ANNEXES. I. Documents cinquième. a. Fiche modèle à rendre avec la figure. Données. Je sais que D après la propriété J en conclus que

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1 ANNEXES I. Documents cinquième a. Fiche modèle à rendre avec la figure Noms : Données Je sais que D après la propriété J en conclus que

2 Travail en groupe Exercice Groupe 1 Construire un triangle ABC rectangle en A. Placer le point M, milieu de [AC], puis tracer la droite (d) parallèle à (AB) passant par M. (d) coupe (BC) en K. (d) est donc confondue avec (KM). 1) Faire une figure et coder les informations données par l énoncé. 2) Citer les données générales (vous compléterez les nouvelles données en vert ) 3) Vous démontrerez que AK = KC. (attention plusieurs chaînons seront nécessaires). Exercice Groupe 2 Construire un triangle ABC rectangle en A. Placer le point M, milieu de [AC], puis tracer la droite (d) parallèle à (AB) passant par M. (d) coupe (BC) en K.( (d) est donc confondue avec (KM) ). 1) Faire une figure et coder les informations données par l énoncé. 2) Citer les données générales (vous compléterez les nouvelles données en vert) 3) Démontrer que (KM) est la médiatrice de [AC]. (2 chaînons) 1) En déduire que AK = KC. (le prouver à l aide d un chaînon) Exercice Groupe 3 Construire un triangle ABC rectangle en A. Placer le point M, milieu de [AC], puis tracer la droite (d) parallèle à (AB) passant par M. (d) coupe (BC) en K. ((d) est donc confondue avec (KM) ). 1) Faire une figure et coder les informations données par l énoncé. 2) Citer les données générales (vous compléterez les nouvelles données en vert ). 3) Démontrer que (KM) est perpendiculaire à (AC). (un chaînon) 4) Démontrer que (KM) est la médiatrice de [AC]. (un chaînon) 5) En déduire que AK = KC. (un chaînon). Outils mathématiques utilisés : (attention, quelques uns seulement seront utiles, à vous de choisir et bien penser à vérifier si le chaînon est juste, aidez vous des couleurs si nécessaire). Si une droite est la médiatrice d un segment, alors elle est perpendiculaire et passe par le milieu de ce segment. Si une droite est perpendiculaire et passe par le milieu de ce segment, alors cette droite est la médiatrice de ce segment. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles. Si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à une des parallèles, alors cette troisième droite est perpendiculaire à l autre. Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.

3 3 exercices sur les propriétés de la médiatrice Groupe 1 Fiche d exercices Pour chaque exercice, une figure propre et codée est demandée, ainsi que les données générales du problème (et les données vertes). Pour toutes les questions où l on demande de démontrer, vous devrez le faire à l aide d un ou de plusieurs chaînons. Penser à contrôler chaque chaînon avec les règles vues en classe. Exercice 1 Tracer un triangle ABC tel que AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 6cm. Construire la hauteur issue de A, elle coupe (BC) en H. Construire ensuite la médiatrice (d) de [BC]. Prouver que (AH) et (d) sont parallèles. Exercice 2 Tracer un triangle quelconque ABC. Construire la médiatrice (d) de [AB], ainsi que la médiatrice (d ) de [AC]. Ces deux droites se coupent en O. 1) Prouver que OA = OB. (un chaînon) 2) Prouver que OB = OC. (deux chaînons) 3) En déduire que O appartient à une autre droite que l on nommera. 4) Quel est le centre du cercle passant par A,B,C? Le démontrer. Exercice 3 Tracer un segment [AB] et placer son milieu I. Construire la droite (d) perpendiculaire à (AB) passant par I. Placer un point R sur (d). Tracer le cercle de centre R passant par A, par quel autre point semble passer ce cercle? Le prouver. Exercice 4 1) Construire un triangle ABC quelconque (avec des angles aigus de préférence), puis la droite perpendiculaire à (BC) passant par A. Cette droite coupe (BC) en un point H. 2) Construire le cercle circonscrit C au triangle ABH et placer son centre 0. Construire le cercle circonscrit C au triangle ACH et placer son centre 0. 3) Comment semblent être les droites (OO ) et (BC). Le prouver à l aide de plusieurs chaînons. (aide : si vous n arrivez pas à démarrer, appeler l enseignant afin qu il vous donne un «coup de pouce») Attention : on observe que O appartient à un certain segment, ceci sera démontré en classe de quatrième et ne sert pas dans cet exercice. Même chose pour O.

