DOSSIER N 22. Exemples d étude de configurations faisant l objet de constructions

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1 DOSSIER N 22 Question : Présenter un choix d exercices sur le thème suivant : Exemples d étude de configurations faisant l objet de constructions géométriques à la règle et au compas. Consignes de l épreuve : Pendant votre préparation (deux heures), vous devez rédiger sur les fiches mises à votre disposition, un résumé des commentaires que vous développerez dans votre exposé et les énoncés de vos exercices. La qualité de ces fiches interviendra dans l appréciation de votre épreuve. Le terme exercice est à prendre au sens large ; il peut s agir d applications directes du cours, d exemples ou contre-exemples venant éclairer une méthode, de situations plus globales ou plus complexes utilisant éventuellement des notions prises dans d autres disciplines. Vous expliquerez dans votre exposé (25 minutes maximum) la façon dont vous avez compris le sujet et les objectifs recherchés dans les exercices présentés : acquisition de connaissances, de méthodes, de techniques, évaluation. Vous analyserez la pertinence des différents outils mis en jeu. Cet exposé est suivi d un entretien (20 minutes minimum). nnexes : Vous trouverez page suivante, en annexe, quelques références aux programmes ainsi qu une documentation conseillée. Ces indications ne sont ni exhaustives, ni impératives ; en particulier, les références au programme ne constituent pas le plan de l exposé. 1

2 2 NNEXE DU DOSSIER N 22 Références aux programmes : Extraits de programmes de collèges et lycée : Collège : la représentation géométrique d objets usuels du plan et de l espace (...) demeurent un des objectifs majeurs ; s y ajoute la caractérisation de certains d entre eux. Première S : Toutes les transformations connues seront utilisées dans l étude des configurations, (...) et dans la recherche de problèmes de construction, en particulier au travers des logiciels de géométrie. Première L (Option Math) : Constructions et tracés (à la règle et au compas). Construction des polygones réguliers à n cotés (pour n = 3, 4, 6, 8, 12). Problèmes de constructions. Documentation conseillée : On s appuiera sur les transformations étudiées jusqu en seconde, y compris les agrandissements et réductions ; on rappellera avec précision les propriétés utilisées. On utilisera les propriétés des angles géométriques (y compris le théorème de l angle inscrit). On traitera des exemples tels que cercle de rayon donné passant par un point donné et tangent à une droite donnée (ou tangent à deux droites) ; cercle tangent à trois droites données ; triangle équilatéral inscrit (resp. circonscrit dans un triangle donné ; construction de figure semblables à une figure donnée ; carré inscrit dans un demi-disque, dans un triangle ; tangente commune à deux cercles. Dans tous ce paragraphe, on articulera avec soins tracés effectifs et justifications. On utilisera en particuliers les logiciels de géométrie : ceux-ci dispensent des problèmes de tracés et leur utilisation nécessite l explicitation a priori des propriétés traduisant l énoncé. Cette utilisation s intègre donc tout à fait dans la démarche de démonstration souhaitée ici. On pourra expliciter la méthode qui consiste à abandonner dans un premier temps une des contraintes du problème. Manuels de Collège et Lycée, manuel de pratique destinés aux enseignants. nnales du brevet, de baccalauréats.

3 3 Il ne s agit en aucun cas d une correction, mais seulement de mon point de vue sur le sujet. Le problèmes de construction à la règle et au compas sont des problèmes anciens qui ont susciter, jusqu au 19ème siècle, de nombreuses recherches et développements. C est ainsi qu ils sont à l origine de l invention de courbes autres qu arcs de cercles ou portions de droites : la cissoïde de Diocles a été conçue pour répondre au problème de duplication du cube (voir aussi la trissectrice de MacLaurin). Et ce n est qu avec le développement de la théorie des extensions de corps due à E. Galois que ces problèmes ont trouvé un cadre algébrique adapté permettant de caractériser les constructions possibles ou impossibles. Il s agit dans ce dossier de donner un aperçu de la richesse de ces problèmes, ce qui conduit immanquablement à un travail formateur sur le raisonnement. Ces exercices de construction joueront aussi un role important dans la bonne appréhensions, à travers leurs constructions, des objets géométriques et des transformations rencontrés tout au long du cursus scolaire. La connaissance d une méthode de construction d une configuration ou de l image d un point par une transformation donne en effet des informations précieuses. Elle fait quelquefois partie des exigibles et donne une idée significative du niveau de compréhension, par l élève, de la notion étudiée. L étude de ces problèmes de construction a donc, au fil de la scolarité trois intérêts majeurs : familiariser les élèves avec les objets géométriques élémentaires ; proposer des activités à même de les initier au raisonnement ; les initier, par la suite, au caractère épistémologique de ces activités. Nous allons dans un premier temps nous intéresser à la nature des activités que nous allons mener. Nous verrons ensuite, à travers la description de la méthode par analyse et synthèse, la relation qu il y a entre études de configurations et problèmes de construction. I. Constructions à la règle et au compas. Un problème de construction demande d élaborer un algorithme de construction d une configuration finale F vérifiant un ensemble de contraintes, à partir d une configuration initiale I vérifiant des propriétés données. Ces constructions doivent respecter un certains nombre de règles fixées au préalable. Dans notre cas, il s agit de construire les nouveaux points par intersections de droites ou de cercles constructibles à partir des points déjà construits. Résoudre ce problème de construction revient donc à construire successivement les points de F \ I, quitte à passer par la construction de points auxiliaires. On passe ainsi par une succession de configurations C 0,..., C n telles que : C 0 = I et F C n. Respecter les règles de construction signifie alors que chaque point de C i \ C i 1 est obtenu d une des façons suivantes : c est un point d intersection de deux droites passant chacune par deux points distincts de C i 1 ;

