4 Fonctions primitives récursives et autres

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1 4 Fonctions primitives récursives et autres L ensemble des fonctions totales de domaine N p à valeurs dans N est noté F p. Une fonction partielle de N p dans N est donnée par un sous-ensemble A de N p et une fonction f : A N. L ensemble A est le domaine de la fonction f, noté Dom(f), et l ensemble des fonctions partielles de N p dns N est noté F p. On pose F = p F p et F p = p F p. 4.1 Fonctions primitives récursives Je renvoie aux notes de Hils ou de Loeser, ou bien au livre de Cori-Lascar 4 pour les définitions et propriétés de base. Les fonction récursives primitives sont définies par récurrences à partir de fonctions de base (les fonctions constantes, les projections, et la fonction successeur S : N N, x x + 1), grâce à deux opérations : la composition de fonctions ; et la définition par récurrence : si h F p+2 et g F p sont primitives récursives, alors aussi la fonction f F p+1 définie par g( x) si y = 0, f( x, y) = h(f( x, y 1, f( x, y 1)) sinon. Grâce à ces opérations, on peut définir la plupart des fonctions usuelles, notamment l exponentielle. Un sous-ensemble A de N p est primitif récursif si sa fonction caractéristique, 1 A, est primitive récursive. Notons en particulier le Schéma µ borné : Si A N p+1 est primitif récursif, alors on définit la fonction définie par f( x, y) = f( x, y) = (µz y)(( x, y) A) le plus petit élément z y tel que ( x, y) soit dans A s il existe, 0 s il n existe pas de tel z. Alors la fonction (µz y)(( x, y) A) est primitive récursive. Il faut noter que cette fonction est définissable à partir de f en utilisant les deux opérations ci-dessus (et les fonctions de base, celles déjà construites, ainsi que la définition par cas) : f( x, 0) = 0 f( x, y + 1) = f( x, y) si y z=0 1 A(z) = 1 f( x, y + 1) = y + 1 si y z=0 1 A(z) = 0 ( x, y + 1) A f( x, y + 1) = 0 si y+1 z=0 1 A(z) = 0. 4 Notes de Hils : hils/enseignement/archives/ens12-13.html, Notes de Loeser, Un premier cours de logique : loeser/notes.php, ou bien R. Cori, D. Lascar, Logique Mathématique, Vol. 2, Dunod ed., chapitre 5. 36

2 4.1. Deux fonctions qui nous serviront à coder La fonction α : N 2 N, (x, y) (x + y)(x + y + 1)/2 + x, définit une bijection entre N 2 et N. Elle est primitive récursive, et les deux fonctions β 1 et β 2 définies par α 1 = (β 1, β 2 ) le sont aussi, en utilisant le schéma µ-borné, car on a α(m, n) m, n. Cette fonction peut alors nous servir à définir des bijections (primitives récursives) entre N p et N, pour tout p > 2. L ensemble P des nombres premiers est primitif récursif. Il suit que la fonction π qui à n = 0 associe 2 et à n > 0 associe le n + 1-ième nombre premier est aussi primitive récursive : on a π(n + 1) = (µz (n + 2)! + 1)(π(n) < z z P ). Bien que ce ne soit pas la forme exacte du schéma µ-borné, elle s en déduit facilement, en utilisant le fait que la fonction n (n + 2)! + 1 est primitive récursive, et que le n+1-ième nombre premier est (n+2)!+1. Plus généralement, faites l exercice ci-dessous. Nous pouvons alors définir une fonction, qui à une suite finie (a 0,..., a n ) de N associe un élément de N de la façon suivante : a 0,..., a n = 2 a0 π(n) an+1 1. On définit = 0. On vérifie que cela définit bien une bijection entre l ensemble des suites finies d entiers 0 et N. De plus, les opérations inverses suivantes sont primitives récursives : a 0,..., a n n ; ( a 0,..., a n, i) a i si 0 i n, 0 sinon; ( a 0,..., a n, i) a 0,... a i si i n, a 0,..., a n sinon. Exercice 4.2. Soient f F p+1, g F p et h F p des fonctions primitives récursives, et soit A un ensemble primitif récursif. (1) Montrez que la fonction z=h( x) z=g( x) f( x, y) est primitive récursive. Ici j impose que la somme est nulle si g( x) > h( x). (2) Montrez que la fonction qui à n associe le n-ième élément de A, est primitive récursive, si vous savez que cette fonction est dominée par une fonction primitive récursive. 4.2 La fonction d Ackermann Définition et propriétés de base de la fonction ξ d Ackermann. Définition des classes C n et de la domination. Preuve (sans détails) que ξ n est pas primitive récursive. On pourra faire les calculs en exercice. 4.3 Fonctions récursives partielles Définition 4.3. On considère maintenant l ensemble F des fonctions partielles. L ensemble des fonctions partielles récursives est le plus petit sous-ensemble de F qui contient les fonctions 37