4 Groupe 2 Fiche d exercices Pour chaque exercice, une figure propre et codée est demandée, ainsi que les données générales du problème (et les données vertes). Pour toutes les questions où l on demande de démontrer, vous devrez le faire à l aide d un ou de plusieurs chaînons. Pensez à contrôler chaque chaînon avec les règles vues en classe. Exercice 1 Tracer un triangle ABC tel que AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 6cm. Construire la hauteur issue de A, elle coupe (BC) en H. Construire ensuite la médiatrice (d) de [BC]. 1) Que dire de (AH) et (BC)? de (d) et (BC)? Le prouver à l aide de deux chaînons de démonstration. 2) Prouver que (AH) et (d) sont parallèles. Exercice 2 Tracer un triangle quelconque ABC. Construire la médiatrice (d) de [AB], ainsi que la médiatrice (d ) de [AC]. Ces deux droites se coupent en O. 1) Prouver que OA = OB (un chaînon) 2) Que dire de OA et OC? le démontrer (un chaînon) 3) Prouver alors que OB = OC (un chaînon) 4) Démontrer que O appartient à la médiatrice de [BC] (un chaînon) 5) Quel est le centre du cercle passant par A,B,C? Le démontrer. Exercice 3 Tracer un segment [AB] et placer son milieu I. Construire la droite (d) perpendiculaire à (AB) passant par I. Placer un point R sur (d). Tracer le cercle (C) de centre R passant par A. Démontrer ce cercle passe aussi par B. Aide : cela revient à prouver que RA =RB Exercice 4 1) Construire un triangle ABC quelconque (avec des angles aigus de préférence), puis la droite perpendiculaire à (BC) passant par A. Cette droite coupe (BC) en un point H. 2) Construire le cercle circonscrit C au triangle ABH et placer son centre 0. Construire le cercle circonscrit C au triangle ACH et placer son centre 0. 3) Prouver que O appartient à la médiatrice de [AH]. (deux chaînons) 4) Prouver que (OO ) est la médiatrice de [AH]. (deux chaînons) 5) Comment semblent être les droites (OO ) et (BC)? Le prouver à l aide de deux chaînons. Attention : on observe que O appartient à un certain segment, cela sera démontré en classe de quatrième et ne sert pas dans cet exercice. Même chose pour O.

5 Groupe 3 Fiche d exercices Pour chaque exercice, une figure propre et codée est demandée, ainsi que les données générales du problème (et les données vertes). Pour toutes les questions où l on demande de démontrer, vous devrez le faire à l aide d un ou de plusieurs chaînons. Pensez à contrôler chaque chaînon avec les règles vues en classe. Exercice 1 Tracer un triangle ABC tel que AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 6cm. Construire la hauteur issue de A, elle coupe (BC) en H. Construire ensuite la médiatrice (d) de [BC]. 1) Démontrer que (AH) et (BC) sot perpendiculaires. Le prouver à l aide d un chaînon de démonstration. 2) Même question pour (d) et (BC). 3) Prouver alors que (AH) et (d) sont parallèles. Outils mathématiques utilisés (ils ne le seront pas tous ) : Définition de la médiatrice, d une hauteur. Si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à une des parallèles, alors elle est perpendiculaire à l autre. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles. Exercice 2 Tracer un triangle quelconque ABC. Construire la médiatrice (d) de [AB], ainsi que la médiatrice (d ) de [AC]. Ces deux droites se coupent en O. 1) Prouver que OA = OB (un chaînon) 2) Prouver que OA = OC (un chaînon) 3) Prouver alors que OB = OC (un chaînon) 4) Démontrer que O appartient à la médiatrice de [BC] (un chaînon) 5) Quel est le centre du cercle passant par A,B,C? Le démontrer (question non obligatoire). Outils mathématiques utilisés : Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. Si deux nombres sont égaux à un même troisième nombre, alors ces deux nombres sont égaux. Tous les points d un cercle sont à égale distance du centre de ce cercle. Cette distance s appelle le rayon du cercle. (Possibilité de rajouter des propriétés réciproques en précisant qu ils doivent choisir quelles propriétés il faut utiliser).

