Estimation par intervalle de confiance

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2 CHAPITRE 12 Estimatio par itervalle de cofiace 1. Estimatio de la moyee par itervalle de cofiace 1.1. Calcul de la marge d erreur. O veut maiteat faire ue estimatio par itervalle de cofiace de la moyee d ue caractéristique X pour ue populatio à partir de la moyee et de l écarttype d u échatillo de taille. Cela sigifie que l o veut trouver u itervalle das lequel se trouve µ : µ [ x ME, x + ME], où ME est la marge d erreur de l estimatio de µ par x. La figure 1 motre à quoi correspod cet itervalle. x-me x x+me µ Fig. 1. Distributio des moyees échatilloales et l itervalle de cofiace. Pour ce faire, ous devos décidé du iveau de cofiace que ous désiros. Défiitio 12.1 (Niveau de cofiace). Le iveau de cofiace correspod à la probabilité que x soit das l itervalle [µ ME, µ + ME]. 63

3 ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE Exemple Si ous avos u iveau de cofiace de 95%, cela sigifie que la moyee de 19 échatillos de taille sur 20 se trouvet das l itervalle de cofiace. Défiitio 12.2 (Seuil de sigificatio). Le seuil de sigificatio, que l o ote α, correspod à α = 1 iveau de cofiace. La figure 2 motre la correspodace du seuil de sigificatio que l o recherche. La proportio des moyees des échatillos se retrou- α/2 α/2 µ ME µ µ + ME Fig. 2. Explicatio graphique de α vat etre µ ME et µ + ME est de 1 α. O est maiteat e mesure de calculer la marge d erreur. Celle est doée par la formule suivate : ME = Z α/2 σ, où est la taille de l échatillo et Z α/2 est ue cote Z telle que P(Z > Z α/2 ), avec Z N(0, 1).

4 1. ESTIMATION DE LA MOYENNE PAR INTERVALLE DE CONFIANCE 65 α/2 α/2 Z α/2 0 Z α/2 Fig. 3. Explicatio graphique de Z α/2 Das les faits, il est très rare que l o coaît σ, l écart-type de la populatio. O utilisera plutôt s pour approcher σ. Exemple Das u sodage portat sur la taille des efats de 10 à 12 as, o a mesuré x = 162 cm et s = 11.6 cm. À u iveau de cofiace de 95%, trouver la marge d erreur pour la taille moyee, si la taille de l échatillo aléatoire est de 120. Puisque le iveau de cofiace est de 95%, o a que α = O cherche ME = Z α/2 s. Il reste doc à détermier Z α/2. Ceci reviet à détermier Z α/2 tel que O a doc que P(Z > Z α/2 ) = α/2 = P(Z > Z α/2 ) = 0.5 P(0 Z Z α/2 ) = P(0 Z Z α/2 ) = E cherchat das la table ormale, o trouve que Z α/2 = Aisi, ME = Z α/2 s = = 2.076

5 ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE Cela sigifie que la moyee de la taille des efats etre 10 et 12 as est das l itervalle et ce, à 95% de certitudes. [ x ME, x + ME] = [159.92, ] 1.2. D où proviet la formule pour ME. Regardos d où proviet la formule pour détermier la marge d erreur. Ceci est pas écessaire afi de répodre aux questios de ce cours, mais la preuve peut éamois aider à compredre. O débute e coaissat le seuil de cofiace α, la moyee x d u échatillo de taille et so écart-type s. O sait la distributio des moyees de échatillos de taille, X, est X N µ, σ. O est itéressé à détermier ME tel que P(µ Me X µ + ME) = 1 α. Pour détermier ME, ous devos utiliser la cote Z. Aisi, P(µ Me X µ Me µ µ + ME) = P σ/ Z µ Me µ σ/ ME = P σ/ Z ME σ/ = 2P(0 Z Z α/2 ) = 1 α, où Z α/2 = ME σ/ Aisi, e détermiat Z α/2, o obtiet que Aisi, la probabilité que ME = Z α/2 σ. x [µ Me, µ + ME] est de 95%. Cepedat, ous sommes itéressés à détermier u itervalle pour µ. Le fait que x [µ Me, µ + ME] sigifie que et x µ ME x µ + ME.

6 2. ESTIMATION D UNE PROPORTION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE 67 E isolat µ das les deux iéquatios, o obtiet que D où µ [ x ME, x + ME]. x + ME µ et x ME µ Taille d échatillo miimale. Supposos maiteat que ous voulos effectuer ue étude que ous avos déjà faite par le passé afi de détermier si la moyee µ à chager avec le temps. Nous voulos égalemet fixée otre marge d erreur ME. Nous cherchos doc choisir ue taille d échatillo qui préservera cette marge d erreur. Aisi, o cherche tel que Aisi, ME fixé ME présete. s ME Z α/2 Zα/2 s 2. ME Par cotre, o e peut pas prédire l écart-type s avat d effectuer la ouvelle étude. O predra doc l écart-type de l aciee étude e espérat que celle-ci e varie pas trop. 2. Estimatio d ue proportio par itervalle de cofiace 2.1. Distributio des proportios de tous les échatillos. U peu comme pour la distributio de la moyee de tous les échatillos, o peut motrer que la distributio des proportios P de tous les échatillos de taille d ue populatio est ue loi de probabilité P N π, à la coditio que 30. Ici, π est la proportio de la populatio. Aisi, o a que la moyee des proportios de tous les échatillos µ P est π et que l écart-type des proportios de tous les échatillos σ P est doé par Aisi, puisque l o sait que σ P = P N π,.,

7 ESTIMATION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE o peut détermier P (p 1 < P < p 2 ) de la même maière que l o a fait pour les moyees. Tout d abord, il faut détermier la cote Z : Z = P µ = P π. σ Aisi, P (p 1 < P < p 2 ) = P p 1 π < Z < p 2 π 2.2. Estimatio d ue proportio par u itervalle de cofiace. Supposos que l o coaît p ue proportio d u échatillo de taille. O veut estimer la valeur de π. Deux optios s offret à ous : Estimatio poctuelle: Ce qui sigifie que l o affirme que π = p Estimatio par itervalle de cofiace: Cela sigifie que l o affirme que π [p ME, p + ME] avec ue certaie probabilité que l o appelle iveau de cofiace. Ici, ME est ue marge d erreur et se calcule de maière similaire à celle d ue moyee, c est-à-dire ME = Z α/2, où α est le seuil de cofiace. Cepedat, il est rare que π est cou. O l approche alors par p. Pour u exemple, voir page 56 du petit livre jaue Taille d échatillo miimale. U peu de la même maière que pour la moyee, o cherche la taille miimale que doit predre u échatillo afi de satisfaire ue certaie marge d erreur fixée à u seuil de cofiace α. Aisi, o veut résoudre l iéquatio suivate : ME fixée Z α/2. á

8 2. ESTIMATION D UNE PROPORTION PAR INTERVALLE DE CONFIANCE 69 Ecore ue fois, ous sommes pris avec u paramètre icou π. Par cotre, o peut maximiser l expressio π(1 π). Il s agit ici de l équatio d ue parabole doc le sommet (u maximum) se trouve e (0.5, 0.25). Aisi, le problème reviet à trouver das l iéquatio 0.25 ME fixée Z α/2. D où, (Z α/2) 2 4(ME fixée ) 2.

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