3 de base (projections, constantes, et fonction successeur), et qui est clos par les trois opérations suivantes : Composition : si g F n et f 1,..., f n F p sont récursives, alors aussi f( x) = g(f 1 ( x),..., f n ( x)); son domaine sera Dom(f i ) x (f 1 ( x),..., f n ( x)) Dom(g)}. Récurrence : si h F p+2, g F p sont récursives, alors aussi la fonction f F p+1 définie par : f( x, 0) = g( x) si x Dom(g), non définie sinon ; f( x, y+1) n est pas définie s il existe z y tel que f( z) n est pas définie, ou bien si ( x, y, f( x, y)) / Dom(h) ; et enfin si pour tout z y, ( x, z) Dom(f), et si ( x, y, f( x, y)) Dom(h), alors f( x, y + 1) = h( x, y, f( x, y). Schéma µ : Soit f F p+1 une fonction récursive. Alors la fonction g( x) = (µy)(f( x, y) = 0) est récursive. Elle est définie par : g( x) = le plus petit z s il existe, tel que f( x, z) = 0 et pour tout t < z, ( x, t) Dom(f). S il n existe pas de tel z alors la fonction (µy)(f( x, y) = 0) n est pas définie. Définition 4.4. (1) On appelle fonction récursive totale une fonction récursive qui est dans F. (2) Un sous-ensemble A de N p est récursif si sa fonction caractéristique 1 A est récursive totale. (3) Soit f F p+1 une fonction récursive, et supposons que pour tout x il existe y tel que f( x, y) = 0. La fonction (µy)(f( x, y) = 0) est alors totale, et nous dirons qu elle est obtenue à partir de f en appliquant le schéma µ total. Remarques 4.5. (1) Une fonction récursive partielle est donc construite par récurrence à partir des fonctions de base, en utilisant les trois opérations ci-dessus, et en obéissant à certaines règles. (2) Les fonctions primitives récursives sont récursives (heureusement) et totales. (3) On remarque que les deux premières opérations appliquées à des fonctions totales, produisent des fonctions totales. C est seulement la troisième opération qui introduit des fonctions partielles : La fonction (µy)(x 2y = 0) n est définie que si x est pair. Attention : j ai utilisé la vraie fonction, et pas. En fait il faudrait écrire (µy)((x 2y) 2 + (2y x) 2 = 0). (Une somme de carrés est nulle dans N si et seulement si tous ses termes sont nuls). (4) Le schéma µ-borné est une conséquence du schéma µ. En effet, on a ( x, y) A si et seulement si 1 1 A ( x, y) = 0, et si on ajoute en plus la condition z y, on aura (µz y)(( x, y) A) = (µz)(1 1 A ( x, z)1 (z, y) = 0), où 1 z y est la fonction caractéristique de la relation ( N 2 ). Proposition 4.6. Soient f, g,... des fonctions récursives. Alors Soit A N un ensemble récursif infini. Alors la fonction N A qui énumère A, est récursive totale. (Mais en général elle n est pas primitive récursive comme par exemple l image de f(x) = ξ(x, 2x).) 38

