ANNEXES. I. Documents cinquième. a. Fiche modèle à rendre avec la figure. Données. Je sais que D après la propriété J en conclus que
|
|
- Tristan Patel
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 ANNEXES I. Documents cinquième a. Fiche modèle à rendre avec la figure Noms : Données Je sais que D après la propriété J en conclus que
2 Travail en groupe Exercice Groupe 1 Construire un triangle ABC rectangle en A. Placer le point M, milieu de [AC], puis tracer la droite (d) parallèle à (AB) passant par M. (d) coupe (BC) en K. (d) est donc confondue avec (KM). 1) Faire une figure et coder les informations données par l énoncé. 2) Citer les données générales (vous compléterez les nouvelles données en vert ) 3) Vous démontrerez que AK = KC. (attention plusieurs chaînons seront nécessaires). Exercice Groupe 2 Construire un triangle ABC rectangle en A. Placer le point M, milieu de [AC], puis tracer la droite (d) parallèle à (AB) passant par M. (d) coupe (BC) en K.( (d) est donc confondue avec (KM) ). 1) Faire une figure et coder les informations données par l énoncé. 2) Citer les données générales (vous compléterez les nouvelles données en vert) 3) Démontrer que (KM) est la médiatrice de [AC]. (2 chaînons) 1) En déduire que AK = KC. (le prouver à l aide d un chaînon) Exercice Groupe 3 Construire un triangle ABC rectangle en A. Placer le point M, milieu de [AC], puis tracer la droite (d) parallèle à (AB) passant par M. (d) coupe (BC) en K. ((d) est donc confondue avec (KM) ). 1) Faire une figure et coder les informations données par l énoncé. 2) Citer les données générales (vous compléterez les nouvelles données en vert ). 3) Démontrer que (KM) est perpendiculaire à (AC). (un chaînon) 4) Démontrer que (KM) est la médiatrice de [AC]. (un chaînon) 5) En déduire que AK = KC. (un chaînon). Outils mathématiques utilisés : (attention, quelques uns seulement seront utiles, à vous de choisir et bien penser à vérifier si le chaînon est juste, aidez vous des couleurs si nécessaire). Si une droite est la médiatrice d un segment, alors elle est perpendiculaire et passe par le milieu de ce segment. Si une droite est perpendiculaire et passe par le milieu de ce segment, alors cette droite est la médiatrice de ce segment. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles. Si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à une des parallèles, alors cette troisième droite est perpendiculaire à l autre. Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment.
3 3 exercices sur les propriétés de la médiatrice Groupe 1 Fiche d exercices Pour chaque exercice, une figure propre et codée est demandée, ainsi que les données générales du problème (et les données vertes). Pour toutes les questions où l on demande de démontrer, vous devrez le faire à l aide d un ou de plusieurs chaînons. Penser à contrôler chaque chaînon avec les règles vues en classe. Exercice 1 Tracer un triangle ABC tel que AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 6cm. Construire la hauteur issue de A, elle coupe (BC) en H. Construire ensuite la médiatrice (d) de [BC]. Prouver que (AH) et (d) sont parallèles. Exercice 2 Tracer un triangle quelconque ABC. Construire la médiatrice (d) de [AB], ainsi que la médiatrice (d ) de [AC]. Ces deux droites se coupent en O. 1) Prouver que OA = OB. (un chaînon) 2) Prouver que OB = OC. (deux chaînons) 3) En déduire que O appartient à une autre droite que l on nommera. 4) Quel est le centre du cercle passant par A,B,C? Le démontrer. Exercice 3 Tracer un segment [AB] et placer son milieu I. Construire la droite (d) perpendiculaire à (AB) passant par I. Placer un point R sur (d). Tracer le cercle de centre R passant par A, par quel autre point semble passer ce cercle? Le prouver. Exercice 4 1) Construire un triangle ABC quelconque (avec des angles aigus de préférence), puis la droite perpendiculaire à (BC) passant par A. Cette droite coupe (BC) en un point H. 2) Construire le cercle circonscrit C au triangle ABH et placer son centre 0. Construire le cercle circonscrit C au triangle ACH et placer son centre 0. 3) Comment semblent être les droites (OO ) et (BC). Le prouver à l aide de plusieurs chaînons. (aide : si vous n arrivez pas à démarrer, appeler l enseignant afin qu il vous donne un «coup de pouce») Attention : on observe que O appartient à un certain segment, ceci sera démontré en classe de quatrième et ne sert pas dans cet exercice. Même chose pour O.