6 Exercice 3 Tracer un segment [AB] et placer son milieu I. Construire la droite (d) perpendiculaire à (AB) passant par I. Placer un point R sur (d). Tracer le cercle (C) de centre R passant par A. 1) Prouver que (d) est la médiatrice de [AB]. 2) Démontrer alors que RA = RB. 3) Tracer le cercle ( C ) de centre R passant par A. Démontrer ce cercle passe aussi par B. Vous utiliserez les outils de l exercice précédent ainsi que la définition de la médiatrice d un segment. Exercice 4 1) Construire un triangle ABC quelconque (avec des angles aigus de préférence), puis la droite perpendiculaire à (BC) passant par A. Cette droite coupe (BC) en un point H. 2) Construire le cercle circonscrit (C ) au triangle ABH et placer son centre 0. Construire le cercle circonscrit (C ) au triangle ACH et placer son centre 0. 3) Prouver que O appartient à la médiatrice de [AH]. 4) Prouver qu il en est de même pour O, puis que (OO ) est la médiatrice de [AH]. 5) Comment semblent être les droites (OO ) et (BC)? Le prouver à l aide de deux chaînons. Attention : on observe que O appartient à un certain segment, cela sera démontré en classe de quatrième et ne sert pas dans cet exercice. Même chose pour O. Outils utilisés (pas tous!) : Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors ce point est équidistant des extrémités de ce segment. Si des points appartiennent à un même cercle, ils sont tous à la même distance du centre (le rayon). Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Si une droite est la médiatrice d un segment, alors elle est perpendiculaire à ce segment en son milieu. Connaître les trois propriétés des droites parallèles et perpendiculaires. Si une droite est perpendiculaire à un segment en son milieu, alors cette droite est la médiatrice de ce segment. Les médiatrices des côtés d un triangle sont concourantes, au centre d un cercle circonscrit du triangle. Un exercice sur les angles (pas très original, on peut faire mieux!) Exercice groupes 1 et 2+ Sur la figure ci-contre réalisée à main levée : le triangle ABC est isocèle en C ; les droites (AB) et (CE) sont parallèles. BAC = 40. Calculer, en justifiant, les angles ABC, ACB, ACE et BCF. B A 40 == F C E D

7 Exercice groupes 2- et 3 A Sur la figure ci-contre réalisée à main levée : le triangle ABC est isocèle en C ; les droites (AB) et (CE) sont parallèles.(e,c,f alignés) BAC = 40. Ecrire les données. Calculer, en justifiant,la mesure des angles ABC, Comment sont ACE et BAC? Combien mesure Que dire de FCE? Déterminer la mesure de BCF. ACB. ACE? B 40 == _ F _ C E D Coder la figure au fur et à mesure. Justifier toutes les réponses. Pour les groupes 3 : Pour cela vous pourrez utiliser les outils suivants (pas tous) : Si un triangle est isocèle, alors il a 2 angles égaux. Si un triangle a 2 angles égaux, alors il est isocèle. La somme des angles d un triangle est égale à 180. Si deux droites sont parallèles et sont coupées par une sécante, alors elles forment deux angles alternes internes (ou correspondants) de même mesure. Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes internes (ou correspondants) de même mesure, alors ces droites sont parallèles.