4 4.7. Je note Alg p l ensemble des constructions de fonctions récursives de domaine N p faites en utilisant les opérations et règles énoncées ci-dessus, et Alg la réunions des Alg p. Un tel algorithme peut donc être représenté par une suite de symboles, ou si vous préférez, écrit de la même façon que vous écrivez des formules. On prend donc un alphabet Σ qui contient des symboles pour toutes les fonctions de base donc par exemple un symbole pour chaque fonction constante définie sur Np des symboles pour les trois opérations - disons Comp, Rec, Mu, ainsi que des symboles auxiliaires (parenthèses, virgules,... ), qui nous permettront de récupérer notre algorithme à partir de son écriture. On construit une première bijection effective entre Σ et N, qui nous sert ensuite à construire une injection F de Alg dans N en utilisant les fonctions de codage introduites précédemment. On exige quelques propriétés de F : (1) L image de F, F (Alg), est primitive récursive ; pour chaque p 0, F (Alg p ) est primitif récursif. (2) La fonction qui à un élement F (I), I Alg, associe l arité de la fonction définie par I, est primitive récursive. (3) Si la chaîne de symboles s apparaît comme sous-suite de la chaîne de symboles t, alors F (s) F (t). On supposera que les arguments de fonctions sont parmi x 1,... et que la variable sur laquelle µ porte est la dernière de l énumération des variables de la fonction considérée. Exemple 4.8. Par exemple, la fonction Mu(Rec(h, Comp(g, f 1, f 2 ))), où f 1, f 2, g, h sont des fonctions déjà codées, et f 1, f 2 sont p-aires, g est binaire, h est p + 2-aire, sera codée par Mu ( Rec ( h, Comp ( g, f 1, f 2 ) ) ). Ici, dénote le code donné par la bijection entre Σ et N si le symbole est dans l alphabet, et f 1, f 2, g et h représentent les codes déjà attribués à f 1, f 2, g, h. L opération µ portera sur la dernière variable de la fonction p + 1-aire f(x 1,..., x p, x p+1 ) définie par f(x 1,..., x p, 0) = g(f 1 (x 1,..., x p ), f 2 (x 1,..., x p )), et f(x 1,..., x p, x p+1 ) = h(x 1,..., x p, x p+1 1, f(x 1,..., x p, x p+1 1)) si x p+1 > 0, c est à dire sur x p+1. Remarque 4.9. Tout ça est tres ennuyeux à écrire de façon précise. Mais vous voyez bien que cela peut être fait Maintenant nous allons faire une hypothèse, très forte, et qu il faudra prouver à un certain moment. Nous supposons qu il existe une fonction récursive T : N N N satisfaisant les conditions suivantes, pour toute paire (n, m) N N : 1 S il existe p tel que n est le code d un élément de Alg p permettant de définir la fonction récursive f, et si m est le code d une suite de longueur p, m = a 1,..., a p, alors si f(a 1,..., a p ) est définie, alors T (n, m) = f(a 1,..., a p ) ; si f(a 1,..., a p ) n est pas définie, alors T (n, m) n est pas définie. 2 Si pour tout p, (n n est pas le code d un élément de Alg p ou m n est pas le code d une suite de p éléments) alors T (n, m) = 0. (Idéalement, on aimerait pouvoir définir T (n, m) = 1). 39

5 Définition Une telle fonction est appellée récursive universelle. Proposition Soit T une fonction récursive universelle. (1) T n est pas totale. (2) L ensemble n N T (n, ) est totale} n est pas récursif. (3) Dom(T ) n est pas récursif. Démonstration. (1) En effet, si n est le code d une fonction qui n est pas totale, il existera un m tel que T (n, m) ne soit pas défini. (2) Si cet ensemble était récursif, alors aussi son intersection A avec F (Alg). Si i : A N est l unique bijection croissante de A avec N, alors i 1 est récursive. La fonction T (i 1, id) est alors totale. On considère la fonction f(x) = T (i 1 (x), x) + 1. Elle est totale, récursive, donc (un de ses algorithmes) a un code f dans A ; si n est l image par i de ce code, on aura alors f(n) = T ( f, n) par définition de f et de T, f(n) = T (i 1 (n), n) + 1 par définition de f, d où nous tirons T (i 1 (n), n) + 1 = T ( f, n) + 1 = T ( f, n)), une contradiction. (3) Sinon, la fonction T (n, x) si (n, x) Dom(T ), U(n, x) = 0 sinon. est totale, récursive, universelle pour les fonctions récursives totales. La même astuce que dans le (2) nous donne la contradiction désirée. Définition Un ensemble E N p est récursivement énumérable (abbrégé par RE) s il est vide, ou bien si c est le domaine d une fonction récursive. Remarques (1) La collection des sous-ensembles récursifs de N p est close par intersection, par union, et par complémentaire. Par contre, celle des sous-ensembles récursivement énumérables de N p est seulement close par intersection et union. Cela vient du fait qu il existe des ensembles récursivement énumérables qui ne sont pas récursifs. (Voir 4.15 ci-dessous). Théorème Soit A N p un ensemble récursivement énumérable. Alors A est récursif si et seulement si son complémentaire est récursivement énumérable. 40