4 Groupe 2 Fiche d exercices Pour chaque exercice, une figure propre et codée est demandée, ainsi que les données générales du problème (et les données vertes). Pour toutes les questions où l on demande de démontrer, vous devrez le faire à l aide d un ou de plusieurs chaînons. Pensez à contrôler chaque chaînon avec les règles vues en classe. Exercice 1 Tracer un triangle ABC tel que AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 6cm. Construire la hauteur issue de A, elle coupe (BC) en H. Construire ensuite la médiatrice (d) de [BC]. 1) Que dire de (AH) et (BC)? de (d) et (BC)? Le prouver à l aide de deux chaînons de démonstration. 2) Prouver que (AH) et (d) sont parallèles. Exercice 2 Tracer un triangle quelconque ABC. Construire la médiatrice (d) de [AB], ainsi que la médiatrice (d ) de [AC]. Ces deux droites se coupent en O. 1) Prouver que OA = OB (un chaînon) 2) Que dire de OA et OC? le démontrer (un chaînon) 3) Prouver alors que OB = OC (un chaînon) 4) Démontrer que O appartient à la médiatrice de [BC] (un chaînon) 5) Quel est le centre du cercle passant par A,B,C? Le démontrer. Exercice 3 Tracer un segment [AB] et placer son milieu I. Construire la droite (d) perpendiculaire à (AB) passant par I. Placer un point R sur (d). Tracer le cercle (C) de centre R passant par A. Démontrer ce cercle passe aussi par B. Aide : cela revient à prouver que RA =RB Exercice 4 1) Construire un triangle ABC quelconque (avec des angles aigus de préférence), puis la droite perpendiculaire à (BC) passant par A. Cette droite coupe (BC) en un point H. 2) Construire le cercle circonscrit C au triangle ABH et placer son centre 0. Construire le cercle circonscrit C au triangle ACH et placer son centre 0. 3) Prouver que O appartient à la médiatrice de [AH]. (deux chaînons) 4) Prouver que (OO ) est la médiatrice de [AH]. (deux chaînons) 5) Comment semblent être les droites (OO ) et (BC)? Le prouver à l aide de deux chaînons. Attention : on observe que O appartient à un certain segment, cela sera démontré en classe de quatrième et ne sert pas dans cet exercice. Même chose pour O.
5 Groupe 3 Fiche d exercices Pour chaque exercice, une figure propre et codée est demandée, ainsi que les données générales du problème (et les données vertes). Pour toutes les questions où l on demande de démontrer, vous devrez le faire à l aide d un ou de plusieurs chaînons. Pensez à contrôler chaque chaînon avec les règles vues en classe. Exercice 1 Tracer un triangle ABC tel que AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 6cm. Construire la hauteur issue de A, elle coupe (BC) en H. Construire ensuite la médiatrice (d) de [BC]. 1) Démontrer que (AH) et (BC) sot perpendiculaires. Le prouver à l aide d un chaînon de démonstration. 2) Même question pour (d) et (BC). 3) Prouver alors que (AH) et (d) sont parallèles. Outils mathématiques utilisés (ils ne le seront pas tous ) : Définition de la médiatrice, d une hauteur. Si deux droites sont parallèles et qu une troisième droite est perpendiculaire à une des parallèles, alors elle est perpendiculaire à l autre. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles. Exercice 2 Tracer un triangle quelconque ABC. Construire la médiatrice (d) de [AB], ainsi que la médiatrice (d ) de [AC]. Ces deux droites se coupent en O. 1) Prouver que OA = OB (un chaînon) 2) Prouver que OA = OC (un chaînon) 3) Prouver alors que OB = OC (un chaînon) 4) Démontrer que O appartient à la médiatrice de [BC] (un chaînon) 5) Quel est le centre du cercle passant par A,B,C? Le démontrer (question non obligatoire). Outils mathématiques utilisés : Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. Si deux nombres sont égaux à un même troisième nombre, alors ces deux nombres sont égaux. Tous les points d un cercle sont à égale distance du centre de ce cercle. Cette distance s appelle le rayon du cercle. (Possibilité de rajouter des propriétés réciproques en précisant qu ils doivent choisir quelles propriétés il faut utiliser).
