Infographie Plan du cours

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Infographie Plan du cours"

Transcription

1 Plan du cours Introduction Images et techniques d'affichage Bases Correction gamma Aliasing et techniques pour y remédier Stockage 1

2 Plan du cours Perspective 3D & transformations 2D / 3D Passer d'un espace 3D vers un dispositif d'affichage 2D Deux paradigmes de génération d'images Représentation de courbes et surfaces Splines & co. Rendu réaliste (Ray tracing) Concepts et bases théoriques 2

3 Plan du cours Eclairage Lois de réflexion etc...textures Colorimétrie Espaces de couleur Métamères Pipeline graphique et OpenGL Primitives Discrétisation (Rasterization) Faces cachées Animations 3

4 Surfaces Surfaces paramétriques Interpolation : Patch de Coons Approximation : surfaces B-splines Surfaces de subdivision 4

5 Surfaces paramétriques 5

6 Surfaces paramétriques Patches de Coons Surfaces «produit tensoriel» Triangle de Bézier 6

7 Patches de Coons Patch de Coons bilinéaire Steven Anson Coons (travaux publiés en 1967 mais issus de travaux durant WWII dans l'aéronautique) Soit 4 courbes paramétrées (Bézier ou B-Splines ou autres) se rencontrant en 4 points (A,B,C,D) : P1(u), P2(u), Q1(v), Q2(v) tels que P1(0)=A=Q1(0) P1(1)=B=Q2(0) Q2(1)=C=P2(1) Q1(1)=D=P2(0) La surface S(u,v) est portée par ces 4 courbes P2 D S(u,v) Q1 A P1 C Q2 B 7

8 Patches de Coons On définit 3 surfaces réglées par interpolation linéaire: S 1 u, v = 1 v P 1 u vp 2 u S 2 u, v = 1 u Q1 v uq 2 v S 3 u, v = 1 u 1 v A u 1 v B v 1 u D uvc S 2 u, v S 1 u, v S 3 u, v 8

9 Patches de Coons Le patch bilinéaire de Coons est défini par : S u, v =S 1 u, v S 2 u, v S 3 u, v Pourquoi? S1 interpole A,B,C,D S2 aussi S1+S2 ne peut donc interpoler A,B,C,D que si l'on y retire un terme dépendant uniquement de A,B,C,D et linéaire sur chaque bord. S u, v 9

10 Patches de Coons Caractéristiques du patch de Coons bilinéaire Facile à construire Basé sur des courbes frontières quelconques Pas de contrôle de la forme intérieure de la surface Impossible d'imposer une continuité C1 entre deux patches voisins sans contraintes sur les courbes frontières 10

11 Patches de Coons Il existe un patch de Coons bicubique Interpolation de Hermite 4 positions aux coins 8 dérivées normales le long des bords 4 vecteurs torsion aux coins S(u,v) Permet d'imposer la continuité de la dérivée le long des bords des patches. (cf. splines ) Non développé ici. 11

12 Surfaces B-Splines 12

13 Surfaces B-Splines Surfaces B-Splines Définition comme produit tensoriel : n m S u, v = N ip u N qj v P ij i=0 j=0 Chaque direction u et v impose un degré (p et q) et une séquence nodale U et V : U ={0,,0, u p 1,, u r p 1,1,,1 } r 1 noeuds p 1 p 1 V ={0,, 0, v q 1,, v s q 1,1,,1 } q 1 s 1 noeuds q 1 On a une grille de points de contrôles Pij (il y en a (n+1)(m+1) On a les relations suivantes : r=n p 1 s=m q 1 13

14 Surfaces B-Splines Exemple de fonctions de formes U ={0, 0, 0,0,1/4,1/ 2, 3/ 4,1,1,1,1} p=3 V ={0, 0, 0,1/5, 2/5, 3/5, 3/5, 4/5,1,1,1} q=2 N 24 v N 22 v N 34 u N 34 u N 24 v fonction de forme associée à P 44 N 34 u L. Piegl «The NURBS Book» N 34 u N 22 v fonction de forme associée à P 42 14

15 Surfaces B-Splines Propriétés des fonctions de forme de surface Conséquences des propriétés des FF linéiques Non-négativité N ip u N qj v 0 i, j, p, q, u, v Partition de l'unité n m p q N u N i j v =1 u, v [u min, u max ] [v min, v max ] i=0 j=0 Support compact N ip u N qj v =0 u, v [ ui, ui p 1 [ [ v j, u j q 1 [ Il y a au plus (p+1)(q+1) FF non nulles dans un intervalle donné [ ui, ui 1 [ [ v j, u j 1 [. En particulier N ip u N qj v 0 i 0 p i i 0 j 0 q j j

16 Surfaces B-Splines Propriétés des fonctions de forme de surface Extrêma p q N u N Si p>0 et q>0, i j v a un maximum unique. Continuité À l'intérieur des rectangles formés par les nœuds ui et vj, les FF sont infiniment dérivables. p q À un noeud ui (resp. vj), N i u N j v est (p-k) (resp. (qk) ) fois dérivables, k étant la multiplicité du noeud ui (resp. vj) La continuité selon u (resp. v) est uniquement dépendante de la séquence nodale U (resp. V). 16

17 Surfaces B-Splines N 32 u N 22 v N 34 u N 24 v U ={0, 0, 0,0,1, 2, 2, 2, 2} p=3 U ={0, 0, 0,0,1, 2, 3, 4, 5,6,6,6,6} V ={0, 0, 0,1, 2,3, 3, 3} p=2 V ={0, 0, 0,1, 2, 3, 4,5,6, 7, 7, 7} 17

18 Surfaces B-Splines N 30 u N 28 v N 31 u N 27 v N 38 u N 28 v N 30 u N 28 v N 37 u N 27 v N 31 u N 27 v N 38 u N 20 v N 37 u N 21 v U ={0, 0, 0,0,1, 2, 3, 4, 5,6,6,6,6} p=3 V ={0, 0, 0,1, 2, 3, 4,5,6, 7, 7, 7} q=2 18

19 Surfaces B-Splines Calcul d'un point d'une surface 1 Trouver l'intervalle nodal dans lequel se trouve u u [ u i, u i 1 [ 2 Calculer les fonctions de formes non nulles p p N i u,, N p i u 3 Trouver l'intervalle nodal dans lequel se trouve v v [ v j, u j 1 [ 4 Calculer les fonctions de formes non nulles N qj q v,, N qj v 5 Multiplier les valeurs des ff non nulles avec les points de contrôle correspondants S u, v = N kp u P kl N lq v i p k i, j q l j k l 19

20 Surfaces B-Splines Point de contrôle Position correspondante à un couple (ui,vj) V ={0,0,0,1, 2,3,3, 3} p=2 U ={0, 0, 0, 0,1, 2,3,3,3, 3} p=3 Chaque carreau coloré a une expression polynomiale indépendante 20

21 Surfaces B-Splines U ={0, 0, 0,0,1, 2, 2, 2, 2} p=3 V ={0, 0, 0,1, 2,3, 3, 3} p=2 21

22 Surfaces B-Splines Répétitions dans la séquence nodale U ou V Discontinuités dans les iso-v ou les iso-u U ={0, 0, 0,0, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4} p=3 V ={0, 0, 0,1.5,1.5, 3, 3,3} p=2 22

23 Surfaces B-Splines Propriétés de la surface B-Spline Interpole les 4 coins si les séquences nodales sont de la forme U ={0,, 0, u p 1,, ur p 1,1,,1 } p 1 p 1 V ={0,, 0, v q 1,, v s q 1,1,,1 } q 1 q 1 Si les séquences nodales correspondent à des courbes de Bézier : U ={0,, 0,1,,1 } 0,1,,1 } V ={0,, p 1 p 1 q 1 q 1 Alors la surface est une carreau de Bézier 23

24 Surfaces B-Splines Propriétés de la surface B-Spline La surface est pourvue de la propriété d'invariance affine (invariance par translation en particulier) L'enveloppe convexe du polyèdre de contrôle contient la surface. Dans chaque intervalle u, v [ ui, u i 1 [ [ v j, u j 1 [, la portion de courbe est dans l'enveloppe convexe des points de contrôle P ij, i, j tq i 0 p i i 0 j 0 q j j Chaque point de contrôle a un contrôle local Il n'y a pas de propriété de variation décroissante globale (contrairement aux courbes B-Spline) 24

25 Surfaces B-Splines Isoparamétriques Obtention d'isoparamétriques aisée : Posons u=u0 n m C u v =S u 0, v = N i u 0 N j v P ij 0 i=0 j=0 m q j j=0 p q n m i=0 j=0 = N v N ip u0 P ij = N qj v Q j u0 n avec Q j u 0 = N ip u 0 P ij i=0 Idem avec v=v0 n C v u =S u, v 0 = N ip u Qi v 0 0 i=0 m avec Q i v0 = N qj v 0 P 25 ij j=0

26 Surfaces B-Splines Surfaces périodiques Tout comme les courbes, possibilité de refermer une surface B-Spline en transformant la séquence nodale Selon une direction (u ou v) Surfaces cylindriques Un seule séquence nodale périodique «doublement» des noeuds de part et d'autre de la couture Selon les deux directions (u et v) Surfaces toriques Deux séquences nodales périodiques Certains noeuds sont répétés 4 fois! 26

27 Surfaces B-Splines v u v u Tuyau Ruban de Moëbius 27

28 Surfaces B-Splines U ={ 3, 2, 1,0,1, 2,3, 4,5, 6,7,8, 9,10,11,12,13,14,15} p=3 28 V ={0, 0, 0,1, 2,3, 4,5,6,7,7, 7} p=2

29 Surfaces B-Splines U ={ 3, 2, 1,0,1, 2,3, 4,5, 6,7,8, 9,10,11,12,13,14,15} p=3 29 V ={0, 0, 0,1, 2,3, 4,5,6,7,7, 7} p=2

30 Surfaces B-Splines v u v u Tore Tore vrillé... 30

31 Surfaces B-Splines 31

32 Surfaces B-Splines 32

33 Surfaces B-Splines U ={ 3, 2, 1,0,1, 2,3, 4,5, 6,7,8, 9,10,11,12,13,14,15} p=3 33 V ={ 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8,9} p=2

