. La rason de cette erreur est c manfeste. La dérvée d une foncton n exste que que s celle-c est contnue or x ne eut rendre que des valeurs entères, ou tout au mons ratonnelles, et est donc, ar nature, essentellement dscontnue. Par sute, on ne eut as remlacer x ar une valeur quelconque dans la dérvée de l une de ses fonctons. 3.2 Extenson des résultats relats à q (2) Sans nous attarder our l nstant sur la recherche du domane de valdté de ces oératons, alquons la méthode AG en élargssant l exlotaton de q(x). On eut écrre : q(/2) (/2) ( /2) q (2) q (2) (mod ) En utlsant la forme de q(/2) trée de (23), on obtent une nouvelle relaton d équvalence our q (2) : q (2) q(/2) g(/2).2 (mod ) (32) 9

20 On défnt mantenant la nouvelle foncton r(x) q(x + ) : On ntègre : r(x) (x + ) x r (x) (x + ) x 2 C.x x 0 2 ( ).x (mod ) 0 0 C.x r(x) 2 0 ( ). x+ + ( ) +. x + cte (mod ) + cte (mod ) En fasant x 0, on vot que la constante est nulle. D où fnalement une nouvelle relaton de congruence entre une foncton et une sére : Fasons x /2 dans r(x) : r(x) ( ) +. x r( /2) (/2) ( /2) q (2) q (2) (mod ) (mod ) (33) d où : q (2) ( ) +. ( /2).2 (mod ) 20 (mod )

21 et on retombe sur la relaton (32) c-dessus. S on fat x : r() q (2) ( ) + (mod ) on obtent la relaton (7) d Esensten. On défnt mantenant s(x) q(x+/2) (x + /2) (x /2) Alquons à s(x) la méthode AG : s (x) (x + /2) (x /2) ( ) C.x. C 2.x. 0 0 ( x).2 x.2 (mod ) 0 0 ( ) 2 Les termes de rang ar s annulant, l sufft de sommer sur, 3, 5, sot 2.j avec j varant de à (-)/2 : et, en ntégrant : ()/2 s (x) 2 x (mod ) ()/2 s(x) 2 x cte 2 ()/2 x cte (mod ) On fat x 0 our détermner la constante d ntégraton : cte s(0) (/2) ( /2) q (2) (mod ) d où : s(x) 2 ()/2 x q (2) (mod ) (34) 2

22 On utlse mantenant la valeur x 3/2 : s(3/2) 2 2 Et, fnalement : 2.q (2) 2 q (2) 6 ()/2 ()/2 S on fat x /2, s(/2) 0 condut à : sot la relaton (8) de Esensten. d où : Mas : q (2) 2 (3/2) q (2) (mod ) ()/ (mod ) (35) Mas on eut également combner ces fonctons. Par exemle : q(x) + r(x) (x + ) (x ) 2 q() + r() 2.q (2) q() + r() 2 2 et on retrouve la relaton (8) de Esensten. 2.q (2) + ( ) (mod ) ()/2 ()/ Autres relatons À artr de q() 0, on tre mmédatement : 0 (mod ) (36) 22

23 relaton démontrée ar alleurs dans l annexe relatve aux sommes de ussances. Utlsons mantenant la rorété q(x) s(x /2) r(x ). Ans : q(2) r() sot : 2 ( ) (mod ) d où : q(3/2) r(/2) sot : 2 ( ) 0 (mod ) (37) d où : q(3/2) s() sot : 3.2 q(3/2) q (3) q (2) ( ).2 (mod ) 3 ( ).2 0 (mod ) (38) 2 ( 3 3 ) 2 2 (mod ) s() 2 ()/ q (2) (mod ) d où : q (3) 3 q(3) s(5/2) sot : q(3) 3 2 s(5/2) 2 ()/ ()/2 2 2 q (2) (mod ) (mod ) (39) 3.q (3) 2.q (2)

