#2 Triangles, médiatrices et cercle circonscrit

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1 #2 Triangles, médiatrices et cercle circonscrit I Construction d un triangle connaissant ses 3 longueurs Activité 1 : Construis un triangle dont les côtés mesurent 3, 5 et 9 cm. Que remarque-t-on? Réponse : Les arcs de cercle ne se coupent pas. On ne peut donc pas construire ce triangle. Propriété 1 : L'inégalité triangulaire On peut construire un triangle, connaissant ses trois longueurs, à condition que celle du plus grand côté soit inférieure ou égale à la somme des deux autres. Propriété 1 BIS : Autrement dit, un triangle ABC est constructible si : AB AC + CB AC AB + BC BC BA + AC Exercice 1 : Construis le triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm. 1. On commence par tracer le côté [AB] de longueur 6 cm. 2. On trace un arc de cercle de centre A et de rayon 4 cm. 3. On trace un arc de cercle de centre B et de rayon 5 cm. 4. Les deux arcs de cercle se coupent en C. Il ne reste plus qu'à tracer les côtés [AC] et [BC]. Activité 2 : Construis le triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 3 cm et CB = 2 cm. On a : 5 = Donc : AB = AC + CB Dans ce cas, le point C appartient au segment [AB] et on dit que le triangle ABC est «aplati». Propriété 2 : Soient A, B et C trois points quelconques. Si AB = AC + CB alors C appartient à [AB]. Réciproquement : Si C appartient à [AB] alors AB = AC + CB. Exercice 2 : Peut-on construire les triangles suivants : ABC tel que AB = 7 cm, AC = 8 cm et BC = 13 cm. On peut construire ABC car [BC] est le plus long côté et BC < AB + AC. DEF tel que DE = 3,5 cm, DF = 1,8 cm et FE = 1,7 cm. On peut construire DEF car DE = DF + FE. Remarque : C'est un triangle aplati et F appartient au segment [DE]. GHI tel que HG = 5 cm, HI = 34 cm et GI = 23 cm. On ne peut pas construire GHI car HI > HG + GI.

2 II Construction d un triangle connaissant 1 longueur et 2 mesures d angles Exercice 3 : Construis le triangle ABC tel que : AC = 4 cm, ĈAB=70 et ÂCB=30. Tu commenceras pas réaliser un croquis, sur lequel tu indiqueras toutes les données. 1. On commence par tracer le côté [AC] qui mesure 4 cm. 2. On utilise ensuite le rapporteur pour tracer l angle ĈAB de sommet A et de mesure 70. puis l angle ÂCB de sommet C et de mesure Les demi-droites tracées se coupent en B. 4. On n oublie pas d écrire toutes les données sur la figure, au fur et à mesure. III Construction d un triangle connaissant 1 mesure d angle et 2 longueurs Exercice 4 : Construis le triangle ABC tel que : AB = 4 cm, BC = 5 cm et ÂBC=45. Tu commenceras pas réaliser un croquis, sur lequel tu indiqueras toutes les données. 1. On commence par tracer le côté [AB] qui mesure 4 cm. C'est l'un des côtés de l'angle ÂBC 2. On utilise ensuite le rapporteur pour tracer l angle ÂBC de sommet B et de mesure On place sur la demi-droite tracée le point C de sorte que : BC = 5 cm. 4. Il ne reste plus qu à tracer le troisième côté [AC]. 5. On n oublie pas d écrire toutes les données sur la figure, au fur et à mesure.

3 IV Médiatrices et cercle circonscrit 1.) Définition et propriétés de la médiatrice d'un segment (Rappels) Définition : La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu. Propriété 1 : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Vocabulaire : «équidistant de» signifie «à la même distance de...» Exercice 5 : Trace un segment [DE] de longueur 7 cm. Construis sa médiatrice (d) et place un point M sur (d) de sorte que EM = 4 cm. Démontre la nature du triangle EDM. Correction : On sait que M appartient à la médiatrice de [DE]. Or, si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant de ses extrémités. Donc : MD = ME On sait que : MD = ME Or, si un triangle possède 2 côtés de même longueur alors c'est un triangle isocèle. Donc MED est isocèle en M. Propriété 2 : (réciproque de la propriété 1) Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Exercice 6 : ABC est un triangle isocèle en B tel que AB = 4 cm et ÂBC =37. a) Fais une figure en vraie grandeur. b) Démontre que B appartient à la médiatrice de [AC]. Correction du b) : On sait que ABC est un triangle isocèle en B. Or, si un triangle est isocèle, alors il possède 2 côtés de même longueur. Donc : BA = BC. On sait que : BA = BC En d'autres termes, B est équidistant de A et de C. Or, si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il appartient à sa médiatrice. Donc B appartient à la médiatrice de [AC].

4 Méthode de construction de la médiatrice d'un segment au compas : Exercice 7 : a) Trace un segment [AB] de longueur 5 cm puis construis sa médiatrice à l'aide d'une équerre. b) Trace un segment [CD] de longueur 7,5 cm puis construis sa médiatrice au compas. c) Trace un segment [EF] de longueur 4,7 cm puis construis sa médiatrice (d). Place sur (d) un point M de sorte que EM = 7 cm. Démontre la nature du triangle EMF. 2.) Médiatrices d'un triangle et cercle circonscrit Activité Géogébra (en ligne sur Définition: Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par ses 3 sommets. Propriété : Les médiatrices d'un triangle non aplati sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle.

5 Démonstration : On considère un triangle ABC non aplati. On notera (d 1 ), (d 2 ) et (d 3 ) les médiatrices respectives de [AB], [AC] et [BC]. Complète le raisonnement suivant : Les point A, B et C n'étant pas alignés, les médiatrices (d 1 ) et (d 2 ) ne sont pas parallèles. Elles ont donc un point d'intersection. On le note O. On sait que O appartient à (d 1 ). Or, si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Donc OA = OB On sait que O appartient à (d 2 ) Or, si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Donc OA = OC Puisque, d'une part : OA = OB et d'autre part : OA = OC alors j'en déduis que : OB = OC On sait que OB = OC. En d'autres termes, O est est équidistant de B et de C. Or, si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. Donc O appartient à (d 3 ). Finalement, O est le point de concours des trois médiatrices du triangle ABC. Et puisque OA = OB = OC, les 3 sommets du triangle sont sur le même cercle de centre O. Remarque : Pour construire le cercle circonscrit d'un triangle il suffit de construire 2 médiatrices. Socle commun et bilan des compétences travaillées dans ce chapitre : A l'issue de ce chapitre, je dois : Savoir justifier si un triangle dont on donne les 3 longueurs est constructible ou non. Savoir construire en vraie grandeur des triangles. Savoir construire et coder la médiatrice d'un segment à l'équerre, au compas. Savoir démontrer que deux longueurs sont égales et qu'un triangle est isocèle. Savoir démontrer qu'un point appartient à la médiatrice d'un segment. Savoir construire le cercle circonscrit d'un triangle.

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