34 Surfaces B-Splines v u Bouteille de Klein 34

35 Triangle de Bézier 35

36 Triangle de Bézier Besoin de surfaces de topologie particulière «Coin de valise» S. Hahmann 36

37 Triangle de Bézier Il existe plusieurs techniques pour modéliser les coins de valises C'est un problème difficile... Prendre un carreau à 4 cotés et la «limiter» par un triangle dans l'espace paramétrique Pb : la surface en question n'est pas construite avec les pts de contrôle des autres surfaces v u 37

38 Triangle de Bézier B-splines triangulaires 1992 : travaux de Dahmen, Micchelli et Seidel W. Dahmen, C.A. Micchelli and H.P. Seidel, Blossoming begets BSplines built better by B-patches, Mathematics of Computation, 59 (199), pp , 1992 Extension de la définition des B-Splines sur des surfaces triangulées de topologie quelconque Réseau de points de contrôle «Maillage» de noeuds non structuré en place du réseau structuré des B-splines de type produit tensoriel Complexe et pas implémenté dans les logiciels de CAO actuels 38

39 Triangle de Bézier Surfaces de bézier triangulaires Exemple : surface d'ordre 3 39

40 Triangle de Bézier a Coordonnées barycentriques p=u a v b w c u v w=1 b Invariance affine 0 u, v, w 1 p est dans le triangle u= p c aire p,b, c aire p, c, a aire p, a, b v= w= aire a, b, c aire a, b, c aire a, b, c 40

41 Triangle de Bézier Coordonnées barycentriques a w v w u b w v p u u v c 41

42 Triangle de Bézier Décomposition du triangle de Bézier Définie par les points de contrôle Pi,j,k Degré d : i+j+k=d Exemple avec d=3 k=d i j P0,3,0 P0,2,1 P1,2,0 P0,1,2 P1,1,1 P2,1,0 P0,0,3 P1,0,2 P2,0,1 P3,0,0 P0,3,0 P0,0,3 En tout, d 2 d 1 points de contrôle. 2 P1,2,0 P3,0,0 42

43 Triangle de Bézier Algorithme de de Casteljau sur le triangle Les Pi,j,k sont donnés On veut P(u,v,w) avec u+v+w=1 On calcule la séquence suivante : r r 1 r 1 r 1 P i, j, k u, v, w =u P i 1, j, k v P i, j 1, k w P i, j, k 1 pour r de 1 à d et pour i+j+k=d-r P 0i, j, k u, v, w = P i, j, k Le point recherché est le dernier point calculé : d P u, v, w = P 0,0,0 u, v, w 43

44 Triangle de Bézier Algorithme de de Casteljau sur le triangle d P 0,0,0 u, v, w 44

45 Triangle de Bézier Caractéristiques Invariance affine Courbe contenue dans l'enveloppe convexe Interpolation des sommets Bords du triangle formé de courbes de Bézier Forme algébrique : autre forme des polynômes de Bernstein P u, v, w = B id, j, k u, v, w P i, j, k i j k =d d! B u, v, w = ui v j w k i! j!k! avec (récurrence) d 1 d 1 d 1 B id, j, k u, v, w =ub i 1, vb wb j,k i, j 1, k i, j, k 1 d i, j,k B 00,0,0 u, v, w =1 45

46 Triangle de Bézier Caractéristiques (suite) Contrairement aux surfaces obtenues par produit tensoriel, le triangle de Bézier est une surface à variation décroissante. 46

47 Surfaces de subdivision 47

48 Surfaces de subdivision Surfaces paramétriques : représentation explicite Représentation légère Algorithmes de discrétisation non triviaux... mais discrétisation nécessaire pour l'affichage et l'utilisation en infographie En général, ces surfaces sont utilisées pour une représentation géométrique précise en vue d'opérations de modélisation ultérieures (intersections, calculs géométriques précis, etc...) Opérations de modélisation non triviaux Pour l'infographie, une telle précision n'est en général pas indispensable 48

49 Surfaces de subdivision Surfaces de subdivision Base de la représentation = maillage élémentaire Par itérations successives, ce maillage est raffiné jusqu'à la précision souhaitée Il s'agit d'une représentation algorithmique plutôt que algébrique, car c'est l'algorithme utilisé pour subdiviser qui détermine la forme finale et les propriétés de la surface Certaines de ces surfaces sont équivalentes à des surfaces paramétriques «habituelles». 49

50 Surfaces de subdivision Historique 1974 George Chaikin An algorithm for high speed curve generation 1978 Daniel Doo & Malcolm Sabin (D) A subdivision algorithm for smoothing irregularly shaped polyhedrons (D&S) Behaviour of recursive division surfaces near extraordinary points Edwin Catmull & Jim Clark Recursively generated B-Spline surfaces on arbitrary topological meshes 1987 Charles Loop Smooth subdivision surfaces based on triangles 2000 Leif Kobbelt 3 subdivision (schéma interpolant) 50

51 Surfaces de subdivision Algorithme de Chaikin George Chaikin, An algorithm for high speed curve generation, Computer graphics and Image Processing 3 (1974),

52 Surfaces de subdivision Algorithme de Chaikin Ou «Corner-cutting» 52

53 Surfaces de subdivision Algorithme de Chaikin L'idée de Chaikin est simple : répéter l'opération, à la limite on obtient une courbe lisse. 53

54 Surfaces de subdivision Algorithme de Chaikin Partant d'un polygone à n points {P0,P1, Pn-1}, on construit le polygone formé de 2n points {Q0,R0,Q1,R1, Qn-1,Rn-1}. Ce polygone sert de base pour une étape supplémentaire de l'algorithme : {P'0,P'1, P'2n-1} 3 1 Les nouveaux points sont les suivants : Qi = P i P i Ri = P i P i 1 P1 4 4 R0 Q0 P0 Q1 Pn R1 Rn-1 Qn-1 Pn-1 54

55 Surfaces de subdivision Algorithme de Chaikin Riesenfeld (1978) a montré que cet algorithme génère en fait une Bspline quadratique uniforme, pour laquelle la continuité est C1. P0 Q0 R0 3 1 Q i = P i P i Ri = P i P i P1 Q1 Pn R1 Rn-1 Qn-1 Pn-1 55

56 Surfaces de subdivision Démonstration de l'équivalence entre le schéma de Chaikin et les courbes B-Splines uniformes quadratiques La courbe B-Spline quadratique est définie n par : P u = P i N 2i u i=0 u u i u i 3 u 1 1 N u = N i u N i 1 u u i 2 u i u i 3 u i 1 2 i 1 N i u = 0 N i u = u u i u i 2 u 0 0 N i u N i 1 u u i 1 u i u i 2 u i 1 { 1 si 0 sinon ui u u i 1 U ={u 0,, u n 2 }, u i 1 u i =1, i=0 n 1 56

57 Surfaces de subdivision On peut mettre sous forme monomiale : n 2 i n 2 «Morceau» de courbe P u = P i N u = P k u i=0 k =0 [ ] Pk avec P k u =[1 u u ] M k P k 1 P k 2 2 La matrice Mk dépend de la séquence nodale P1 P3 P4 P2(u) P0(u) P0 P1(u) P2 57

58 Surfaces de subdivision Calcul des fonctions de forme de degré d 2 pour 0 u 1 U ={u 0 = 2, u 1 = 1, u 2 =0,u 3 =1,u 4 =2, u 5=3} 0 N 0= N =0 0 N 1 =0 0 N 2 =1 N 30=0 N =1 u N =u N =0 N 04 =0 Cas général : M k = 1 u k 3 u k 2 avec : =u k 3 u k 1 =u k 4 u k 2 [ 2 u k 3 u 2 k N 20 = 1 2 u u N 12 = 1 2 u 2 u N 22 = u D'où M 0 = u k 3 u k 1 u k 4 u k 2 u k 2 u k 3 u k 1 u k 4 u k 2 u 2 k ] [ ] 58

59 Surfaces de subdivision Subdivision binaire d'une courbe B-Spline 0 u 1 Consiste en l'expression des P.C. correspondant à chaque moitié de la courbe On va poser ici n=2 (nombre de P.C.) [] P0 P u =[1 u u ] M P 1 P2 2 On veut exprimer P[0,1 /2] u et P[1 /2,1] u de telle façon que sur chaque subdivision le paramètre u soit compris entre 0 et 1. P0 [ M = ] P1 P[0,1 /2] u P[1 /2,1] u P2 59

60 Surfaces de subdivision Cas de P[0,1 /2] u [] ] [] P0 P[0,1 /2] u = P u/ 2 =[1 u /2 u /4] M P 1 P2 2 [ P =[1 u u ] 0 1/2 0 M P /4 P2 2 [ ] [] [] [] [ P =[1 u u ] M M 0 1/ 2 0 M P /4 P2 2 1 Q0 =[1 u u ] M Q 1 Q2 2 avec ] [] Q0 P Q1 =M 0 1/ 2 0 M P / 4 Q2 P2 S [0,1 /2] 60

61 Surfaces de subdivision Cas de P[1 /2,1] u [] P0 P[1 /2,1] u = P 1 u / 2 =[1 1 u /2 1 u / 4] M P 1 P2 2 [ ] [] [ ] [] [] [] [ P0 1 1/2 1/4 =[1 u u ] 0 1/2 1/2 M P /4 P2 2 P0 1 1/ 2 1/ 4 =[1 u u ] M M 0 1/ 2 1/ 2 M P / 4 P2 2 1 R0 =[1 u u ] M R 1 R2 2 avec ] [] R0 P0 1 1/ 2 1/4 1 R 1 =M 0 1/ 2 1/2 M P /4 R2 P2 S [1/ 2,1] 61