6 Exercice 3 Tracer un segment [AB] et placer son milieu I. Construire la droite (d) perpendiculaire à (AB) passant par I. Placer un point R sur (d). Tracer le cercle (C) de centre R passant par A. 1) Prouver que (d) est la médiatrice de [AB]. 2) Démontrer alors que RA = RB. 3) Tracer le cercle ( C ) de centre R passant par A. Démontrer ce cercle passe aussi par B. Vous utiliserez les outils de l exercice précédent ainsi que la définition de la médiatrice d un segment. Exercice 4 1) Construire un triangle ABC quelconque (avec des angles aigus de préférence), puis la droite perpendiculaire à (BC) passant par A. Cette droite coupe (BC) en un point H. 2) Construire le cercle circonscrit (C ) au triangle ABH et placer son centre 0. Construire le cercle circonscrit (C ) au triangle ACH et placer son centre 0. 3) Prouver que O appartient à la médiatrice de [AH]. 4) Prouver qu il en est de même pour O, puis que (OO ) est la médiatrice de [AH]. 5) Comment semblent être les droites (OO ) et (BC)? Le prouver à l aide de deux chaînons. Attention : on observe que O appartient à un certain segment, cela sera démontré en classe de quatrième et ne sert pas dans cet exercice. Même chose pour O. Outils utilisés (pas tous!) : Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors ce point est équidistant des extrémités de ce segment. Si des points appartiennent à un même cercle, ils sont tous à la même distance du centre (le rayon). Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Si une droite est la médiatrice d un segment, alors elle est perpendiculaire à ce segment en son milieu. Connaître les trois propriétés des droites parallèles et perpendiculaires. Si une droite est perpendiculaire à un segment en son milieu, alors cette droite est la médiatrice de ce segment. Les médiatrices des côtés d un triangle sont concourantes, au centre d un cercle circonscrit du triangle. Un exercice sur les angles (pas très original, on peut faire mieux!) Exercice groupes 1 et 2+ Sur la figure ci-contre réalisée à main levée : le triangle ABC est isocèle en C ; les droites (AB) et (CE) sont parallèles. BAC = 40. Calculer, en justifiant, les angles ABC, ACB, ACE et BCF. B A 40 == F C E D
7 Exercice groupes 2- et 3 A Sur la figure ci-contre réalisée à main levée : le triangle ABC est isocèle en C ; les droites (AB) et (CE) sont parallèles.(e,c,f alignés) BAC = 40. Ecrire les données. Calculer, en justifiant,la mesure des angles ABC, Comment sont ACE et BAC? Combien mesure Que dire de FCE? Déterminer la mesure de BCF. ACB. ACE? B 40 == _ F _ C E D Coder la figure au fur et à mesure. Justifier toutes les réponses. Pour les groupes 3 : Pour cela vous pourrez utiliser les outils suivants (pas tous) : Si un triangle est isocèle, alors il a 2 angles égaux. Si un triangle a 2 angles égaux, alors il est isocèle. La somme des angles d un triangle est égale à 180. Si deux droites sont parallèles et sont coupées par une sécante, alors elles forment deux angles alternes internes (ou correspondants) de même mesure. Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes internes (ou correspondants) de même mesure, alors ces droites sont parallèles.
8 II. Documents quatrième Groupe I fiche d exercices : les propriétés de la droite des milieux Exercice 1 Soit un triangle ABC, M le milieu de [AB], N le milieu de [AC],L le milieu de [BC]. 1) Faire une figure propre et codée. 2) Quelle semble être la nature de MNLB? le prouver. 3) Démontrer à l aide du 2) que [MN] mesure la moitié de [BC]. Nous venons de démontrer la propriété suivante : Exercice 2 Construire un triangle ABC quelconque, et les points M,N,P, milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC]. Comparer le périmètre du triangle MNP et celui de ABC (l un est multiple de l autre, à vous de trouver le coefficient!) Exercice 3 Construire un quadrilatère ABCD, et placer les points M,N,P,Q, milieux respectifs de [AB], [BC], [CD], [DA]. 1) Quelle semble être la nature de MNPQ? Le prouver. 2) Supposons à présent que AC = BD, quelle semble être alors la nature de MNPQ? Le prouver. Exercice 4 Construire un parallélogramme ABCD. Soient O,I,J les milieux respectifs de [BD], [AD], [BC]. Comment semblent être les points O,I,J? Le prouver. Aide : Prouver que (OI) et (OJ) sont confondues. Exercice 5 Construire un trapèze ABCD tel que (AB) et (CD) soient parallèles. Placer le point M, milieu de [AD], puis tracer la droite (d) passant par M et parallèle à (AB). (d) coupe (BD) en K, (AC) en N et (BC) en P. 1) Que dire de K? Le prouver. 2) Comparer MK et AB. Justifier. 3) En déduire que MK est égale à NP. (Plusieurs étapes de démonstration sont nécessaires pour la question 3). Conseil : ne pas sauter d étapes, tout doit être justifié dans le tableau (ne pas utiliser un résultat sans le démontrer ou si ce n est pas une donnée de l énoncé).
