Étude du drainage inversé par électro-osmose dans un film de savon

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1 Master Sciences de la Matière Stage Avril-Juillet 01 École Normale Supérieure de Lyon Université Claude Bernard Lyon I M Physique Étude du drainage inversé par électro-osmose dans un film de savon Résumé : Étudier les écoulements nano-fluidiques dans les films de savon est relativement simple à mettre en œuvre. Nous avons voulu ici mettre en évidence un phénomène nano-fluidique couplant différence de potentiel et débit de fluide : l électro-osmose. Un film coincé entre deux électrodes horizontales est soumis à une différence de potentiel, qui est à l origine d un mouvement de liquide, les parois du film étant chargées. Un montage optique et un autre électrique nous permettent de remonter aux caractéristiques géométriques du film,à la quantité de liquide qui le traverse et surtout à son épaisseur. Nous observons en effet un gonflement des films sous l effet de l électro-osmose. La variation d épaisseur avec le champ est ensuite mise en regard avec la théorie de Landau- Levich-Derjaguin relative à l arrachage d une plaque d un bain. Le débit de liquide à travers le film est également scruté tout comme une caractéristique de la surface du film : le potentiel zéta. Mots-clés : Nano-fluidique, films de savon, théorie de Landau-Levich-Derjaguin, conductivité ionique, électro-osmose, bord de Plateau, potentiel zéta. Stage encadré par : Anne-Laure Biance / Tél. : (+33) Oriane Bonhomme / Tél. : (+33) Laboratoire de Physique de la Matières Condensée et Nanostructures Domaine Scientifique de la Doua, Bâtiment Léon Brillouin 43 Boulevard du 11 Novembre 1918 F 696 Villeurbanne, France

2 Remerciements Avant toute chose, je tiens à remercier chaleureusement Anne-Laure et Oriane. Anne-Laure pour m avoir proposé ce stage captivant et m avoir fait découvrir l aspect expérimental de la nanofluidique. Je la remercie également pour sa disponibilité, son écoute et sa bonne humeur inaltérable. Ce fut un plaisir de travailler chaque jour aux côtés d Oriane, tant sur les manips que durant les analyses et la réflexion.je la remercie d avoir toujours été là pour m aider, me guider, pour dégoter du matériel. Je salue également sa jovialité et son entrain pour la discipline qu elle m a si bien transmis. Je tiens par ailleurs à remercier Alfonso San Miguel de m avoir accueilli dans son laboratoire, et Lydéric Bocquet de m avoir accueilli au sein de son équipe. Je remercie également les services administratifs et informatiques pour leur aide. Un grand merci à toute l équipe Interfaces pour leur accueil et leur bonne humeur; et en particulier Alessandro pour l organisation des séminaires, Rémy pour la fabrication des plaques, Baudouin pour l organisation des foot ainsi que toutes les personnes qui travaillent sur le MEB pour avoir amené encore plus de vie au sous-sol. Plus généralement, merci à tout le personnel du LPMCN pour son accueil chaleureux. Enfin, je remercie ceux avec qui j ai partagé tous mes repas : Loulou, Alex, JD, Daniel, Barbeuk et les petits L3 (Graoult, Jacky, Sylvain, Justin, Antoine, Quentin). Un grand merci également à Lucie pour son soutien et pour s être levée tous les matins avec moi bien qu en vacances!

3 Table des matières Introduction 1 1 Contexte physique : nano-fluidique et films de savon 1.1 Nano-fluidique et électro-cinétique Nano-échelles : la double couche de Debye Électrocinétique : conductivité ionique et électro-osmose Les films de savon : des nano-canaux très pratiques Structure d un film Épaisseur d un film de savon Condition hydrodynamique à la paroi d un film de savon Problématique et objectifs Procédé expérimental ou comment observer et mesurer l électro-osmose dans une bulle. 6.1 Description du montage Configuration géométrique du film de savon Le montage électrique Composition et formation des films de savon Méthodes de mesure Mesure du champ électrique Mesure de l épaisseur du film Mesures du débit et de la vitesse électro-osmotique Résultats et discussions Étude de l épaisseur des films de savon Visualisation du signal électrique Étude de l épaisseur en fonction de R c et mesure de K surf Étude de l épaisseur du film en fonction du champ appliqué Analyse et discussion Mesure des débits Influence de l ajout de dodécanol Une conductivité de surface qui dép du champ Un gonflement moins important Débits, vitesse électro-osmotique et potentiel zéta Analyse et discussion Conclusion 18 Annexes A Modèle de Landau-Levich-Darjeguin adapté à notre problème B Codes Matlab utilisés pour l analyse i i iv

