André Crosnier LIRMM ERII4, Robotique industrielle 1

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1 André Crosnier LIRMM ERII4, Robotique industrielle 1

2 Obectifs du cours 1. Définitions et terminologie 2. Outils mathématiques pour la modélisation 3. Modélisation des robots Modèles géométriques à chaîne ouverte simple Modèles cinématiques à chaîne ouverte simple 4. Commande de robots Génération de mouvements Asservissement et architecture de commande Synthèse de commandes ERII4, Robotique industrielle 2

3 Modélisation Génération de mouvements Conception de cellules flexibles et Programmation hors ligne ERII4, Robotique industrielle 3

4 1. Définitions et terminologie Un robot : c est quoi? Mot d origine tchèque (Robota), signifiant corvée Dictionnaire : appareil automatique capable de manipuler des obets ou d'exécuter des opérations selon un programme fixe ou modifiable AFNOR (Association Française de Normalisation) : manipulateur commandé en position, reprogrammable, polyvalent, à plusieurs degrés de liberté, capable de manipuler des matériaux, des pièces, des outils et des dispositifs spécialisés, au cours de mouvement variables et programmés pour l exécution d une variété de tâche. Il a souvent l apparence d un ou plusieurs bras se terminant par un poignet ERII4, Robotique industrielle 4

5 Quelques chiffres Cf. Nombre d unités installées En France : Dans le monde : > 2 à 3 millions R obots installés par an 2000 Secteurs d activités 1500 Automobile et équipementiers 1000 Industrie plastique 500 Industrie mécanique 0 Industrie des équipements électroniques Industrie alimentaire et agro-alimentaire Applications Soudage à l arc, par points Chargement et déchargement de machines Palettisation/emballage Manutention de pièces et assemblage ERII4, Robotique industrielle 5

6 Constructeurs ABB (IRB6400) Staübli (RX90) Kuka (KR15) Comau Fanuc (S420) ERII4, Robotique industrielle 6

7 Outils de CAO CATIA (Dassault Systèmes) Adept Kuka ERII4, Robotique industrielle 7

8 Cellule robotisée Commande Perception Capteurs proprioceptifs Capteurs extéroceptifs ERII4, Robotique industrielle 8

9 Structure mécanique des robots Constituants mécaniques Organe terminal (effecteur, préhenseur, outil) Structure mécanique articulée : porteur ERII4, Robotique industrielle 9

10 Représentation des liaisons rotoïdes et prismatiques Liaison R Liaison P Exemple : description d un robot de type SCARA (R R R P) R R R P ERII4, Robotique industrielle 10

11 Exemples de morphologies Porteurs anthropomorphiques (RRR) Porteurs sphériques (RRP) Porteurs toriques (RPR) Porteurs cylindriques (RPP) Porteurs cartésiens (PPP) Vidéos : Clip vidéo Clip vidéo Clip vidéo ERII4, Robotique industrielle 11

12 Définitions Articulations Définition : une articulation lie deux corps successifs en limitant le nombre de degrés de liberté l un par rapport à l autre. On appelle mobilité de l articulation le nombre de degré de liberté, 0 m 6. Lorsque 1 m=, l articulation est soit rotoïde soit prismatique Articulation rotoïde : articulation de type pivot réduisant le mouvement entre deux corps à une rotation autour d un axe qui leur est commun. La situation relative entre les deux corps est donnée par l angle autour de l axe. Symbole : R Articulation prismatique : articulation de type glissière réduisant le mouvement relatif entre les deux corps à une translation le long d un axe. La situation relative entre les deux corps est mesurée par une distance. Symbole : P ERII4, Robotique industrielle 12

