CONCOURS COMMUN 2010 PHYSIQUE

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1 CONCOUS COMMUN SUJET A DES ÉCOLES DES MINES D ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Corrigé Barème total points : Physique points - Chimie 68 points PHYSIQUE Partie A : Étude de deux mouvements circulaires (54 points) A.. Mouvement d un point matériel sur un rail circulaire (7 points) A... Inventaire et projection : Le poids N N ( point) e r P mg cosθ e mg sinθ e et la réaction normale r θ ( point pour le schéma complet, sinon) A... On applique la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel galiléen. L accélération du point s écrit a θ e θ θ ² er. En projection sur la direction orthoradiale afin d éliminer la norme de la réaction normale qui nous est inconnue : θ g + sin θ ( points) A.. Un développement limité à l ordre de la fonction sinus nous ramène à une équation différentielle d oscillateur harmonique : θ g + θ. ( point) g g On en cherche la solution, par exemple, sous la forme θ Acos + t Bsin t. ( point) CONCOUS COMMUN SUP DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Page /

2 N.B. : On acceptera une recherche des solutions de la forme a cos g t + b V Les conditions initiales θ ( ) et θ ( ) mènent à : V g θ ( t) sin t ( points) g A..4. On applique la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel galiléen. On arrive à : λ θ + g θ + θ ( points) m λ g A..5. Le polynôme caractéristique associé à l équation différentielle précédente s écrit : r² + r + m doit avoir son discriminant strictement négatif, ( point) ce qui mène à la condition : g λ < m ( point) λ g λ² A..6. Les solutions du polynômes caractéristiques sont complexes conjuguées : ± j. On m 4m² m g λ² aura ainsi τ ( point) et Ω. ( point) λ 4m² t On cherche alors la solution sous la forme exp [ c cos( Ωt) + d sin( Ωt) ]. À l aide des conditions initiales, τ on obtient bien la forme annoncée avec : A V.( points) λ² g 4m² A..7. t exp sin( Ωt) θ ( t) T T δ ln ln τ λ mδ. On en tire λ.( points) θ ( t + T ) ( t + T ) τ m T exp sin( Ω( t + T )) τ On lit graphiquement T 4, ms et δ ln ( point pour les deux lectures graphiques). D où λ 5ln() 5 N.s.m - avec l aide au calcul. ( point, si pas d unité ou unité fausse) A..8. Seuls les référentiels en translation rectiligne uniforme par rapport à galiléen restent galiléen. Ce n est pas le cas de '. ( point) A..9. La relation fondamentale de la dynamique dans un référentiel non galiléen ' s écrit : ma( M ) / ' F mae ma c ( point) Avec : ( point) - a ( M ) / ' : l accélération du point matériel calculée par rapport au référentiel non galiléen ; - F : la résultante des forces appliquées ; - a e : l accélération d entrainement de ' par rapport au référentiel galiléen, d entraînement ; - a c : l accélération de Coriolis, ma c : force d inertie de Coriolis ma : force d inertie CONCOUS COMMUN SUP DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Page / e

