Université catholique de Louvain Ecole Polytechnique de Louvain MECANIQUE DES FLUIDES ET TRANSFERTS I. G. Winckelmans et V. Legat

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1 Université catholique de Louvain Ecole Polytechnique de Louvain MECANIQUE DES FLUIDES ET TRANSFERTS I G. Winckelmans et V. Legat Notes pour le cours MECA131 Partie II Année académique 8-9 version 5. du -3-9

2 Table des matières 4 Couches limites laminaires Introduction Etablissement des équations de la couche limite laminaire Approche physique Approche mathématique Solution pour le cas avec constant Blasius Epaisseurs de la couche limite Approche intégrale pour le cas général Couches limites thermiques cas Pr = 1 et constant cas Pr général, dissipation négligeable, et T w constants Couches limites en écoulement compressible cas Pr = 1 et constant Approche intégrale pour le transfert de chaleur i

3 Chapitre 4 Couches limites laminaires 4.1 Introduction Bien que le modèle du fluide parfait c-à-d non visquen écoulement incompressible et irrotationnel produise des résultats utiles et fondamentau, il a ses limites car il ne permet de calculer que des écoulements avec glissement du fluide le long de la paroi. Les fluides réels sont visqueu: ils ne glissent pas le long des parois; ils y adhèrent. La condition de non-glissement à la paroi est donc une caractéristique fondamentale des écoulements de fluides réels. Le fait que le fluide adhère à la paroi entraîne une production de tourbillon à celle-ci. Le tourbillon est produit à la paroi, diffuse de la paroi vers l écoulement, et est transporté par ce même écoulement le long de la paroi. Il s ensuit que l écoulement au voisinage de la paroi n est plus irrotationnnel: il contient du tourbillon. La zone proche de la paroi qui contient ce tourbillon est appelée couche limite de paroi. La compétition entre les phénomènes de diffusion et de convection du tourbillon détermine l épaisseur de la couche limite. Celle-ci est généralement mince, et d autant plus mince que le nombre de Reynolds caractéristique global de l écoulement est grand. Considérons, par eemple, l écoulement laminaire d un fluide autour d un profil de type aérodynamique et à faible angle d attaque, voir Fig La vitesse caractéristique globale est la vitesse amont, U. La dimension caractéristique globale est la corde du profil, c. Le nombre de Reynolds caractéristique global est donc Re = U c/ν. Le temps caractéristique global de convection inertie, transport est T c/u. Au sein de la couche limite, les effets de la viscosité sont du même ordre de grandeur que les effets d inertie. C est en fait là une façon de définir la couche limite: la couche limite est la région proche de la paroi où les effets visqueu sont aussi importants que les effets d inertie. On y reviendra dans la section suivante, lors du développement rigoureu des équations qui régissent la couche limite. Pour l eemple du profil aérodynamique considéré ici, on a donc que le temps T est aussi le temps caractéristique global de diffusion du tourbillon au sein de la couche limite. Durant T, le processus de diffusion va couvrir une épaisseur 115

4 ê y U ê Figure 4.1: Profil aérodynamique en écoulement réel, avec couche limite le long de la paroi. νt globale δc = O. On en conclut que ce qui conduit au égalités : δc c T δ c ν 1 = O U c/ν c U, = O Re. 4. Comparée à la corde du profil, la couche limite laminaire est effectivement d autant plus petite que le nombre de Reynolds global est grand. De plus, nous avons déjà obtenu la loi de variation. Nous verrons dans la suite que l approche rigoureuse du problème confirme bien ce résultat préliminaire. Que se passe-t-il en aval du profil? Le tourbillon de couche limite quitte la proimité de la paroi au bord de fuite et devient tourbillon de sillage. C est le cas idéal de bon fonctionnement aérodynamique du profil. Si, par contre, on augmente trop l angle d attaque, la couche limite à l etrados du profil quitte la paroi avant d atteindre le bord de fuite. On a séparation de la couche limite avant le bord de fuite: c est le cas de mauvais fonctionnement aérodynamique du profil. On parle alors de décrochage du profil. A noter que la séparation d une couche limite est, en général, un phénomène instationnaire: le point de séparation ne demeure pas au même endroit, le tourbillon de couche limite quitte la paroi de façon non continue et de gros tourbillons de sillage sont produits de façon intermittente. Ce chapitre a pour objet d eposer la théorie de la couche limite pour des écoulements incompressibles et laminaires. Le cas simple de l écoulement le long d une plaque plane et avec vitesse etérieure à la couche limite,, sera étudié en détail. La solution eacte de Blasius sera obtenue pour le cas constant. Le transfert de chaleur en couche limite sera aussi étudié, ainsi que l effet du nombre de Prandtl du fluide. 116

5 Les méthodes de solution pour les écoulements laminaires avec = sont étudiées en détail dans le cours Aérodynamique, de même que le cas des couches limites en écoulements turbulents. 4. Etablissement des équations de la couche limite laminaire 4..1 Approche physique On considère l écoulement laminaire bidimensionnel et stationnaire le long d une plaque plane. La plaque commence en = et s étend vers les >. La couche limite commence donc aussi en =. En l absence de couche limite, on a une vitesse de l écoulement qui est connue Par eemple, calculée en utilisant l approimation en fluide parfait. On suppose que la couche limite est assez mince pour que la vitesse en dehors de la couche limite,, puisse effectivement être approimée par la vitesse obtenue sans couche limite. Au sein de la couche limite, la vitesse passe d une valeur nulle à la paroi condition de non-glissement à la valeur. Au vu des constatations précédentes, il est logique de supposer que l épaisseur locale de la couche limite, δ, à la distance par rapport au début de la plaque est faible par rapport à cette distance: δ. Au sein de la couche limite, la vitesse u, y est de l ordre de : u = O. La dérivée u/ y est donc O /δ. Il est clair que la vitesse varie beaucoup moins vite en qu en y. La dérivée u/ est O /. On a donc: u = O ue u y = O ue, δ u = O ue u y = O ue. 4.3 δ Notons par V l ordre de grandeur de v, y dans la couche limite: v = OV. On peut donc écrire: v V y = O. 4.4 δ D autre part, l équation de continuité, u/ + v/ y =, implique aussi que l on ait: v y u = O ue. 4.5 On a donc: v V y = O = O δ 117 ue, 4.6