9 Exercice 6 M A G On sait que :. G et F sont les milieux respectifs de [AC] et de [DC],. E est le symétrique de F par rapport à D. a. Prouver que M est le milieu de [EG] b. En déduire que DM = 4 1 AD E D F C Remarque : pour la question b, plusieurs étapes de démonstration sont nécessaires. Exercice 7 Construire un triangle ABC ainsi que les médianes [CL] et [BK]. [CL] et [BK] se coupent en G. La parallèle à (AG) passant par L coupe [BG] en P. La parallèle à (AG) passant par K coupe [CG] en R. 1. Que peut on dire de P? de LP? Le prouver. 2. Prouver alors que LKRP est un parallélogramme (plusieurs étapes de démonstration sont obligatoires). 1. Déduire de 1. et 2. que BP = PG = GK. 2. Où est situé G? Quelle propriété vient-on de démontrer?..
10 Groupe II fiche d exercices : les propriétés de la droite des milieux Ecrire toutes les données de chaque problème avant de répondre aux questions. Ces données seront complétées au fur et à mesure en couleur. Exercice 1 Soit un triangle ABC, M le milieu de [AB], N le milieu de [AC],L le milieu de [BC]. 1) Faire une figure propre et codée. 2) Prouver que (MN) est parallèle à (BC) 3) Quelle semble être la nature de MNLB? le prouver à l aide du 2). 4) Justifier l égalité MN = BL, puis démontrer que [MN] mesure la moitié de [BC]. Nous venons de démontrer la propriété suivante : Exercice 2 Construire un triangle ABC quelconque, et les points M,N,P, milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC]. Faire une figure propre et codée. 1) Prouver que MN = 2 1 BC. 2) En vous aidant de la question 1), comparer le périmètre du triangle MNP et celui de ABC (l un est multiple de l autre, à vous de trouver le coefficient!). Exercice 3 Construire un quadrilatère ABCD, et placer les points M,N,P,Q, milieux respectifs de [AB], [BC], [CD], [DA]. Faire une figure propre et codée. 1) Prouver que (MN) est parallèle à (AC). 2) Quelle semble être la nature de MNPQ? Le prouver. (Remarque : attention, deux côtés parallèles ne suffisent pas à prouver qu un quadrilatère est un parallélogramme). 3) Supposons à présent que AC = BD, quelle semble être alors la nature de MNPQ? Le prouver. Exercice 4 Construire un parallélogramme ABCD. Soient O,I,J les milieux respectifs de [BD], [AD], [BC]. Faire une figure propre et codée. 1) Prouver que (OI) est parallèle à (AB). 2) Que dire de (OJ)? Le prouver. 3) Comment semblent être les points O,I,J? Le prouver. Aide : Prouver que (OI) et (OJ) sont confondues. Exercice 5 Construire un trapèze ABCD tel que (AB) et (CD) soient parallèles. Placer le point M, milieu de [AD], puis tracer la droite (d) passant par M et parallèle à (AB). (d) coupe (BD) en K, (AC) en N et (BC) en P. Faire une figure propre et codée. 1) Que dire de K? Le prouver.
11 2) Comparer MK et AB. Justifier. 3) Mêmes questions pour N, pour P et NP. 4) En déduire que MK est égale à NP. (Plusieurs étapes de démonstration sont nécessaires pour la question et 3). Conseil : ne pas sauter d étapes, tout doit être justifié dans le tableau (ne pas utiliser un résultat sans le démontrer ou si ce n est pas une donnée de l énoncé). Exercice 6 A On sait que :. G et F sont les milieux respectifs de [AC] et de [DC],. E est le symétrique de F par rapport à D. E M D F G C a. Prouver que M est le milieu de [EG] b. Comparer DM et GF. Justifier c. Prouver que GF est égale à la moitié de AD. d. En déduire que DM = 4 1 AD Remarque : pour les questions a et d, plusieurs étapes de démonstration sont nécessaires. Exercice 7 Construire un triangle ABC, L et K milieux respectifs de [AB] et de [AC], ainsi que les médianes [CL] et [BK]. [CL] et [BK] se coupent en G. Tracer (AG). Construire la parallèle à (AG) passant par L, elle coupe [BG] en P. Tracer la parallèle à (AG) passant par K, elle coupe [CG] en R. Faire une figure propre et codée. 1. Prouver que P est le milieu de [BG]. Que dire alors de [LP]? Le prouver. 2. Mêmes questions pour R, pour [KR]. 3. Prouver alors que LKRP est un parallélogramme (plusieurs étapes de démonstration sont obligatoires). 4. Déduire des questions précédentes que BP = PG = GK. (Aide : Que dire de G dans LKRP? le prouver). 5. Où est situé G? Quelle propriété vient-on de démontrer?