13 Espace articulaire Définition : espace dans lequel est représentée la situation de tous les corps. Pour représenter celle-ci, la solution adoptée consiste à associer à chaque articulation une ou plusieurs variables (variables articulaires ou coordonnées articulaires) Si N est le nombre de variables articulaires indépendantes et correspond au nombre de degré de liberté de la structure mécanique, l espace des variables articulaires R N est aussi appelé espace des configurations. En général à chaque variable articulaire correspond une motorisation Espace opérationnel Définition : espace dans lequel est représentée la situation de l effecteur Représentation : coordonnées cartésiennes de R 3 pour la position et le groupe SO (3) 3 X des rotations propres de R pour l orientation : R = R 3 x SO(3) X dimension M de R : nombre de degrés de liberté maximum que peut avoir l organe terminal, et est égale au nombre de paramètres indépendants nécessaires pour décrire la situation de l organe terminal dans l espace. Dans le cas général, M est au plus égal à 6, et on a : M N. ERII4, Robotique industrielle 13

14 Redondance Définition : redondant lorsque l on a : M < N Avantage : garantir le volume du domaine accessible et préserver les capacités de déplacement de l organe terminal en présence d obstacles Configuration singulière Définition : configuration est dite singulière si le nombre de degré de l organe terminal est inférieur à la dimension de l espace opérationnel Exemple : deux axes d articulations prismatiques se trouvent parallèles ou deux axes d articulations rotoïdes se trouvent confondus Caractéristiques d un robot Norme ISO 9946 Espace de travail : l espace des situations que l organe terminal peut atteindre. Il est défini par les limites imposées par le nombre de degré de liberté, les débattements articulaires, les longueurs des segments Charge utile ou charge maximale transportable par le robot Vitesses et accélérations maximales ERII4, Robotique industrielle 14

15 Performances : exactitude (écart entre situation commandée et moyenne des situations atteintes), répétabilité (dispersion des situations lorsqu on commande la même situation) Résolution qui correspond à la petite modification de la configuration du robot à la fois observable et contrôlable par le système de commande. ERII4, Robotique industrielle 15

16 2. Outils mathématiques pour Coordonnées homogènes Point la modélisation Soit un point p de l espace ayant pour coordonnées px, py, p z. On appelle coordonnées homogènes du point p les termes px, py, pz, w où w est un facteur d échelle. Le point p en coordonnées homogènes est défini par : px px / w p p = y Proection p' = py / w pz w pz / w ERII4, Robotique industrielle 16

17 ERII4, Robotique industrielle 17 En pratique on a w=1. Il en résulte : Proection ' 1 x x y y z z p p p p p p p p = = Vecteur La représentation d un vecteur 1 2 u p p = en coordonnées homogènes est définie par : 0 x y z u u u u =

18 Transformation de repères Définition Soient R = O, x, y, z et R = O, x, y, z deux repères orthonormés. i i i i i La transformation permettant de passer du repère R au repère i une matrice de transformation homogène de dimension 4x4 définie par : R est caractérisée par s n a P s n a P s n a P x x x x i i i i i T = s n a P y y y y = z z z z i i i i où les termes s, n, a, P représentent d une part les vecteurs unitaires des axes x, y et z du repère R définis dans le repère R et d autre part le vecteur i exprimant l origine de R dans R. i R i x i z i y i i T z x R y ERII4, Robotique industrielle 18

19 Propriétés des matrices de transformation homogène i Matrice de rotation pure : P = 0 Matrice de translation pure : i A i i i A P T = = I 3 Les éléments de la matrice i A représentent les cosinus directeurs qui font apparaître trois éléments indépendants. Le trièdre s n a définit une base orthonormée, ce qui suppose que : s = n = a = 1 et sn = 0, na = 0 et as = 0; l un des trois vecteurs se déduit du produit vectoriel des deux autres vecteurs. Par exemple, on a : a= s n. La matrice i 1 T i i A = A A est orthogonale. On a donc : ( ) ( ) L inverse de la matrice i T définit la matrice T telle que : i 1 i i i i i = = = i p T p p T p T p ERII4, Robotique industrielle 19