62 Surfaces de subdivision Au final, [] [] [] [] [ [ ] [ ] [] [ ] ] [ ] [] [ ] Q0 P0 Q1 =S [ 0,1/2] P 1 Q2 P S [0,1/ 2]=M 0 1/2 0 M = / Q0 3 P 0 P 1 1 Q 1 = P 0 3 P 1 4 Q2 3 P 1 P 2 R0 P0 R 1 =S [1/ 2,1] P 1 R2 P2 1 1/ 2 1/ S [1/ 2,1]=M 0 1/ 2 1/ 2 M = / R0 P 3 P R 1 = 3 P 1 P 2 4 R2 P 1 3 P P1 Q1 = R 0 Q2= R1 Q0 P0 On retrouve les coefficients du schéma de Chaikin... (aux indices près) R2 P[0,1 /2] u P[1 /2,1] u P2 3 1 Qi = P i P i Ri = P i P i

63 Surfaces de subdivision Extension aux B-Splines cubiques Continuité C2 1 1 E i = P i P i V i = P i P i 1 P i P1 P0 E0 V0 E1 Pn V1 En-1 Pn-1 63

64 Surfaces de subdivision Schéma de Doo-Sabin Extension du schéma de Chaikin pour une surface B-Spline biquadratique uniforme Construction par la détermination des nouveaux points de contrôle de la subdivision du patch en 4 nouveaux patches. P02 P00 S1(u,v) S (u,v) 3 S2(u,v) P20 S4(u,v) P22 64

65 Surfaces de subdivision Expression du patch bi-quadratique sous forme monomiale pour 0 u 1 et 0 v 1: N t = 1 2 t t S u, v = N i u N j v P ij 1 i=0 j=0 (avec t = u ou t = v ) N 21 t = 1 2 t 2t 2 2 U =V ={ 2, 1,0,1,2,3} 1 N 22 t = t 2 2 P 0 v P02 2 P00 S u, v =[1 u u ] M P 1 v v P 2 v u P 00 P 01 P 02 1 T S u, v =[1 u u ] M P 10 P 11 P 12 M v v2 P 20 P 21 P 22 2 P20 [ ] [ ] [] P22 [ On retrouve M = ] 65

66 Surfaces de subdivision Subdivision - patch S1(u,v) P 00 P 01 P 02 P= P 10 P 11 P 12 P 20 P 21 P 22 1 S 1 u, v =S u/ 2, v/ 2 =[1 u u ] C M P M C v v C= 0 1/ / 4 T 2 P02 P00 S1(u,v) P22 T [ T [] [] ] ] 1 =[1 u u ] M M C M P M C M M v v T T =[1 u u ] M M C M P M C M M v v2 1 2 T =[1 u u ] M P ' M v P ' =S P S T S =M 1 C M v P20 [ [ ] [] 1 S 1 u, v =S u/ 2, v/ 2 =[1 u /2 u /4] M P M v /2 v 2 /4 2 T 1 [] T 1 T T

67 Surfaces de subdivision P02 P00 Au final P ' =S P S T P'00 [ ] ][ ] S =M C M = [ ][ P 00 P 01 P P'= P 10 P 11 P P 20 P 21 P P'20 P'02 S1(u,v) P'22 P20 [ 3 3 P 00 P 10 3 P 01 P 11 3 P 00 P P 01 P P 01 P 11 3 P 02 P 12 1 P'= 3 P 00 3 P 10 P 01 3 P 11 P 00 3 P 10 3 P 01 3 P 11 3 P 01 3 P 11 P 02 3 P P 10 P 20 3 P 11 P 21 3 P 10 P P 11 P P 11 P 21 3 P 12 P 22 P22 ] 67

68 Surfaces de subdivision Extension aux maillages de topologie arbitraire P00 P20 P02 P22 On constate que les nouveaux points de contrôle sont obtenus par la moyenne simple entre 3 catégories de points : Les anciens points de contrôles Les points sur les arêtes (situés au barycentre des extrémités de l'arête) Les points sur les faces (situés au barycentre des sommets de la face) 68

69 Surfaces de subdivision Extension aux maillages de topologie arbitraire 1 Calcul des points P' (pour chaque sommet P, faire la moyenne de P, des points situés sur les faces et des points situés sur les arêtes adjacentes 69

70 Surfaces de subdivision Extension aux maillages de topologie arbitraire 2 Pour chaque face, relier les points P' créés à partir des sommets de la face 70

71 Surfaces de subdivision Extension aux maillages de topologie arbitraire 3 Pour chaque ancien point de contrôle, connecter les nouveaux points créés pour toutes les faces adjacentes à cet ancien PC. 71

72 Surfaces de subdivision Présence de points «extraordinaires» sur la surface limite Correspondent à des P.C. dont la valence est 4 Partout la continuité de la surface limite est C1 ; sauf aux points extraordinaires, où elle est C0. Image : wikipedia 72

73 Surfaces de subdivision Schéma de Catmull-Clark Idée similaire, pour des surfaces B-Spline bicubiques. P00 P03 P30 P33 73

74 Surfaces de subdivision Trois types de points - Les points «face» sont positionnés au barycentre des sommets de la face : P f =Q - Les points «arête» sont positionnés au barycentre entre les extrémités de l'arête et les deux points «face» des faces adjacentes : Q R P e= 2 - Les points «sommets» sont positionnés ainsi : Q 2 R n 3 S Pv= n Q = moyenne des barycentres des faces incidentes R = moyenne des barycentres des arêtes incidentes S = Sommet original n = nombre d'arêtes incidentes à S. Points «face» Points «arête» Points «sommet» 74

75 Surfaces de subdivision Reconnexion des nouveaux points de contrôle 1 Connecter les points «face» aux points «edge» des arêtes communes 2 Connecter les points «sommets» aux points «edges» des arêtes incidentes Images : Ken Joy - UCLA 75

76 Surfaces de subdivision Comme pour les surfaces de Doo-Sabin, la contiunité est dégradée pour quelques points «extraordinaires». Les surfaces sont bicubiques donc : Continuité C2 partout sauf aux points extraordinaires : C1. Images : Imorasa Suzuki 76

77 Surfaces de subdivision Schéma de Loop Permet la subdivision de surfaces triangulées Surface limite C2, sauf aux points de valence <>6, C1. Le principe est le découpage de triangles en 4 triangles. Des points-sommets sont créés, ainsi que des points-arrêtes (rouges) V E V 1= 10 V +Q 1+Q 2 +Q3 +Q 4 +Q 5 +Q = V+ Q 8 8 E 1= 6 V 1 +6 V 2 +2 F F

78 Surfaces de subdivision Ne fonctionne ici que pour des sommets de valence 6 On peut étendre à des sommets de valence quelconque, à condition de modifier la formule. Telle quelle, elle mène à des surfaces limites non lisses. On pose V 1 =α nv +(1 α n )Q avec 3 1 3π 2 3 α n = + cos n 8 n est ici la valence du sommet original. ( ) Cas des frontières : les sommets ne doivent pas rentrer dans la surface mais se déplacer le long de la frontière. On retombe sur le cas d'une B-Spline cubique ( cf. slide 63) E 1= 11 1 E V V 1 +V 2 2 * 1 Q +Q 6 V 1= V * 2 (seulement les sommets voisins sur la frontière) 78

79 Schéma sqrt(3) de Kobbelt CF papier sur le site web du cours Pour un même niveau de raffinement, moins de triangles sont générés que le schéma de Loop 79

80 Catia en architecture 80

81 Applications architecturales Catia en architecture Frank O. Gehry (Fish sculpture, Barcelona,1992) 81

82 Applications architecturales Catia en architecture Frank O. Gehry (Guggenheim museum, Bilbao,1997) 82

83 Applications architecturales Catia en architecture Frank O. Gehry (Guggenheim museum, Bilbao,1997) 83

84 Applications architecturales Catia en architecture Frank O. Gehry (Walt Disney concert hall, Los Angeles,2003) Carol M. Highsmith 84

85 Lancer de rayon «ray tracing» 85

86 Lancer de rayon Principes du lancer de rayon Intersection d'un rayon provenant de l'oeil avec les objets de la scène Sources de lumière illum on d e Point visible on Ray inati Observateur visio n Objets dans la scène 86

87 Lancer de rayon Algorithme Pour chaque pixel { calculer le rayon de vue intersecter le rayon avec la scène calculer l'illumination au point visible afficher la couleur obtenue } Plan de vue (écran) nx*ny pixels 87

88 Lancer de rayon Calcul des rayons Projection perspective Point de vue Plan de vue (écran) Rayon de vision Projection orthographique Position du pixel Plan de vue (écran) Position du pixel Rayon de vision 88

89 Lancer de rayon Calcul des rayons - projection orthographique On doit calculer la position de p dans le plan de l'écran, ainsi que le vecteur v d Plan de vue (écran) p On utilise une équation paramétrique r t =p t d Mais ou se situe le plan de l'écran dans l'espace 3D? 89

90 Lancer de rayon Calcul des rayons - projection orthographique Détermination du plan de vue On établit un repère lié à la caméra : (e,u,v,w) Le plan de vue est dans le plan u-v; celui ci est spécifié par les valeurs l,r,t,b (cf cours coord. homogènes) Le rayon s'exprime alors, en fonction des coordonées (u,v) du pixel p=e u u v v d= w r t =p t d v w u=r u=l e u v= t v= b 90

91 Lancer de rayon Calcul des rayons - projection perspective e=p d=s-e s Rayon de vision r t =p t d 91

92 Lancer de rayon Calcul des rayons - projection perspective Détermination du plan de vue Les coordonnées de s sont (u,v,-d) Le rayon s'exprime alors, en fonction des coordonées (u,v,w) du pixel s s=e u u v v d w p=e d=s e r t =p t d v e w u=r u=l v= t d v= u b 92

93 Lancer de rayon Du pixel vers l'image j = 3.5 j = -0.5 v=t (0,1) (1,1) (0,0) (1,0) (2,0) v=b i = -0.5 i = 3.5 u=l r l i 0.5 nx u=l v=b t b j 0.5 ny u=r 93

94 Lancer de rayon Calculs d'intersection Les rayons intersectent les objets de la scène 94

95 Lancer de rayon Le rayon a une équation paramétrique r t =p t d On impose t>0 pour former une demi-droite Un rayon est donc directionnel 95