8 II. Documents quatrième Groupe I fiche d exercices : les propriétés de la droite des milieux Exercice 1 Soit un triangle ABC, M le milieu de [AB], N le milieu de [AC],L le milieu de [BC]. 1) Faire une figure propre et codée. 2) Quelle semble être la nature de MNLB? le prouver. 3) Démontrer à l aide du 2) que [MN] mesure la moitié de [BC]. Nous venons de démontrer la propriété suivante : Exercice 2 Construire un triangle ABC quelconque, et les points M,N,P, milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC]. Comparer le périmètre du triangle MNP et celui de ABC (l un est multiple de l autre, à vous de trouver le coefficient!) Exercice 3 Construire un quadrilatère ABCD, et placer les points M,N,P,Q, milieux respectifs de [AB], [BC], [CD], [DA]. 1) Quelle semble être la nature de MNPQ? Le prouver. 2) Supposons à présent que AC = BD, quelle semble être alors la nature de MNPQ? Le prouver. Exercice 4 Construire un parallélogramme ABCD. Soient O,I,J les milieux respectifs de [BD], [AD], [BC]. Comment semblent être les points O,I,J? Le prouver. Aide : Prouver que (OI) et (OJ) sont confondues. Exercice 5 Construire un trapèze ABCD tel que (AB) et (CD) soient parallèles. Placer le point M, milieu de [AD], puis tracer la droite (d) passant par M et parallèle à (AB). (d) coupe (BD) en K, (AC) en N et (BC) en P. 1) Que dire de K? Le prouver. 2) Comparer MK et AB. Justifier. 3) En déduire que MK est égale à NP. (Plusieurs étapes de démonstration sont nécessaires pour la question 3). Conseil : ne pas sauter d étapes, tout doit être justifié dans le tableau (ne pas utiliser un résultat sans le démontrer ou si ce n est pas une donnée de l énoncé).

9 Exercice 6 M A G On sait que :. G et F sont les milieux respectifs de [AC] et de [DC],. E est le symétrique de F par rapport à D. a. Prouver que M est le milieu de [EG] b. En déduire que DM = 4 1 AD E D F C Remarque : pour la question b, plusieurs étapes de démonstration sont nécessaires. Exercice 7 Construire un triangle ABC ainsi que les médianes [CL] et [BK]. [CL] et [BK] se coupent en G. La parallèle à (AG) passant par L coupe [BG] en P. La parallèle à (AG) passant par K coupe [CG] en R. 1. Que peut on dire de P? de LP? Le prouver. 2. Prouver alors que LKRP est un parallélogramme (plusieurs étapes de démonstration sont obligatoires). 1. Déduire de 1. et 2. que BP = PG = GK. 2. Où est situé G? Quelle propriété vient-on de démontrer?..

10 Groupe II fiche d exercices : les propriétés de la droite des milieux Ecrire toutes les données de chaque problème avant de répondre aux questions. Ces données seront complétées au fur et à mesure en couleur. Exercice 1 Soit un triangle ABC, M le milieu de [AB], N le milieu de [AC],L le milieu de [BC]. 1) Faire une figure propre et codée. 2) Prouver que (MN) est parallèle à (BC) 3) Quelle semble être la nature de MNLB? le prouver à l aide du 2). 4) Justifier l égalité MN = BL, puis démontrer que [MN] mesure la moitié de [BC]. Nous venons de démontrer la propriété suivante : Exercice 2 Construire un triangle ABC quelconque, et les points M,N,P, milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC]. Faire une figure propre et codée. 1) Prouver que MN = 2 1 BC. 2) En vous aidant de la question 1), comparer le périmètre du triangle MNP et celui de ABC (l un est multiple de l autre, à vous de trouver le coefficient!). Exercice 3 Construire un quadrilatère ABCD, et placer les points M,N,P,Q, milieux respectifs de [AB], [BC], [CD], [DA]. Faire une figure propre et codée. 1) Prouver que (MN) est parallèle à (AC). 2) Quelle semble être la nature de MNPQ? Le prouver. (Remarque : attention, deux côtés parallèles ne suffisent pas à prouver qu un quadrilatère est un parallélogramme). 3) Supposons à présent que AC = BD, quelle semble être alors la nature de MNPQ? Le prouver. Exercice 4 Construire un parallélogramme ABCD. Soient O,I,J les milieux respectifs de [BD], [AD], [BC]. Faire une figure propre et codée. 1) Prouver que (OI) est parallèle à (AB). 2) Que dire de (OJ)? Le prouver. 3) Comment semblent être les points O,I,J? Le prouver. Aide : Prouver que (OI) et (OJ) sont confondues. Exercice 5 Construire un trapèze ABCD tel que (AB) et (CD) soient parallèles. Placer le point M, milieu de [AD], puis tracer la droite (d) passant par M et parallèle à (AB). (d) coupe (BD) en K, (AC) en N et (BC) en P. Faire une figure propre et codée. 1) Que dire de K? Le prouver.