3 A...i. On étudie un équilibre relatif : la vitesse relative est nulle, donc l accélération de Coriolis Ω v( M ) / ' est nulle ( point). La force d inertie d entraînement, dans le cas d un mouvement a C relatif de rotation uniforme s écrit m ω ² HM, avec H le projeté orthogonal de M sur l axe (Oz).( point, on acceptera aussi la réponse si cette dernière force est exprimée par ses composantes dans la base locale) A...ii. En projetant la somme des forces nulles sur la direction orthoradiale, on obtient : mg sin θ + m sinθ cosθ, qui se simplifie en : g cosθ, d où : g ω rad.s -. ( point pour la formule littérale, point pour l application numérique cosθ accompagnée de son unité). A.. Mouvement d un proton dans un cyclotron (7 points) A... Étude du mouvement dans les Dees A... Le proton ne subit que la partie magnétique de la force de Lorentz, dont la puissance est nulle. D après le théorème de l énergie cinétique, il n y a pas de variation d énergie cinétique. Le mouvement est donc uniforme. ( points) A... Voir feuille annexe, la trajectoire orientée donne la direction des vecteurs vitesse, la concavité celle des forces et le champ magnétique s en déduit. ( points :,5 par élément représenté) A... Par application de la relation fondamentale de la dynamique à un proton, dans le référentiel dv galiléen du laboratoire, on obtient : m ev B qui se projette en : dt V x ωcvy ( points) V y ω cvx A...4. Il s agit d intégrer le système d équation différentielles couplées. Aucune méthode n est exigée. Les candidats pourront se servir d une variable auxilliaire complexe ou intégrer l une des équations et reporter dans l autre. En fin de calcul, on aboutit à : V x( t) sin( ωct) ωc (4 points) V y( t) [ cos( ωct) ] ωc En éliminant le temps entre les deux, on aboutit à l équation d un cercle de rayon : V V x² + y +. ( points) ωc ωc A...5. On a immédiatement : d πn. ( points) A...6. Le mouvement étant uniforme, ton. ( points) t d V n d n ω c mπ, indépendante de la vitesse du pro- eb CONCOUS COMMUN SUP DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Page /

4 A... Étude du mouvement entre les Dees A... Dans les deux cas le champ électrique a la direction de l axe des abscisses. Pour le passage de A à A, il est orienté dans le sens des x croissants, pour le passage de B à C, il est orienté dans le sens des x décroissants. ( points) Le champ électrique est orienté dans le sens des potentiels décroissants.. Pour le passage de A à A, u(t) >, pour le passage de B à C, u(t) <. ( points) A... Voir feuille annexe. ( points) A... Pour synchroniser le passage des particules de l entre-dee et les maxima de la tension accélératrice, il faut que la demi-période de u(t) soit égale à t : T t, ( points) donc : eb f ( points) t mπ Partie B : Circuit électrique anti-résonant (4 points) B.. Questions préliminaires ( points) B... La résonance en intensité est le phénomène qui consiste en le passage de l amplitude de l intensité par un maximum à une pulsation donnée. ( point) Par analogie, l antirésonance en intensité est le phénomène qui consiste en le passage de l amplitude de l intensité par un minimum à une pulsation donnée. ( point) LC + jcω B... Dans le cas du circuit,l,c série Z + jlω +. ( points) jcω jcω ( LC )² + ² C² Puis Z (ω) ( point) Cω B... Z (ω) est minimum à la résonance en intensité dans le circuit. ( points) Ceci se produit pour ω. ( points) Z, réel à la résonance, l intensité et la tension aux bornes du conducteur ohmique sont donc en phase à la résonance en intensité. ( LC points) B.. Étude du circuit anti-résonant (9 points) ( + jlω) jcω + jlω B... Z.( points) ( LC) + jcω + + jlω jcω ² B... D où : Z ²( ω) ( points) ( LC)² + ² C² B... i. Numériquement, ² C / L -6 <<. ( points) ω avec B... ii. En faisant alors un DL au deuxième ordre, on arrive à ω ( f (, L, )) ² C f (, L, C). (4 points) L B... iii. Numériquement, f (, L, C),5. -. ( points) D où : ω ' ω.( points) ' C CONCOUS COMMUN SUP DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Page 4/