96 Lancer de rayon Intersection rayon sphère Condition 1 : être le long du rayon r t =p t d Condition 2 : être sur la surface de la sphère 2 x =1 x =1 Forme implicite f x =x x 1=0 On substitue et on reporte p t d p t d 1=0 Équation quadratique en t 96

97 Lancer de rayon Intersection rayon sphère SolutionS pour t : d p± d p d d p p 1 t= d d 2 t = d p± d p p p 1 si d est unitaire 2 Prendre la plus proche (tmin) des solutions situées du bon coté (t > 0) 97

98 Lancer de rayon Intersection rayon boîte On pourrait faire les intersections avec les 6 faces individuellement Il est plus simple de faire avec les intersections avec les trois «tranches» 98

99 Lancer de rayon Intersection rayon tranche { r x t = p x t d x r t =p t d r y t = p y t d y t ymax p x t xmin d x = x min t xmin = x min p x / d x t xmax = x max p x / d x p y t ymin d y = y min t ymin = y min p y / d y t ymax = y max p y / d y t xmax y max t xmin y min t ymin x min x max 99

100 Lancer de rayon On a les intersections avec les tranches. Comment obtenir les intersections avec la boîte? Combiner judicieusement les résultats obtenus... Le point de sortie du rayon est le plus petit t * max Le point d'entrée du rayon est le plus grand t * min t xmax t ymax t max =min t xmax,t ymax t min =max t xmax, t ymax Il faut encore vérifier que t max t min t xmin t ymin 100

101 Lancer de rayon Intersection rayon triangle Condition 1 : être sur le rayon r t =p t d Condition 2 : être dans le plan du triangle x a n=0 Condition 3 : être à l'intérieur du triangle n a On résoud 1&2 p t d a n=0 (a p) n t= d n 101

102 Lancer de rayon Intérieur du triangle (orienté...) Intersection de trois demi plans On vérifie que l'on est dans chaque demi-plan b a x a n 0 c b x b n 0 a c x c n 0 ou avec le produit mixte : a c b b a, x a, n 0 c b, x b, n 0 a c, x c, n 0 102

103 Lancer de rayon Intersection rayon triangle Doit être rapide Doit être robuste Il existe un certain nombre d'algorithmes efficaces Cf site du cours pour des pdfs: T. Möller and B. Trumbore. Fast, Minimum Storage Ray-Triangle Intersection. Journal of Graphic Tools, 2(1), 21 28, E. Galin, S. Akkouche, Fast processing of triangle meshes using triangle fans, Intl Conf. On Shape Modeling and Applications, 2005 M. Shevtsov, A. Soupikov and A. Kapustin, Ray-Triangle Intersection Algorithm for Modern CPU Architectures, GraphiCon International Conference on Computer graphics & Vision,

104 Lancer de rayon Bases du raytracing : Soit S est une sphère(o,r) Pour chaque pixel de l'ecran i,j { rayon r=camera.calcule_rayon(i,j) S.intersecte(r,0,+infini,test_intersecte,t) si (test_intersecte) est vrai colorie le pixel i,j en blanc } 104

105 Lancer de rayon Intersection avec de nombreuses primitives Pour une direction donnée, on veut l'intersection la plus proche de l'observateur... l'idée est la suivante: groupe.intersecte(r,tmin,tmax, tbest,surface_proche) { initialiser tbest à +infini initialiser surface_proche à «rien» Pour chaque primitive s { calculer l'intersection de s avec le rayon r intersection = s.intersecte(r,tmin,tbest) si (intersection) tbest = t ; surface_proche = s } } Cet algorithme est linéaire en fonction du nombre de primitives (il existe des méthodes meilleures cf suite) 105

106 Lancer de rayon Modification du ray-tracer et image obtenue Soit S une scène Pour chaque pixel de l'ecran i,j { rayon r=camera.calcule_rayon(i,j) c=s.trace(r,0,+inf) colorie le pixel i,j de la couleur c } Scene.trace(r,tmin,tmax) { groupe.intersecte(r,tmin,tmax,surf,t) si (surf non vide) retourne la couleur de la surface sinon retourne la couleur noire } 106

107 Lancer de rayon Ombrages On doit tenir compte d'un éclairement des surfaces par une ou plusieurs lumières La couleur renvoyée vers l'observateur dépend : de la surface (matière, couleur) de l'angle de vue de l'angle de la source de lumière de la normale de la surface. v n l Ces paramètres sont associés à un modèle permettant de calculer la couleur perçue par l'observateur Ce modèle peut être empirique ou basé sur des considération physiques 107

108 Lancer de rayon Grandeurs physiques associé à la la propagation de la lumière 108

109 Lancer de rayon Quelle est la grandeur adéquate pour représenter une couleur ou une intensité lumineuse? Puissance (W)? Radiosité ( W m 2 )? Intensité radiante ( W sr 1 )? Radiance ( W m 2 sr 1 )? Toutes ces unités supposent une indépendance de la sensibilité de l'œil avec la longueur d'onde. Ce n'est évidemment pas vrai! Note : Angle solide d'un cône quelconque mesuré en stéradians: c'est la mesure de la surface interceptée par une sphère de rayon unitaire centrée sur le sommet du cône. 109

110 Lancer de rayon On préfère utiliser une autre unité de base qui est le candela, ou lumen par stéradian ; 1 lm = f(spectre d'émission) * 1 W, c'est une unité SI reliée au watt par un facteur multiplicatif dépendant de l'observateur standard Flux lumineux (Lumen = lm) 1 Intensité lumineuse ( lm sr =cd ) Illuminance ( lm m ) Luminance ( lm m 2 sr 1) 2 110

111 Lancer de rayon Radiance / Radiométrie W m 2 sr 1 ou W m 2 sr 1 (nm) 1 Mesure physique de l'énergie électromagnétique unité basée sur le watt SI Lois de conservation de l'énergie Luminance / Colorimétrie lm m 2 sr 1=cd m 2 Mesure perceptuelle de la quantité de lumière à différentes longueurs d'onde Unité basée sur le lumen SI Lois de conservation si pas de phénomènes de fluorescence (changement de longueur d'onde de la lumière) 111

112 Lancer de rayon Lampe incandescente de 100 W 1500 lumens ou encore environ 120 candelas si elle émet de façon uniforme dans toutes les directions. Seule une partie de l'énergie lumineuse est émise dans les fréquences visibles (le reste est dans l'infrarouge) Une lampe fluocompacte de 21W Environ 1500 lumens aussi! Presque toute l'énergie est émise dans certaines fréquences visibles Rapport entre intensité physique et perceptive I v = I y d lm 0 lm / W W nm 1 112

113 Lancer de rayon La luminance (radiance) est la puissance par surface unitaire orientée perpendiculairement au rayon; par unité d'angle solide Lumens ou watts d2φ d2φ L( x, ω)= = d ω n da d ω cos θ da d stéradians m2 d n n da θ da 113

114 Lancer de rayon Si la surface émet uniformément (L constante) une puissance dq, cette relation est vérifiée : dq= d 2 Φ= L d ω cos θ da π 2 2π dq= L cos θ sin θ d ϕ d θ da 0 d 0 π 2 dq=2 π L sin θ cos θ d θ da=π L da 0 d n n da θ da 114

115 Lancer de rayon Quiz : La radiance/luminance augmente-t-elle si l'on concentre les rayons du soleil avec une loupe? La radiance/luminance d'une surface éclairante dépend-elle de son aire visible (distance d'observation)? 115

116 Lancer de rayon Lois de conservation pour la luminance Expérience sur la perception de la lumière r a Capteur Signal en Volts U=g.Pc A diaphragmes Émet uniformément de la lumière dans toutes les directions P (lumens) L= 2 S (m ) π (sr) 116

117 Lancer de rayon Lois de conservation pour la luminance r a Angle solide du capteur vu de la surface = da A a r2 Puissance lumineuse arrivant sur le capteur dp c = da L 2 P c = da L= A L= r L Géométrie du capteur A = a L Le résultat ne dépend pas de la distance! La luminance (ou la radiance) se conservent 117

118 Lancer de rayon Lois de conservation pour la luminance r a ' da' A' Si on intercale une lentille parfaite : A ' =k A '= k Puissance lumineuse arrivant sur le capteur P c ' = ' A' L= A L= P c Le résultat ne dépend pas du chemin optique! 118

119 Lancer de rayon Quelques valeurs caractéristiques de la luminance Surface du Soleil : à midi, atmosphère claire 9 2 Lν ~ lm m sr 1 ( hors de l'atmosphère : Lν ~ 2 10 lm m sr 1 ) Pleine lune, minuit Lm ~ 4000 lm m 2 sr 1 Écran de TV, ordinateur etc L TV =50 ~ 500 lm m sr Projecteur multimédia 2000 lumens, écran de projection 2m*1.5m, parfaitement réfléchissant (albédo=1), diffusant la lumière selon la loi de lambert 2000 L p= ~ 200 lm m 2 sr π Luminance d'une feuille de papier blanche A4 (albédo = 0.6) parfaitement réfléchissante exposée au soleil ( Ων ~ sr ) L f ~ 0.6 ~ lm m sr π 119

120 Lancer de rayon Lors de la restitution (affichage), on transforme un signal U en Volts en une intensité lumineuse. Pixel de surface s U P e = g ' (U ) Puissance émise (Lumens ou watts) gain, dépend des propriétés physiques Supposons l'émission de lumière uniforme dans toutes les directions, on a donc une luminance P e g ' (U ) L= = = g ' ' (U ) s π s π Dépend uniquement des caractéristiques géométriques 120 et physiques du «pixel»

121 Lancer de rayon Conclusion : La luminance est la bonne grandeur à «afficher» pour rendre compte fidèlement de la réalité Lors du lancer de rayon, c'est cette grandeur qui est associée à un rayon, et qui est calculée / transportée. 121

122 Lancer de rayon Quelques lois de réflexion de la lumière 122

123 Lancer de rayon Lumière incidente Loi de Lambert (Jean-Henri Lambert ) l n La face supérieure reçoit une certaine quantité de lumière La face supérieure reçoit une fraction de la quantité de lumière émise En fait, la face supérieure reçoit une quantité de lumière proportionnelle à cos =l n Dans tous les cas, la lumière incidente est rediffusée dans toute les directions avec la même intensité 123