4 Introduction Depuis plusieurs années, la micro-fluidique puis la nano-fluidique sont au cœur de nombreuses recherches fondamentales [4]. Il s agit de l étude d écoulements à des échelles du nanomètre à la centaine de nanomètres. La problématique principale liée à ce domaine réside dans le ratio surface/volume qui est très important et qui mène à des phénomènes qui n existent pas aux échelles macroscopiques. Pour autant, les problèmes de nano-fluidique recouvrent un large spectre allant de la biologie (écoulements à travers les membranes cellulaires) au bâtiment (assèchement de sols argileux par électro-osmose). Le transport à ces échelles se décline de différentes sortes : déplacement de particules chargées (transport ionique), déplacement de fluide (transport massique), déplacement de chaleur (transport thermique) etc... Nous considérons ici les phénomènes électrocinétiques. Il peut alors exister des couplages entre ces phénomènes tels que le courant d écoulement, l électro-osmose,... Nous avons choisi ici d étudier l électro-osmose, c est-à-dire le déplacement de fluide provoqué par un déplacement de charges soumises à un champ électrique. Bien que la nano-fluidique peut être étudiée sur des systèmes naturels tels que ceux évoqués plus haut, le transport à travers des nano-canaux artificiels est privilégié afin d en contrôler les paramètres(rapport d aspect, matière,...). Or il est très difficile de fabriquer ces nano-canaux. Aussi, un outil simple à mettre en œuvre permet l étude de certains aspects du transport nano-fluidique à moindre coût : les films de savon. Ces derniers présentent de multiples avantages : ils sont assez simples à fabriquer, ils ont une taille macroscopique donc sont faciles à manipuler et à observer et il est aisé de modifier leurs propriétés physico-chimiques. Les films de savon et les bulles qui en découlent sont la base des mousses omniprésentes dans la nature (écume dans un torrent) comme dans l industrie (bière). Leur étude revêt donc un caractère tant fondamental qu appliqué [8, 7]. Et c est en particulier la façon dont elles vivent (mûrissement et drainage) et donc leur stabilité qui est scrutée [9]. Le drainage d une mousse correspond à l écoulement du liquide qu elle contient sous l effet de la gravité et de la succion capillaire. Très étudiée et documentée [8, 9], cette problématique se tourne maintenant sur les différents moyens de stabiliser une mousse et donc d aller à l encontre du drainage. De nombreuses méthodes agissant sur la composition de la mousse sont utilisées dans ce but. Mais très peu d études ont été menées pour stabiliser une mousse de façon extrinsèque. Seules deux études vont dans ce sens : Darbello et Galembeck [5] ont réussi en 1985 à influer sur le drainage d une mousse en y appliquant un champ électrique tandis que plus récemment, en 010, Moulton et Pelesko [6] sont parvenus à inverser le drainage dans un film de savon en y ajoutant des particules ferro-magnétiques et en appliquant un champ magnétique. Ce peu d articles présents dans la littérature nous a amenés à nous intéresser au drainage inversé par électroosmose dans une bulle simple, élément de base d une mousse. Nous utilisons deux électrodes horizontales afin d y piéger une bulle et de lui imposer une différence de potentiel. En choisissant correctement le sens de ce champ et les surfactants (chargés) qui confèrent sa stabilité au film, nous avons montré qu il est en effet possible de faire remonter le liquide contre la gravité. Seulement cet effet électro-osmotique n est pas sans influence sur les caractéristiques du film. En effet nous avons pu observer que le mouvement du liquide s accompagne d un gonflement du film de savon. Nous avons donc mesuré par conductance leur épaisseur. Nous avons également voulu regarder l efficacité de ce drainage en mesurant le débit de liquide qui traverse les films. Nous avons ensuite comparé les résultats à la théorie de Landau-Levich-Derjaguin sur le tirage d une plaque d un bain. Le compte-ru de ce travail se décompose en trois parties. La première revient sur les concepts indispensables à la compréhension du problème, qui marie la physico-chimie dans un film de savon et la physique à l échelle du nanomètre. La deuxième partie décrit le montage expérimental et les méthodes utilisées pour la mesure des différentes grandeurs intéressantes. La dernière partie expose les résultats et amène une discussion. École Normale Supérieure de Lyon 1 sur 18

5 + + Étude du drainage inversé par électro-osmose dans un film de savon 1 Contexte physique : nano-fluidique et films de savon Le transport nano-fluidique fait appel à un certain nombre de notions qu il est utile de rappeler, en particulier la distribution des ions au sein d un nano-canal aux parois chargées. Il convient également de présenter précisément la particularité des films de savon. Nous présenterons aussi comment le type de tensioactif utilisé peut modifier les propriétés de surface du film, notamment la charge et la condition hydrodynamique à l interface liquide/gaz. 1.1 Nano-fluidique et électro-cinétique Le comportement d un fluide confiné entre deux surfaces chargées est particulier et a fait l objet d une approche théorique très importante [7], ainsi que de nombreuses études expérimentales [10]. Nous allons ici faire un bref résumé des phénomènes pertinents pour notre étude. Les échelles auxquelles nous nous situons, au delà de permettre un couplage entre différence de potentiel et débit de liquide (l électro-osmose), ont un important effet sur un autre phénomène bien connu : la conductivité ionique Nano-échelles : la double couche de Debye Les échelles nanométriques, correspondant à des longueurs caractéristiques de 1 à 1000 nm, se caractérisent par un ratio surface/volume très important par rapport aux échelles macroscopiques. Cela pousse à regarder précisément ce qu il se passe aux interfaces, les phénomènes s y déroulant ayant une importance cruciale sur l ensemble du système. Avant de s intéresser à l électro-osmose, il convient de rappeler le comportement d un fluide contenant un électrolyte et confiné entre deux surfaces de charge surfacique σ et distantes de d. L électro-neutralité du système impose la présence de contre-ions dans le fluide. Par ailleurs, on ajoute un électrolyte à la solution. Les interactions électrostatiques entre les contre-ions et la surface sont à l origine d une accumulation de charges au voisinage de la surface. Il se forme alors une couche de contre-ions adsorbés à la surface (couche de Stern) et un nuage diffus au voisinage de cette surface (couche de Gouy-Chapman). La figure 1 illustre ceci V _ v eo V + Couche de Debye V Figure 1: Schématisation de la vitesse électro-osmotique et des couches de Debye. En noir sont représentés les charges de surfaces et les contre-ions et en rouge l électrolyte. Ce nuage a un effet d écrantage sur la charge portée par les surfaces et est appelé double-couche de Debye. La distribution de ces ions est décrite par la théorie de Poisson-Boltzmann qui fait apparaitre une longueur caractéristique pour cette double-couche, appelée longueur de Debye : κ 1 = ε0ε rk BT i q i c0 i (1) où ε 0 ε r est le produit de la permittivité électrique du vide par la permittivité diélectrique du solvant (pour l eau à 5 C, ε r 80); q i est la charge de l électrolyte i et c 0 i est sa concentration (en ions par m3 ) loin des surfaces. École Normale Supérieure de Lyon sur 18