5 B..4. Z (ω) tend vers Ω en et vers en l infini. ( points) En ω ', l extremum de Z (ω) est un maximum avec Z ( ') L L² ω Z m + 7 Ω ( points) dans C ² C² notre approximation. Le circuit admet donc bien une antirésonance en intensité. ( point) Schéma des variations de Z (ω) : ( point) B..5. En exprimant u AB de deux manières différentes : ( LC ω ² + jcω) i' i ( points) i i' ( + jlω) i'.ou encore : jcω B..6. À l antirésonance, elle se simplifie en L jc ω i' i, puis I' I I. ( points) C B..7. Pour (C ) Y ' + j Cω et pour (C ) ' L' ω jlω Lω Y ( ω) + jcω + jcω + j Cω. On a équivalence + jlω ² ² ² entre les deux circuits si : Y Y ',( point) soit : ² ² ' ( point) et L'. ( point) L En se plaçant au voisinage de l antirésonance, cela se simplifie en : L L' ² C + L L, H et ' + 7 Ω ( point) C Partie C : Le refroidissement en thermodynamique (8 points) C.. Détente d un gaz d un l atmosphère (9 points) C... La transformation que subit la mole de dioxygène est irréversible (car brusque) ( point) et adiabatique (car le temps de relaxation des échanges thermiques est beaucoup plus long que celui d une mise à l équilibre mécanique) ( point). C... Transformation adiabatique et gaz diatomique : U 5 ( T ' T ) W T ' P P T P, avec P P on aboutit à T T 4 K (4 points : pour l écriture correcte du premier principe et l expression de W, pour la simplification en T (6/7)T et pour l application numérique avec unité). du P C... D après l identité thermodynamique ds + dv, passée en variables T et P : T T m dt dp m T ' P ds CP. D où S CP ln ln. ( points) T P T P CONCOUS COMMUN SUP DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Page 5/

6 C.. Climatisation d un local (5 points) C... Le cycle est décrit en sens trigonométrique, il est bien récepteur. ( point) ( points pour le diagramme) C... Pour une isobare T cste, V diminue donc T diminue. ( point) V C... Sur les adiabatiques, il n y a pas de transfert thermique : Q Q 4. 7 Sur les isobares, le transfert thermique est égal à la variation d enthalpie : Q ( T T ) 7 Q 4 ( T T 4 ) ( points 4*,5) C..4. Pour un climatiseur le but est le refroidissement et on paye le travail du cycle : Q4 Q4 η ( points) W Q Q 4 C..5. Avec P P, P 4 P ( point), η γ γ a.( points) T γ γ γ γ P T P et T γ γ γ γ P T4 P4 ( points) on montre que C.. Utilisation des transitions de phase de l eau (4 points) C... Il va y avoir évaporation de l eau car la pression de l eau vapeur doit augmenter pour tendre vers P sat.. Le liquide va alors fournir de la chaleur pour réaliser ce changement d état, il va se refroidir. ( points) C... Au vu de la valeur numérique de T, très peu d eau va s évaporer. Le volume de liquide reste quasiment constant. ( points) V P C... En considérant l eau vaporisée comme un gaz parfait qui occupe V, sat M eau m e, v. ( 4 4T point) CONCOUS COMMUN SUP DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Page 6/

7 V C..4. On a m liquide V ρ, puis ρ cp T Lvme, v ( points) 4 4 Avec T T d après l hypothèse : On en déduit T L M V eau ρt Psat,. c P K en utilisant l aide au calcul. ( points) C..5. L eau s évapore. Le système d évacuation empêche la vapeur d eau d atteindre P sat. L évaporation se poursuit donc jusqu à ce que : - soit on ait épuisé toute l eau ; - soit on ait atteint le point triple. ( point) C..6. m c P dt dm L V ( points) C... c P b a bt m( T ) m a bt ( points) CHIMIE Partie D : À propos de l élément calcium (4 points) Abondance et propriétés de l élément calcium (4 points) D.. Ca : s² s² p 6 s² p 6 4s² ( point) Ca + : s² s² p 6 s² p 6 ( point) D.. Le calcium se trouve dans la deuxième colonne de la classification périodique, ( point) il fait partie de la famille des alcalino-terreux. ( point) D.. D.4. D... La coloration rose indique la présence de la phénolphtaléine sous sa forme basique, le ph est donc supérieur à. La solution finale est donc basique. ( points) D... Avec les couples indiqués en donnée : + Ca Ca + e ( points) + H + e H Le milieu étant basique, on réécrit la seconde : H O + e - H + OH - D où : + Ca + H O Ca + OH ( points) ( s ) ( aq) ( aq) + H ( g ) 4 D.4.. m Ca M ( Ca) g ( points) 4 M ( Ca ( PO ) ) CONCOUS COMMUN SUP DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Page 7/ 4 D.4.. En an, on renouvelle /5 4 g de calcium. Chaque jour, on doit renouveler 4/6,666 g de calcium, donc boire 666/ (666/), 6 L de lait par jour. ( points)