124 Lancer de rayon Modèle de surface parfaitement diffuse Appelée aussi surface lambertienne Elle renvoie la lumière «équitablement» dans toutes les directions L'apparence (luminance) ne dépend pas de la position de l'observateur v n l 124

125 Lancer de rayon Modèle de surface lambertienne Quantité de lumière reçue par élément de surface ds d ε= 2 d dq= L i d ε cos θ ds (Lumens) v Celle ci est réémise avec une luminance qui est uniforme dq dε Ld = = Li cos θ π =cos θ I i ds π dε ds I = L i π = Li 2 πd Surface ds d n l d ds est l'illumination incidente. 125

126 Lancer de rayon Modèle de surface Lambertienne Cette surface est pourvue d'une couleur et d'un coefficient d'albédo* Coefficient lié à l'albédo Lumière (luminance) diffusée vers l'observateur Illumination incidente (lm/m2) v n l L d = A I max n l, 0 L d =k d I * l'albédo est le rapport entre la quantité d'énergie incidente et la quantité réfléchie (compris entre 0 et 1) 126

127 Lancer de rayon Surface Lambertienne : Physique Surface rugueuse (pas d'effet miroir) Pénétration des rayons lumineux diffusion par des particules ( ce sont les particules et la matrice qui donnent la couleur! ) Une fraction des rayons lumineux réussit à sortir (paramètre A du modèle de Lambert) Tout se passe à très fine échelle Les rayons lumineux sortants peuvent être considérés comme provenant du point d'entrée ~ 10 m 127

128 Lancer de rayon Limites du modèle lambertien Ne pas être dans les conditions de la lumière rasante Le modèle lambertien tend vers une réflexion nulle... Cf image de la lune : les bords ne tendent pas vers une intensité nulle! (pleine lune) Surfaces non conductrices (pas de métaux) Plâtre «rugueux», céramique dépolie, etc., bitume, béton «rugeux», verre opaque et dépoli 128

129 Lancer de rayon Surface lambertienne : apparence matte La luminance renvoyée ne dépend que de la position de la source. v A=0.4 A=0.6 l A=0.8 A=

130 Lancer de rayon Autres modèles de réflexion diffuse Modèle de Oren-Nayar Inclut l'inter-réflexion sur les irrégularités de la surface... ajoute un paramètre de rugosité. 130

131 Lancer de rayon Surface lambertienne : couleur Coefficient d'albédo différent pour les trois couleurs primaires En pratique, on fixe un coefficient unique (A) à multiplier par un coefficient dépendant de chaque couleur (précisément le triplet représentant la couleur de la matière) R Ld C R I R G G G L d = A C I max n l, 0 B B B C I Ld ~ Couleur de la matière ~ Couleur de la lumière incidente 131

132 Lancer de rayon Image obtenue avec ombrage lambertien Scene.trace(r,tmin,tmax) { groupe.intersecte(r,tmin,tmax,surf,t) si (surf non vide) { point = r.evalue(t) normale=surf.donne_normale(point) retourne surf.ombrage(r,point,normale,lampe) } sinon retourne la couleur de fond } surface.ombrage(rayon,point,normale,lampe) { v = -normalise(rayon.direction) l = normalise(lampe.position-point) // calcule l'ombrage lambertien retourne la couleur } 132

133 Lancer de rayon Références J. H. Lambert. Photometria sive de mensure de gratibus luminis, colorum umbrae. Eberhard Klett, 1760 P. Kubelka and F. Lunk. Ein Beitrag zur Optik der Farbanstriche. Z. Techn. Physik, 12: , 1931 S. Orchard. Reflection and transmission of light by diffusing suspensions. J. Opt. Soc. Am., 59: , 1969 J. Reichmann. Determination of absorption and scattering coefficients for non homogeneous media. Applied Optics, 12: , M. Oren and S. K. Nayar Generalization of Lambert s reflectance model, ACM SIGGRAPH 1994 Proceeding. 133

134 Lancer de rayon Ombres portées... Les surfaces ne sont éclairées que si rien ne bloque la lumière issue de la lampe On dispose de tout de ce qu'il faut pour tester cela! Construire un rayon provenant de la lampe et passant par le point courant sur la surface et vérifier qu'il n'intersecte rien 134

135 Lancer de rayon Ombrage lambertien + ombres portées surface.ombrage(rayon,point,normale,lampe) { rayon_ombre = rayon(point, lampe.position point) groupe.intersecte(rayon_ombre,tmin,tmax,t,surf) si surf est vide { v = -normalise(rayon.direction) l = normalise(lampe.position-point) calculer l'ombrage lambertien retourne la couleur obtenue } sinon retourne couleur noire } 135

136 Lancer de rayon Ombres portées Attention lors de la recherche d'intersection du rayon provenant de la source de lumière Le point d'intersection calculé avec le rayon en provenance de l'observateur est il situé numériquement exactement sur la surface? Si il est un peu à «l'extérieur», alors tout se passe comme prévu Si il est un peu à «l'intérieur», alors on trouvera une intersection pour le rayon provenant de la lampe... Solution : faire en sorte que le rayon utilisé pour le calcul des ombres portées commence à une petite distance de la surface (vers l'extérieur) 136

137 Lancer de rayon Ombres portées traitement correct! rayon_ombre = rayon(point+normale*epsilon, lampe.position point) 137

138 Lancer de rayon Sources lumineuses multiples Important pour «déboucher» les ombres Implémentation très simple : pour chaque lumière, ajouter la contribution correspondante Ombrage ambiant Une ombre parfaitement noire est peu réaliste Solution 1 : placer une faible source de lumière juste à coté de la caméra Solution 2 : ajouter une contribution constante à l'ombrage calculé par ailleurs L a =k a I a Lumière ambiante coefficient ambiant réfléchie Lumière ambiante 138

139 Lancer de rayon Sources lumineuses multiples surface.ombrage(rayon,point,normale,lampes) { couleur= ambiant // eventuellement noir! pour chaque lampe dans lampes { si pas dans ombre (cf plus avant) { v = -normalise(rayon.direction) l = normalise(lampe.position-point) calculer l'ombrage lambertien couleur = couleur + ombrage calculé } } retourne couleur } 139

140 Lancer de rayon Réflexion spéculaire Lumière directement réfléchie par la surface (ne pénètre pas dans la matière) Concerne les surfaces relativement lisses Ces surfaces réfléchissent préférentiellement la lumière dans une direction n v ' l La direction préférentielle est la configuration du miroir : = ' 140

141 Lancer de rayon Réflexion spéculaire : physique La surface est parfaitement lisse : miroir Toute la lumière en provenance de la source est réfléchie dans une seule direction cas particulier (cf suite du cours) Certains matériaux ont une réflexion sous forme de tache diffuse Même pour une source lumineuse ponctuelle! Il y a dispersion de l'orientation de la lumière réfléchie (de part et d'autre de l'angle de réflexion miroir théorique) Ceci est du à la présence de microfacettes à la surface du solide La répartition statistique de l'orientation des microfacettes donne la taille de la tache spéculaire pour une source lumineuse ponctuelle 141

142 Lancer de rayon Réflexion spéculaire : physique La couleur réfléchie est dominée par la couleur de la lumière incidente La couleur d'un objet provient majoritairement de l'absorption partielle des rayons transmis dans le milieu (plastiques, etc...) Toutefois, les coefficients de réflexion sont dépendants de la longueur d'onde dans le visible pour certains matériaux Cuivre, or... visible 142

Synthèse d'images I. Venceslas BIRI IGM Université de Marne La

Synthèse d'images I. Venceslas BIRI IGM Université de Marne La Synthèse d'images I Venceslas BIRI IGM Université de Marne La La synthèse d'images II. Rendu & Affichage 1. Introduction Venceslas BIRI IGM Université de Marne La Introduction Objectif Réaliser une image

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

LO12. Chap 1 1. 1. Introduction UTC A2006. 1.1 Présentation de l'uv. Bases de l infographie et Images de synthèse. Objectifs

LO12. Chap 1 1. 1. Introduction UTC A2006. 1.1 Présentation de l'uv. Bases de l infographie et Images de synthèse. Objectifs UTC A2006 1. Introduction 1.1 Présentation de l'uv Objectifs Bases de l infographie et Images de synthèse savoir se repérer dans l espace, comprendre les principaux algorithmes d infographie (leur puissance

Plus en détail

Au programme. Vision par ordinateur: Formation d image et Photographie. Formation de l image. Introduction

Au programme. Vision par ordinateur: Formation d image et Photographie. Formation de l image. Introduction Au programme Vision par ordinateur: Formation d image et Photographie Sébastien Roy Jean-Philippe Tardif Marc-Antoine Drouin Département d Informatique et de recherche opérationnelle Université de Montréal

Plus en détail

Visibilité polygone à polygone :

Visibilité polygone à polygone : Introduction Visibilité polygone à polygone : calcul, représentation, applications Frédéric Mora Université de Poitiers - Laboratoire SIC 10 juillet 2006 1 La visibilité Introduction Contexte L espace

Plus en détail

Chapitre 18 : Transmettre et stocker de l information

Chapitre 18 : Transmettre et stocker de l information Chapitre 18 : Transmettre et stocker de l information Connaissances et compétences : - Identifier les éléments d une chaîne de transmission d informations. - Recueillir et exploiter des informations concernant

Plus en détail

Introduction au maillage pour le calcul scientifique

Introduction au maillage pour le calcul scientifique Introduction au maillage pour le calcul scientifique CEA DAM Île-de-France, Bruyères-le-Châtel franck.ledoux@cea.fr Présentation adaptée du tutorial de Steve Owen, Sandia National Laboratories, Albuquerque,

Plus en détail

Séquence 9. Étudiez le chapitre 11 de physique des «Notions fondamentales» : Physique : Dispersion de la lumière

Séquence 9. Étudiez le chapitre 11 de physique des «Notions fondamentales» : Physique : Dispersion de la lumière Séquence 9 Consignes de travail Étudiez le chapitre 11 de physique des «Notions fondamentales» : Physique : Dispersion de la lumière Travaillez les cours d application de physique. Travaillez les exercices

Plus en détail

Programme de mathématiques TSI1

Programme de mathématiques TSI1 Programme de mathématiques TSI1 1. PROGRAMME DE DÉBUT D ANNÉE I. Nombres complexes et géométrie élémentaire 1. Nombres complexes 1 2. Géométrie élémentaire du plan 3 3. Géométrie élémentaire de l espace

Plus en détail

Les algorithmes de base du graphisme

Les algorithmes de base du graphisme Les algorithmes de base du graphisme Table des matières 1 Traçage 2 1.1 Segments de droites......................... 2 1.1.1 Algorithmes simples.................... 3 1.1.2 Algorithmes de Bresenham (1965).............