12 Groupe III Fiche d exercices : les propriétés de la droite des milieux Ecrire les toutes les données de chaque problème avant de répondre aux questions. Ces données seront complétés au fur et à mesure en couleur. Exercice 1 Soit un triangle ABC, M le milieu de [AB], N le milieu de [AC],L le milieu de [BC]. 1) Faire une figure propre et codée. 2) Prouver que (MN) est parallèle à (BC). 3) Prouver que (LN) est parallèle à (AB). 4) Quelle semble être la nature de MNLB? le prouver à l aide du 2). 5) Justifier l égalité MN = BL, puis démontrer que [MN] mesure la moitié de [BC]. Nous venons de démontrer la propriété suivante : Outils utilisés : Si une droite passe par les milieux de deux côtés d un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté de ce triangle. Propriétés du parallélogramme (attention, à vous de choisir) :. Si les côtés opposés d un quadrilatère ont même longueur deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.. Si les côtés opposés d un quadrilatère sont parallèles deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.. Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés ont même longueur deux à deux. Exercice 2 Construire un triangle ABC quelconque, et les points M,N,P, milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC]. Faire une figure propre et codée. 1) Prouver que MN = 2 1 BC 2) Prouver que PN = 2 1 AB 3) En vous aidant des questions 1) et 2), comparer le périmètre du triangle MNP et celui de ABC (l un est multiple de l autre, à vous de trouver le coefficient!) Vous exprimerez chaque périmètre en fonction des longueurs des côtés. Outils utilisés : Si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés d un triangle, alors il mesure la moitié du troisième coté de ce triangle.
13 Exercice 3 Construire un quadrilatère ABCD, et placer les points M,N,P,Q, milieux respectifs de [AB], [BC], [CD], [DA]. Faire une figure propre et codée. 1) Dans ABC, prouver que (MN) est parallèle à (AC) et MN = 2 1 AC 2) Dans un triangle à déterminer, prouver que (QP) est parallèle à (AC) et QP = 2 1 AC. 3) Que dire de [MN] et [QP]? 4) En déduire alors la nature de MNPQ (le prouver). 5) Bonus : supposons à présent que AC = BD, quelle semble être alors la nature de MNPQ? Le prouver. Outils utilisés : Reprendre les propriétés des exercices 1 et 2. Propriétés du parallélogramme : (déterminer celle qui convient sur la fiche de rappel des propriétés du parallélogramme) Exercice 4 Construire un parallélogramme ABCD. Soient O,I,J les milieux respectifs de [BD], [AD], [BC]. Faire une figure propre et codée. 1) Se placer dans un triangle ( à déterminer) puis prouver que (OI) est parallèle à (AB). 2) Prouver que (OJ) est parallèle à (DC). 3) Prouver alors que (OJ) est parallèle à (OI). Que peut-on dire des points O,I,J? Le prouver. (Aide : prouver que (OI) et (OJ) sont confondues). Outils utilisés : Une des propriétés de la droite des milieux (déjà citée dans les outils ci-dessus). Propriété des droites parallèles (voir sur les rappels). Exercice 5 Construire un trapèze ABCD tel que (AB) et (CD) soient parallèles. Placer le point M, milieu de [AD], puis tracer la droite (d) passant par M et parallèle à (AB). (d) coupe (BD) en K, (AC) en N et (BC) en P. Faire une figure propre et codée. 1) Se placer dans un triangle (à déterminer) et prouver que K est le milieu de [DB]. 2) Prouver que MK est égale à la moitié de AB. 3) Mêmes questions pour N, pour P, et NP. 4) En déduire que MK est égale à NP. (Plusieurs étapes de démonstration sont nécessaires pour les questions 2) et 3) ). Conseil : ne pas sauter d étapes, tout doit être justifié dans le tableau (ne pas utiliser un résultat sans le démontrer ou si ce n est pas une donnée de l énoncé).
14 Outils utilisés : Troisième propriété de la droite des milieux : si une droite passe par le milieu d un côté d un triangle et qu elle est parallèle à un second côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté de ce triangle. Autre propriété de la droite des milieux citée plus haut. Si deux longueurs sont égales à une même troisième longueur, alors ces deux longueurs sont égales entre elles. Exercice 6 On sait que :. G et F sont les milieux respectifs de [AC] et de [DC],. E est le symétrique de F par rapport à D. E M D A F G C a. Démontrer que (GF) est parallèle à (AD) b. Prouver que M est le milieu de [EG] c. Prouver DM est égale à la moitié de GF. d. Démontrer que GF est égale à la moitié de AD. e. S aider des questions c et d pour prouver que DM = 4 1 AD Important : se placer dans un triangle ( à déterminer) pour chacune des questions a. à e. Outils utilisés : Les propriétés de la droite des milieux déjà citées plus haut (déterminer laquelle et dans quelle question l utiliser). Exercice 7 Construire un triangle ABC, L et K milieux respectifs de [AB] et de [AC], ainsi que les médianes [CL] et [BK]. [CL] et [BK] se coupent en G. Tracer (AG) puis la parallèle à (AG) passant par L coupe [BG] en P. Tracer la parallèle à (AG) passant par K, elle coupe [CG] en R. Faire une figure propre et codée. 1. Dans ABG, prouver que P est le milieu de [BG]. 2. Que dire alors de [LP]? Le prouver. 3. Mêmes questions pour R, pour [KR].
