UE Inf242 : TP2 Unification, Arbre d exploration, Arithmétique en Prolog

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1 UE Inf242 : TP2 Unification, Arbre d exploration, Arithmétique en Prolog 31 mars 2006 On doit suivre les recommandations du premier TP, essentiellement faire un compte-rendu, commenter et tester les programmes demandés. 1 Unification 1.1 Compléments Prolog a un prédicat prédéfini qui prend deux arguments et vérifient qu ils s unifient. C est le prédicat =/2 qui peut être noté de manière infixée, autrement dit comme d habitude. La réponse de à la requête X = Y est l unificateur principal des deux termes X et Y. Le prédicat \=/2 prend deux arguments et vérifient qu ils ne s unifient pas : la requête X \= Y réussit si et seulement si la requête X = Y échoue. Attention ce prédicat n est pas un prédicat arithmétique. Il doit être distingué du prédicat arithmétique =\= comme le montrent les deux exemples ci-dessous :?- a \= b. yes?- a =\= b. uncaught exception: error(type_error(evaluable,a/0),(=\=)/2) 1.2 Tests de l unification Indiquez les réponses (où les réactions parfois brutales de gprolog) aux requêtes suivantes en expliquant les réponses ou les réactions de gprolog.?- f(x,a) = f(b,y).?- f(x,a) = f(b,_).?- f(x,a) = f(y,z).?- f(x,a) = f(x).?- f(x,y,z) = f(g(y),h(z),i(u)).?- X = a, X = b.?- X = f(y,z), Y = g(u, a), U = f(b).?- X = f(y,z), Y = g(u, a), U = h(x).?- a \= a.?- a \= a.?- A \= a.?- f(a) \= a.?- f(a) \= A.?- f(a) \= f(a).?- g(a,b,c) \= g(a,b,c). 1

2 ?- g(a,b,c) \= g(a,c).?- f(x) \= X.? = 4.? = +(2,2).? = +(X,Y).?- +(X,Y)= + (U,V).?- X = 2+2,Y is X.?- X = 2+2,X is X. 2 Les voyages forment les programmeurs Prolog On se donne la base de connaissance suivante voiture(auckland,hamilton). voiture(hamilton,raglan). voiture(valmont,saarbruecken). voiture(valmont,metz). train(metz,frankfurt). train(saarbruecken,frankfurt). train(metz,paris). train(saarbruecken,paris). avion(frankfurt,bangkok). avion(frankfurt,singapore). avion(paris,losangeles). avion(bangkok,auckland). avion(losangeles,auckland). Ecrire un prédicat voyage/2 qui détermine s il est possible de voyager d un endroit à l autre en empruntant des voitures, des trains ou des avions. Par exemple votre programme doit répondre yes à la requête voyage(valmont, raglan). Indication : La structure du programme est analogue à celle du prédicat ancetre1/2 du premier TP. Donc, en utilisant voyage/2 sur la base de connaissance ci-dessus, on peut découvrir qu il est possible de se rendre de Valmont à Raglan. Mais si vous voulez voyager, il serait bien de connaitre le trajet à faire. Ecrire un prédicat voyage/3 qui vous indique comment aller d un endroit à un autre.?- voyage(valmont,paris,aller(valmont,metz,aller(metz,paris))) yes.?-voyage(valmont,losangeles,x) X = aller(valmont,metz,aller(metz,paris,aller(paris,losangeles))). Étendre le prédicat voyage/3 pour qu il vous indique non seulement le chemin permettant d aller d une ville à une autre, mais aussi les moyens (voiture, train, avion) utilisés sur ce chemin.?- voyage(metz,losangeles,x) X = aller(metz,paris,train,aller(paris,losangeles,avion)) 2

3 3 Prolog et les menus Pour composer des menus, on écrit une base de données comportant les faits suivants : entree(salade,5). % La salade est une entrée coûtant 5 euros entree(soupe,2). plat(poulet,10). dessert(glace,5). dessert(fruit,2). Définir le prédicat menu/4 spécifié par : menu(e,p,d,c) réussit si E est une entrée, P un plat principal, D un dessert et le coût total du menu est au plus égal à C. Poser différentes requêtes, dont menu(e,p,d,15), et indiquez les réponses obtenues. Dessiner l arbre d exploration de la requête menu(e,p,d,15). Indiquez la trace gprolog de cette requête. 4 Arithmétique 4.1 Pgcd Ecrire le prédicat pgcd/3 ainsi spécifié : X et Y doivent être liés à des entiers positifs non nuls. pgcd(x,y,d) réussit si D est le plus grand diviseur commun de X et Y On rappelle que si X < Y alors le pgcd de X et Y est égal au pgcd de X et de Y - X. Tester votre prédicat, en exécutant au moins les deux requêtes pgcd(13,5,d) et pgcd(6,4,d). Dessiner l arbre d exploration de la requête pgcd(6,4,d). 4.2 Combinaison Ecrire le prédicat comb/3 ainsi spécifié : N et P doivent être liés à des entiers positifs ou nuls vérifiant P <= N comb(n,p,d) réussit si D est le nombre de sous-ensembles ayant P éléments d un ensemble à N éléments, autrement dit si D = CN P On rappelle que : CN 0 = 1 CN P = (N CP 1 N 1 )/P si P > 0 Tester votre prédicat et mettre au compte-rendu quelques tests significatifs. Attention : il y a une suite à faire en utilisant notamment le temps des TPs non encadrés. 3