6 ce qui, en fait, détermine l ordre de grandeur de v pour la couche limite: δ v = OV = O. 4.7 La vitesse v est donc effectivement beaucoup plus petite que la vitesse u. L équation de quantité de mouvement en est: u u + v u y = 1 ρ p + ν u + u y. 4.8 Considérons d abord les termes d inertie. On obtient, pour les ordres de grandeur: u u = O ue, v u δ y = O ue ue = O. 4.9 δ Les deu termes d inertie sont donc du même ordre de grandeur: on ne peut pas négliger l un par rapport à l autre. Pour les termes de diffusion visqueuse, l équation 4.3 implique que la diffusion en est négligeable par rapport à la diffusion en y. Cette dernière est donc la seule à considérer. Son ordre de grandeur est: u ν y = O ν u e. 4.1 δ La couche limite étant la zone de l écoulement proche de la paroi où les effets de viscosité sont aussi importants que les effets d inertie c est en fait là une façon de la définir, il s ensuit nécessairement que l on ait: et donc u u v u y ν u y = O ue = O ν u e δ, 4.11 δ ue = O 1/. 4.1 ν On a aussi obtenu, de façon plus formelle, la même epression que lors de l introduction. Qu en est-il du terme p/ /ρ? Comme il constitue un des termes de l équation de quantité de mouvement en, il est nécessairement soit négligeable soit aussi Ou e /. En dehors de la couche limite, l écoulement est irrotationnel: l équation de Bernoulli y est donc satisfaite. La pression en dehors de la couche limite, p = p e, est donc régie par la relation: p e + = B, 4.13 ρ et donc, de façon équivalente, par: 1 ρ dp e d = d d 118

7 Considérons maintenant l équation de quantité de mouvement en y: u v + v v y = 1 ρ p y + ν v + v y Les termes d inertie sont de nouveau du même ordre de grandeur: u v v v y O V V = O δ δ = O. 4.15, 4.16 La diffusion en est négligeable par rapport à la diffusion en y. Cette dernière est de l ordre de u ν y = O ν V = O ν δ 4.17 δ δ Par Eq. 4.1, on en déduit que les termes d inertie et de diffusion en y sont de nouveau du même ordre de grandeur: ils sont O δ/ /. Le terme p/ y /ρ est donc aussi, au plus, O δ/ /. Par série de Taylor, la pression au sein de la couche limite est donc, au plus, de l ordre de p, y = p e + y δ p y y=δ +..., 4.18 ce qui donne, comme ordre de grandeur: p, y ρ = p e ρ + O δ δ δ = p e + O u e ρ δ = B 1 O Le terme de correction étant en δ/, on peut donc certainement le négliger et considérer que la pression ne varie pas au travers de la couche limite. On prend donc p, y = p e, ce qui donne: 1 p ρ = 1 dp e ρ d = d. 4. d Les équations de la couche limite équations de Prandtl sont donc finalement obtenues: u + v y u u + v u y =, 4.1 = d d + ν u y. 4. A noter, en passant, que le cas particulier constant correspond à dp e /d =. 119

8 4.. Approche mathématique On considère ici une approche plus formelle et mathématique pour l établissement des équations de la couche limite. La couche limite se développe le long d une plaque qui commence en =. Pour simplifier, on considère que la plaque est plane, mais cette hypothèse n est en fait pas limitative. On considère les équations de la couche limite au voisinage du point X fié, et avec vitesse etérieure U e fiée U e = X. En définitive, il y a alors deu grandeurs caractéristiques X et U e, et toutes deu constantes dans l analyse. Le nombre de Reynolds est Re = U e X/ν. L écoulement est fonction de X, U e et ν seulement. On cherche à voir comment l écoulement se comporte pour Re grand, en supposant cependant qu il reste laminaire. Pour cela, on adimensionalise les équations avec X et U e, et on fait Re. On considère donc une famille d écoulements fictifs, paramétrés par Re, qu on fait tendre vers l infini similitude dynamique. L écoulement asymptotique obtenu par le passage à la limite est une bonne approimation de l écoulement réel, correspondant à une valeur précise de Re. La comparaison entre les divers écoulements et donc le passage à la limite n est possible qu en adimensionalisant les équations. Une première adimensionalisation, élémentaire, fait apparaître les équations d Euler pour Re. c est l écoulement dit eterne, correspondant au modèle du fluide parfait. cet écoulement ne respecte pas les conditions sur la plaque. Une seconde adimensionalisation est alors introduite pour faire apparaître la couche limite et les équations de Prandtl. Définissons d abord δ = X Re 1/. Il est clair que la grandeur δ n est pas eactement l épaisseur de la couche limite. C est un ordre de grandeur de cette épaisseur. En fait, l épaisseur de la couche limite est un concept peu précis et encore à définir: nous y reviendrons en temps opportun. Considérons donc la mise sous forme adimensionnelle des équations de la couche limite en utilisant les variables prime suivantes adimensionnelles: = X, y = δ y, u = U e u, v = V v, et p = ρ U e p, 4.3 où V est encore à déterminer. L équation de continuité devient: et donc: U e X u = V X U e δ u + V δ v y =, 4.4 v = V 1/ v Re. 4.5 y U e y 1