20 Transformation de vecteur Soit un point p défini dans le repère repère R est obtenu simplement par la relation : i R. Le calcul des coordonnées du point dans le i i i i p= T p= A p + P z p y z i i p R R i i P x y i x i Exercice : déterminer l expression de : i T 1 = T i ERII4, Robotique industrielle 20

21 ERII4, Robotique industrielle 21 Rotation autour des axes principaux Rot(, ) i c s T x s c θ θ θ θ θ = = Composition des transformations i x i z i y i R k R 2 R 1 R 1 0 T 2 1 T i x i z i y i R x z y R θ θ θ

22 Exemple : 0 T = Rot( x,30 ) Trans( y, ) 2 d R 2 Multiplication à droite : Repère courant => dernier repère R 1 R 0 Multiplication à gauche : Repère courant => repère base R 2 R 0 R 1 ERII4, Robotique industrielle 22

23 Exercice : on considère le repère R défini dans le repère R par la matrice de i transformation : i T = Rot( x,30 ) Trans( y,2). Calculer la matrice i T et la matrice inverse Calculer les coordonnées du point ( 1 2 1) T repère R. i i T 1 T = i. p = définies dans le repère R dans le ERII4, Robotique industrielle 23

24 3. Modèles des robots Problématique Environnement Modèles géométriques Modèles cinématiques Modèles dynamiques R 0 Espace articulaire Espace opérationnel Réalisation de la commande Description de la tâche ERII4, Robotique industrielle 24

25 Modèle géométrique direct (MGD) Définition X = f() q T q : vecteur de variables articulaires : q= q q 1 n X : vecteur de coordonnées opérationnelles défini sous la forme suivante : T X = x x R n 1 m a n s 0 T n R 0 ERII4, Robotique industrielle 25

26 Transformation de coordonnées : 0T () 0 () 1 () n 1 n q = T q T q T () q 1 2 n Représentations utilisées pour définir le vecteur X : X = P x P y P z s x s y s z n x n y n z a x a y a z X = P P P n n n a a a x y z x y z x y z, s= n a ERII4, Robotique industrielle 26

27 Description de la géométrie Description de Khalil et Kleinfinger Description de Denavit-Hartenberg Structure simple ouverte : n +1 corps : la situation de chaque corps est définie par un repère C : base du robot 0 C n : corps porteur de l organe terminal n articulations : l articulation est caractérisée par la variable q. L articulation lie les corps C et C 1 R 1 C R C 1 Articulation ERII4, Robotique industrielle 27

28 Définition du repère R : L axe z est porté par l articulation L axe x est porté par la perpendiculaire commune aux axes z et z. Si les axes +1 z et z sont parallèles ou colinéaires, le choix de x +1 n est pas unique. En général des considérations de symétrie ou de simplicité permettent un choix rationnel. Le passage de R à 1 α : angle entre les axes d : distance entre les axes θ : angle entre les axes r : distance entre les axes R s exprime en fonction de 4 paramètres : z et z 1 correspondant à une rotation autour de z et z 1 le long de x 1 x et x 1 correspondant à une rotation autour de z x et x 1 le long de z x 1 ERII4, Robotique industrielle 28

29 z x θ O z 1 x 1 r d θ α α O 1 ERII4, Robotique industrielle 29

30 La variable articulaire q associée à la ième articulation est définie soit par θ soit par r selon le type de cette articulation (R ou P) : q = σ θ + σ r avec Matrice de transformation : σ = 0 si Rotoide 1 si Prismatique 1 T = Rot( x, α ) Trans( x, d ) Rot( z, θ ) Trans( z, r ) 1 T cθ sθ 0 d cα = sθ cα cθ sα r sα sα sθ sα cθ cα r cα ERII4, Robotique industrielle 30