6 L ordre de grandeur de cette longueur de Debye varie donc avec la concentration en électrolyte dans la solution. Pour une solution de sel monovalent de 1 M, on aura κ 1 0,3 nm et pour une concentration de 10 4 M, on aura κ 1 30 nm Électrocinétique : conductivité ionique et électro-osmose L électrocinétique relie les phénomènes électrostatiques aux phénomènes d écoulement. Pour un système nano-fluidique, l écriture de la matrice d Onsager permet de résumer les couplages entre ces phénomènes. En notant Q le débit de fluide, I le courant électrique, P la pression et V le potentiel électrostatique, on a : ( Q I ) = ( K M M S ) = ( P V ) () Nous ne discutons ici que des phénomènes dûs à l application d une différence de potentiel. Conductivité ionique aux nano-échelles La conductivité ionique dans un film nanoscopique, et donc dans un film de savon, est un phénomène à part entière qui diffère fortement de la conductivité en volume d une solutionionique.eneffet, deuxcomposantesexistentpourcette conductivité:une conductivitéde volume(k vol, mesurable avecun conductimètrestandard) et une conductivité de surface(k sat ) qui provient de l accumulation de charges près des surfaces [1, 10]. La conductivité en volume dép de la mobilité des ions contenus dans la solution µ ± et de leur concentration c 0 tandis que celle de surface dép de la charge de surface σ et de l épaisseur du film d. On peut écrire alors (en considérant la charge de surface positive) : K = K vol +K sat = e(µ +µ + )c 0 +eµ + σ d (3) où e est la charge élémentaire. En supposant µ + µ, on construit le rapport suivant : K vol K sat d l Du avec l Du = σ c 0 (4) où l Du est la longueur de Dukhin. Si l épaisseur du film est plus grande ou plus petite que cette longueur, on peut distinguer le régime de volume et celui de surface. Selon l épaisseur du canal (en l occurrence du film de savon) et la concentration de l électrolyte, la contribution de ces deux termes sera plus ou moins importante. La figure ci-contre montre plusieurs mesures réalisées sur des nano-canaux artificiels de tailles différentes. Elle met en évidence les deux régimes. On voit qu en deçà d une certaine concentration en sel, un palier commun indépant de la taille du film est atteint. Cet effet de saturation aura un rôle crucial dans nos mesures par conductance de l épaisseur des films de savon. Conductance (S) nm 590 nm 380 nm 180 nm 70 nm Concentration de KCl (M) Figure : Mesures de conductance en fonction de la concentration en sel pour des nano-canaux de différentes épaisseurs. Graphique adapté de [10]. Électro-osmose L électro-osmose est un effet de couplage entre un champ électrique appliqué à un fluide contenant un électrolyte confiné entre deux parois chargées et un transport massique de fluide. L application de ce champ met en mouvement les ions dans les doubles couches de Debye qui se déplacent vers les potentiels opposés à leur charge et qui, par friction visqueuse, entrainent le fluide. Ce phénomène est bien connu en micro et nano-fluidique [, 17]. La nouveauté de ce travail réside dans le choix du système : un film de savon. École Normale Supérieure de Lyon 3 sur 18

7 La vitesse électro-osmotique est reliée de façon simple au champ électrique appliqué [4]. Elle s obtient par l équation de Smoluchowsky si l on s intéresse au mouvement du fluide qui se fait à vitesse constante et uniforme à l extérieur des doubles couches : v eo = εζ η E (5) où ε = ε 0 ε r est la constante diélectrique du milieu, η sa viscosité et ζ le potentiel zéta. Ce dernier est proche du potentiel électrique à la surface mais peut varier suivant les conditions de glissement hydrodynamique à cette même surface [4]. Nous y revirons dans la partie 1..3 page 5 et discuterons de ce potentiel d après les résultats expérimentaux. 1. Les films de savon : des nano-canaux très pratiques Le choix des films de savon en tant que nano-canaux n est pas anodin. Leur manipulation est facile, leur coût modéré et leur fabrication simple. Un inconvénient cepant : leur durée de vie assez aléatoire. Les films de savon possèdent une structure bien particulière qui assure leur stabilité. Nous verrons laquelle ainsi que les effets physiques qui fixent leur épaisseur. Enfin, nous nous pencherons sur les conditions hydrodynamiques à la surface du film Structure d un film Les films de savon sont constitués d eau et de molécules tensioactives : les surfactants. Ces derniers, solubles dans le liquide, s adsorbent à l interface liquide/gaz pour modifier ses propriétés. Son énergie est alors diminuée, mais elle résiste aussi mieux à des déformations (rupture) et la stabilité du film est accrue. Les surfactants peuvent être de quatre sortes : anioniques, cationiques, zwitterioniques (possédant deux charges opposées) et neutres. Ces molécules ont la particularité de posséder une partie hydrophobe et une autre hydrophile. Cette aptitude t à les placer à l interface liquide/gaz. Quand ces surfactants, solubles, sont ajoutés à la solution, il se créé un équilibre entre leur concentration en surface (Γ) et celle en volume (c). Cepant, en augmentant c et quand toute la surface est recouverte, les surfactants en volume tent à s agréger en micelles. La concentration à laquelle ce phénomène se produit s appelle la concentration micellaire critique (CMC). Pour les surfactants que nous avons utilisé, les CMC sont de 7-10 mm pour le dodécylsulfate de sodium (SDS) et de 4-5 mm pour le tetradecyltrimethylammonium bromide (TTAB) 1. La structure macroscopique de ces films est elle séparée en deux parties. Le film lui-même dont l épaisseur est de l ordre de 10 nm à 1 µm. Le ménisque qui relie le film à un support ou à une autre bulle est appelé bord de Plateau. Ils ont une taille allant de 10 µm à 1 mm. Dans la suite nous utilisons des surfactants ioniques pour créer un nano-canal aux parois chargées ce qui nous permettra de mettre en place l électro-osmose. 1.. Épaisseur d un film de savon L épaisseur d un film de savon non soumis à un champ électrique est fixée par l équilibre entre deux pressions. D une part la pression de disjonction (Π d ) (qui résulte d un équilibre entre les forces de Van der Waals et la répulsion électrostatique) qui t à repousser les interfaces et d autre part la pression capillaire (P c ) qui est due à la courbure dans les bords de Plateau via la loi de Laplace (voir figure 4). Les calculs de pression de disjonction ont été effectués dans [1] et [7]. Ils sont obtenus en particulier grâce à la détermination du potentiel dans le film par la théorie de Poisson-Boltzmann dans l approximation des faibles potentiels et d épaisseurs grandes devant la longueur de Debye. La pression capillaire est quant à elle obtenue par une analyse géométrique et la loi de Laplace. On peut alors écrire : ( ) ev0 Π d = P c 64k B Tc 0 tanh exp κd = γ (6) 4k B T R c 1. CMC extraites de Wikipedia. Le SDS est anionique tandis que le TTAB et cationique. École Normale Supérieure de Lyon 4 sur 18