9 On considère la similitude dynamique avec Re. Pour que l équation ne dégénère pas lorsque Re principe de moindre dégénérescence, on doit donc prendre: V = U e Re 1/. 4.6 On obtient alors: u + v y =. 4.7 Considérons ensuite l équation de quantité de mouvement en. On obtient: U e u u u + v = U e p X y X + ν U e u X + ν U e u δ y. = U e p X + ν U e δ u δ X + u y. = U e p X + U e Re 1 u X + u y. 4.8 On a donc: qui, lorsque Re, se réduit à: u u u + v = Re p y + 1 u + u y, 4.9 u u u + v = p y + u y. 4.3 Pour l équation de quantité de mouvement en y, on obtient: U e V X u v v + v = U e y δ p y + ν V δ δ v X + v y On a U e /δ = Re 1/ U e /X. Comme V = Re 1/ U e, on a aussi U e V/X = Re 1/ U e /X et ν V/δ = Re 1/ ν U e /δ = Re 1/ U e /X. Ceci permet d écrire: Re 1/ U e X On a donc, finalement: Re 1 u v u v v + v = Re 1/ U e y X v + v y = p y + Re 1 p y + U Re 1/ e X Re 1 v + v y Re 1 v + v y. 4.3, 4.33 qui, lorsque Re, se réduit à: p y =

10 1 8 U e X ν U e ζ ν 6 4 U e δ ν U e X ν Figure 4.: Schéma des échelles: échelle d épaisseur de la couche limite, δ, échelle intermédiaire de raccordement, ζ, et échelle de longueur le long de la plaque, X. La pression ne varie donc pas au travers de la couche limite. Les conditions à la paroi sont: u = v = en y =. Les conditions loin de la paroi sont les conditions de raccordement entre l écoulement Prandtl et l écoulement Euler. Pour fier les idées, considérons la grandeur ζ définie par ζ = X Re 1/4. Clairement, dès que Re 1, on a: δ ζ = Re 1/4 1 et ζ X = Re 1/ ζ est donc une échelle intermédiaire entre δ et X: dès que Re 1, on a que δ ζ X, voir Fig. 4.. Le raccordement Prandtl-Euler se fait dans une zone à hauteur Oζ. Pour les valeurs de Re de plus en plus grand, la solution adimensionnelle a une valeur unique au raccordement en notant que cette solution adimensionnelle ne dépend que de Re et que les adimensionalisations de t de p sont les mêmes hors couche limite et dans la couche limite. Cependant, l ordonnée adimensionnelle de raccordement est ŷ = ζ/x pour la zone eterne et y = ζ/δ pour la zone interne zone de couche limite. En faisant tendre Re vers l, cette ordonnée de raccordement tend vers pour la zone eterne et vers l pour la zone interne. Revenant au variables dimensionnelles, puisque le facteur de proportionalité est le 1

11 même, on a donc comme conditions de raccordement asymptotiques: lim u, y = lim, y =,, y y lim y p, y = lim y p e, y = p e, De plus, comme p/ y = dans la couche limite, la pression y vaut partout p e,. Le problème de Prandtl s écrit donc finalement: u + v y u u + v u y =, 4.37 = 1 p e ρ, + u ν 4.38 y et u, = v, =, 4.39 lim u, y =,. 4.4 y Finalement, et comme l écoulement hors couche limite satisfait l équation de Bernoulli, le terme 1 p e, peut aussi s écrire u ρ e, ue,. 4.3 Solution pour le cas avec constant Blasius On considère ici le cas simple avec, constant: u + v y u u + v u y =, 4.41 = ν u y. 4.4 C est le problème dont la solution a été obtenue par Blasius. Comme l écoulement est incompressible, le champ de vitesse est déterminé par une fonction de courant, ψ, telle que u = ψ/ y et v = ψ/. L equation de continuité est alors satisfaite. La similitude de la solution requiert que: u y = g = gη, 4.43 δ avec η = y/δ, la variable de similitude où: δ = ue ν 1/ = Re 1/ = 1/ ν

12 Le facteur n est pas nécessaire Blasius ne l avait pas utilisé. Cependant, il permet d éviter un autre facteur par la suite. Pour les dérivées partielles de η, on obtient avec η = y δ δ = η δ δ, η 1 = y δ, 4.45 δ = 1 Re 1/ La fonction de courant est nécessairement de la forme En effet, cette forme conduit à: ψ = δ fη u = ψ y = δ f 1 η δ = f η Le profil de vitesse, gη, est donc gη = f η. La fonction de courant donne aussi la vitesse v: v = ψ = δ fη δ f η η δ = δ η f η fη δ Pour les dérivées du champ de vitesse, on obtient: Les termes d inertie sont donc: u = f η η δ δ, u = f 1 η y δ, u = u y e f 1 η δ. 4.5 u u = f η f η η δ δ, v u y = f η η f η fη δ δ Nous avons finalement tous les termes à introduire dans l équation de quantité de mouvement en, u u + v u y = u ν y,