15 4. Prouver alors que LKRP est un parallélogramme (plusieurs étapes de démonstration sont obligatoires). 5. Démontrer alors que G est le milieu de [PK]. 6. Déduire des questions précédentes que BP = PG = GK. 7. Où est situé G? Quelle propriété vient-on de démontrer?.. Outils utilisés : Les trois propriétés de la droite des milieux. Si deux côtés opposés d un quadrilatère sont parallèles et de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Autre série d exercices Groupe 1 Fiche d exercices Exercice 1 Soit un cercle de centre O de diamètre [BC] et A un point de ce cercle. Tracer le triangle ABC. 1. Soit M le milieu de [AC]. Démontrer que (OM) est la médiatrice de [AC]. 2. En déduire que (AC) est perpendiculaire à (AB), puis que ABC est un triangle rectangle. Exercice 2 Placer trois points A,B,D dans cet ordre sur une droite ( faire une figure suffisamment grande). Tracer le cercle (C ) de diamètre [AB], puis le cercle (C ) de diamètre [BD]. Tracer une droite passant par B ( non perpendiculaire à (AD) ). Cette droite coupe le cercle (C) en E et le cercle (C ) en F. Question : démontrer que (AE) est parallèle à (DF). Exercice 3 Tracer deux cercles (C) et (C ) de centres respectifs O et O, sécants en A et B. Soit [MB] un diamètre de (C), et [PB] un diamètre de (C ). 1. Prouver que (OO ) est parallèle à (MP). 2. Prouver que les points M,A,P sont alignés (aide : prouver que MAP = 180 ). Ces deux questions sont indépendantes. Bonus : prouver que (OO ) est la médiatrice de [AB].
16 Exercice 4 Construire un triangle ABC tel que AB < AC < BC. Tracer la droite perpendiculaire à (BC) passant par A. Elle coupe (BC) en H. Placer les points I,J,K, milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB]. Coder la figure. Question : démontrer que le quadrilatère IJKH à deux côtés parallèles, et que ses deux autres côtés sont de même longueur. Exercice 5 M N Prouver que M,N,P,Q appartiennent à un même cercle (on construira le cercle ainsi que son centre). Aide : des tracés supplémentaires sont conseillés. Remarque : plusieurs points appartenant à un même cercle sont appelés points cocycliques. Q P Groupe 2 Fiche d exercices Exercice 1 Soit un cercle de centre O de diamètre [BC] et A un point de ce cercle. Tracer le triangle ABC. 1. Soit M le milieu de [AC]. Démontrer que O appartient à la médiatrice de [AC], puis que (OM) est la médiatrice de [AC]. 2. Prouver que (OM) est parallèle à (AB). 3. En déduire que (AC) est perpendiculaire à (AB), puis que ABC est un triangle rectangle. Exercice 2 Placer trois points A,B,D dans cette ordre sur une droite (faire une figure suffisamment grande). Tracer le cercle (C) de diamètre [AB], puis le cercle (C ) de diamètre [BD]. Tracer une droite passant par B (non perpendiculaire à (AD)). Cette droite coupe le cercle (C) en E et le cercle (C ) en F. 1. Démontrer que ABE est un triangle rectangle. 2. Démontrer que (AE) est parallèle à (DF).