31 ERII4, Robotique industrielle 31 Exemple : robot SCARA θ θ θ = r q ) ( 4 3 ) ( 3 2 ) ( 2 1 ) ( ) ( 4 0 q q q q q T T T T P a n s T = = σ α d θ r θ D 2 θ D 3 θ r 0, z 1 z 0, x 1 x 2 x 3, x 4 x 2 z 4 3, z z 2 D 3 D

32 Exercice 1 : z, z 0 1 z 2 z E y E x E x, x 0 1 x 2 x E x 2 y 2 y 0 D 2 y 1 x 1 D 3 x 0 Tableau de paramètres : σ α d θ D 2 2 r θ 0 θ 0 ERII4, Robotique industrielle 32

33 Repère R = ( x, y, z ) permet de spécifier la position et l orientation de l effecteur E E E E par rapport au corps 2. Cette position est spécifiée par une matrice homogène E constante permettant de passer du repère R au repère R. Le vecteur de variables articulaires est donné par : La matrice de passage du repère R 0 au repère E 2 E 1 2 θ q =. θ R est définie par : 0 s n a P T = 0 ( ) 1 = T q T ( q ) E E ERII4, Robotique industrielle 33

34 ERII4, Robotique industrielle c s s c T =, c s D s c T =, D E = c s D c D c s n a P s c D s D s T E + + = =

35 Exercice 2 : On note T = 1 2 le vecteur de variables articulaires. L extrémité de la structure R = x y z. E E E E q θ θ est définie par le repère C2 L z 0 z E x 0 x E C1 Base Base ERII4, Robotique industrielle 35

36 Etablir le tableau des paramètres permettant de définir la description de la géométrie de la structure. Pour chaque articulation, donner l expression de la matrice de transformation exprimant le repère R de l articulation dans le repère R. Donner aussi l expression de la matrice 2 T. En déduire la matrice de passage 0 T. E E Etudier les différents choix pour le vecteur de variables opérationnelles, noté X. Pour chaque choix, donner l expression du modèle géométrique direct et déterminer l expression de la matrice acobienne issue du modèle cinématique direct. En déduire les configurations singulières de la structure. Commenter les résultats obtenus. Etudier le lieu géométrique décrit par l extrémité de la structure. Donner l équation de ce lieu. Etudier l influence d un décalage sur l articulation 2 selon l axe x. 1 ERII4, Robotique industrielle 36

37 Volume de travail (dernière question) L d 2 > L< d2 ERII4, Robotique industrielle 37

38 Exercice 3 : On souhaite étudier le robot à 6 axes décrit par la chaîne cinématique représentée par la figure suivante. Le vecteur de variables articulaires est défini par : q = [ θ θ θ θ θ θ ] T D 2, D 3, D 4, RL 1, RL 4 et RL 6 sont des constantes. ERII4, Robotique industrielle 38

39 Compléter le tableau suivant en donnant les paramètres géométriques du robot pour les axes 4, 5 et 6 : σ α d θ r 1 0 π 0 θ RL π 2 D θ 0 D θ3 + π 2 0 Donner les expressions des matrices de passage 3 T 4, 4 T 5 et 5 T 6. Déterminer alors l expression de la position du centre outil dans le repère 3. ERII4, Robotique industrielle 39

40 Méthodes de description des orientations La situation de l organe terminal est spécifiée d un part par un vecteur de position T 0 P n = P x P y Pz et d autre part par les cosinus directeur constituant la matrice de T rotation 0 A = s n a. n Pour les positions, on utilise le plus souvent les coordonnées cartésiennes bien que la représentation cylindrique ou sphérique s avère plus pratique pour certaines structures de robot. Pour l orientation plusieurs descriptions sont utilisées dans la pratique : Description par les angles d Euler : robot PUMA (Unimate), robot ABB Description par les angles Roulis-Tangage-Lacet (RTL) : robot ACMA Description par les quaternions ERII4, Robotique industrielle 40