8 avec e la charge élémentaire, V 0 le potentiel électrique de surface, γ la tension superficielle du fluide et R c le rayon de courbure du bord de Plateau; l épaisseur du film étant toujours d. En connaissant les propriétés de surface du film et sa structure, on peut obtenir l épaisseur du film de savon en fonction de R c et de la concentration en sel. Pour les solution de TTAB utilisées dont la concentration (1 à 100 mm) est supérieure à la CMC, l ordre de grandeur de cette épaisseur est quelques dizaines de nanomètres Condition hydrodynamique à la paroi d un film de savon La couche de surfactants à la surface du film de savon peut être considérée comme la paroi d un nano-canal. Un liquide s écoulant le long de cette surface va voir son profil de vitesse modifié par cette paroi. Lorsqu il s agit d un solide, la condition hydrodynamique est donnée par la relation de Navier : b z v surface = v slip (7) où v slip est la vitesse de glissement à la paroi, z v surface est la dérivée de la vitesse du fluide suivant la composante perpiculaire à la paroi calculée au niveau de la paroi et b la longueur de Navier qui représente la distance à la paroi à laquelle la vitesse s annulerait en prolongeant par une droite le profil de vitesse (voir figure 3). Revenons maintenant au potentiel zéta introduit à la partie 1.1. page 4. L influence du glissement sur la vitesse électro-osmotique se trouve dans l expression de ce potentiel. Il est égal au potentiel de surface dans le cas d une absence de glissement aux parois. Dans le cas contraire, on a la relation suivante [4] : ζ = V 0 (1+bκ eff ) (8) où κ eff est un paramètred écrantagedéfinipar κ eff = V (0)/V 0. Physiquement,ce potentiel zétaest analogue à la longueur de Navier : c est le potentiel qu aurait la surface là où la vitesse du fluide s annule en prolongeant linéairement le profil de vitesse à la paroi (voir figure 3). L ordre de grandeur pour un film de savon contenant 3 g/l de TTAB est la centaine de mv [10]. z Vitesse V(z) Liquide V 0 v slip ζ b Surface Figure 3: Représentation de la longueur de glissement et du potentiel ζ. L avantage que représentent les films de savon réside également dans la facilité qu il y a à changer les conditions hydrodynamiques à la paroi. Par exemple, l ajout de dodécanol permet de rigidifier les surfaces et d annuler le glissement à la paroi[8] en se substituant à des molécules de surfactant[14]. Ces effets seront étudiés à la fin de ce travail. 1.3 Problématique et objectifs Les films de savon constituent donc des nano-canaux modèles facilement mis en œuvre. Cepant, contrairement aux canaux solides, ils sont déformables, les surfactants ancrés aux parois sont mobiles le long des interfaces liquide/gaz et ils sont malgré tout fragiles. On peut alors se demander quelles sont les conséquences de l application d un champ électrique en leur sein. Vont-ils casser? Observera-t-on un mouvement de liquide École Normale Supérieure de Lyon 5 sur 18

9 d origine électrostatique? Quelles conséquences aura-t-il sur la forme du film de savon? Le mouvement est-il différent quand on modifie la rigidité de l interface? Pour répondre à ces questions, nous décrivons d abord le montage expérimental mis en œuvre pour observer l électro-osmose dans les films. Nous verrons que ce mouvement de liquide est, de façon surprenante, accompagnée d un gonflement des films. Nous montrerons alors comment mesurer l épaisseur de ces films. Nous discuterons ensuite les résultats obtenus par un modèle simple avant de montrer l effet des conditions hydrodynamiques à la paroi sur ce phénomène. Enfin, nous mesurerons les débits de liquide à travers les films. Procédé expérimental ou comment observer et mesurer l électroosmose dans une bulle. Bien que la manipulation d un film de savon soit plus aisée qu un nano-canal artificiel, l étude de phénomènes nanoscopiques demande de nombreuses techniques afin de caractériser au mieux les phénomènes qui s y déroulent..1 Description du montage.1.1 Configuration géométrique du film de savon Afin de mettre en place l électro-osmosedans un film de savon,nousavonspiégéune bulle entre deux plaques de verre recouvertes de platine jouant le rôle d électrodes (voir figure 4). Elle pr alors la forme d une colonne verticale et c est dans le film entre les deux bords de Plateau que se déroule l électro-osmose. V Bords de Plateau d Plaques en verre recouvertes de platine Film R L 1 mm (b) P c Π d R d R c Air (a) (c) Figure 4: (a) Schéma, (b) photo en coupe verticale et (c) schéma vu de dessus du film confiné entre les deux électrodes. Le rayon de la bulle est noté R, sa hauteur (entre les deux bords de Plateau) L, le rayon des bords de Plateau R c et l épaisseur du film d. Des fils sont soudés sur les électrodes afin de pouvoir appliquer une différence de potentiel entre les plaques et donc un champ électrique dans le film. L ensemble est confiné dans une boite la plus hermétique possible afin de saturer l atmosphère et d éviter toute évaporation qui réduit le temps de vie des bulles. Par ailleurs, pour que les bulles restent immobiles, l électrode du haut est légèrement convexe afin de forcer la bulle à se positionner au sommet de cette dernière. Une caméra CCD est placée face à la boite afin de filmer l évolution de la bulle au cours du temps. L acquisition (figure 4 (b)) est faite grâce à Labview et un éclairage diffus en transmission permet d optimiser le contraste. École Normale Supérieure de Lyon 6 sur 18