11 2) Comparer MK et AB. Justifier. 3) Mêmes questions pour N, pour P et NP. 4) En déduire que MK est égale à NP. (Plusieurs étapes de démonstration sont nécessaires pour la question et 3). Conseil : ne pas sauter d étapes, tout doit être justifié dans le tableau (ne pas utiliser un résultat sans le démontrer ou si ce n est pas une donnée de l énoncé). Exercice 6 A On sait que :. G et F sont les milieux respectifs de [AC] et de [DC],. E est le symétrique de F par rapport à D. E M D F G C a. Prouver que M est le milieu de [EG] b. Comparer DM et GF. Justifier c. Prouver que GF est égale à la moitié de AD. d. En déduire que DM = 4 1 AD Remarque : pour les questions a et d, plusieurs étapes de démonstration sont nécessaires. Exercice 7 Construire un triangle ABC, L et K milieux respectifs de [AB] et de [AC], ainsi que les médianes [CL] et [BK]. [CL] et [BK] se coupent en G. Tracer (AG). Construire la parallèle à (AG) passant par L, elle coupe [BG] en P. Tracer la parallèle à (AG) passant par K, elle coupe [CG] en R. Faire une figure propre et codée. 1. Prouver que P est le milieu de [BG]. Que dire alors de [LP]? Le prouver. 2. Mêmes questions pour R, pour [KR]. 3. Prouver alors que LKRP est un parallélogramme (plusieurs étapes de démonstration sont obligatoires). 4. Déduire des questions précédentes que BP = PG = GK. (Aide : Que dire de G dans LKRP? le prouver). 5. Où est situé G? Quelle propriété vient-on de démontrer?

12 Groupe III Fiche d exercices : les propriétés de la droite des milieux Ecrire les toutes les données de chaque problème avant de répondre aux questions. Ces données seront complétés au fur et à mesure en couleur. Exercice 1 Soit un triangle ABC, M le milieu de [AB], N le milieu de [AC],L le milieu de [BC]. 1) Faire une figure propre et codée. 2) Prouver que (MN) est parallèle à (BC). 3) Prouver que (LN) est parallèle à (AB). 4) Quelle semble être la nature de MNLB? le prouver à l aide du 2). 5) Justifier l égalité MN = BL, puis démontrer que [MN] mesure la moitié de [BC]. Nous venons de démontrer la propriété suivante : Outils utilisés : Si une droite passe par les milieux de deux côtés d un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté de ce triangle. Propriétés du parallélogramme (attention, à vous de choisir) :. Si les côtés opposés d un quadrilatère ont même longueur deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.. Si les côtés opposés d un quadrilatère sont parallèles deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont même longueur deux à deux. Exercice 2 Construire un triangle ABC quelconque, et les points M,N,P, milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC]. Faire une figure propre et codée. 1) Prouver que MN = 2 1 BC 2) Prouver que PN = 2 1 AB 3) En vous aidant des questions 1) et 2), comparer le périmètre du triangle MNP et celui de ABC (l un est multiple de l autre, à vous de trouver le coefficient!) Vous exprimerez chaque périmètre en fonction des longueurs des côtés. Outils utilisés : Si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d un triangle, alors il mesure la moitié du troisième coté de ce triangle.