4 5 Programmer en economisant du temps et de l espace 5.1 Factorielle : économie d espace. Le calcul de n! est présenté de deux façons avec des notations fonctionnelles : 1. calculs après l appel récursif (a) f (0) = 1 (b) f (1) = 1 (c) f (n) = n f (n 1) si n > 1 Traduisons cette fonction en prolog sous la forme d une relation. On obtient le prédicat fact1/2 spécifié par : lorsque N est un entier positif ou nul, fact1(n,r) réussit si R = N! et programmé par les trois règles : fact1(0,1). fact1(1,1). fact1(n,r):- N > 1, NM1 is N-1,fact1(NM1,R1),R is N*R1. 2. calculs avant l appel récursif On utilise un accumulateur a pour faire les multiplications. Pour calculer (n 1) n il y a deux possibilités, faire les multiplications de droite à gauche ou de gauche à droite. On choisit la solution du calcul de gauche à droite, qui est plus simple dans notre cas. (a) f (n) = g(n,n) si n > 1 L accumulateur est le deuxième argument de g et vaut initialement n dans le calcul de gauche à droite. (b) g(2,a) = a En effet si g(n,n) fait exécuter g(2,a) alors a vaut n!. (c) g(n,a) = g(n 1,a (n 1)) si n > 2 L accumulateur accumule les résultats des multiplications, ce qui fait que g(n, a) = a (n 1)! si n > 2 Traduisons ces fonctions en prolog par les deux prédicats fact2/2 et factacc/3. La spécification de fact2/2 est identique à celle de fact1/2. Le prédicat factacc/3 est spécifié par : lorsque N est au moins égal à 2 et lorsque A est un entier positif ou nul, factacc(n,a,r) réussit si R = A*(N-1)! Le programme de calcul est : fact2(0,1). fact2(1,1). fact2(n,r):- N > 1, factacc(n,n,r). factacc(2,a,a). factacc(n,a,r) :- N > 2, NM1 is N-1, A1 is A * NM1, factacc(nm1,a1,r). Comparez les traces et les temps de calculs indiqués sur les traces pour (au moins) les deux requêtes fact1(10,r) et fact2(10,r). 5.2 Suite de Fibonacci : économie de temps et d espace Le programme trival Vous connaissez certainement la suite F i de Fibonacci : F 0 = F 1 = 1 F n = F n 1 + F n 1 si n > 1 On peut transcrire cette définition en prolog grâce au prédicat fib1/2 ainsi spécifié : Lorsque N est lié à un entier positif ou nul, fib1(n,r) réussit si R = F n. Ce prédicat peut être programmé par les règles : 4

5 fib1(0,1). fib1(1,1). fib1(n,r) :- N > 1, NM1 is N-1, fib1(nm1,r1), NM2 is N-2, fib1(nm2,r2),r is R1+R2. Lorsque N vaut n, le nombre d appels de fib1 dans la trace de la requête fib1(n,r) est c(n) où c(0) = 1 c(1) = 1 c(n) = 1 + c(n 1) + c(n 2) si n > 1 ce qui comprend l appel de la requête et ses appels récursifs induits. Prouver que c(n) = 2 F n 1. Vérifier sur des exemples que la fonction c compte corretement le nombre de lignes de la trace commençant par Call:fib1 en observant les traces des requêtes fib1(4,r) puis fib1(5,r) Les économies Le programme précedent répète les mêmes calculs. On peut éviter ces calculs répétés en calculant et conservant deux termes successifs de la suite. On utilise aussi la technique de l accumulateur pour gagner en espace : soit g(n,u,v) = g(n 1,v,u + v) si n > 0 On a donc pour tout i où i n : g(n,1,1) = g(n i,f i,f i+1 ) Par suite pour i = n 1, on a g(n,1,1) = g(1,f n 1,F n ) posons g(1,u,v) = v On a g(n,1,1) = F n si n > 0 On peut transcrire cette définition en prolog grâce au prédicat fib2/2 spécifié comme fib1/2 et au prédicat fibacc/4 ainsi défini : fib2(0, 1). fib2(n, R) :- N > 0, fibacc(n,1,1,r). fibacc(1,u,v,v). fibacc(n,u,v,r):- N > 1, NM1 is N-1, NU = V, NV is U+V, fibacc(nm1,nu,nv,r). Comparez en longueur les traces des requêtes fib1(6,r) et fib2(6,r) et observez ces traces. Comparez les temps de calcul des requêtes fib1(20,r) et fib2(20,r). Peut-on exécuter fib1(30,r)? Peut-on exécuter fib2(30,r)? 5