13 soit: δ δ fηf η = ν 1 δ f η, f η + ν δδ fη f η = Finalement, comme on a δδ =, on obtient bien une équation différentielle ordinaire EDO pour fη: Re f η + fη f η = Il s agit d une EDO non-linéaire et du 3ème ordre. Remarquons, en passant, que si nous n avions pas utilisé le facteur dans la définition de δ, nous aurions obtenu un facteur dans l EDO: f η + 1 fη f η =, forme moins canonique que celle ci-dessus, mais tout aussi valable. L EDO obtenue requiert trois conditions au limites. On a: u = à la paroi, ce qui requiert d avoir f =. On a aussi: v = à la paroi, ce qui requiert f =. La paroi est donc une ligne de courant: ψ = à la paroi. Finalement, le raccordement avec l écoulement Euler requiert d avoir: lim η f η = 1. On a donc: f =, f =, lim η f η = Cette équation n a pas de solution analytique. Elle doit donc être résolue par intégration numérique. Pour ce faire, on la réécrit sous forme d un système de trois équations différentielles ordinaires du premier ordre: f η = gη, g η = hη, h η = fη hη Le système est donc de la forme ds/dη = Fs avec s = f, g, h T et Fs = g, h, f h. Pour l intégrer numériquement, on utilise, par eemple, un schéma de Runge-Kutta. On débute l intégration en η =, avec f =, g = f = et h = f deviné méthode de tir, shooting method. On intègre numériquement jusqu au grandes valeurs de η, et on eamine alors f η. On itère la procédure sur le choi de f jusqu à ce que l on obtienne bien que f η 1 lorsque η. On obtient ainsi f = Le profil de contrainte de cisaillement est On a aussi, pour la vitesse v: τ = µ u y = µ δ f η lim η f η fη = η Etant donné qu il y a le terme multiplicatif δ, la vitesse v à la frontière de la couche limite est effectivement petite; mais néanmoins non nulle. Ceci provient du fait que, 15

14 6 1 5 fη.8 f η η η f η 1 η f η fη η η Figure 4.3: Solution de Blasius pour la couche limite avec constant: profils de fonction de courant, ψ/ δ = fη, de vitesse, u/ = f η, de contrainte de cisaillement, τ δ/µ = f η et de vitesse v/ δ = η f η fη. comme la couche limite grandit lentement en, il faut bien, par conservation de la masse, qu il y ait un petit débit de fuite. Les profils de fonction de courant, ψ/ δ = fη, de vitesse, u/ = f η = gη, de contrainte de cisaillement, τ δ/µ = f η = g η = hη et de vitesse v/ δ = η f η fη ainsi obtenus sont présentés à la Fig Qu en est-il du frottement à la paroi? La contrainte de cisaillement à la paroi, τ w, est: τ w ρ = ν u = ν y y= δ f = u e f 16 ue 1/ ν

15 Le coefficient adimensionnel de frottement local, C f, est donc: C f = τ w ρ / = f ue ν 1/ ue 1/ =.664 =.664 Re 1/. 4.6 ν La force D, par unité de largeur, eercée par l écoulement sur la plaque i.e., la force de traînée: Drag en anglais, et correspondant à la partie de la plaque entre = à = X est obtenue par intégration: DX = X τ w d = ρ f X Le coefficient de frottement moyen est donc: ue 1/ d = ν f X 1/ ue X. ν 4.61 C f,m X = DX 1/ 1/ X ρ / = f ue X ue X = 1.38 = 1.38 Re 1/. ν ν 4.6 Il est clair qu on a aussi, par définition de la moyenne, que C f,m X = 1 X X C f d Finalement, on note aussi que, dans le cas de la couche limite avec constant, C f,m = C f. 4.4 Epaisseurs de la couche limite Comme epliqué précédemment, la grandeur δ n est pas l épaisseur de la couche limite. C est un ordre de grandeur de cette épaiseur. Il est difficile de définir l épaisseur de la couche limite: en effet, le profil de vitesse est une fonction continue qui tend asymptotiquement vers. On parle souvent d épaisseur à 99%. C est simplement la distance à la paroi telle que u =.99, pour laquelle on a: η = On a donc δ.99 = 3.47 ue 1/ = 4.91 Re 1/ ν Si on considère plutôt u =.95 comme mesure de l épaisseur de la couche limite, on obtient η =.77 et donc δ.95 =.77 ue 1/ = 3.9 Re 1/ ν Par contre, si on considère u =.999, on obtient η = 4.5 et donc δ.999 = 4.5 ue 1/ = 6. Re 1/ ν 17

16 y δ.99 δ 1 u/ Figure 4.4: Concept d épaisseur de déplacement, δ, pour une couche limite. Le concept d épaisseur de couche limite est donc fort peu précis. Un concept beaucoup plus précis est le concept d épaisseur de déplacement, δ. C est la distance à la paroi telle que le débit du profil de vitesse incluant la couche limite soit le même que le débit sans couche limite pour une paroi déplacée de l épaisseur δ, voir Fig On a donc, pour tout ζ δ: et donc: ζ ζ u dy = ζ δ = dy δ, 4.67 δ = ζ 1 uue dy Ecrite sous cette forme, l intégrale est clairement rapidement convergente. On écrit en fait souvent: δ = 1 uue dy 4.69 où l infini sous-entend toute grandeur ζ δ. Pour la couche limite avec constant, on obtient: δ δ = 1 u dy δ = 1 f η dη = 1.17, 4.7 et donc: δ = 1.71 ue 1/ = 1.71 Re 1/ ν 18