13 Exercice 3 Construire un quadrilatère ABCD, et placer les points M,N,P,Q, milieux respectifs de [AB], [BC], [CD], [DA]. Faire une figure propre et codée. 1) Dans ABC, prouver que (MN) est parallèle à (AC) et MN = 2 1 AC 2) Dans un triangle à déterminer, prouver que (QP) est parallèle à (AC) et QP = 2 1 AC. 3) Que dire de [MN] et [QP]? 4) En déduire alors la nature de MNPQ (le prouver). 5) Bonus : supposons à présent que AC = BD, quelle semble être alors la nature de MNPQ? Le prouver. Outils utilisés : Reprendre les propriétés des exercices 1 et 2. Propriétés du parallélogramme : (déterminer celle qui convient sur la fiche de rappel des propriétés du parallélogramme) Exercice 4 Construire un parallélogramme ABCD. Soient O,I,J les milieux respectifs de [BD], [AD], [BC]. Faire une figure propre et codée. 1) Se placer dans un triangle ( à déterminer) puis prouver que (OI) est parallèle à (AB). 2) Prouver que (OJ) est parallèle à (DC). 3) Prouver alors que (OJ) est parallèle à (OI). Que peut-on dire des points O,I,J? Le prouver. (Aide : prouver que (OI) et (OJ) sont confondues). Outils utilisés : Une des propriétés de la droite des milieux (déjà citée dans les outils ci-dessus). Propriété des droites parallèles (voir sur les rappels). Exercice 5 Construire un trapèze ABCD tel que (AB) et (CD) soient parallèles. Placer le point M, milieu de [AD], puis tracer la droite (d) passant par M et parallèle à (AB). (d) coupe (BD) en K, (AC) en N et (BC) en P. Faire une figure propre et codée. 1) Se placer dans un triangle (à déterminer) et prouver que K est le milieu de [DB]. 2) Prouver que MK est égale à la moitié de AB. 3) Mêmes questions pour N, pour P, et NP. 4) En déduire que MK est égale à NP. (Plusieurs étapes de démonstration sont nécessaires pour les questions 2) et 3) ). Conseil : ne pas sauter d étapes, tout doit être justifié dans le tableau (ne pas utiliser un résultat sans le démontrer ou si ce n est pas une donnée de l énoncé).

14 Outils utilisés : Troisième propriété de la droite des milieux : si une droite passe par le milieu d un côté d un triangle et qu elle est parallèle à un second côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté de ce triangle. Autre propriété de la droite des milieux citée plus haut. Si deux longueurs sont égales à une même troisième longueur, alors ces deux longueurs sont égales entre elles. Exercice 6 On sait que :. G et F sont les milieux respectifs de [AC] et de [DC],. E est le symétrique de F par rapport à D. E M D A F G C a. Démontrer que (GF) est parallèle à (AD) b. Prouver que M est le milieu de [EG] c. Prouver DM est égale à la moitié de GF. d. Démontrer que GF est égale à la moitié de AD. e. S aider des questions c et d pour prouver que DM = 4 1 AD Important : se placer dans un triangle ( à déterminer) pour chacune des questions a. à e. Outils utilisés : Les propriétés de la droite des milieux déjà citées plus haut (déterminer laquelle et dans quelle question l utiliser). Exercice 7 Construire un triangle ABC, L et K milieux respectifs de [AB] et de [AC], ainsi que les médianes [CL] et [BK]. [CL] et [BK] se coupent en G. Tracer (AG) puis la parallèle à (AG) passant par L coupe [BG] en P. Tracer la parallèle à (AG) passant par K, elle coupe [CG] en R. Faire une figure propre et codée. 1. Dans ABG, prouver que P est le milieu de [BG]. 2. Que dire alors de [LP]? Le prouver. 3. Mêmes questions pour R, pour [KR].