24 d où : 3.q (3) q (2) 2 ()/ (mod ) (40) 24

25 Récatulaton des équvalences de q (2) ctées (Esensten) q (2) 2 ( ) (Esensten) q (2) ()/2 2. (Stern) q (2) (Lehmer) 2.q (2) q (2) q (2) 2 ()/2 /3 ()/2 ( ) ( ) 2. (+)/2 (Glasher) q (2) 2. (Sula) [q (2)] 2 q (2) q (2) 6 2 (mod ) (7) (mod ) (8) (mod ) (9) (mod ) (0) (mod ) () (mod ) (2) (mod ) (3) et (24) 2 2 (mod ) (4).2 (mod ) (32) ()/ (mod ) (35) 25

26 Récatulaton des fonctons utlsées et des résultats obtenus q(x) x (x ) x r(x) (x + ) x ( ) Résultats relats à q (2) q(2) 2.q (2) q (2) 2 (mod ) q(/2) q (2) (mod ) q (2) + x s(x) (x + /2) (x /2) 2 ()/2 r( /2) q (2) (mod ) q (2) 2 (mod ).2 (mod ).2 (mod ) (mod ) r() 2.q (2) q (2) ( ) + (mod ) 2 s(3/2) 2.q (2) q (2) 6 x q (2) (mod ) s(/2) 0 q (2) 2 q() + r() 2.q (2) q (2) 2 Autres résultats ()/ ()/2 ()/2 (mod ) (mod ) (mod ) q() 0 q(2) r() q(3/2) r(/2) 0 (mod ) 2 ( ) 0 (mod ) 3 ( ).2 0 (mod ) q(3/2) s() q (3) 3 ()/2 q(3) s(5/2) 3.q (3) q (2) (mod ) ()/ (mod ) 26

27 3.4 Relaton avec le derner théorème de Fermat On sat que le derner (ou grand) théorème de Fermat, arès consdératons rélmnares, s exrme sous la forme : Il ne eut as exster 3 enters relatfs x, y et z remers entre eux et tels que : x + y + z 0 avec remer > 2 (4) Pour sa démonstraton, on dstngue classquement 2 cas : Cas n : Chacun des enters x, y et z est remer avec Cas n 2 : L un des enters x, y ou z est dvsble ar Weferch a démontré en 909 que, dans le cas n, s cette relaton est vérfée alors dot satsfare la condton : Ce qu eut également s écrre : q (2) 2 2 (mod 2 ) (42) 0 (mod ) En 90, Mrmanoff a étendu le crtère de Weferch au cas 3 sot : Ce qu mlque de la même manère : q (3) 3 3 (mod 2 ) (43) 0 (mod ) D autre art 4 (2 )(2 +). Donc, s 2 est dvsble ar 2, alors 4 l est également et, ar sute : 4 (mod 2 ) q (4) 0 (mod ) Ans, s la relaton (4) est vérfée dans le cas n, alors : Mas ar alleurs, on eut écrre : q (2) q (3) q (4) 0 (mod ) (44) q(2) q (2) q(3) 3 2 q(2) + q(3) q (3) 27

28 De roche en roche, le rocessus eut être oursuv sot : q(2) + q(3) + + q(n) n.q (n) d où, sachant de lus que q() 0 : n q() n q() n.q (n) (45) 2 On suose dans ce qu sut que la relaton (4) est vérfée dans le cas n. Alors, les égaltés (44) à (45) mlquent : q(2) q(3) q(4) 0 (mod ) (46) Ans, s l on eut démontrer l mossblté de l une de ces congruences, alors on démontre du même cou l mossblté du théorème de Fermat dans le cas n. D autre art, en foncton des résultats obtenus sur q (2) et q (3), on eut, à artr de l mlcaton forte (46), d une art, et des relatons (8), (39), (35) et (40), d autre art, écrre : ()/2 ()/ ()/ ()/ (mod ) sot la relaton remarquable : ()/2 n 2. 0 (mod ) our n, 2, 3 et 5 (47) Ans, s l on eut démontrer l mossblté de l une des congruences défnes ar (47), on démontre là encore l mossblté du théorème de Fermat dans le cas n. 28