41 z n ψ z 0 φ y n Description par les angles d Euler Précession φ Nutation θ Rotation propre ψ x 0 θ Description par les angles de Roulis Tangage Lacet (RTL) Roulis φ Tangage θ Lacet ψ 0A n = Rot( z, φ) Rot( y, θ) Rot( x, ψ) x n y 0 0A n = Rot( z, φ) Rot( x, θ) Rot( z, ψ) Attention il existe plusieurs conventions. Il existe dans les deux cas (angles d Euler et RTL) une solution au problème inverse permettant de calculer à partir des cosinus directeur les angles correspondant. ERII4, Robotique industrielle 41

42 Modèle géométrique inverse (MGI) Position du problème Considérons la matrice 0 T spécifiant la position du repère effecteur par rapport à un E repère de référence supposé être ici le repère R. D une façon générale, on a : 0 0 T 0 T ( q) E E = n La détermination du modèle géométrique inverse consiste pour 0 T et E connues à E déterminer le vecteur q qui amène le robot dans la situation désirée. On est donc amener à résoudre l équation suivante : 0T () q 0T E 1 n = E La résolution de l équation peut conduire à plusieurs cas : Absence de solutions si la situation désirée est en dehors du volume de travail du robot Une infinité de solutions si le robot est redondant vis à vis de la tâche ou s il se trouve dans des configurations singulières Un nombre fini de solutions ERII4, Robotique industrielle 42

43 Il existe plusieurs méthodes permettant de résoudre le problème : Méthode de Paul Méthode de Pieper Méthode générale de Raghavan et Roth. Il n est pas touours possible de trouver une forme explicite du modèle géométrique inverse. Dans ce cas, on est amené à calculer une solution particulière par des procédures numériques. La solution obtenue est locale et dépend des conditions initiales. Exemple : robot plan Il est possible dans ce cas de trouver une solution analytique. Le robot possède deux degrés de liberté dans l espace opérationnel : 2 translations en x et y définissant les grandeurs que l on peut imposer. On obtient dans ce cas les équations suivantes : P x = D c12 D c P y = D s12 D s ERII4, Robotique industrielle 43

44 Modèle cinématique direct (MCD) Définition Soit X le vecteur de coordonnées opérationnelles de dimension (m,1), et q le vecteur des variables articulaires de dimension (n,1). Le modèle cinématique direct établit la relation entre les vitesses des coordonnées opérationnelles en fonction des vitesses articulaires. On a : X = Jq () q où J( q ) est la matrice acobienne de dimension (m, n) obtenue par dérivation de X par rapport à q. On a : Jq () = X q La même matrice J( q ) intervient dans le calcul du modèle différentiel qui donne les variations dx des variables opérationnelles en fonction des variables articulaires dq. On a donc : dx = J() q dq ERII4, Robotique industrielle 44

45 L intérêt de la matrice acobienne est multiple : Elle sert au calcul du modèle différentiel inverse, en offrant la possibilité d une solution locale des variables articulaires q connaissant X, Elle facilite l étude des singularités, Elle permet le calcul de l espace opérationnel accessible, Elle donne une relation liant les efforts exercés par l organe effecteur et les forces et couples exercés aux articulations => principe des travaux virtuels. ce qui conduit à : T T F dx =Γ Γ = dq J T ( q) F Exemple : robot plan Si on choisit comme variables opérationnelles le vecteur dérivation : P x θ P x θ Ds Ds Ds Jq ( ) = = P y θ P D c12 D c1 D c12 1 y θ T X = P x P y, on obtient par ERII4, Robotique industrielle 45

46 Etude des singularités Rappel : on appelle singularité une configuration particulière du robot pour laquelle le nombre de degré de l organe terminal qu il est possible de commander devient inférieur au nombre de degré de liberté nominal du robot. L analyse des configurations singulières peut être réalisée en s appuyant sur le MCD. Si on note : avec r= rang J() q r min( m,n) Si m= n, on a : r m Si m n (cas d un robot redondant), on a aussi r m. ERII4, Robotique industrielle 46