10 .1. Le montage électrique Le montage électrique a deux buts : créer un champ dans le film et mesurer l intensité électrique qui le traverse. Un générateur de tension continue ou un GBF sont utilisés pour fixer une différence de potentiel. Un convertisseur courant/tension en série permet de connaitre l intensité. Le tout est relié à un boitier d acquisition numérique piloté par Labview. Convertisseur courant-tension Bulle Boitier d acquisition PC Générateur de tension continue Figure 5: Schéma du montage électrique. Ce montage permet de déterminer, via la connaissance de l intensité, la conductance du film qui, nous allons le voir, est reliée à ses paramètres géométriques. La conductance de la bulle s écrit G = I/ V = G 0 U/ V où I représente l intensité traversant la bulle, V la tension imposée au film, U la tension délivrée par le convertisseur et G 0 son gain. Typiquement, on utilise des gains de 10 5 et 10 6 A.V 1. Cela permet de mesurer des courants de quelques µa à quelques dizaines de µa avec une résolution de l ordre de quelques dizaines de na. Le bruit dû tant au montage permettant de piéger la bulle qu au cablage électrique est de deux sortes : un offset qui peut facilement être soustrait et une composante aléatoire qui est à l origine d une partie de l incertitude des mesures..1.3 Composition et formation des films de savon Les solutions utilisées pour ces expériences sont faites à partir d un mélange de TTAB et de KCl dans de l eau. La concentration en TTAB était fixée à 3 g L 1. La concentration en KCl était elle de 10 3 M. Nous avons aussi étudié des bulles faites à partir d une solution identique à laquelle nous avons ajouté du dodécanol à 0,3 g L 1. Cet alcool a pour propriété de rigidifier les interfaces du film, d abaisser la tension de surface et donc de stabiliser les bulles. La reproductibilité des mesures est un point délicat à maitriser. En effet la quantité de liquide, la taille des bords de Plateau, la pureté de la solution (la solution vieillissant, il faut en changer régulièrement) sont autant de paramètres difficilement reproductibles d une expérience à l autre. Pour réduire cela nous avons utilisé un pousse-seringue qui injecte un volume d air à vitesse constante à travers un film liquide afin de créer des films ayant des caractéristiques similaires. Ces différents paramètres jouent sur la stabilité et donc la durée de vie des films. Cette dernière doit être assez longue pour que le phénomène d électro-osmose se mette en place. Il est relativement difficile d obtenir une bulle assez stable et il est donc assez long d obtenir une bonne statistique de résultats. Pour les solutions utilisées, nous avons mesuré une tension de surface de 36 mn m 1 sans dodécanol et 4 mn m 1 avec. La conductivité en volume étant quant à elle de 0,058 S m 1 sans dodécanolet 0,050 S m 1 avec. Par ailleurs, nous avons vérifié que la tension de surface ne dép pas du champ à l aide de la méthode de Wilhelmy.. Méthodes de mesure Deux types de mesures, optiques et électriques, ont été utilisées pour obtenir un maximum d informations sur la dynamique de la bulle et sur le transport électro-osmotique. Le but était d étudier d une part les variations d épaisseur du film de savon mais aussi les débits et vitesses électro-osmotiques.. Méthode consistant à tirer d un bain un plaque et à mesurer la différence de force s appliquant sur la plaque entre le moment juste avant sa sortie et lorsqu elle est entièrement sortie. École Normale Supérieure de Lyon 7 sur 18

11 ..1 Mesure du champ électrique Le champ électrique se calcule grâce à la formule E = gradv soit pour un film plat et homogène, E = V/L. Une analyse est menée avec Matlab pour déterminer précisément L sur les images enregistrées grâce à des méthodes de seuillage et de détection des transitions bords de Plateau-film (voir le code Matlab annexe B page iv). La mesure du champ électrique est primordiale pour caractériser l électro-osmose. Qui plus est, en raison du déplacement de liquide d un bord de Plateau à l autre, des variations sur la hauteur du film vont engrer une variation du champ... Mesure de l épaisseur du film La mesure de l épaisseur du film vient directement de celle de la conductance via les mesures électriques. On peut en effet négliger la résistance dans les bords de Plateau du fait de leur épaisseur par rapport au film 3. La conductance de la bulle est alors reliée à sa géométrie et aux conductivités de volume K vol et de surface K surf 4 par : d = L πrk vol G K surf K vol (9) Le rayon de la bulle, constant au cours du temps, est mesuré via Matlab grâce à une procédure similaire à celle utilisée pour la mesure de L...3 Mesures du débit et de la vitesse électro-osmotique Si la mesure de l épaisseur nécessite une connaissance de l intensité traversant la bulle, la mesure du débit de fluide à travers le film dû à l électro-osmose se fait optiquement. Il suffit pour cela de connaitre la variations de volume 5 du bord de Plateau du haut (si le mouvement de liquide est de bas en haut). La mesure du rayon de courbure du bord de Plateau R bp est faite, également via Matlab, en connaissant la position de la plaque et la transition bord de Plateau-film. Cela suppose que l on peut confondre la hauteur et le rayon de courbure de ce dernier (voir figure 6). Ceci est valable si le bord de Plateau est assez petit. En effet, sa taille limite correspond à la longueur capillaire multipliée par ce qui dans notre cas fait environ mm. Nous avons donc considéré ici que l on pouvait faire cette approximation vue la taille de nos bords de Plateau. h R bp R bp Figure 6: Schéma d un bord de Plateau. Néanmoins cette technique n est pas parfaite et engre de l incertitude. En effet la détection des plaques ne se fait pas au pixel mais à environ plus ou moins 5 pixels ce qui amène une incertitude de quelques % sur la mesure de R bp. Il faut ajouter à cela le seuillage qui ne détermine pas parfaitement la transition bord de Plateau-film. On peut alors estimer l incertitude sur les mesures des caractéristiques géométriques à environ 5 à 10 %, l incertitude étant plus grande pour une bulle sèche (R bp petit). Enfin, la vitesse électro-osmotique v eo se déduit directement du débit Q grâce à l expression suivante : Q = πrdv eo (10) Ces méthodes de mesures vont nous permettre de caractériser les écoulements électro-osmotiques dans les films de savon. 3. La résistance est donnée par : r = ρl/s avec ρ la résistivité et S la section du film 4. K surf = d K sat 5. Le volume est déterminé par la formule V BP = 4πR(1 π/4)r bp où R bp est le rayon de courbure du bord de Plateau du haut. 6. La longueur capillaire compare effets gravitaires et effets capillaires : κ 1 = γ ρg. École Normale Supérieure de Lyon 8 sur 18

12 3 Résultats et discussions Cette partie regroupe l ensemble des résultats obtenus, tant qualitatifs que quantitatifs. Nous les discutons au fur et à mesure de leur présentation. D un point de vue qualitatif nous avons mis en évidence le transport de liquide à travers le film de savon. La figure 7 montre des images prises à intervalles réguliers d une même bulle soumise à un champ électrique orienté de telle façon que le liquide s écoule vers le haut (sens inverse de la gravité). 1 mm (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figure 7: Séquence d images d une bulle soumise à une différence de potentiel de 5 V. Les images sont séparées de 13 secondes. Sur cette séquence d images, on se r bien compte du mouvement macroscopique effectif de liquide du bas vers le haut, avec un remplissage du bord de Plateau du haut. Ce mouvement est suffisamment rapide pour être observé en quelques minutes. Par ailleurs, des expériences qualitatives menées avec une solution contenant du SDS, surfactant anionique, ont montré qu il fallait bien inverser la polarisation des électrodes pour faire remonter le liquide, ce qui confirme le fait que les effets sont dus à de l électro-osmose. De plus, nous avons pu observer que les couleurs du film sont modifiées lors de l électro-osmose, signe d un gonflement du film accompagnant le déplacement du liquide. 3.1 Étude de l épaisseur des films de savon La première étude menée consiste à étudier les variations d épaisseur du film de savon en fonction de deux paramètres principaux : le champ électrique appliqué et le rayon du bord de Plateau dit réservoir, c est à dire le ménisque d où part le liquide. Dans un premier temps, une solution composée uniquement de surfactants et de sel a été utilisée (voir la partie.1.3 page 7) Visualisation du signal électrique La figure 8 représente les allures typiques de l intensité traversant les films au cours du temps pour deux configurations différentes. Les figures 8 (a) et (c) se découpent en trois parties : la partie ➀ correspond à la mise en équilibre du film (drainage), la partie ➁ correspond à l équilibre de la bulle tandis que la partie ➂ où U 0 correspond à la partie où la bulle a éclaté. La partie ➀ possède la forme classique du drainage d un film sans champ électrique. De plus elle est similaire à toutes les bulles quel que soit le champ appliqué. On remarque dans la partie ➁ de la figure 8 (a) que la tension mesurée croit au cours du temps. Cela est dû au fait que la hauteur du bord de Plateau du haut augmente sans que celle du bas ne diminue car la bulle est humide et que ce dernier constitue un réservoir de liquide suffisamment grand (voir figure 8 (b)). La conséquence est une diminution de la hauteur du film et donc une augmentation du champ appliqué entrainant une augmentation du courant au travers du film. Au contraire, sur la figure 8 (b), le signal décroit légèrement. Cela est dû au fait que le bord de Plateau du École Normale Supérieure de Lyon 9 sur 18