29 4 Sur la congruence q(x) + g(x) 0 (mod ) La relaton q(x) + g(x) 0 (mod ) étant suscetble de fournr une nouvelle aroche du derner théorème de Fermat (ou grand Théorème de Fermat), semble justfer une attenton toute artculère. Au vu des résultats numérques récédents (vor age 9), l ne semble as en effet llégtme de rooser la conjecture suvante : 2 ( ) (mod 2 ) s > 3 2 D arès les résultats obtenus dans notre étude Aroche élémentare du derner théorème de Fermat, s est soluton alors : 2 (mod 3 ) congruence analogue, mas en lus sévère, au crtère de Weferch. Mas ce résultat eut également s écrre : 2 0 (mod 2 ) Ans, s la conjecture c-dessus eut être démontrée et s x, y et z vérfent x + y + z 0, alors la relaton suvante dot être vérfée : (mod 2 ) s > 3 relaton dont l suffrat alors de démontrer l mossblté our démontrer le Grand Théorème dans le cas n. 4. Aroche numérque On eut d abord chercher à vérfer numérquement la dvson de q(x) + g(x) ar 2, et lus généralement ar α, en écrvant : q(x) + g(x) x (x ) + x + x2 x (mod α ) Les termes de g(x) étant fractonnares, les calculs euvent être effectués, sot en conservant la forme fractonnare, sot en enters en multlant chaque numérateur ar son nverse modulo Dans ce derner cas, l faut smlement garder à l esrt que dès lors que des congruences modulo 2 ont été utlsées, toute résultat congruent modulo α avec α > 2 29

30 Quelques résultats Le tableau suvant fournt quelques résultats calculés en valeurs fractonnares 7 : x Fgure Exosant de dans la congruence q(x) + g(x) 0 (mod α ) On vérfe d abord que seule la valeur x 2 semble ouvor vérfer les condtons : q(x) + g(x) 0 (mod ) our 3 q(x) + g(x) 0 (mod 2 ) our > 3 est sans sgnfcaton. Consdérons ar exemle le cas x 2 our 5 :. On reste d abord en valeurs fractonnares : q(2) + g(2) On utlse mantenant les nverses des numérateurs modulo 5 2 : q(2) + g(2) D arès la remarque c-dessus, ce second résultat, q(2) + g(2) 0 (mod 5 3 ), est seulement ertnent modulo Les valeurs notées en rouge corresondent aux résultats des deux congruences remarquables c-dessus. 30

31 On vérfe que our tout 3 < < 000, on a q(2) + g(2) 0 (mod 2 ). D où la conjecture : q(2) + g(2) 0 (mod 2 ) our > 3. Mas on découvre également qu l semble exster des relatons remarquables lus générales (valeurs reérées en rouge dans le tableau), ar exemle : q() + g() 0 (mod 3 ) 3 q(3 n ) + g(3 n ) 0 (mod 2.n+ ) our 3 Quelques éléments numérques. Fasons 5 : q(x) x 4 2.x x 2 x g(x) x4 4 + x3 3 + x2 2 + x Fasons 7 : q(x) + g(x) 5 4.x4 5 3.x x2 q(2) + g(2) q(x) x 6 3.x x 4 5.x x 2 x g(x) x6 6 + x5 5 + x4 4 + x3 3 x2 2 + x q(x) + g(x) 7 6.x6 4 5.x x4 4 3.x x2 q(2) + g(2) Fasons enfn : (x) x 0 5.x x 8 30.x x 6 42.x x 4 5.x x 2 x g(x) x0 0 + x9 9 + x8 8 + x7 7 + x6 6 + x5 5 + x4 4 + x3 3 + x2 2 + x (x) + g(x) 0.x x x x x x x x3 + 2.x2 q(2) + g(2)