47 Lorsque r< m, il devient impossible d engendrer une vitesse et donc un mouvement le long ou autour de certaines directions. Le robot possède une configuration singulière d ordre égale à m-r. Exemple : det Jq ( ) = DD c1 s12 c1 2 s1 = DD s θ q= kπ Le robot possède une configuration singulière défini par le vecteur : 1 ERII4, Robotique industrielle 47

48 Modèle cinématique inverse (MCI) Le modèle cinématique inverse permet de déterminer, dans le voisinage d une configuration q, les vitesses articulaires q qui assurent une vitesse opérationnelle X imposée. Dans le cas régulier et si la matrice acobienne est carrée, on a : q = J 1 () q X Lorsque la matrice acobienne n est pas carrée, on utilise la pseudo-inverse pour calculer le vecteur q. On a alors : q = J+ () q X ERII4, Robotique industrielle 48

49 Il existe plusieurs techniques de mise en œuvre du MCI : Méthode s appuyant sur une solution analytique qui nécessite de traiter séparément tous les cas singuliers. Elle conduit à un temps de calcul réduit. Méthode numérique plus générale fondée sur l utilisation de la pseudo-inverse qui permet de traiter tous les cas. Elle nécessite un temps de calcul plus important que la méthode analytique. ERII4, Robotique industrielle 49

50 Modèle dynamique Définition Le modèle dynamique établit la relation entre les couples (et/ou forces) appliqués aux actionneurs et les positions, vitesses et accélérations articulaires : τ = f (,,) qqq (1) où q vecteur des positions articulaires q vecteur des vitesses articulaires q vecteur des accélérations articulaires τ vecteur des couples/forces des actionneurs, selon que l articulation est rotoïde ou prismatique On convient d appeler modèle dynamique inverse, ou tout simplement modèle dynamique, le modèle décrit par la relation (1). ERII4, Robotique industrielle 50

51 Le modèle dynamique direct est celui qui exprime les accélérations en fonction des positions, vitesses et couples des actionneurs. Il est représenté par la relation de la forme : q = g(,,) qqτ Les formalismes le plus souvent utilisés pour obtenir le modèle dynamique sont : le formalisme de Lagrange le formalisme de Newton-Euler ERII4, Robotique industrielle 51

52 A partir du formalisme de Lagrange, il est possible d écrire le modèle dynamique sous la forme suivante : avec : τ = M () qq + Vqq (,) + Gq () M ( q ) est la matrice d inertie du robot, dimension (n, n) Vqq (,) représente le vecteur des forces de Coriolis et des forces centrifuges, de dimension (n, 1) Gq () représente le vecteur des forces de gravité, dimension (n,1) ERII4, Robotique industrielle 52

53 Exemple simple l m mg d L L = τ dt q q où et τ le vecteur de couple généralisé. q L= T(énergie cinétique) Π(énergie potentielle) 1 2 sin L= Jq mgl q 2 On obtient : L = Jq et L = mlgcosq. q q On en déduit alors le modèle dynamique : Jq + mlgcosq = τ ERII4, Robotique industrielle 53

54 Prise en compte de l articulation La prise en compte au niveau de l articulation des forces de frottements et encore des forces à exercer par l organe terminal sur l environnement revient à écrire le vecteur τ sous la forme suivante : τ =Γ τ ( + τ ) où Γ : le vecteur de couples (moteur) des actionneurs τ = F sign( q ) + F q : couple de frottements sur l articulation f s v τ : couple du à la force à exercer par l organe terminal sur l environnement - ext T τ = J F ext ext Actionneurs Γ τ ext f ext τ Robot qq, (modèle dynamique) τ f ERII4, Robotique industrielle 54