15 4. Prouver alors que LKRP est un parallélogramme (plusieurs étapes de démonstration sont obligatoires). 5. Démontrer alors que G est le milieu de [PK]. 6. Déduire des questions précédentes que BP = PG = GK. 7. Où est situé G? Quelle propriété vient-on de démontrer?.. Outils utilisés : Les trois propriétés de la droite des milieux. Si deux côtés opposés d un quadrilatère sont parallèles et de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Autre série d exercices Groupe 1 Fiche d exercices Exercice 1 Soit un cercle de centre O de diamètre [BC] et A un point de ce cercle. Tracer le triangle ABC. 1. Soit M le milieu de [AC]. Démontrer que (OM) est la médiatrice de [AC]. 2. En déduire que (AC) est perpendiculaire à (AB), puis que ABC est un triangle rectangle. Exercice 2 Placer trois points A,B,D dans cet ordre sur une droite ( faire une figure suffisamment grande). Tracer le cercle (C ) de diamètre [AB], puis le cercle (C ) de diamètre [BD]. Tracer une droite passant par B ( non perpendiculaire à (AD) ). Cette droite coupe le cercle (C) en E et le cercle (C ) en F. Question : démontrer que (AE) est parallèle à (DF). Exercice 3 Tracer deux cercles (C) et (C ) de centres respectifs O et O, sécants en A et B. Soit [MB] un diamètre de (C), et [PB] un diamètre de (C ). 1. Prouver que (OO ) est parallèle à (MP). 2. Prouver que les points M,A,P sont alignés (aide : prouver que MAP = 180 ). Ces deux questions sont indépendantes. Bonus : prouver que (OO ) est la médiatrice de [AB].

16 Exercice 4 Construire un triangle ABC tel que AB < AC < BC. Tracer la droite perpendiculaire à (BC) passant par A. Elle coupe (BC) en H. Placer les points I,J,K, milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB]. Coder la figure. Question : démontrer que le quadrilatère IJKH à deux côtés parallèles, et que ses deux autres côtés sont de même longueur. Exercice 5 M N Prouver que M,N,P,Q appartiennent à un même cercle (on construira le cercle ainsi que son centre). Aide : des tracés supplémentaires sont conseillés. Remarque : plusieurs points appartenant à un même cercle sont appelés points cocycliques. Q P Groupe 2 Fiche d exercices Exercice 1 Soit un cercle de centre O de diamètre [BC] et A un point de ce cercle. Tracer le triangle ABC. 1. Soit M le milieu de [AC]. Démontrer que O appartient à la médiatrice de [AC], puis que (OM) est la médiatrice de [AC]. 2. Prouver que (OM) est parallèle à (AB). 3. En déduire que (AC) est perpendiculaire à (AB), puis que ABC est un triangle rectangle. Exercice 2 Placer trois points A,B,D dans cette ordre sur une droite (faire une figure suffisamment grande). Tracer le cercle (C) de diamètre [AB], puis le cercle (C ) de diamètre [BD]. Tracer une droite passant par B (non perpendiculaire à (AD)). Cette droite coupe le cercle (C) en E et le cercle (C ) en F. 1. Démontrer que ABE est un triangle rectangle. 2. Démontrer que (AE) est parallèle à (DF).

17 Exercice 3 Tracer deux cercles (C) et (C ) de centres respectifs O et O, sécants en A et B. Soit [MB] un diamètre de (C ), et [PB] un diamètre de (C ). 1. Prouver que (OO ) est parallèle à (MP). 2. Prouver que MBA est un triangle rectangle. 3. Démontrer que les points M,A,P sont alignés (aide : prouver que MAP = 180 ). Bonus : prouver que (OO ) est la médiatrice de [AB] (on appelle I le milieu de [AB], prouver entre autre que (OO ) passe par I ). Exercice 4 Construire un triangle ABC tel que AB < AC < BC. Tracer la droite perpendiculaire à (BC) passant par A. Elle coupe (BC) en H. Placer les points I,J,K, milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB]. Coder la figure. 1. Démontrer que (KJ) est parallèle à (HI). 2. Démontrer que KH et JI sont égales (aide : vous prouverez qu elles sont égales à une même troisième longueur que l on déterminera ) Exercice 5 M N Prouver que M,N,P,Q appartiennent à un même cercle (on construira le cercle ainsi que son centre). Aide : tracer [QP] Remarque : plusieurs points appartenant à un même cercle sont appelés points cocycliques. Q P