8 Étude de la dureté d une eau (8 points) D.5. Mise en évidence de la présence d ions calcium + + D.5.. Ca + CO4 CaCO4( s).( points) Il y a précipitation si [ Ca ] [ CO4 ] K S ( points) D.5.. Faisons l hypothèse V m << V, + CVm Il y a précipitation pour [ Ca ] K S,( point) avec l hypothèse : V + V K SV Vm ml. ( point) L hypothèse était correcte. ( point) Le test à l oxalate est + [ Ca ] C pertinent.car une goutte d oxalate d ammonium suffit à déceler la présence d ions calcium. ( point) m D.5.. H C O 4 / HC O 4 - ( point)et HC O 4 - / C O 4 - ( point) ( points) D.5.4. Au ph d une eau usuelle, l ion oxalate est bien l espèce majoritaire car 7 > 4, +. ( point) D.6. Dosage des ions calcium et magnésium D.6.. ( points : pour le schéma et pour les annotations) D.6.. Ca + + Y 4- CaY - ( point)et Mg + + Y 4- MgY - ( point) CONCOUS COMMUN SUP DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Page 8/

9 D.6.. À l équivalence, [Ca + ] eau +[Mg + ] eau C V V eau,7. mol.l -. ( points) D.6.4. d 7, l eau est très dure. ( points) D.7. Dosage sélectif des ions Ca + Sur un nouvel échantillon d eau de V eau 5, ml, on ajoute de la soude à 5 mol.l - jusqu à ph environ. On ajoute un peu de NET et on dose l échantillon par l EDTA comme précédemment. On mesure un nouveau volume équivalent V 4, ml. D.7.. En utilisant la condition de précipitation, on calcule les ph d apparition de : - Ca(OH) (s) ph >,8( points) - pour Mg(OH) (s) ph >,( points) Graphe récapitulatif : ( point) D.7.. [Ca + ] eau, C V 4,. V eau mol.l - ( points) Partie E : Le dihydrogène et son utilisation (6 points) E.. Étude d une pile à combustible (8 points) [ H + ]² E... H + (aq) + e - H (g) ( point) E, log ( point) P( H ) E... O (g) + 4H + (aq) + 4e - H O ( point) E E + (,6/4) log (P(O ).[H + ] 4 ) ( point) E... H (g) + O (g) H O ( point) E E E ( point) E + (,6/4) log (P(O ).P(H )²) ( point), V. ( point) E.. Synthèse de l ammoniac (7 points) E... r H ( 98 K) E( N N) -6 E( N H ) + E( H H ) ( point) - 5 kj.mol - ( point)<. La réaction est endothermique. ( point) E... D après la loi de Hess et la nullité des enthalpies de formation des corps simples dans leur état standard H NH ) H ( 98 K) / 5 kj.mol -. ( points) f ( r E... Industriellement, la réaction a lieu à 798 K. 798 r H (T ) r H ( 98 K) + rcpdt ( point) ( 5) - 8 kj.mol - ( point) CONCOUS COMMUN SUP DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Page 9/

10 E.. Cinétique de décomposition de l ammoniac ( points) E... d[ NH ] n k[ NH ] ( points) dt E... En intégrant par séparation des variables : n ([ NH ] + ( n kt) n [ NH t ]( ) ) ( points) E... t n P k( n) T n (4 points) E..4. En traçant lnp en fonction de ln t / on obtient une droite de pente -n. On reporte dans la relation précédente pour avoir k. ( points) Correction annexe CONCOUS COMMUN SUP DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Page /

11 CONCOUS COMMUN SUP DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Page /

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