55 Applications Les applications du modèle dynamique concernent : la simulation : on utilise en général le modèle dynamique direct. Pour une traectoire donnée et une force exercée par le robot sur l environnement donnée, en fonction de la loi de commande, on détermine dans un premier temps le vecteur de couples. A partir du modèle dynamique direct, on calcule le vecteur d accélération articulaire, puis par intégration la vitesse articulaire et la position articulaire. Cette approche permet de tester différentes lois de commande. la commande dimensionnement des actionneurs identification des paramètres inertiels Génération de traectoires q d Loi de commande τ Modèle dynamique q Intégration q,q ERII4, Robotique industrielle 55

56 ERII4, Robotique industrielle 56

57 4. Commande des robots manipulateurs Génération de mouvements Principe : Celle-ci consiste à calculer les consignes de référence en position, vitesse et accélération qui sont des fonctions du temps et qui assurent le passage du robot par une traectoire désirée définie soit par une suite de situations de l organe terminal soit par une suite de configurations articulaires (appelées points). Plusieurs classes de mouvements peuvent être distinguées : Mouvement entre deux points avec traectoire libre entre les points Mouvements entre deux points avec points intermédiaires spécifiés en particulier pour éviter les obstacles, et traectoire libre entre les points intermédiaires ERII4, Robotique industrielle 57

58 Mouvement entre deux points avec traectoire contrainte entre les points ; par exemple traectoire rectiligne Mouvement entre deux points avec points intermédiaires, et traectoire contrainte entre points intermédiaires. Dans les deux premiers cas, la génération de traectoires peut être réalisée directement dans l espace articulaire. Dans les deux derniers cas, comme la traectoire est décrite dans l espace opérationnel, il est préférable de raisonner dans cet espace. ERII4, Robotique industrielle 58

59 Schémas de commande Génération de mouvements dans l espace articulaire q f Génération de mouvements en q q d (t) Asservissement q i Génération de mouvements dans l espace opérationnel X f Génération de mouvements en X X d (t) MGI q d (t) Asservissement X i MGD q i ERII4, Robotique industrielle 59

60 Espace articulaire ou opérationnel?? Articulaire Avantages Elle nécessite moins de calcul en ligne car il n y a pas d appel au modèle géométrique direct et inverse Le mouvement peut être effectué sans passage par les configurations singulières Les contraintes de vitesse et de couples maximaux sont déduites directement des limites physiques des actionneurs Inconvénients La géométrie de la traectoire de l organe terminal est imprévisible : risque de collisions lorsque le robot évolue dans un environnement très encombré ERII4, Robotique industrielle 60

61 Espace opérationnel Avantages Maîtrise de la traectoire Inconvénients Transformation de coordonnées de chaque point de la traectoire Possibilité de mise en échec quand la traectoire passe par un point singulier Possibilité de mise en échec si les points de la traectoire ne sont pas dans le volume accessible du robot ou chaque fois que la traectoire nécessite un reconfiguration du robot Les limites en vitesse et en couple du robot varient en fonction de la configuration. On impose en général ces limites en terme de performances moyennes valables quelle que soit la configuration. On travaille donc en deçà des capacités réelles du robot. ERII4, Robotique industrielle 61

62 Choix Cela dépend fortement de l application. Chaque méthode conduit à des contraintes exprimées soit dans l espace articulaire (vitesse et couple maximum) soit dans l espace opérationnel (précision, prise en compte des obstacles). ERII4, Robotique industrielle 62

63 Génération de mouvement entre deux points de l espace articulaire Soient qi = q(0) et q f = q( t ) les vecteurs de coordonnées articulaires f correspondant aux configurations initiales et finales. Le mouvement entre de ces deux configurations est décrit par l équation suivante : qt () = q i + rt () D où r(t) est une fonction d interpolation qui satisfait r (0) = 0 et rt ( ) = 1 f D q = f qi ERII4, Robotique industrielle 63