Plus en détail

G.P. DNS02 Septembre 2012. Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3. Réfraction

G.P. DNS02 Septembre 2012. Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3. Réfraction DNS Sujet Réfraction...1 I.Préliminaires...1 II.Première partie...1 III.Deuxième partie...3 Réfraction I. Préliminaires 1. Rappeler la valeur et l'unité de la perméabilité magnétique du vide µ 0. Donner

Plus en détail

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances

Utiliser les propriétés Savoir réduire un radical savoir +,-,x,: Utiliser les propriétés des puissances Calculer avec des puissances ARITHMETIQUE 1 C B A Numération Ecrire en lettres et en chiffres Poser des questions fermées autour d un document simple (message, consigne, planning ) Connaître le système décimal Déterminer la position

Plus en détail

Vision par Ordinateur

Vision par Ordinateur Vision par Ordinateur James L. Crowley DEA IVR Premier Bimestre 2005/2006 Séance 6 23 novembre 2005 Détection et Description de Contraste Plan de la Séance : Description de Contraste...2 Le Détecteur de

Plus en détail

1S9 Balances des blancs

1S9 Balances des blancs FICHE 1 Fiche à destination des enseignants 1S9 Balances des blancs Type d'activité Étude documentaire Notions et contenus Compétences attendues Couleurs des corps chauffés. Loi de Wien. Synthèse additive.

Plus en détail

Comprendre l Univers grâce aux messages de la lumière

Comprendre l Univers grâce aux messages de la lumière Seconde / P4 Comprendre l Univers grâce aux messages de la lumière 1/ EXPLORATION DE L UNIVERS Dans notre environnement quotidien, les dimensions, les distances sont à l échelle humaine : quelques mètres,

Plus en détail

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide)

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide) Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009 Descriptifs (Page vide) Sujet 001 Épreuve pratique de mathématiques Descriptif Étude d une fonction dépendant d un paramètre Étant donné une fonction dépendant

Plus en détail

Sujet. calculatrice: autorisée durée: 4 heures

Sujet. calculatrice: autorisée durée: 4 heures DS SCIENCES PHYSIQUES MATHSPÉ calculatrice: autorisée durée: 4 heures Sujet Approche d'un projecteur de diapositives...2 I.Questions préliminaires...2 A.Lentille divergente...2 B.Lentille convergente et

Plus en détail

Q6 : Comment calcule t-on l intensité sonore à partir du niveau d intensité?

Q6 : Comment calcule t-on l intensité sonore à partir du niveau d intensité? EXERCICE 1 : QUESTION DE COURS Q1 : Qu est ce qu une onde progressive? Q2 : Qu est ce qu une onde mécanique? Q3 : Qu elle est la condition pour qu une onde soit diffractée? Q4 : Quelles sont les différentes

Plus en détail

DIFFRACTion des ondes

DIFFRACTion des ondes DIFFRACTion des ondes I DIFFRACTION DES ONDES PAR LA CUVE À ONDES Lorsqu'une onde plane traverse un trou, elle se transforme en onde circulaire. On dit que l'onde plane est diffractée par le trou. Ce phénomène

Plus en détail

EXERCICE 2 : SUIVI CINETIQUE D UNE TRANSFORMATION PAR SPECTROPHOTOMETRIE (6 points)

EXERCICE 2 : SUIVI CINETIQUE D UNE TRANSFORMATION PAR SPECTROPHOTOMETRIE (6 points) BAC S 2011 LIBAN http://labolycee.org EXERCICE 2 : SUIVI CINETIQUE D UNE TRANSFORMATION PAR SPECTROPHOTOMETRIE (6 points) Les parties A et B sont indépendantes. A : Étude du fonctionnement d un spectrophotomètre

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Sujet. calculatrice: autorisée durée: 4 heures

Sujet. calculatrice: autorisée durée: 4 heures DS SCIENCES PHYSIQUES MATHSPÉ calculatrice: autorisée durée: 4 heures Sujet Spectrophotomètre à réseau...2 I.Loi de Beer et Lambert... 2 II.Diffraction par une, puis par deux fentes rectangulaires... 3

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Infographie et Image Informatique. Infographie 3D. Gérard-Michel COCHARD cochard@u-picardie.fr Sébastien CHOPLIN sebastien.choplin@upicardie.

Infographie et Image Informatique. Infographie 3D. Gérard-Michel COCHARD cochard@u-picardie.fr Sébastien CHOPLIN sebastien.choplin@upicardie. Infographie et Image Informatique Gérard-Michel COCHARD cochard@u-picardie.fr Sébastien CHOPLIN sebastien.choplin@upicardie.fr Infographie 3D 3. 4. 5. 6. Transformations géométriques 3D Projections Types

Plus en détail

ALGORITHMES POUR LA VISUALISATION SCIENTIFIQUE

ALGORITHMES POUR LA VISUALISATION SCIENTIFIQUE BAZEILLE Stéphane MOUGEL Baptiste IUP3 ALGORITHMES POUR LA VISUALISATION SCIENTIFIQUE EN Année 2003/2004 1 TABLE DES MATIERES Home... 3 Introduction.... 3 Marching Square... 4 Algorithme....4 Programmation...4

Plus en détail

Formation 3DS Partie 2. Fascicule 3DS. Partie 2 : Modélisation

Formation 3DS Partie 2. Fascicule 3DS. Partie 2 : Modélisation Fascicule 3DS Partie 2 : Modélisation Formation CIREVE 2007 1 Introduction sur l utilisation de formes 2D...3 1. Avant propos...4 2. Utilisation des splines (formes 2D)...4 3. Les types de sommet...5 4.

Plus en détail

modélisation solide et dessin technique

modélisation solide et dessin technique CHAPITRE 1 modélisation solide et dessin technique Les sciences graphiques regroupent un ensemble de techniques graphiques utilisées quotidiennement par les ingénieurs pour exprimer des idées, concevoir

Plus en détail

PRINCIPE MICROSCOPIE CONFOCALE

PRINCIPE MICROSCOPIE CONFOCALE PRINCIPE MICROSCOPIE CONFOCALE Un microscope confocal est un système pour lequel l'illumination et la détection sont limités à un même volume de taille réduite (1). L'image confocale (ou coupe optique)

Plus en détail

Ludovic Grossard. Chapitre VI Polarisation de la lumière. Chapitre VI. Département Mesures Physiques, IUT du Limousin Université de Limoges

Ludovic Grossard. Chapitre VI Polarisation de la lumière. Chapitre VI. Département Mesures Physiques, IUT du Limousin Université de Limoges Chapitre VI Polarisation de la lumière Ludovic Grossard Département Mesures Physiques, IUT du Limousin Université de Limoges 1 Dénition 2 Types de polarisation 3 Polariseurs / analyseurs 4 Les lames de

Plus en détail

SDLV120 - Absorption d'une onde de compression dans un barreau élastique

SDLV120 - Absorption d'une onde de compression dans un barreau élastique Titre : SDLV120 - Absorption d'une onde de compression dan[...] Date : 09/11/2011 Page : 1/9 SDLV120 - Absorption d'une onde de compression dans un barreau élastique Résumé On teste les éléments paraxiaux

Plus en détail

L'apport de la physique au diagnostic médical

L'apport de la physique au diagnostic médical L'apport de la physique au diagnostic médical L'application des découvertes de la physique à l'exploration du corps humain fournit aux médecins des informations essentielles pour leurs diagnostics. Ils

Plus en détail

Caractérisation de défauts par Magnétoscopie, Ressuage, Courants de Foucault

Caractérisation de défauts par Magnétoscopie, Ressuage, Courants de Foucault Page 1 25 octobre 2012 Journée «Contrôle non destructif et caractérisation de défauts» Caractérisation de défauts par Magnétoscopie, Ressuage, Courants de Foucault Henri Walaszek sqr@cetim.fr Tel 0344673324

Plus en détail

Les ondes au service du diagnostic médical

Les ondes au service du diagnostic médical Chapitre 12 Les ondes au service du diagnostic médical A la fin de ce chapitre Notions et contenus SAV APP ANA VAL REA Je maitrise Je ne maitrise pas Signaux périodiques : période, fréquence, tension maximale,

Plus en détail

Module HVAC - fonctionnalités

Module HVAC - fonctionnalités Module HVAC - fonctionnalités Modèle de radiation : DO = Discrete Ordinates On peut considérer l échauffement de solides semi transparents causé par le rayonnement absorbé par le solide. On peut également

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe

Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d

Plus en détail

Utilisation du logiciel Cabri 3D de géométrie dans l espace (*)

Utilisation du logiciel Cabri 3D de géométrie dans l espace (*) Dans nos classes 645 Utilisation du logiciel Cabri 3D de géométrie dans l espace (*) Jean-Jacques Dahan(**) Historiquement, la géométrie dynamique plane trouve ses racines chez les grands géomètres de

Plus en détail

Éclairage naturel L5C 2009/2010. Aurore BONNET

Éclairage naturel L5C 2009/2010. Aurore BONNET Éclairage naturel L5C 2009/2010 Aurore BONNET Introduction : Les 2 aspects de l éclairage naturel : Introduction : Les 2 aspects de l éclairage naturel : l ensoleillement et l éclairage diffus L ENSOLEILLEMENT

Plus en détail

Introduction à la Synthèse d Images 3D

Introduction à la Synthèse d Images 3D Introduction à la Synthèse d Images 3D Option IMA 1 ère année Master Informatique Thierry Duval IFSIC / IRISA Siames thierry.duval@irisa.fr Plan 1. Introduction 2. Modélisation d univers 3. Animation 4.