17 Finalement, pour les couches limites, on définit aussi l épaisseur de quantité de mouvement, θ qui s avérera très utile dans la formulation intégrale des équations de la couche limite, voir plus loin: u θ = 1 uue dy. 4.7 Pour la couche limite avec constant, on obtient: θ δ = u 1 u dy δ = f η 1 f η dη =.47, 4.73 et donc: θ =.664 ue 1/ =.664 Re 1/ ν Pour la couche limite avec constant, on a donc: θ = C f,m On a en fait obtenu ici la signification physique de l épaisseur de quantité de mouvement dans le cas avec constant. En effet la relation, C f,m X = DX X ρ / = θx X 4.76 entraîne l égalité: DX = ρ θx L épaisseur de quantité de mouvement, θx, correspond donc à la force de traînée normalisée, D/ρ, eercée par la plaque sur le fluide entre = et = X. De même, pour tout couple X 1, X, la différence, θx θx 1, correspond à la force de traînée normalisée eercée par la plaque sur le fluide entre = X 1 et = X. Le déficit de quantité de mouvement de la couche limite entre X 1 et X est donc θx θx 1, et ce déficit correspond à la force eercée par le milietérieur ici, la plaque sur le système ici le fluide. 4.5 Approche intégrale pour le cas général Pour les couches limites laminaires, il y a peu de solutions eactes, i.e., de solutions de similitude de la forme u/ = gη avec η = y/δ et δ = /ν 1/. En fait, il y a 1 la solution de Blasius développée ci-dessus pour le cas uniforme, et la solution de Falkner-Skan pour le cas = C α voir cours Aérodynamique et dont la solution de Blasius n est en fait que le cas particulier α =. Comme il n y a pas de solution eacte pour les autres cas que l on rencontre pourtant dans la réalité, il est 19

18 nécessaire de développer une approche simplifiée et qui permette encore d obtenir des grandeurs globales telles que δ, θ, C f, C f,m. L approche intégrale de von Karman constitue une telle approche. Elle peut s obtenir, soit par intégration des équations de la couche limite en y, de la paroi jusqu à la zone de raccordement avec l écoulement irrotationnel etérieur, soit à partir de la conservation de la masse et de la quantité de mouvement appliquée à un volume de contrôle différentiel tel que présenté à la Fig Nous considérons ici la seconde approche car on peut l aborder de manière plus physique et plus simple. Nous considérons le cas général des écoulements incompressibles ou compressibles. ζ B p e, Q BD M BD D ζ + d dζ Q AB M AB p e p e + d Q CD M CD A τ w d C + d Figure 4.5: Approche intégrale de von Karman: volume de contrôle différentiel. On a: et: La conservation de la masse demande que le débit sortant soit égal au débit entrant: ζ Q CD = ρ u dy +d Q CD + Q BD Q AB = ζ Q AB = ρ u dy ζ = ρ u dy d d ζ ρ u dy. 4.8 d On obtient dès lors, pour le débit sortant de la couche limite par sa frontière etérieure: Q BD = d d ζ ρ u dy d 13

19 La conservation de quantité de mouvement demande que la différence entre le flu sortant et le flntrant soit égale à la somme des forces subies par le fluide. On considère la composante en de la quantité de mouvement. On doit donc avoir l égalité: Pour les intégrales de flu, on obtient: M AB = M CD = M BD M CD + M BD M AB = F AB F CD + F BD F AC. 4.8 ζ ρ u dy ζ ρ u dy, 4.83 ζ = ρ u dy + d d ζ ρ u dy, 4.84 d ζ ρ u dy d = Q BD = d d d Pour les forces agissant sur le volume de contrôle, on obtient: F AB = p e ζ, 4.86 F CD = p e ζ = p e ζ + d d +d d p e ζ F BD = p e dζ = p e d dζ 4.88 d Finalement, il vient: F AC = dτ w d d ζ ρ u dy d d ζ ρ u dy d d On a donc établi que, pour tout : d ζ ρ u dy d d ζ = d = d ζ d résultat que l on réécrit sous la forme: ρ u dy ζ dp e ρ u dy = d d d p e ζ + p e d dζ dτ w, d = dζ dp e dτ w. 4.9 d d τ w;, ζ ρ u dy due d ζ dp e d τ w, 4.91 d ζ ζ due ρ u u dy + ρ u dy d d = ζ dp e d τ w

20 Dans le cas général écoulements incompressibles ou compressibles, l épaisseur de déplacement est définie à partir de la relation: qui donne: ζ δ = ρ u dy = ρ e ζ δ, 4.93 ζ 1 ρ u dy ρ e L équation 4.9 devient donc: d ζ d ρ u u dy + ρ e d d ζ δ = ζ dp e d τ w Comme dp e /d + ρ e d /d = en dehors de la couche limite Euler, les termes en ζ se simplifient. Il reste: d ζ d ρ u u dy ρ e d d δ = τ w L épaisseur de quantité de mouvement est définie, dans le cas général, par: ζ ρ u θ = 1 uue dy ρ e L équation intégrale de von Karman est finalement obtenue comme: Le coefficient de frottement étant défini par l égalité: d ρe u e θ d + ρ e d d δ = τ w C f = τ w ρ e /, 4.99 la forme adimensionnelle de l équation intégrale de von Karman s écrit, pour le cas général, sous la forme: dθ d + 1 ρ e d ρe u e θ + 1 d d d δ = C f, dθ d + 1 ρ e dρ e d θ + 1 d d θ + δ = C f. 4.1 Le rapport H def = δ /θ constitue ce que l on appelle le facteur de forme de la couche limite. On écrit donc aussi: dθ 1 d + dρ e ρ e d + + H 1 d θ = C f d

21 Le cas des écoulements incompressibles est obtenn prenant ρ e = ρ constant. On a alors, plus simplement: dθ d + 1 d d θ + δ = C f, dθ d + + H 1 d d θ = C f. 4.1 Dans le cas de la couche limite avec constant, l équation intégrale se réduit simplement à dθ/d = C f /: le tau d augmentation de l épaisseur de quantité de mouvement est alors directement proportionnel au coefficient de frottement. L intégration de l équation de von Karman donne alors aussi: θ/ = C f,m / eercice. 133