64 Interpolation linéaire On a : rt () = t t f qt () = qi + t t D f Cette loi est continue en position, par contre elle est discontinue en vitesse : qt ( += ) 1 t Det q (0 = ) 0. Elle provoque des à-coups sur le robot. f ERII4, Robotique industrielle 64

65 Polynôme d interpolation de degré 3 On cherche qt () sous la forme suivante : qt () = a + a t+ a t2+ a t La détermination des coefficients est obtenue en s imposant une vitesse nulle aux points d arrivée et de départ et en se donnant les deux contraintes de positions q i f et q. Exercice : résoudre le système d équations correspondant à ces contraintes et établir l expression de la loi de mouvement qt () et tracer son allure. ERII4, Robotique industrielle 65

66 Solution : a q (0) 0 i q a q 0 i = = = a = 0 1 q( t ) a a t a t2 a t3 q f = = f 0 1 f 2 f 3 f a 3 = D 2 2 q(0) a 0 t = = 1 f qt ( ) = a + 2a t + 3a t2 = 0 a = 2 f 1 2 f 3 f 3 t3 f Ce qui conduit à l équation : () i qt q 3 t2 2 t3 = + D t2 t3 f f D ERII4, Robotique industrielle 66

67 Allure de la loi d interpolation : continuité en position et en vitesse, discontinuité en accélération. Pour palier cet inconvénient, on utilise un polynôme d interpolation de degré 5 en imposant une accélération nulle au départ et à l arrivée. ERII4, Robotique industrielle 67

68 ERII4, Robotique industrielle 68 Loi d interpolation Bang-Bang et loi trapèze C est la loi obtenu pour une phase à accélération constante usqu à t f /2 suivie d une phase de freinage usqu à t f. Le mouvement est continu en position et en vitesse. Il reste discontinu en accélération. La position est donnée par les équations suivantes : 2 ( ) 2 pour 0 2 f f t t i qt q D t t = + 2 ( ) pour 2 f f t t t i qt q D t t t t f f = + + Saturation en vitesse : loi trapèze

69 Calcul du temps minimal La durée t f du mouvement n est pas spécifiée. Pour chaque articulation, il est possible à partir des limites technologiques des actionneurs de déterminer les accélérations et les vitesses maximales admissibles. A partir de ces contraintes, on impose le temps t f pour chaque articulation. Le temps minimum adopté pour la génération de traectoire est alors pris égal à : t = max( t,, t ) f f1 f n ERII4, Robotique industrielle 69

70 Exercice : on étudie la génération de mouvements d une articulation d un robot définie par la variable articulaire q(t) en utilisant une loi trapèze. Cette articulation est caractérisée par une vitesse maximale q max et une accélération maximale q max. La durée du mouvement est notée t F. On appelle α (0 α 1) la durée relative (par rapport à t F ) de la phase d accélération et de décélération. - Tracer l allure de qt (), qt () et qt (). - Calculer la durée du mouvement t F en fonction de α, q max et q max. Préciser la condition sur t F, q max et q max pour que α < 1. - En supposant que α < 1, déterminer la valeur de α pour avoir un déplacement total de l articulation égal à : q 2 q= q( t= t ) q( t= 0) = 10 max F q max ERII4, Robotique industrielle 70

71 Architecture matérielle d une articulation Système de commande Variateur de vitesse MCC GT Réducteur CI Charge Mise en équation i M u Variateur de vitesse u M q M q Charge ERII4, Robotique industrielle 71

72 Articulation : J q + f q =Γ C C C Réducteur: q q = M et q Γ = q Γ (conservation de l énergie) N M u C Moteur : J q + f q =Γ Γ M M M M M u Exercice : établir l équation différentielle caractérisant le fonctionnement de l articulation (relation entre q et Γ ). Proposer un choix pour N afin de M M garantir l accélération maximale sur l articulation. Etablir les schémas fonctionnels lorsque le variateur réalise soit une commande en courant (i = Au) soit une commande en tension (u Au M M = ). ERII4, Robotique industrielle 72

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