32 4.2 Aroche analytque q(x) x (x ) ( x) + x 0 C.( x) + x C.( x) C.( x) d où l écrture du olynome q(x) + g(x) : ( ( )!( ) q(x) + g(x)!( )! + ).x (48) En rason de la forme des coeffcents du bnome, on eut écrre : ( )!!( )! C C Ans, ce olynome eut également s écrre : q(x) + g(x) ( ( ) C + ) x (forme ) ( ( ) C + ) x (forme 2) Sous chacune de ces deux formes, on eut vor drectement que chacun des coeffcents est nul modulo. En effet : ( ) C + ( ).( ) + (mod ) d arès (2) 0 (mod ) ( ) C + 0 s + (mod ) d arès (2).( ) (mod ) 0 (mod ) 32

33 Ans, tous les coeffcents du olynôme sont nuls modulo, ce qu démontre d une autre manère que q(x) + g(x) 0 (mod ). S on ose q(x) + g(x) a.x, on eut écrre : a a ( )!( ) +!( )! ( )!( ) + ( )!! sot fnalement : a + a +.( ) (49) Autres formulatons de la conjecture : La conjecture roosée s écrt : 2 (2 ) + et, arès déveloement et smlfcaton ar 2 : 2 0 (mod 2 ) s > (mod 2 ) s > 3 qu on eut encore écrre : (2) + q(2) (mod 2 ) s > 3 (50) Mas, d arès (56) : 0 (mod 2 ) s > 3 sot, en retranchant cette quantté de la forme ntale : (mod 2 ) s > 3 33

34 et enfn : 2 0 (mod 2 ) s > 3 Mas le remer terme étant nul, on ourra écrre auss : (mod 2 ) s > 3 sot, en osant j : j 2 j j + 0 (mod 2 ) s > 3 Mas on eut remonter les calculs. D où, fnalement : (2) + q(2) j 2 j j + 0 (mod 2 ) s > 3 (5) Les quanttés 2 sont des seudo-quotents de Fermat. Ils ne euvent être enters que s est remer (l s agt alors réellement un quotent de Fermat) ou s est un nombre de Carmchaël. Exemle our 7 Forme (50) ( ) Forme (5)

35 5 Sommes de ussances On se roose de calculer dverses sommes de ussances d enters. On ose ar défnton : S (n) n 5. Exosants ostfs Les S (n) euvent être obtenus de roche en roche au moyen d une formule de récurrence lant les n remères sommes. En effet, on eut écrre : S + (n + ) n ( + ) + 0 n + C j +.j 0 j0 n + C j + j j0 0 + C j +.S j(n) j0 C j +.S j(n) + S + (n) j0 Mas S + (n + ) S + (n) (n + ) +, d où : C j +.S j(n) (n + ) + (52) j0 Alqué au calcul de S 0 (n), qu est rerésentée c sous la forme formule fournt un résultat surrenant : n 0, la 0 S 0 (n) n 0 (n + ) n + Ce qu revent à dre que la forme ndétermnée 0 0, résultant de la manère dont les relatons ont été écrtes, dot être consdérée comme égale à dans 35

36 cette sute de formules de récurrence. On ourrat convenr que 0 0 mas l nous semble référable d évter cette ambguïté et de consdérer lutôt l équaton de récurrence sous la forme : C j +.S j(n) (n + ) + (n + ) (53) sot : j Alcaton, ar exemle, au calcul de S 4 (n) : 5.S (n) + 0.S 2 (n) + 0.S 3 (n) + 5.S 4 (n) (n + ) 5 (n + ) S 4 (n) (n + )5 (n + ) 5.S (n) 0.S 2 (n) 0.S 3 (n) 5 On obtent ans successvement our les 0 remères relatons : S (n) n(n + ) 2 S 2 (n) n.(n + ).(2.n + ) 6 S 3 (n) n2.(n + ) 2 S 2 4 (n) S 4 (n) n.(n + ).(2.n + ).(3.n2 + 3.n ) 30 S 5 (n) n2.(n + ) 2.(2.n n ) 2 S 6 (n) n.(n + ).(2.n + ).(3.n4 + 6.n 3 3.n + ) 42 S 7 (n) n2.(n + ) 2.(3.n n 3 n 2 4.n + 2) 24 S 8 (n) n.(n + ).(2.n + ).(5.n6 + 5.n n 4 5.n 3 n n 3) 90 S 9 (n) n2.(n + ) 2.(n 2 + n ).(2.n n 3 n 2 3.n + 3) 20 S 0 (n) n.(n + ).(2.n + ).(n2 + n ).(3.n n n 4 n n n 5) 66 36