Plus en détail

PREMIERE PARTIE CRISTALLOGRAPHIE GEOMETRIQUE

PREMIERE PARTIE CRISTALLOGRAPHIE GEOMETRIQUE 1 PREMIERE PARTIE CRISTALLOGRAPHIE GEOMETRIQUE Cette première partie se divise en cinq chapitres : Le chapitre 1 donne quelques généralités sur l'état cristallin. Le chapitre est consacré aux calculs dans

Plus en détail

Projet de traitement d'image - SI 381 reconstitution 3D d'intérieur à partir de photographies

Projet de traitement d'image - SI 381 reconstitution 3D d'intérieur à partir de photographies Projet de traitement d'image - SI 381 reconstitution 3D d'intérieur à partir de photographies Régis Boulet Charlie Demené Alexis Guyot Balthazar Neveu Guillaume Tartavel Sommaire Sommaire... 1 Structure

Plus en détail

CHAPITRE IX : Les appareils de mesures électriques

CHAPITRE IX : Les appareils de mesures électriques CHAPITRE IX : Les appareils de mesures électriques IX. 1 L'appareil de mesure qui permet de mesurer la différence de potentiel entre deux points d'un circuit est un voltmètre, celui qui mesure le courant

Plus en détail

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007 Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................

Plus en détail

Deux problèmes en synthèse d images : les sources directionnelles de lumière et une interface évoluée

Deux problèmes en synthèse d images : les sources directionnelles de lumière et une interface évoluée Deux problèmes en synthèse d images : les sources directionnelles de lumière et une interface évoluée Gilles Fertey To cite this version: Gilles Fertey. Deux problèmes en synthèse d images : les sources

Plus en détail

SUIVI CINETIQUE PAR SPECTROPHOTOMETRIE (CORRECTION)

SUIVI CINETIQUE PAR SPECTROPHOTOMETRIE (CORRECTION) Terminale S CHIMIE TP n 2b (correction) 1 SUIVI CINETIQUE PAR SPECTROPHOTOMETRIE (CORRECTION) Objectifs : Déterminer l évolution de la vitesse de réaction par une méthode physique. Relier l absorbance

Plus en détail

Cours Physique Interaction onde-matière classe : 4ème Maths 3+Tech 1 Introduction :

Cours Physique Interaction onde-matière classe : 4ème Maths 3+Tech 1 Introduction : Cours Physique Interaction onde-matière classe : 4 ème Maths 3+Tech I- Introduction : En laissant l œil semi-ouvert lors de la réception de la lumière on observe des annaux alternativement brillants et

Plus en détail

TPG 12 - Spectrophotométrie

TPG 12 - Spectrophotométrie TPG 12 - Spectrophotométrie Travail par binôme Objectif : découvrir les conditions de validité et les utilisations possibles de la loi de Beer-Lambert I- Tracé de la rosace des couleurs Choisir un des

Plus en détail

Développement mobile MIDP 2.0 Mobile 3D Graphics API (M3G) JSR 184. Frédéric BERTIN fbertin@neotilus.com

Développement mobile MIDP 2.0 Mobile 3D Graphics API (M3G) JSR 184. Frédéric BERTIN fbertin@neotilus.com Développement mobile MIDP 2.0 Mobile 3D Graphics API (M3G) JSR 184 Frédéric BERTIN fbertin@neotilus.com Présentaion : Mobile 3D Graphics API JSR 184 M3G :présentation Package optionnel de l api J2ME. Prend

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

L éclairage naturel première partie : Principes de base

L éclairage naturel première partie : Principes de base Suzel BALEZ L5C 2007-08 L éclairage naturel première partie : Principes de base Hertzog et Partner Bât. De bureaux à Wiesbaden Plan Notions préliminaires La vision Grandeurs photométriques Le flux lumineux

Plus en détail

RIE LE RENDU THEO. 2 e trim ÉTAPE DE FINITION BOÎTE DE DIALOGUE. remarques

RIE LE RENDU THEO. 2 e trim ÉTAPE DE FINITION BOÎTE DE DIALOGUE. remarques THEO RIE LE RENDU 2 e trim JANVIER 2008 remarques ÉTAPE DE FINITION Le rendu est la partie finale de notre création, à ce moment on décide que notre 3D est finie et l on en réalise une image 2D Cette image

Plus en détail

TS 32 Stockage de données sur un CD

TS 32 Stockage de données sur un CD FICHE 1 Fiche à destination des enseignants TS 32 Stockage de données sur un CD Type d'activité Activité documentaire Tâche complexe Notions et contenus Stockage optique Écriture et lecture des données

Plus en détail

CHAPITRE I Modélisation d un panneau solaire 2012

CHAPITRE I Modélisation d un panneau solaire 2012 1 I.Généralités sur les cellules photovoltaïques I.1.Introduction : Les énergies renouvelables sont des énergies à ressource illimitée. Les énergies renouvelables regroupent un certain nombre de filières

Plus en détail

CAPTEURS - CHAINES DE MESURES

CAPTEURS - CHAINES DE MESURES CAPTEURS - CHAINES DE MESURES Pierre BONNET Pierre Bonnet Master GSI - Capteurs Chaînes de Mesures 1 Plan du Cours Propriétés générales des capteurs Notion de mesure Notion de capteur: principes, classes,

Plus en détail

05/09/2015. M Ponctualité : CM TD TP & Projet Æ En cas d absence : récupérer!!! 3 05/09/2015

05/09/2015. M Ponctualité : CM TD TP & Projet Æ En cas d absence : récupérer!!! 3 05/09/2015 Synthèse d images L3 Présentation du module Sandrine LANQUETIN Bureau G08 sandrine.lanquetin@u-bourgogne.fr Qui? Quand? Mode d emploi M Intervenants : Æ S. Lanquetin sandrine.lanquetin@u-bourgogne.fr M

Plus en détail

Structures de données non linéaires

Structures de données non linéaires Structures de données non linéaires I. Graphes Définition Un graphe (simple) orienté G est un couple (S, A), où : S est un ensemble dont les éléments sont appelés les sommets. A est un ensemble de couples

Plus en détail

SESSION 2013 MPP2008! PHYSIQUE 2. Durée : 4 heures!

SESSION 2013 MPP2008! PHYSIQUE 2. Durée : 4 heures! SESSION 2013 MPP2008 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP " PHYSIQUE 2 Durée : 4 heures " N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Plus en détail

Conversion électronique statique

Conversion électronique statique Conversion électronique statique Sommaire I) Généralités.2 A. Intérêts de la conversion électronique de puissance 2 B. Sources idéales.3 C. Composants électroniques..5 II) III) Hacheurs..7 A. Hacheur série

Plus en détail

Chapitre 02. La lumière des étoiles. Exercices :

Chapitre 02. La lumière des étoiles. Exercices : Chapitre 02 La lumière des étoiles. I- Lumière monochromatique et lumière polychromatique. )- Expérience de Newton (642 727). 2)- Expérience avec la lumière émise par un Laser. 3)- Radiation et longueur

Plus en détail

Alimentation électrique : Ampère Ampoule à incandescence Ballast électrique Candela Cellule photoélectrique Certifications & normes

Alimentation électrique : Ampère Ampoule à incandescence Ballast électrique Candela Cellule photoélectrique Certifications & normes Alimentation électrique : l'alimentation électrique pour la gamme de luminaires DIODELA, est un appareil qui transforme un courant alternatif 90V-240V en courant continu de 48V. Ampère : l 'ampère (A)

Plus en détail

Analyse de la vidéo. Chapitre 4.1 - La modélisation pour le suivi d objet. 10 mars 2015. Chapitre 4.1 - La modélisation d objet 1 / 57

Analyse de la vidéo. Chapitre 4.1 - La modélisation pour le suivi d objet. 10 mars 2015. Chapitre 4.1 - La modélisation d objet 1 / 57 Analyse de la vidéo Chapitre 4.1 - La modélisation pour le suivi d objet 10 mars 2015 Chapitre 4.1 - La modélisation d objet 1 / 57 La représentation d objets Plan de la présentation 1 La représentation

Plus en détail

TP vélocimétrie. Laser, Matériaux, Milieux Biologiques. Sécurité laser

TP vélocimétrie. Laser, Matériaux, Milieux Biologiques. Sécurité laser TP vélocimétrie Laser, Matériaux, Milieux Biologiques Sécurité ATTENTION : le faisceau du Hélium-Néon utilisé dans cette salle est puissant (supérieur à 15 mw). Il est dangereux et peuvent provoquer des

Plus en détail

CONTRÔLE QUALITE DES SURFACES VISUALISATION 3D - TOPOGRAPHIE MESURE RAPIDE & SANS CONTACT PORTABLE & SIMPLE D UTILISATION POWERED BY

CONTRÔLE QUALITE DES SURFACES VISUALISATION 3D - TOPOGRAPHIE MESURE RAPIDE & SANS CONTACT PORTABLE & SIMPLE D UTILISATION POWERED BY CONTRÔLE QUALITE DES SURFACES VISUALISATION 3D - TOPOGRAPHIE MESURE RAPIDE & SANS CONTACT PORTABLE & SIMPLE D UTILISATION POWERED BY LE NOUVEL EQUIPEMENT DE MESURE OPTIMAP TM MARQUE LE DEBUT D UNE REVOLUTION

Plus en détail

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Géométrie Algorithmique Plan du cours

Géométrie Algorithmique Plan du cours Plan du cours Introduction Triangulation de polygones Recherche/localisation Diagrammes de Voronoï Triangulation de Delaunay Arbres de partition binaire 1 Intersection de segments de droite Intersection

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Rupture et plasticité

Rupture et plasticité Rupture et plasticité Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 25 novembre 2009 1 / 44 Rupture et plasticité : plan du cours Comportements

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Première STMG1 2014-2015 progression. - 1. Séquence : Proportion d une sous population dans une population.