18 Groupe 3 Fiche d exercices Exercice 1 Soit un cercle de centre O de diamètre [BC] et A un point de ce cercle. Tracer le triangle ABC. Soit M le milieu de [AC]. 1. Dans ABC, prouver que (OM) est parallèle à (AB). 2. Démontrer que OA = OC 3. En déduire que O appartient à la médiatrice de [AC], puis que (OM) est la médiatrice de [AC]. 4. Démontrer que (OM)est perpendiculaire à (AC). 5. Déduire des questions 1. et 4. que (AC) est perpendiculaire à (AB), puis que ABC est un triangle rectangle. Outils utilisés (pas tous!) : Tous les points d un cercle sont à égale distance du centre de ce cercle. Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Les propriétés de la droite des milieux, des droites parallèles et perpendiculaires (à savoir). Exercice 2 Placer trois points A,B,D dans cette ordre sur une droite (faire une figure suffisamment grande). Tracer le cercle (C) de diamètre [AB], puis le cercle (C ) de diamètre [BD]. Tracer une droite passant par B (non perpendiculaire à (AD)). Cette droite coupe le cercle (C) en E et le cercle (C ) en F. 1. Démontrer que ABE est un triangle rectangle. 2. Démontrer que BFD est un triangle rectangle. 3. En déduire que (FD) est perpendiculaire à (EF). 4. Démontrer que (AE) est parallèle à (DF) (2 étapes de démonstration sont nécessaires). Outils utilisés (pas tous ) : Si un côté d un triangle est aussi un diamètre de son cercle circonscrit, alors c est un triangle rectangle : P 1 Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse : P 2 Définition du triangle rectangle. Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires ( à savoir Exercice 3 Tracer deux cercles (C) et (C ) de centres respectifs O et O, sécants en A et B. Soit [MB] un diamètre de (C ), et [NB] un diamètre de (C ). 1. Dans MPB, prouver que (OO ) est parallèle à (MP). 2. Prouver que MBA est un triangle rectangle. 3. Les points M,A,P sont alignés (aide : prouver que MAP = 180 ).

19 Bonus : prouver que (OO ) est la médiatrice de [AB] (on appelle I le milieu de [AB], prouver entre autre que (OO ) passe par I ). Outils utilisés : Propriétés de la droite des milieux. P 1 et P 2 citées ci-dessus. Définition de la médiatrice d un segment. Exercice 4 Construire un triangle ABC tel que AB < AC < BC. Tracer la droite perpendiculaire à (BC) passant par A. Elle coupe (BC) en H. Placer les points I,J,K, milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB]. Coder la figure. 1. Démontrer que (KJ) est parallèle à(ab), puis à (HI). 2. Démontrer que KH et JI sont égales (aide : vous prouverez qu elles sont égales à une même troisième longueur que l on déterminera ) Outils utilisés : Si un triangle est rectangle, la médiane relative à l hypoténuse mesure la moitié de celle-ci. Propriétés de la droite des milieux. Q M P N Exercice 5 1. Que peut-on dire du cercle circonscrit au triangle MNQ? 2. Mêmes questions pour le triangle NQP. 3. En déduire que M,N,P,Q appartiennent à un même cercle (on construira le cercle ainsi que son centre). Aide : tracer [QP]. Outils : Propriétés du triangle rectangle citées dans les exercices précédents. Remarque : plusieurs points appartenant à un même cercle sont appelés points cocycliques.

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