4 4 c est un point d intersection d une droite passant par deux points distincts de C i 1 et d un cercle centré en un point et passant par un point de C i 1 ; c est un point d intersection de deux cercles centrés et passant par des points de C i 1. Répondre à un problème de construction, c est donc élaborer un algorithme. La longueur de cette algorithme donnera une bonne évaluation de la difficulté de notre problème (tracer le milieu d un segment est de longueur 2). Pour diminuer le nombre de pas de nos algorithmes, on pourra s appuyer sur des constructions exigibles (des macros) comme le tracé du milieu d un segment, de l image d un point par une transformation... On pourra aussi mettre en pratique ce coté algorithmique dans l implémentation de ces programmes de construction à l aide de logiciels de géométrie dynamique. II. Constructions et études de configurations. Comme nous l avons vu précédemment, nous devons élaborer un algorithme de construction. Pour ce faire, la stratégie le plus communément adoptée est celle de l nalyse et Synthèse. Il s agit d un raisonnement par conditions nécessaires, puis suffisantes. utrement dit, on procède à une double implication. nalyse : elle consiste à faire l étude de la configuration que l on cherche à obtenir. Quand cette étude aboutit, les points de F \ I sont caractérisés par des propriétés d incidence de cercles et de droites constructibles. On obtient ainsi, par condition nécessaire, des caractérisations des points de F : si on peut construire F, alors ses points vérifient ces propriétés caractéristiques. Il se dégage de cette analyse un algorithme de construction. Synthèse : Il s agit de la réciproque de l analyse. On vérifie que l algorithme de construction aboutit bien, sans bug, à la configuration que l on désire obtenir. Pour cela, il faut vérifier que les points successivement construits sont bien définis. On obtient alors une configuration construite (ie : issue de l algorithme de construction) et on montre qu elle possède toutes les propriétés d une configuration finale. De ce fait, la résolution d un problème de construction conduit, le plus souvent, à deux études de configurations : la configuration finale et la configuration construite. On peut noter qu il est fréquent de transformer un exercice d étude de configuration (quand il est assez rigide) en exercice de construction. Inversement, on peut simplifier un exercice de construction en le transformant en exercice d étude de configuration, quitte à donner oralement l algorithme de construction. Les problèmes de construction étant intimement liés à des études de configurations, il n est pas étonnant de voir tous les outils d étude de configuration y intervenir : transformations, barycentres, aires, cas d égalité ou de similitude... vec la certitude de l impossible exhaustivité pour un thème aussi riche, j ai essayé d en donner ci-dessous un aperçu représentatif en essayant aussi de mettre en avant le coté épistémologique du thème.

5 5 EXERCICES : Exercice 1 : la règle ou au compas. elin 2de (00), n 85 et 89 page ) On se donne une droite, un point et son symétrique par rapport à. Soit un point. Comment tracer, à la règle seule, le symétrique de par rapport à? 2-) Comment tracer au compas seul le symétrique d un point par rapport à une droite? Exercice 2 : Utilisation d une rotation. réal 1ère S, n 90 page 312. Soit P un point. On se propose de construire un triangle C, isocèle et rectangle en et tel que P = 2P et P C = 3P. Remarquons que si il y a une solution, elle n est pas unique puisque son image par toute homothétie ou rotation de centre P est une autre solution. 1-) Pour résoudre notre problème, on suppose la figure réalisée et on utilise la rotation de centre qui envoie C sur. Cette rotation envoie P sur un point noté P. Montrer que P = 3P. 2-) Justifier le programme de construction suivant : on se fixe une longueur a ; on trace les cercles C et C de centre P et de rayons respectifs a et 2a ; on choisit un point sur C ; on trace l image P de P par une rotation de centre et d angle + / π 2 ; on trace le cercle C de centre P et de rayon 3a ; le cercle C coupe C en deux points ; on nomme un de ces deux points ; on trace C image de par la rotation de centre qui envoie P sur P. P C

6 6 Exercice 3 : Quadrature du rectangle. Delagrave 2de (00), n 38 page ) Soit C un triangle rectangle en, H le pied de sa hauteur issue de. Pourquoi les triangles H et CH sont-ils semblables? En déduire que H 2 = H CH. 2-) Expliquer en quoi la figure ci-contre propose une solution du problème de quadrature d un rectangle. D E C Exercice 4 : Quadrature du rectangle - bis. Soit CD un rectangle. On se propose de construire un carré de même aire. 1-) Soit CD un rectangle tel que = a F et C = b. On considère E, F et G tels que EF G soit un carré de même aire et tel que E soit un triangle rectangle en. Soit G F et G les points d intersection respectifs de F (F G) avec (C) et (D) et K le point de la demi-droite [, ) tel que K = C = b. a) Justifier le fait que le parallélogramme EF G a même aire que CD. b) En déduire que EF = C = K. G E c) Montrer que les triangles EF F et EK sont isométriques. d) En déduire que E appartient au cercle de diamètre [, K]. 2-) Justifier le programme de construction suivant : on trace le point K de la demi-droite [, ) tel que K = b ; on trace le demi-cercle de diamètre [, K] D C K contenu dans le demi-plan bordé par () et ne contenant pas C ; on note E le point d intersection de ce demi-cercle avec la droite (C) ; on trace le carré EF G contenu dans le demi-plan bordé par (E) et ne contenant pas K. Exercice 5 : Publicitaire ou statue de la liberté. Terracher 1ère S (01), n 110 page 136. On se donne une droite, un point n appartenant pas à et une point appartenant au demi-plan ouvert bordé par et contenant. Comment construire un cercle passant par et et tangent à la droite?