13 6 7 6 ➀ ➁ ➂ 5 I/G0 (V) 4 Vm es Temps (s) t (a) (b) I/G0 (V) Vm es ➀ ➁ ➂ Temps (s) t (c) 1 mm (d) Figure 8: (a,c) Visualisations de deux types de signaux électriques accompagnées (b,d) des images du type de bulles correspondantes. bas est sec (voir figure 8 (d)) et donc qu il se vide progressivement ce qui a pour effet de diminuer l épaisseur tout en gardant un champ à peu près constant Étude de l épaisseur en fonction de R c et mesure de K surf Nous avons dans un premier temps voulu regarder la conductance du film en fonction du rayon de courbure du bord de Plateau réservoir, c est à dire celui d où part le liquide. Les écoulements se faisant dans le sens contraire à la gravité, c est donc le bord de Plateau du bas qui a été observé. Pour cela, nous avons étudié des bulles à champ constant, en adaptant la différence de potentiel à la hauteur du film. La figure 9 montre les résultats pour deux champs différents. Il y a une relation linéaire entre le rayon de courbure et la conductivité. L ordonnée à l origine de ces courbes est indépante du champ électrique et similaire aux mesures de K surf K vol obtenues à champ nul 6. C est finalement un moyen efficace de mesurer cette conductivité de saturation (voir équation 9). Nous obtenons ici K surf K vol = 85nm. Cette valeur nous permettra de déterminer les épaisseurs des films de savon à partir de la conductance Étude de l épaisseur du film en fonction du champ appliqué Dans un second temps, nous avons voulu observer l effet du champ appliqué à la bulle sur son épaisseur. Ayant une alimentation continue montant à 30 V, nous avons pu balayer une gamme de champ allant jusqu à plus de 0000 V m 1. De nombreuses expériences ont été nécessaires afin de pouvoir sélectionner des signaux propres et donc des épaisseurs fiables. Par ailleurs, au vu de la forte dispersion des résultats, nous avons moyenné les points afin de 6. Les mesures à champ nul sont difficiles en raison de l absence de stabilisation du film par le champ électrique. École Normale Supérieure de Lyon 10 sur 18

14 x 10 7 E = 40±40V/m E = 710 ±90V/m 4.5 L G (nm) πrk vol x 10 0,5 1 1,5 R c (mm) Figure 9: Évolution de la conductivité en fonction de Rc pour deux champs différents. réduire l erreur. La figure 10 regroupe ces résultats en y incluant une courbe de tance en E /3. L épaisseur est donnée par la formule 9, K surf K vol étant évaluée plus haut. On renormalise ensuite par le rayon de courbure car nous l avons vu, il existe une relation linéaire entre d et R c. Les points sont issus de la moyenne de points situés dans des zones réduites de champ et d épaisseur. Les barres d erreur sont mesurées en prenant l écart-type du sous-échantillon ainsi créé divisé par la racine du nombre de points dans ce dernier. On observe un gonflement des films avec le champ. Au lieu de films de quelques dizaines de nanomètres, on observe des épaisseurs de plusieurs centaines de nanomètres. Ce gonflement est également visible sur les images vidéos grâce la coloration du film due aux interférences en lumière blanche qui s y produisent. 660 x x d/rc 3 d/rc dd E (V/m) x ,4 04 0,8 1, 1, E ee (V/m) x10 4 Figure 10: Épaisseur normalisée par Rc en fonction du champ électrique appliqué. Une courbe de tance en E/3 est tracée. Une courbe de tance est alors présentée avec une dépance en αe /3 qui épouse assez bien la réalité. Le coefficient α ainsi calculé vaut (6,8±0,8) 10 7 (Vm 1 ) /3. L incertitude est liée à la forte dispersion des points et correspond à un intervalle de confiance de 95% avec une méthode automatique de fit des moindres carrés. École Normale Supérieure de Lyon 11 sur 18