Première STMG1 2014-2015 progression. - 1. Séquence : Proportion d une sous population dans une population. Première STMG1 2014-2015 progression. - 1 Table des matières Fil rouge. 3 Axes du programme. 3 Séquence : Proportion d une sous population dans une population. 3 Information chiffrée : connaître et exploiter

Plus en détail

Mise en pratique : Etude de spectres

Mise en pratique : Etude de spectres Mise en pratique : Etude de spectres Introduction La nouvelle génération de spectromètre à détecteur CCD permet de réaliser n importe quel spectre en temps réel sur toute la gamme de longueur d onde. La

Plus en détail

PHYSIQUE-CHIMIE. Partie I - Spectrophotomètre à réseau

PHYSIQUE-CHIMIE. Partie I - Spectrophotomètre à réseau PHYSIQUE-CHIMIE L absorption des radiations lumineuses par la matière dans le domaine s étendant du proche ultraviolet au très proche infrarouge a beaucoup d applications en analyse chimique quantitative

Plus en détail

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader Terminale STMG O. Lader Table des matières 1 Information chiffrée (4s) 4 1.1 Taux d évolution....................................... 6 1.2 indices............................................. 6 1.3 Racine

Plus en détail

Les moyens d observations en astronomie & astrophysique

Les moyens d observations en astronomie & astrophysique Les moyens d observations en astronomie & astrophysique Unité d Enseignement Libre Université de Nice- Sophia Antipolis F. Millour PAGE WEB DU COURS : www.oca.eu/fmillour cf le cours de Pierre Léna : «L

Plus en détail

Créer des figures dynamiques en 3 dimensions avec GeoGebra 5

Créer des figures dynamiques en 3 dimensions avec GeoGebra 5 Créer des figures dynamiques en 3 dimensions avec GeoGebra 5, 1/46 I. Pour débuter...3 IV. 9. Obtenir une sphère ou un cône tronqué...21 I. 1. Téléchargement...3 V. Illustration d'exercices...22 I. 2.

Plus en détail

Session de Juillet 2001. Durée 2 H Documents interdits.

Session de Juillet 2001. Durée 2 H Documents interdits. Session de Juillet 2001 Durée 2 H Documents interdits. Exercice 1 : Oscillations forcées de dipôles électriques Lors d une séance de travaux pratiques, les élèves sont conduits à étudier les dipôles en

Plus en détail

- I - Fonctionnement d'un détecteur γ de scintillation

- I - Fonctionnement d'un détecteur γ de scintillation U t i l i s a t i o n d u n s c i n t i l l a t e u r N a I M e s u r e d e c o e ffi c i e n t s d a t t é n u a t i o n Objectifs : Le but de ce TP est d étudier les performances d un scintillateur pour

Plus en détail

LES CARACTERISTIQUES DES SUPPORTS DE TRANSMISSION

LES CARACTERISTIQUES DES SUPPORTS DE TRANSMISSION LES CARACTERISTIQUES DES SUPPORTS DE TRANSMISSION LES CARACTERISTIQUES DES SUPPORTS DE TRANSMISSION ) Caractéristiques techniques des supports. L infrastructure d un réseau, la qualité de service offerte,

Plus en détail

CHROMOPHARE Génération F : éclairage innovant à réflecteur avec LED. Un concept et un design d'éclairage qui réunissent fonctionnalité et esthétique

CHROMOPHARE Génération F : éclairage innovant à réflecteur avec LED. Un concept et un design d'éclairage qui réunissent fonctionnalité et esthétique CHROMOPHARE Génération F : éclairage innovant à réflecteur avec LED Un concept et un design d'éclairage qui réunissent fonctionnalité et esthétique Tuttlingen, novembre 2011 - La nouvelle CHROMOPHARE Génération

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

1) Explications (Expert) :

1) Explications (Expert) : 1) Explications (Expert) : Mesures expérimentales : Dans nos conditions d expérience, nous avons obtenu les résultats suivants : Les dimensions des récipients sont : 1) bocal vide : épaisseur de verre

Plus en détail

III Caractérisation d'image binaire

III Caractérisation d'image binaire III Caractérisation d'image binaire 1. Généralités Les images binaires codent l'information sur deux valeurs. Rarement le résultat direct d'un capteur, mais facilement obtenues par seuillage dans certains

Plus en détail

Activité 1 : Rayonnements et absorption par l'atmosphère - Correction

Activité 1 : Rayonnements et absorption par l'atmosphère - Correction Activité 1 : Rayonnements et absorption par l'atmosphère - Correction Objectifs : Extraire et exploiter des informations sur l'absorption des rayonnements par l'atmosphère terrestre. Connaitre des sources

Plus en détail

Cours d électricité. Circuits électriques en courant constant. Mathieu Bardoux. 1 re année

Cours d électricité. Circuits électriques en courant constant. Mathieu Bardoux. 1 re année Cours d électricité Circuits électriques en courant constant Mathieu Bardoux mathieu.bardoux@univ-littoral.fr IUT Saint-Omer / Dunkerque Département Génie Thermique et Énergie 1 re année Objectifs du chapitre

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

Fiche n 5 Paysage avec Sketchup Make. Table des matières

Fiche n 5 Paysage avec Sketchup Make. Table des matières Fiche n 5 Paysage avec Sketchup Make Table des matières Fiche n 5 Paysage avec Sketchup Make...1 1-Utiliser les outils Bac à sable...1 2-Exercices d'application...5 2.1-À partir de zéro...5 2.2-À partir

Plus en détail

OPERATEURS MORPHOLOGIQUES

OPERATEURS MORPHOLOGIQUES OPERATEURS MORPHOLOGIQUES Ensembles caractéristiques et éléments structurants Érosion et dilatation Ouverture et fermeture Application au filtrage Extraction de contours, remplissage de régions Épaississement,

Plus en détail

6.4. Les Ombres Raytracées (Raytraced Shadows) Shading Lamp Shadow and Spot Hemi Spot Sun Sun Scene F10 Shadow Render Ray Ray Shadow Shadow and Spot

6.4. Les Ombres Raytracées (Raytraced Shadows) Shading Lamp Shadow and Spot Hemi Spot Sun Sun Scene F10 Shadow Render Ray Ray Shadow Shadow and Spot 6.4. Les Ombres Raytracées (Raytraced Shadows) Mode : tous les modes Panneau : contexte Shading / sous-contexte Lamp > Shadow and Spot Raccourci : F5. Les ombres raytracées produisent des ombres très précises

Plus en détail

Les rencontres scientifiques du vendredi

Les rencontres scientifiques du vendredi Les rencontres scientifiques du vendredi Un élément de l Animation Scientifique de l axe 2 Techniques & Méthodes : Mesurer la taille des Particules Natalia Nicole Rosa Doctorante de l Axe 2 UMR IATE 29

Plus en détail

2.1 Rapport scientifique concis

2.1 Rapport scientifique concis 2.1 Rapport scientifique concis On se contentera de donner les directions générales dans lesquelles les membres du Lamav ont obtenu des résultats durant les quatre dernières années. Pour plus de détails,

Plus en détail

IR Temp 210. Thermomètre infrarouge. Des techniques sur mesure

IR Temp 210. Thermomètre infrarouge. Des techniques sur mesure IR Temp 210 Thermomètre infrarouge Contenu 1. Spécifications...26 2. Touches et affichages...28 3. Utilisation...30 4. Entretien...31 5. Elimination des piles et de l appareil...31 6. Tableau de facteur

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Fluorescent ou phosphorescent?

Fluorescent ou phosphorescent? Fluorescent ou phosphorescent? On entend régulièrement ces deux termes, et on ne se préoccupe pas souvent de la différence entre les deux. Cela nous semble tellement complexe que nous préférons rester

Plus en détail

Le moniteur ou écran d'ordinateur

Le moniteur ou écran d'ordinateur Le moniteur ou écran d'ordinateur Introduction aux écrans d'ordinateur On appelle écran (ou moniteur) le périphérique d'affichage de l'ordinateur. On distingue habituellement deux familles d'écrans : Les

Plus en détail

Version default Titre : Opérateur DEFI_GROUP Date : 09/10/2012 Page : 1/24 Responsable : Jacques PELLET Clé : U4.22.

Version default Titre : Opérateur DEFI_GROUP Date : 09/10/2012 Page : 1/24 Responsable : Jacques PELLET Clé : U4.22. Titre : Opérateur DEFI_GROUP Date : 09/10/2012 Page : 1/24 Opérateur DEFI_GROUP 1 But Définir dans un maillage existant, de nouveaux groupes de nœuds ou de mailles. Ceci peut faciliter la définition de

Plus en détail

I - Quelques propriétés des étoiles à neutrons

I - Quelques propriétés des étoiles à neutrons Formation Interuniversitaire de Physique Option de L3 Ecole Normale Supérieure de Paris Astrophysique Patrick Hennebelle François Levrier Sixième TD 14 avril 2015 Les étoiles dont la masse initiale est

Plus en détail

TP 03 B : Mesure d une vitesse par effet Doppler

TP 03 B : Mesure d une vitesse par effet Doppler TP 03 B : Mesure d une vitesse par effet Doppler Compétences exigibles : - Mettre en œuvre une démarche expérimentale pour mesurer une vitesse en utilisant l effet Doppler. - Exploiter l expression du

Plus en détail

Mathématiques assistées par ordinateur

Mathématiques assistées par ordinateur Mathématiques assistées par ordinateur Chapitre 4 : Racines des polynômes réels et complexes Michael Eisermann Mat249, DLST L2S4, Année 2008-2009 www-fourier.ujf-grenoble.fr/ eiserm/cours # mao Document

Plus en détail

Niveau 2 nde THEME : L UNIVERS. Programme : BO spécial n 4 du 29/04/10 L UNIVERS

Niveau 2 nde THEME : L UNIVERS. Programme : BO spécial n 4 du 29/04/10 L UNIVERS Document du professeur 1/7 Niveau 2 nde THEME : L UNIVERS Physique Chimie SPECTRES D ÉMISSION ET D ABSORPTION Programme : BO spécial n 4 du 29/04/10 L UNIVERS Les étoiles : l analyse de la lumière provenant

Plus en détail