22 4.6 Couches limites thermiques Considérons le cas général en écoulements incompressible. L équation de l énergie s eprime alors en terme d energie interne, U, avec du = ct dt: ρ DU Dt = τ ji d ij q j j, = µ d ji d ij + j k T j Au sein de la couche limite, celle-ci se réduit à ρ u U + v U = µ y u + k T y y y En toute généralité, µ, k et c sont fonctions de la température, T. Si on multiplie l équation de quantité de mouvement, ρ u u + v u = dp e y d + µ u, 4.15 y y par u, on obtient: ρ u u + v u y = u dp e d + u µ u y y Si on additionne cette équation avec celle de l énergie interne, on obtient l équation pour l énergie interne totale, U = U + u /: ρ u U + v U y = u dp e d + u µ u u + µ + k T, y y y y y = u dp e d + µ u u + k T, y y y y = u dp e d + µ u + k T, y y y = u dp e d + u µ + k U y y µ c y On se souvient du nombre de Prandtl, Pr = µ c. Le coefficient de diffusivité thermique, k α = k ν est donc aussi α =. Bien que µ, k et c sont tous fonctions de T, le nombre ρ c Pr de Prandtl l est relativement peu pour les gaz: en effet, c varie peu avec la température, µ et k varient significativement ils croissent mais presque en proportion. Par eemple, à pression atmosphérique, l air a Pr =.71 à C et Pr =.69 à 1 C. Par contre, pour les liquides, le nombre de Prandtl varie rapidement avec la température: en effet, 134

23 c varie peu, la viscosité µ décroît rapidement et k croît lentement. Par eemple, l eau a Pr = 6.9 à C, Pr = 3.5 à 5 C et Pr =. à 8 C. L approimation consistant à considérer que Pr n est pas fonction de T est donc souvent très bonne pour les gaz. Elle l est beaucoup moins pour les liquides, sauf, bien sûr, lorsque les variations de température pour le problème considéré sont faibles. Pour la suite, on considère uniquement les cas avec constant, et donc: ρ u U + v U = u µ + 1 U y y y Pr y cas Pr = 1 et constant Nous eaminons ici plus en détail le cas avec constant et Pr = 1. L équation 4.18 se simplifie alors en: ρ u U + v U = µ U y y y En comparant l équation 4.15 avec = et l équation 4.19, on constate que les grandeurs t U satisfont la même équation. Il s ensuit qu il doit y avoir une relation linéaire entre les deu profils: U = A u + B Cette constatation constitue la relation de Crocco en couche limite incompressible. A noter que, tant que Pr = 1, elle est même valable pour des fluides à grandeurs non constantes. Les constantes A et B sont déterminées à partir des conditions au limites. Considérons d abord le cas d une couche limite avec paroi à température constante: T = T w = constante. On obtient alors que B = U w. Le raccordement avec y= l écoulement hors couche limite donne aussi: U e = A + B = A + U w, et donc: A = U e U w = U e U w + u e / La relation de Crocco devient donc, finalement: U U w = U e U w u, U U w + u = U e U w + u La signification physique de la constante A est facilement obtenue. En effet, par différentiation de la relation de Crocco, on obtient: U y + u u y = c T y + u u y = A u y

24 A la paroi, cette relation donne: c T = A u, y y= y y= et donc, puisque Pr = 1, k T = A µ u, y y= y y= q w = A τ w La constante A constitue donc le rapport entre le flu de chaleur à la paroi et la contrainte de cisaillement à la paroi. Dans le cas où les grandeurs caractéristiques du fluide, µ, k et c sont constantes, l écoulement est donné par la solution de similitude eacte de Blasius, u/ = f η. Puisque du = c dt dans ce cas, la relation de Crocco devient: c T T w + u = c T e T w + En divisant par u e /, on obtient c T T w u c Te T w + = / / u u Le profil de température est donc obtenu comme: c T T w c Te T w = + 1 f η f η / / Un autre cas est le cas d une couche limite sans transfert de chaleur à la paroi cas adiabatique: q w = et donc A =, et donc U = constante. L énergie interne totale est constante au travers de la couche limite. Ce cas correspond effectivement à une solution particulière de l équation On a donc et donc U + u = U e + u e, 4.1 U U e = u Dans le cas avec c constant, cette relation fournit le profil de température: c T T e / En particulier, la température de paroi est telle que: c T w T e / = 1 f η =

25 4.6. cas Pr général, dissipation négligeable, et T w constants On considère ici les fluides dont le nombre de Prandtl est différent de l unité. La relation de Crocco n est donc plus satisfaite. Cependant, si on considère les écoulements pour lesquels le terme de dissipation visqueuse au sein de la couche limite est négligeable par rapport au terme de conduction de chaleur, on peut encore obtenir des solutions eactes. L ordre de grandeur des termes de dissipation visqueuse et de conduction de chaleur est: ue µ et k T e T w 4.14 δ avec δ T l épaisseur caractéristique de la couche limite thermique. Pour que la dissipation visqueuse soit négligeable par rapport à la conduction de chaleur, il faut donc que: δ T oncore: µ ue T e T w k δ δt, 4.15 µ k T e T w δt δ = µ c k c T e T w δt δ = Pr Ec δt δ 1, 4.16 avec Ec le nombre de Eckert. On a aussi déjà obtenu, par considérations physiques comparaison entre les termes de convection et de diffusion de u, que δ varie comme / 1/. ν De la même manière, on obtient, par comparaison entre les termes de convection et de diffusion de T, que δ T varie comme / 1/. Ob obtient donc que α δ T α 1/ δ 1 = ν Pr1/ La condition adimensionnelle pour que le terme de dissipation visqueuse soit négligeable par rapport au terme de conduction de chaleur est donc, finalement, que Ec 1. Dans ce cas, l équation de l énergie se réduit à: ρ u U + v U = k T y y y Dans le cas d un fluide avec propriétés constantes, cette équation devient: u T + v T y = k T ρ c y = ν Pr T y Dans le cas d une couche limite avec température de paroi, T w, constante, on peut espérer obtenir une solution de similitude de la forme: T T w T e T w = Θη