15 3.1.4 Analyse et discussion Le gonflement du film est un résultat original. En effet, l électro-osmose se déroulant parallèlement aux parois, il n y a pas de force qui s applique sur ces dernières. Cet écoulement ne peut donc pas expliquer ce gonflement. C est donc un autre mécanisme qui est en jeu. La loi en deux tiers avec laquelle est approchée la courbe précédente n a pas été choisie au hasard. Une explication à ce phénomène de gonflement s appuie sur le problème bien connu de Landau-Levich-Derjaguin (LLD). En effet, dans l électro-osmose, les couches de Debye sont entrainées par le champ électrique et entrainent par frottement visqueux le liquide contenu dans le film. Ces couches de Debye peuvent alors s apparenter à deux plaques verticales tirant le film. Lorsqu on tire une plaque verticale d un bain à une vitesse constante, un film de liquide se dépose sur cette plaque [15, 16] (voir figure en annexe A page iii), dont l épaisseur est donnée ( par d = 0.643R ηv c γ superficielle. ) /3, v étant la vitesse de la plaque, η la viscosité dynamique du fluide et γ sa tension Le phénomène d électro-osmose dans un film de savon est proche de ce mécanisme de LLD. La configuration de notre film étant légèrement différente de celle initialement proposée par LLD, nous avons refait le calcul, proposé en annexe. On obtient une loi très proche de celle de LLD dont seul le préfacteur varie (voir l annexe A page iii et l équation 5) : d = 0,409R c ( ηveo γ ) /3 ( ) /3 = εζe 0,409Rc γ (11) La dépance en R c E /3 étant robuste, il faut vérifier les ordres de grandeur. D après la formule 1, le ) /3. coefficient α s écrit α = 0,409 Toutes choses connues par ailleurs, on arrive à un potentiel zéta égal ( εζ γ à 110±0 mv. Cela est en accord avec de précédentes mesures de potentiel de surface dans la littérature. Bergeron [3] mesurait pour des films de savon contenant du TTAB à 3 g/l et sans sel un potentiel de surface de 130 mv. Enfin, on se r compte que ce modèle permet de prévoir l ordre de grandeur des gonflements. En effet, on peut calculer pour un champ de 10000V/m, un rayon de courbure R c égal à 1 mm et les valeurs des paramètres pris dans la littérature une épaisseur de 300 nm ce qui correspond bien aux épaisseurs observées. Cela renforce la validité du modèle. On a donc une explication pertinente du gonflement des films. Nous avons également caractérisé un mécanisme de LLD lié à l électro-osmose dans un film de savon. On peut alors se demander si les propriétés physico-chimiques (tension de surface, glissement aux parois) vont modifier l écoulement et donc l épaisseur des films Mesure des débits Nous avons ensuite mesuré les débits de liquide traversant le film. Les résultats sont présentés figure 11. L insertion de la figure 11 montre l évolution du volume du bord de Plateau en fonction du temps; une courbe de tance est également tracée. Le débit mesuré vaut 1, m 3 s 1 ce qui donne, d après la formule 10, une vitesse électro-osmotique de l ordre 3 mm s 1 pour un champ électrique de 13300V/m. Nous pouvons constater que le débit est constant. Nous verrons qu a priori cela n est pas évident. Suite à la modélisation faite à l aide du mécanisme de LLD et avec l expression du débit (équation 10), nous avons voulu faire passer une loi en E 5/3 mais cela ne s est pas avéré concluant pour des raisons que nous ignorons. Nous discuterons plus tard le fait que le débit soit constant. 3. Influence de l ajout de dodécanol Afin de faire varier les propriétés physico-chimiques et en particulier les propriétés de surface du film, nous y avons ajouté du dodécanol à 0,3 g L 1. Ce co-surfactant est connu pour rigidifier les interfaces et modifier les conditions hydrodynamiques ce qui a par exemple comme conséquence de ralentir le drainage gravitaire. École Normale Supérieure de Lyon 1 sur 18

16 x x x VolBP Volume (mm 3 ) v4/rc Temps (s) t 4 x 10 Q RcR ,4 0,8 E (V/m) 1, 1,6 x 10 4 E (V/m) x Figure 11: Débit de liquide à travers le film en fonction du champ électrique appliqué. L insertion représente l évolution temporelle du volume dans le bord de Plateau du haut Une conductivité de surface qui dép du champ Nous avons effectué les mêmes mesures pour la solution avec dodécanol, à savoir une étude de la conductance à champ constant en faisant varier la taille du bord de Plateau du bas. Le résultat est assez surprenant car l ordonnéeàl origineestdépanteduchamp(voirfigure1).eneffet, bienquelalinéaritéenr c estconservée, la valeur de l ordonnée à l origine dép du champ électrique. L G (nm) πrk vol d(m) E = 8.5 x ±10V/m K surf/k vol x E (V/m) E = 3980 ±50V/m E (V/m) K surf (nm) K vol E = 6560±15V/m E = 1300 ±5V/m , Rc(m) x 10 1,5 3 R c (mm) Figure 1: Évolution de la conductivité en fonction de Rc pour quatre champs différents. Insertion : évolution du rapport K surf K vol en fonction du champ électrique. La valeur de cette ordonnée à l origine dép linéairement du champ comme le montre l insertion de la École Normale Supérieure de Lyon 13 sur 18

17 figure 1. On peut alors écrire K surf K vol = 1, E nm. Sans explication convaincante pour comprre cette dépance, nous avons décidé de prre en compte cette loi pour mesurer les épaisseurs des films. 3.. Un gonflement moins important Dans un second temps, nous avons voulu observer l effet du champ appliqué à la bulle pour le comparer avec les bulles sans dodécanol, toujours dans la même gamme de champ. Les points ont été moyennés de la même manière que pour l étude sans dodécanol; les barres d erreur également. La figure 13 regroupe ces résultats, les carrés bleus représentant la solution sans dodécanol pour rappel et les cercles rouges celle en contenant. L épaisseur est déduite de la conductance en prenant en compte la loi linéaire trouvée plus haut puis renormalisée par le rayon de courbure. 6 x x d/rc 3 d/rc E (V/m) x ,4 0,8 1, 1,6 E (V/m) x10 4 Figure 13: Épaisseur normalisée R c en fonction du champ électrique appliqué pour une solution contenant du dodécanol (en rouge). La courbe obtenue sans dodécanol est rappelée en bleu. Une courbe de tance en E /3 est tracée. Une courbe de tance est alorsprésentéeavec une dépance en E /3 qui épouse encore une fois la réalité defaçonacceptable.lecoefficientainsicalculévaut(4,0±0,4) 10 7 (Vm 1 ) /3 contre(6,8±0,8) 10 7 (Vm 1 ) /3 pour la solution sans dodécanol. De la même façon que dans le cas sans dodécanol, on calcule un potentiel zéta de 33±5 mv. On reste dans des ordres de grandeurs similaires à ce qui a été trouvé pour la solution sans dodécanol Débits, vitesse électro-osmotique et potentiel zéta Dans un second temps, nous nous sommes intéressés au débit de liquide qui passe par électro-osmose au travers du film liquide. Cela nous a permis de nous intéresser à la vitesse électro-osmotique, ainsi qu au potentiel zéta que nous comparerons avec la valeur déduite des mesures d épaisseur effectuées précédemment. Mesures de débit Les débits mesurés l ont été sur des bulles qui ont tenu assez longtemps pour avoir une mesure propre du volume du bord de Plateau du haut. Les résultats collectés ont permis de tracer le figure 14 qui représente le débit renormalisé par le produit RRc en fonction du champ électrique appliqué. Les carrés bleus représentent la solution sans dodécanol, les cercles rouges celle avec. Nousavonsdenouveautracésurlafigure14unecourbedetanceenE 5/3 quiévaluecettefoisassezbienla dépancedu débit en fonction du champ. Le coefficient de ce fit vaut (4,8±0, ) m s 1 (V m 1 ) 5/3. École Normale Supérieure de Lyon 14 sur 18