17 Exercice 3 Tracer deux cercles (C) et (C ) de centres respectifs O et O, sécants en A et B. Soit [MB] un diamètre de (C ), et [PB] un diamètre de (C ). 1. Prouver que (OO ) est parallèle à (MP). 2. Prouver que MBA est un triangle rectangle. 3. Démontrer que les points M,A,P sont alignés (aide : prouver que MAP = 180 ). Bonus : prouver que (OO ) est la médiatrice de [AB] (on appelle I le milieu de [AB], prouver entre autre que (OO ) passe par I ). Exercice 4 Construire un triangle ABC tel que AB < AC < BC. Tracer la droite perpendiculaire à (BC) passant par A. Elle coupe (BC) en H. Placer les points I,J,K, milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB]. Coder la figure. 1. Démontrer que (KJ) est parallèle à (HI). 2. Démontrer que KH et JI sont égales (aide : vous prouverez qu elles sont égales à une même troisième longueur que l on déterminera ) Exercice 5 M N Prouver que M,N,P,Q appartiennent à un même cercle (on construira le cercle ainsi que son centre). Aide : tracer [QP] Remarque : plusieurs points appartenant à un même cercle sont appelés points cocycliques. Q P
18 Groupe 3 Fiche d exercices Exercice 1 Soit un cercle de centre O de diamètre [BC] et A un point de ce cercle. Tracer le triangle ABC. Soit M le milieu de [AC]. 1. Dans ABC, prouver que (OM) est parallèle à (AB). 2. Démontrer que OA = OC 3. En déduire que O appartient à la médiatrice de [AC], puis que (OM) est la médiatrice de [AC]. 4. Démontrer que (OM)est perpendiculaire à (AC). 5. Déduire des questions 1. et 4. que (AC) est perpendiculaire à (AB), puis que ABC est un triangle rectangle. Outils utilisés (pas tous!) : Tous les points d un cercle sont à égale distance du centre de ce cercle. Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Si un point appartient à la médiatrice d un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Les propriétés de la droite des milieux, des droites parallèles et perpendiculaires (à savoir). Exercice 2 Placer trois points A,B,D dans cette ordre sur une droite (faire une figure suffisamment grande). Tracer le cercle (C) de diamètre [AB], puis le cercle (C ) de diamètre [BD]. Tracer une droite passant par B (non perpendiculaire à (AD)). Cette droite coupe le cercle (C) en E et le cercle (C ) en F. 1. Démontrer que ABE est un triangle rectangle. 2. Démontrer que BFD est un triangle rectangle. 3. En déduire que (FD) est perpendiculaire à (EF). 4. Démontrer que (AE) est parallèle à (DF) (2 étapes de démonstration sont nécessaires). Outils utilisés (pas tous ) : Si un côté d un triangle est aussi un diamètre de son cercle circonscrit, alors c est un triangle rectangle : P 1 Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse : P 2 Définition du triangle rectangle. Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires ( à savoir Exercice 3 Tracer deux cercles (C) et (C ) de centres respectifs O et O, sécants en A et B. Soit [MB] un diamètre de (C ), et [NB] un diamètre de (C ). 1. Dans MPB, prouver que (OO ) est parallèle à (MP). 2. Prouver que MBA est un triangle rectangle. 3. Les points M,A,P sont alignés (aide : prouver que MAP = 180 ).
19 Bonus : prouver que (OO ) est la médiatrice de [AB] (on appelle I le milieu de [AB], prouver entre autre que (OO ) passe par I ). Outils utilisés : Propriétés de la droite des milieux. P 1 et P 2 citées ci-dessus. Définition de la médiatrice d un segment. Exercice 4 Construire un triangle ABC tel que AB < AC < BC. Tracer la droite perpendiculaire à (BC) passant par A. Elle coupe (BC) en H. Placer les points I,J,K, milieux respectifs de [BC], [AC] et [AB]. Coder la figure. 1. Démontrer que (KJ) est parallèle à(ab), puis à (HI). 2. Démontrer que KH et JI sont égales (aide : vous prouverez qu elles sont égales à une même troisième longueur que l on déterminera ) Outils utilisés : Si un triangle est rectangle, la médiane relative à l hypoténuse mesure la moitié de celle-ci. Propriétés de la droite des milieux. Q M P N Exercice 5 1. Que peut-on dire du cercle circonscrit au triangle MNQ? 2. Mêmes questions pour le triangle NQP. 3. En déduire que M,N,P,Q appartiennent à un même cercle (on construira le cercle ainsi que son centre). Aide : tracer [QP]. Outils : Propriétés du triangle rectangle citées dans les exercices précédents. Remarque : plusieurs points appartenant à un même cercle sont appelés points cocycliques.
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Plus en détailLes droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites
I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailCorrection : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailPROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Plus en détailExercices de géométrie
Exercices de géométrie Stage olympique de Bois-le-Roi, avril 2006 Igor Kortchemski Exercices vus en cours Exercice 1. (IMO 2000) Soient Ω 1 et Ω 2 deux cercles qui se coupent en M et en N. Soit la tangente
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détail5 ème Chapitre 4 Triangles
5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du
Plus en détail315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailSéquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire
Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis
Plus en détailLa géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
Plus en détailCONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailSéquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire
Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,
Plus en détailEXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2
EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser
Plus en détailExercice numéro 1 - L'escalier
Exercice numéro 1 - L'escalier On peut monter un escalier une ou deux marches à la fois. La figure de droite montre un exemple. 1. De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de une marche?