26 En développant les différents termes à faire en eercice, l équation de l énergie se réduit à l équation différentielle ordinaire suivante: Θ η + Pr fη Θ η = Puisque la fonction fη est une fonction connue Blasius, il s agit en fait d une EDO du premier ordre pour Gη = Θ η. Les conditions au limites sont Θ = et lim η Θη = 1. Cette équation s écrit aussi, en utilisant un facteur d intégration: Gη ep Pr η fζ dζ =, 4.13 dont la solution est η Gη ep Pr fζ dζ = C Intégrée une fois de plus, cette relation nous donne: η ξ Θη = C ep Pr fζ dζ dξ + D Les conditions au limites déterminent les constantes d intégration. Le profil de température finalement obtenst: η T T ep Pr ξ fζ dζ dξ w = Θη = T e T w ep Pr ξ fζ dζ dξ La figure 4.6 montre les profils de température obtenus pour différentes valeurs de Pr. On vérifie bien que, au plus le nombre de Prandtl est grand, au plus l épaisseur de la couche limite thermique, δ T, est petite par rapport à l épaisseur de la couche limite de vitesse, δ. On peut aussi vérifier, a posteriori, le résultat attendu que δ T /δ 1/ Pr. Comme elles sont valables pour tout Pr avec Ec 1, on peut réeaminer le cas Pr = 1 et le comparer avec la solution eacte de Crocco qui, elle, ne néglige pas la dissipation visqueuse et est donc aussi valable pour de grandes valeurs de Ec. Avec Pr = 1, l équation différentielle se réduit à Θ η + fη Θ η = En comparant cette équation différentielle avec celle qui a été écrite pour fη, Eq. 4.54, dont les conditions au limites sont f = et lim η f η = 1, on obtient immédiatement la solution: Θη = f η car même EDO et même conditions au limites. On obtient donc: T T w T e T w = u = f η Ce résultat est à comparer avec le résultat eact de Crocco pour Pr = 1, Eq Cette concordance est logique: en effet, lorsque Ec 1, on a c T e T w et la relation de Crocco devient essentiellement: c T T w c T e T w u,

27 1. Θη Pr = η Figure 4.6: Profils de température pour le cas P r général, dissipation négligeable, et T w constants. qui correspond bien au résultat Retournons au cas Pr géneral et Ec 1. Le flu de chaleur à la paroi est aussi obtenu: = k T e T w Θ y= q w = k T y 1 δ = k T e T w Θ ue 1/ ν En terme adimensionnel, on définit le nombre de Nusselt: q w Nu = k T w T e = Θ δ = Θ ue 1/ Θ = Re 1/ ν Le profil de température donne aussi: Θ 1 = ep Pr ξ fζ dζ dξ Certaines valeurs numériques sont reprises dans le tableau ci-dessous. Une approimation, également rapportée dans le tableau pour comparaison, est donnée par la relation: L approimation donne alors: Θ.33 Pr 1/ Nu.33 Pr 1/3 Re 1/

28 A noter que cette approimation n est pas si bonne que cela pour les fluides avec Pr <.1. Pr Θ /.33 Pr 1/ Au lieu du nombre de Nusselt, on utilise souvent le nombre de Stanton: q w St = ρ c T w T e Ces nombres sont liés. En effet: St = q w k T w T e µ ρ Avec l approimation ci-dessus, on obtient: k µ c = Nu Re 1 Pr St.33 Pr /3 Re 1/ Si on compare ce résultat avec celui obtenu pour le coefficient de frottement, Eq. 4.6, on obtient: St Pr /3 C f Cette égalité constitue l analogie de Reynolds : pour les couches limites avec constant, Pr général mais Ec 1 et T w constant, le coefficient de transfert de chaleur eprimé en nombre de Stanton et le coefficient de frottement sont dans un rapport bien déterminé, et qui ne dépend que du nombre de Prandtl du fluide. Cette analogie s avère très utile en ingénierie. Elle permet, par eemple, de calculer le transfert de quantité de mouvement à la paroi i.e., le frottement à partir d une mesure du transfert de chaleur à la paroi. Elle peut aussi être utilisée de façon inverse. Bien que l analogie ne soit strictement valable qu en couche limite avec constant, on l utilise aussi souvent, en ingénierie, comme approimation dans le cas de couches limites avec non constant. 4.7 Couches limites en écoulement compressible Les équations de la couche limite en écoulement compressible sont facilement obtenues par etension de l analyse développée ci-avant. En plus de la loi de constitution p = ρ R T, de la conservation de la masse et de la quantité de mouvement, Dρ Dt + ρ d mm =, ρ Du i Dt = p i + τ ji j,

29 on doit aussi considérer l équation de l énergie. Eprimée en enthalpie, H, avec dh = c p dt, elle s écrit: ρ DH Dt = Dp Dt + τ ji d ij + k T j j Au sein de la couche limite, ces équations deviennent: ρ u + ρ v =, y ρ u u + v u = dp e y d + µ u, 4.15 y y ρ u H + v H = u dp e u y d + µ + k T y y y En toute généralité, les grandeurs µ, k et c p sont fonctions de la température, T. Si on multiplie l equation de quantité de mouvement par u, on obtient: ρ u u + v u = u dp e y d + u µ u y y Si on additionne cette équation avec celle de l enthalpie, on obtient l équation pour l enthalpie totale, H = H + u /: ρ u H + v H = u µ u u + µ + k T, y y y y y y = µ u u + k T, y y y y = µ u + k T, y y y = u µ + 1 H y y Pr y avec Pr = µ cp k. A noter que, bien que µ, k et c p soient fonctions de T, le nombre de Prandtl l est relativement peu pour les gaz. L approimation, consistant à considérer que le nombre de Prandtl Pr n est pas fonction de T, est donc souvent très bonne cas Pr = 1 et constant Nous eaminons plus en détail le cas avec constant et Pr = 1. L équation se simplifie: ρ u H + v H = µ H y y y Les grandeurs t H satisfont alors la même équation. Il s ensuit qu il doit y avoir une relation linéaire entre ces deu grandeurs: H = A u + B