18 8 x x v4/rc 4 Q RcR E (V/m) x ,4 0,8 1, 1,6 E (V/m) x10 4 Figure 14: Débit de liquide à travers le film en fonction du champ électrique appliqué pour une solution avec dodécanol (cercles rouges). La courbe sans dodécanol est rappelée (carrés bleu). Une courbe de tance en E 5/3 est tracée. Grâce à cette mesure de débits, on remonte facilement au potentiel zéta. En effet, grâce aux expressions du débit (équation 10), de la vitesse électro-osmotique(équation 5) et au modèle de LLD (équation 1) le coefficient du fit en βe 5/3 vaut β = 0.818π η (εζ) 5/3 γ /3. On arrive à un potentiel zéta de 117±8 mv. La valeur est assez différente de celle trouvée avec la première méthode. Nous évoquerons des pistes d explication plus tard. Mesure des vitesses électro-osmotiques A partir de ces mesures de débit, on peut remonter à une information intéressante : la vitesse électro-osmotique. On a vu plus haut (équation 5) qu elle est proportionnelle au champ. Si l on trace la vitesse électro-osmotique, calculée à partir du débit, en fonction du champ appliqué, on retrouve cette dépance (figure 15). x x veo (m/s) veo(m/s) ,4 0,8 E (V/m) 1, 1,6 x 10 4 E (V/m) x10 4 Figure 15: Vitesses électro-osmotiques calculées à partir des débits et des épaisseurs mesurés. Une courbe de tance linéaire est tracée en lui imposant de passer par l origine. École Normale Supérieure de Lyon 15 sur 18

19 Lacourbede tancelinéairetracéesurlafigure15donneun coefficient de(,0±0,) 10 7 m s 1 V 1, ce qui nous permet de mesurer le potentiel zéta d une autre façon. D après la formule 5, on calcule un potentiel zéta de 84±5 mv ce qui la encore différent des valeurs calculées précédemment Analyse et discussion Les différents résultats tant sur les tances que les potentiels zéta amènent un certain nombre de discussions. Bien que la dépance de l épaisseur en champ électrique soit identique avec et sans dodécanol, il reste à expliquer la différence de gonflement des films. Cela est probablement dû aux propriétés physico-chimiques des films. La baisse de la tension de surface due à l ajout de dodécanol, toutes choses égales par ailleurs, devrait au contraire d après l équation 1 augmenter le coefficient du fit. On arrive à un coefficient qui passerait de (6,8±0,8) 10 7 (Vm 1 ) /3 à 8, (Vm 1 ) /3. Or c est le contraire qui se produit. Or nous avons calculé le potentiel zéta et on remarque que celui-ci est environ trois fois plus faible avec que sans dodécanol. Cela peut être attribué au fait que le glissement est plus faible à la paroi du film de savon. La figure 16 montre la configuration près de la paroi. La double couche de Debye est entraînée dans un sens et met en place un profil de vitesse dans le liquide. Ce dernier est modifié suivant le glissement à la paroi et la vitesse des surfactants qui se déplacent en sens inverse. Ce changement de condition hydrodynamique pourrait être dû à l effet du dodécanol qui t à rigidifier les parois en s insérant dans la couche de surfactant à la place de molécules de TTAB, si l on se réfère aux travaux de Poskanzer et Goodrich [14]. De plus cela est en accord avec les travaux de Audry et al. [] et Bouzigues et al. [17] sur l augmentation de vitesses électro-osmotiques par glissement aux parois. Néanmoins, une aussi grande baisse de ζ est surprenante et difficilement explicable. De plus, d autres paramètres peuvent entrer en jeu comme le mouvement des surfactants sous l effet du champ électrique pour expliquer un gonflement moins important. Néanmoins, notre compréhension des phénomènes n est pas encore assez avancée pour mener une discussion complète à ce propos. Nous avons regardé l évolution du volume du bord de Plateau du haut. Celle-ci est linéaire avec le temps. Cela n est pas évident car un certain nombre de paramètres entrent en jeu, à savoir la variation du champ au cours de l expérience et celle du rayon de courbure du bord de Plateau du bas qui ont tout deux un effet sur l épaisseur et la vitesse et donc sur le débit. Des mécanismes qui nous échappent sélectionnent donc le débit de fluide. De plus, si l on s intéresse maintenant aux débits, la tance en E 5/3 pour la solution avec dodécanol s explique facilement par l expression du débit et le modèle de LLD sur l épaisseur. On obtient en effet : Q = πrdv eo = 0.818πRcR ηγ /3 (εζe) 5/3 (1) Néanmoins, cette tance, nous l avons vu, ne s applique pas à la solution sans dodécanol. Une piste possible pourrait être un effet de la gravité qui provoquerait un débit de haut en bas. Les vrais débits électro-osmotiques seraient alors sous-estimés et pourraient être relevés. L absence de ce problème avec le dodécanol pourrait être dû à un drainage par gravité bien plus lent (à l origine de la stabilisation des films par le dodécanol) et donc moins perceptible. Enfin, nous avons vu une grande dispersion de la mesure du potentiel zéta selon la méthode employée. La première ne requiert que l épaisseur. La seconde, via les débits, fait intervenir la loi d échelle de l épaisseur et l expression de la vitesse électro-osmotique tandis que la dernière concerne uniquement les vitesses électroosmotiques. Il est donc cohérent que la seconde méthode donne une valeur entre les deux autres. Nous n avons pas d explication tranchée à ces problèmes de mesures du potentiel zéta. Plusieurs pistes sont envisagées, comme par exemple un effet de la viscosité de surface ou du mouvement des surfactants. De plus, la dépance de K surf avec le champ électrique peut nous amener à réfléchir sur la pertinence de nos mesures d épaisseurs par conductance. D autres travaux sont nécessaires pour mieux comprre les différents phénomènes en jeu. École Normale Supérieure de Lyon 16 sur 18

20 g v eo veo v eo v su v su v su ➀ ➁ ➂ Figure 16: Différentes situations des profils de vitesse dans le film en fonction du glissement au paroi. ➀ : pas de glissement; ➁ : glissement modéré; ➂ : glissement fort. École Normale Supérieure de Lyon 17 sur 18

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