La calculatrice est autorisée. Il sera tenu compte de la rigueur et du soin apporté au devoir. Vous devez composer sur le sujet.

Transcription

1 NOM : Prénom : Observations : Composition n 2 de Mathématiques février 2010 Seconde... Note : Signature : février 2010 /20 La calculatrice est autorisée. Il sera tenu compte de la rigueur et du soin apporté au devoir. Vous devez composer sur le sujet. / Exercice 1 : Dans sa penderie, Mathias a deux pantalons, un noir et un blanc, deux vestes, une noire et une blanche, et trois chemises, une noire, une blanche et une rouge. Il prend au hasard un pantalon, une chemise et une veste. 1. En utilisant un arbre, préciser combien a-t-il de façons différentes de s habiller? Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 1

2 Composition n 2 de Mathématiques février Pour chaque événement ci-dessous, donner la liste de toutes les issues qui le réalisent et calculer sa probabilité : A : «il est habillé tout en noir» ; B : «il a une veste et un pantalon de couleurs différentes» ; C : «il ne porte ni chemise noire, ni veste blanche». /7 Exercice 2 : Un sac contient des jetons carrés ou ronds, de couleur verte, bleue ou noire. Il a 10 jetons verts dont 4 carrés ; 10 des 12 jetons bleus sont carrés ; 14 des 18 jetons noirs sont ronds. 1. Compléter le tableau suivant : Carré Rond Total Vert Bleu Noir Total 2. On tire un jeton au hasard : on suppose qu il y a équiprobabilité. Soit les évènements suivants : A : «le jeton est vert» ; B : «le jeton est carré» ; C : «le jeton est carré et n est pas bleu». a. Calculer les probabilités respectives de A, de B, de C. b. Calculer la probabilité de A B, en déduire la probabilité de A B. Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 2

3 Composition n 2 de Mathématiques février 2010 c. Exprimer par une phrase les événements contraires A, B et C et calculer leur probabilité. /7 Exercice : Dans un repère, on donne les points A(0 ; - ), B( 2 ; ), C( - 9 ; 0) et D(- 1 ; - 1). 1. Calculer les coordonnées du point M tel que : BM = 1 AB Soit un point N défini par la relation vectorielle : 2AN DN = a. Démontrer que l égalité ci-dessus s écrit aussi : - AN DA = b. En déduire l expression de AN en fonction de AD. Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page

4 c. Calculer les coordonnées de N. Composition n 2 de Mathématiques février Calculer les coordonnées des vecteurs CM et CN. 4. Démontrer que les points C, M et N sont alignés. /9,5 Exercice 4 : Le plan est muni d un repère orthonormé (O ; I, J). 1. Placer les points : R( ; - 2), S(- 2 ; 1) et T(2 ; 2) et compléter la figure (se trouvant à la fin de l exercice) au fur et à mesure. 2. a. Calculer les distances exactes RS, ST et RT. Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 4

5 b. Quelle est la nature du triangle RST? Composition n 2 de Mathématiques février a. Calculer les coordonnées du point A, milieu du segment [RT]. b. Calculer les coordonnées de P tel que RSTP soit un parallélogramme. 5. La droite parallèle à (ST) passant par le point A coupe la droite (RS) en un point K(x ; y). a. Ecrire une relation vectorielle entre AK et TS en justifiant. b. Calculer les coordonnées du point K. Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 5

6 Composition n 2 de Mathématiques février 2010 J O I /1,5 Exercice 5 : OAB est un triangle rectangle en O tel que OA = 6 cm et OB = 4 cm. P est un point variable du segment [OA]. M est le point du segment [AB] et Q le point du segment [OB] tels que OPMQ soit un rectangle. B Q M O x P A Partie A On note p la fonction qui à x = OP (en cm) associe le périmètre (en cm) du rectangle OPMQ. Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 6

7 1. Quel est l ensemble de définition de p? Composition n 2 de Mathématiques février a. Montrer que PM = 2 (6 x). b. En déduire l expression algébrique de p(x).. a. Quelle est la nature de la fonction p? b. En déduire les variations de p sur [0 ;6]. Partie B On note A la fonction qui à x = OP (en cm) associe l aire (en cm²) du rectangle OPMQ. 1. Donner l expression algébrique de A(x). 2. A l aide de la calculatrice : a. Conjecturer les variations de A sur [O ;6] en complétant le tableau ci-dessous. x A(x) b. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous sur [0 ; 6] avec un pas de 0,5 (arrondir les valeurs au dixième près). Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 7

8 x A(x) Composition n 2 de Mathématiques février Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe représentative de A sur [O ;6]. O 4. a. D après le graphique, quel est le maximum de A sur [0 ;6]? pour quelle valeur de x est-il obtenu? b. Montrer que A(x) A() = - 2 (x - )² c. En déduire que A() est bien le maximum de A sur [0 ;6]. 5. a. Sur le graphique, à quoi correspondent les solutions de l inéquation A(x) < 9 2? b. Résoudre graphiquement cette inéquation. Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 8