30 Cette relation constitue la relation de Crocco pour les couche limites compressibles. Les constantes A et B sont déterminées à partir des conditions au limites. Dans le cas d une couche limite avec température de paroi constante, T y= = T w = constante, on obtient finalement: H H w = H e H w u, H H w + u = H e H w + u Dans le cas d un fluide calorifiquement parfait c p pas fonction de T, on a dh = c p dt et donc: c p T T w + c u = p T e T w + u e u Le profil de température est dès lors obtenu comme: c p T T w / cp T e T w u u = / La constante A constitue donc le rapport entre le flu de chaleur et la contrainte de cisaillement à la paroi. Dans la cas d une couche limite sans transfert de chaleur à la paroi cas adiabatique: q w =, l enthalpie totale est constante: Donc, pour un fluide caloriquement parfait, il vient: H + u = H e + u e c p T T e / u = En particulier, la température de paroi est telle que: c p T w T e / = Approche intégrale pour le transfert de chaleur L approche intégrale de von Karman s applique aussi au transfert de chaleur. De nouveau, elle peut s obtenir, soit par intégration des équations de la couche limite en y, de la paroi jusqu à la zone de raccordement avec l écoulement Euler etérieur, soit à partir des conservations de la masse et de l énergie appliquées à un volume de contrôle tel que présenté à la Fig. 4.7 Nous utilisons de nouveau la seconde approche. 14

31 Q BD ζ B E BD D ζ + d Q AB Q CD E AB E CD A q w d C + d Figure 4.7: Approche intégrale de von Karman pour le transfert de chaleur: volume de contrôle différentiel. La conservation de l énergie demande que la différence entre le flu sortant et le flu entrant soit égale à l apport reçu par le fluide: E CD + E BD E AB = E AC Considérons d abord le cas des écoulements compressibles. On travaille en enthalpie totale, H : ζ E AB = ρ u H dy, ζ E CD = ρ u H dy +d ζ = ρ u H dy + d d ζ ρ u H dy, d E BD = H e Q BD = H e d d ζ ρ u dy d L apport reçu par le fluide provient de l échange de chaleur avec la paroi: Finalement, on obtient: d d ζ ρ u H dy d E AC = d q w H e d d ζ ρ u dy = dq w d 143

32 On a aussi établi que, pour tout : d ζ ρ u H dy d d ζ = H e d = d ζ H e d ρ u dy + q w, ρ u dy + q w où la seconde égalité provient du fait que l enthalpie H e est conservé en dehors de la couche limite: dh e /d =. Finalement, il vient: d ζ ρ u H H e dy = q w d L épaisseur d enthalpie totale est définie par Rappel: H w = H w puisque u w = : ζ ρ u θ H = 1 H H ζ w ρ u He H dy = dy ρ e H e H w ρ e H e H w ζ ρ u H H e = dy ρ e H w H e L équation intégrale de l énergie est donc finalement écrite sous la forme: dont la forme adimensionnelle est: dθ H d + 1 ρ e dρ e d + 1 d d + 1 H w H e d d ρ e H w H e θ H = q w dh w θ H = d avec la définition classique du nombre de Stanton. q w ρ e H w H e = St Le cas des écoulements incompressibles est obtenn prenant ρ e = ρ uniforme et en remplaçant, dans l analyse de bilan ci-avant, l enthalpie totale par l énergie interne totale: U = U + u /. Si on définit l épaisseur d énergie interne totale par la relation: ζ u θ U = 1 U U ζ w u U U e dy = dy, U e U w U w U e on obtient, comme équation intégrale, l équation: dont la forme adimensionnelle est: dθ U 1 d + d d + 1 U w U e ρ d d U w U e θ H = q w du w θ U = d 144 q w = St ρ U w U e

33 De nouveau, le membre de droite est le nombre de Stanton classique. Vérifions que l équation intégrale de l énergie est en accord avec les résultats précédents dans le cas simple de la couche limite d un fluide incompressible à grandeurs constantes et avec et T w constants. L équation intégrale de l énergie se réduit alors à dθ U /d = St: le tau d augmentation de l épaisseur d énergie interne totale est donc directement proportionnel au coefficient de transfert de chaleur. Cette équation est semblable à l équation intégrale de quantité de mouvement, dθ/d = C f /. Jusque là ces résultats de l analyse par approche intégrale sont valables pour tout Pr. Considérons maintenant le cas Pr = 1. De par la relation eacte de Crocco, il vient: ζ u θ U = 1 U U ζ w u dy = 1 uue dy = θ, U e U w et donc θ U = θ: les épaisseurs de quantité de mouvement et d énergie sont donc égales. On obtient finalement: C f = dθ d = dθ U = St, d et on retrouve le résultat eact développé précédemment: C f / = St lorsque Pr = 1. Pour le cas Pr 1, on a θ U θ. L analogie de Reynolds suppose alors d avoir: oncore: dθ d = C f Pr/3 St = Pr /3 dθ U d, 4.18 θ Pr /3 θ U