37 Dans (53), le membre de drote est toujours dvsble ar n.(n + ). D autre art, s tous les numérateurs des S (n) avec 0 < < sont dvsbles ar n.(n + ), alors, toujours d arès (53), le numérateur de S (n) est lu-même dvsble ar n.(n + ). n.(n + ) Or, S (n). Par sute : 2 Les numérateurs des S (n) sont dvsbles ar n.(n + ) (54) Conjectures : [ ] 2 n.(n + ) S 2.+ (n) est toujours dvsble ar s 2 n.(n + ).(2.n + ) S 2. (n) est toujours dvsble ar 6 Par alleurs, on eut démontrer que le terme constant de S 2. (n) est égal au dénomnateur de B 2.. À artr des relatons c-dessus, on eut calculer des sommes dérvées. Par exemle, s on ose : S (2.n + ) (2.n + ) on eut écrre drectement : On obtendra ans : S (2.n + ) S (2.n + ) 2.S (n) S (2.n + ) (n + ) 2 S 2(2.n + ) (n + ).(2.n + ).(2.n + 3) 3 S 3(2.n + ) (n + ) 2.(2.n n + ) S 4(2.n + ) (n + ).(2.n + ).(2.n + 3).(2.n n + 5) Exosants négatfs On s ntéresse cette fos aux sommes : T () avec remer et > 0 37

38 On sat que s, dans la congruence a.a (mod ), a rend successvement toutes les valeurs de l ntervalle [, ] alors a rend également successvement toutes les valeurs du même ntervalle, mas dans un ordre dfférent. Par sute, on eut écrre, quelque sot > 0 : T () (mod ) Mas, d arès (54), le numérateur de S ( ) est toujours dvsble ar.( + ). Donc, s ne dvse as de dénomnateur de S ( ) : Mas T () En artculer, concernant T (), on eut écrre : 2.T () 2..( ) 0 (mod ) (55) ( + ) 2 2.( ). ( )..(2. ) 6.( ) (mod ) Cette dernère quantté est toujours dvsble ar sauf s 3, usqu l y a alors smlfcaton avec le dénomnateur. D où : T () 0 (mod ) s 3 (56) 0 (mod 2 ) s > 3 Exemle : T (3) / + /2 3/2 T (5) / + /2 + /3 + /4 25/2 5 2 /2 38

39 Le tableau c-arès synthétse quelques résultats numérques, concernant l exosant maxmum de dans la congruence 0 (mod n α ). n Fgure 2 Exosant de dans la congruence n 0 (mod α ) Le lecteur notera tout d abord la arenté certane entre ces résultats et ceux résumés dans la fgure age 30. On vot aaraître dans ce tableau, comme dans celu de la fgure, quelques résultats remarquables, qu semblent ermettre rasonnablement d envsager les conjectures suvantes : 39

40 Conjectures : Concernant un exosant remer : T () 0 (mod 2 ) s 3 0 (mod 3 ) s > 3 Concernant un exosant n quelconque, on a à artr d une certane valeur de au mons égale à n : T n () n 0 (mod ) s n 2. 0 (mod 2 ) s n 2. + Enfn : T 3 n() 3n 0 mod n+ 40