9 Composition n 2 de Mathématiques février 2010 Exercice 1 : ( points) Dans sa penderie, Mathias a deux pantalons, un noir et un blanc, deux vestes, une noire et une blanche, et trois chemises, une noire, une blanche et une rouge. Il prend au hasard un pantalon, une chemise et une veste. 1. En utilisant un arbre, préciser combien a-t-il de façons différentes de s habiller? chemise noire veste noire chemise blanche chemise rouge pantalon noir chemise noire veste blanche chemise blanche chemise rouge chemise noire veste noire chemise blanche chemise rouge pantalon blanc chemise noire veste blanche chemise blanche chemise rouge Il y a 2 2 = 12 façons différentes de s habiller. 2. Pour chaque événement ci-dessous, donner la liste de toutes les issues qui le réalisent et calculer sa probabilité : A : «il est habillé tout en noir» ; B : «il a une veste et un pantalon de couleurs différentes» ; C : «il ne porte ni chemise noire, ni veste blanche». Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 9

10 Composition n 2 de Mathématiques février 2010 On est dans une situation d équiprobabilité, donc p(e) = nombre d issues réalisant E nombre d issues total Issues réalisant l événement A : pantalon noir veste blanche chemise noire p(a) = 1 12 Issues réalisant l événement B : pantalon noir veste blanche chemise noire p(b) = 6 12 = 1 2 pantalon noir veste blanche chemise blanche pantalon noir veste blanche chemise rouge pantalon blanc veste noire chemise noire pantalon blanc veste noire chemise blanche pantalon blanc veste noire chemise rouge Issues réalisant l événement C : pantalon noir veste noire chemise blanche pantalon noir veste noire chemise rouge pantalon blanc veste noire chemise blanche pantalon blanc veste noire chemise rouge p(c) = 4 12 = 1 Exercice 2 : (7 points) Un sac contient des jetons carrés ou ronds, de couleur verte, bleue ou noire. Il a 10 jetons verts dont 4 carrés ; 10 des 12 jetons bleus sont carrés ; 14 des 18 jetons noirs sont ronds. 1. Compléter le tableau suivant : Carré Rond Total Vert Bleu Noir Total On tire un jeton au hasard : on suppose qu il y a équiprobabilité. Soit les évènements suivants : A : «le jeton est vert» ; B : «le jeton est carré» ; C : «le jeton est carré et n est pas bleu». a. Calculer les probabilités respectives de A, de B, de C. p(a) = = 1 4 p(b) = = 9 20 Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 10

11 Composition n 2 de Mathématiques février 2010 p(c) = 8 40 = 1 5 b. Calculer la probabilité de A B, en déduire la probabilité de A B. A B : le jeton est vert et carré. p(a B) = 4 40 = 1 10 p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = = = = 5 Vérification : A B : le jeton est vert ou carré. p(a B) = = 5 A B : le jeton est vert et carré. c. Exprimer par une phrase les événements contraires A, B et C et calculer leur probabilité. A : le jeton n est pas vert. p( A ) = 0 40 = 4 p(a) + p( A ) = 1 B : le jeton n est pas carré p( B ) = = C : le jeton n est pas carré ou est bleu. p( C ) = = 2 40 = 4 5 Exercice : (7 points) Dans un repère, on donne les points A(0 ; - ), B( 2 ; ), C( - 9 ; 0) et D(- 1 ; - 1). Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 11

12 Composition n 2 de Mathématiques février Calculer les coordonnées du point M tel que : BM = 1 AB. 2 On pose M(x ;y). Le vecteur AB a pour coordonnées : AB x B x A y = 2-0 B y A (-) = 2 6. Le vecteur BM a pour coordonnées : BM x x B y y = x - 2 B y -. BM = 1 x 2 = x = AB 2 y = y = 6 Les coordonnées de M sont donc ( ;6). 2. Soit un point N défini par la relation vectorielle : 2AN DN = a. Démontrer que l égalité ci-dessus s écrit aussi : - AN DA = En utilisant la relation de Chasles, on obtient : 2 AN DN = 0 2AN ( DA + AN) = 0 2AN DA - AN = - AN DA = b. En déduire l expression de On en déduit directement : c. Calculer les coordonnées de N. On pose N(x ;y). 0 0 AN en fonction de AD. AN = AD Le vecteur AD a pour coordonnées : AD x D x A y = -1-0 D y A -1 (-) = -1 2 Le vecteur AN a pour coordonnées : AN x x A y y = x - 0 A y - (-).= x y + AN = AD x = (-1) x y + = 2 = - y = N a donc pour coordonnées (- ;).. Calculer les coordonnées des vecteurs CM (-9) 6-0 = 12 6 CM et CN CN - (-9) - 0 = 6 4. Démontrer que les points C, M et N sont alignés. Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 12

13 CM = 2 CN Donc les vecteurs Composition n 2 de Mathématiques février 2010 CM et CN sont colinéaires. Donc les points C, M et N sont alignés. RS = 4 Exercice 4 : (9,5 points) Le plan est muni d un repère orthonormé (O ; I, J). 1. Placer les points : R( ; - 2), S(- 2 ; 1) et T(2 ; 2) et compléter la figure (se trouvant à la fin de l exercice) au fur et à mesure. 2. a. Calculer les distances exactes RS, ST et RT. RS² = (x S x R )² + (y S y R )² RS² = (-2 )² + (1 (-2))² RS² = RS = 4 ST² = (x T x S )² + (y T y S )² ST² = (2 (-2))² + (2 1)² ST² = ST = 17 RT² = (x T x R )² + (y T y R )² RT² = (2 )² + (2 (-2))² RT² = RT = 17 b. Quelle est la nature du triangle RST? ST = RT donc le triangle RST est isocèle en T.. a. Calculer les coordonnées du point A, milieu du segment [RT]. A a pour coordonnées : x R + x T ; y R + y T 2 2 A 5 2 ; 0 b. Calculer les coordonnées de P tel que RSTP soit un parallélogramme. Si RSTP est un parallélogramme alors On pose P(x ;y). ST 4 1 RP = x y + 2 ST = RP Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 1

14 ST = RP x =4 y + 2 = 1 x = 7 y = -1 P a donc pour coordonnées (7;-1). Composition n 2 de Mathématiques février La droite parallèle à (ST) passant par le point A coupe la droite (RS) en un point K(x ; y). a. Ecrire une relation vectorielle entre AK et TS en justifiant. D après le théorème de la droite des milieux appliqué au triangle RST (A étant le milieu de [RT] et (AK) // (TS)), on a : AK = 1 TS. 2 b. Calculer les coordonnées du point K. AK = 1 x 5 2 = 1 2 (-4) x = 1 2 TS 2 y 0 = 1 2 (-1) y = Le point K a pour coordonnées 1 2 ; 1 2. On peut vérifier que K est le milieu de [SR]. Exercice 5 : (1,5 points) OAB est un triangle rectangle en O tel que OA = 6 cm et OB = 4 cm. P est un point variable du segment [OA]. M est le point du segment [AB] et Q le point du segment [OB] tels que OPMQ soit un rectangle. Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 14

15 Composition n 2 de Mathématiques février 2010 B Q M O x Partie A P A On note p la fonction qui à x = OP (en cm) associe le périmètre (en cm) du rectangle OPMQ. 1. Quel est l ensemble de définition de p? L ensemble de définition de la fonction p est [0 ;6] car 0 OP OA 2. a. Montrer que PM = 2 (6 x). b. En déduire l expression algébrique de p(x). Les droites (PM) et (OB) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles AMP et ABO : AP AO = PM OB 6 x 6 = MP 4 p(x) = 2 (MP + OP) = 2 2 (6 x) + x p(x) = x = x D où : MP = 2 (6 x). a. Quelle est la nature de la fonction p? b. En déduire les variations de p sur [0 ;6]. p est une fonction affine car p(x) est de la forme ax + b. 2 > 0 donc la fonction p est croissante sur [0 ;6]. Partie B On note A la fonction qui à x = OP (en cm) associe l aire (en cm²) du rectangle OPMQ. 1. Donner l expression algébrique de A(x). A(x) = OP MP = 2 x (6 x) Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 15

16 Composition n 2 de Mathématiques février A l aide de la calculatrice : a. Conjecturer les variations de A sur [O ;6] en complétant le tableau ci-dessous. x A(x) 0 0 b. Compléter le tableau de valeurs ci-dessous sur [0 ; 6] avec un pas de 0,5 (arrondir les valeurs au dixième près). x 0 0,5 1 1,5 2 2,5,5 4 4,5 5 5,5 6 A(x) 0 1,8, 4,50 5, 5,8 6,00 5,8 5, 4,50, 1,8 0,00. Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe représentative de A sur [O ;6]. Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 16

17 Composition n 2 de Mathématiques février a. D après le graphique, quel est le maximum de A sur [0 ;6]? pour quelle valeur de x est-il obtenu? Le maximum de A semble être 6. Il semble être atteint en x =. b. Montrer que A(x) A() = - 2 (x - )² c. En déduire que A() est bien le maximum A(x) A() = 2 x (6 x) 6 de A sur [0 ;6]. A(x) A() = 4x 2 x² - 6 A(x) A() = - 2 (x² - 6x + 9) A(x) A() = - 2 (x - )² Pour x [0 ;6], - 2 (x - )² 0 Donc A(x) A() et A(x) = A() pour x = Donc A() est bien la maximum de A sur [0 ;6] 5. a. Sur le graphique, à quoi correspondent les solutions de l inéquation A(x) < 9 2? Les solutions de l inéquation A(x) < 9 correspondent aux abscisses des points de la courbe 2 représentant la fonction p dont l ordonnée est inférieure strictement à 9 2. b. Résoudre graphiquement cette inéquation. On détermine graphiquement comme ensemble de solutions : S = [0 ; 1,5[ ]4,5 ;6] Composition n 2 de Mathématiques Seconde février 2010 Page 17