Plus en détailLe seul ami de Batman
Le seul ami de Batman Avant de devenir un héros de cinéma en 1989, Batman est depuis plus de 50 ans un fameux personnage de bandes dessinées aux États-Unis. Il fut créé en mai 1939 dans les pages de Détective
Plus en détailPARTIE NUMERIQUE (18 points)
4 ème DEVOIR COMMUN N 1 DE MATHÉMATIQUES 14/12/09 L'échange de matériel entre élèves et l'usage de la calculatrice sont interdits. Il sera tenu compte du soin et de la présentation ( 4 points ). Le barème
Plus en détailChapitre. Conquérant est une toile de 1930 qui se trouve au Centre Paul Klee à Berne (Suisse). Paul Klee (1879-
Chapitre 9 REVOIR > les notions de points, droites, segments ; > le milieu d un segment ; > l utilisation du compas. DÉCOUVRIR > la notion de demi-droite ; > de nouvelles notations ; > le codage d une
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailSommaire de la séquence 10
Sommaire de la séquence 10 Séance 1........................................................................................................ J étudie un problème concret................................................................................
Plus en détailUN TOURNOI A GAGNER ENSEMBLE
UN TOURNOI A GAGNER ENSEMBLE Ce tournoi réunit 3 classes de CM1, CM2 et 6, chaque équipe essaye de réussir le plus grand nombre possible des 82 exercices proposés. Objectifs généraux : Pour les 6, accueillir
Plus en détailEté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES
Eté 2015 LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Destiné aux élèves entrant en Seconde au Lycée Honoré d Estienne d Orves Elaboré par les professeurs de mathématiques des collèges et lycées du secteur Une
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailDevoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés :
LM323 Envoi 2 2009-2010 Contenu de cet envoi Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigé du devoir 1. Un exercice de révision sur le chapître 1. Exercices sur l inversion. Corrigés
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailDurée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
Plus en détailCh.G3 : Distances et tangentes
4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 1 sur 14 1 DISTC D U PIT À U DRIT Ch.G3 : Distances et tangentes 1.1 Définition ex 1 DÉFIITI 1 : Soit une droite et un point n'appartenant pas
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailDeux disques dans un carré
Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................
Plus en détail«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.
«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.» Léonard de Vinci MATHEMATIQUES Les mathématiques revêtaient un caractère particulier
Plus en détailPriorités de calcul :
EXERCICES DE REVISION POUR LE PASSAGE EN QUATRIEME : Priorités de calcul : Exercice 1 : Calcule en détaillant : A = 4 + 5 6 + 7 B = 6 3 + 5 C = 35 5 3 D = 6 7 + 8 E = 38 6 3 + 7 Exercice : Calcule en détaillant
Plus en détailChapitre 2 : Vecteurs
1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous
Plus en détailLa médiatrice d un segment
EXTRT DE CURS DE THS DE 4E 1 La médiatrice d un segment, la bissectrice d un angle La médiatrice d un segment Définition : La médiatrice d un segment est l ae de smétrie de ce segment ; c'est-à-dire que
Plus en détailTrois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur
29=30 Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur leur amène une addition de 30 francs. Les trois personnes décident de partager la facture en trois, soit 10 francs chacun. Le serveur rapporte
Plus en détailBrevet 2007 L intégrale d avril 2007 à mars 2008
Brevet 2007 L intégrale d avril 2007 à mars 2008 Pondichéry avril 2007................................................. 3 Amérique du Nord juin 2007......................................... 7 Antilles
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailEXAMEN : CAP ADAL SESSION 2011 N du sujet : 02.11 SPECIALITE : CEB - GEPER SUJET SECTEUR : FOLIO : 1/6 EPREUVE : EG2 (MATH-SCIENCES)
EXAMEN : CAP ADAL SESSION 20 N du sujet : 02. FOLIO : /6 Rédiger les réponses sur ce document qui sera intégralement remis à la fin de l épreuve. L usage de la calculatrice est autorisé. Exercice : (7
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailGéométrie dans l espace
Géométrie dans l espace Mabrouk Brahim Université Virtuelle de Tunis 2007 Ce cours a pour objet la présentation des différents concepts de la géométrie de l espace comme une continuation de ceux vus en
Plus en détailLivret de liaison Seconde - Première S
Livret de liaison Seconde - Première S I.R.E.M. de Clermont-Ferrand Groupe Aurillac - Lycée Juin 2014 Ont collaboré à cet ouvrage : Emmanuelle BOYER, Lycée Émile Duclaux, Aurillac. Patrick DE GIOVANNI,
Plus en détailTriangles isométriques Triangles semblables
Triangles isométriques Triangles semblables Les transformations du plan ont permis de dégager des propriétés de figures superposables. Le théorème de Thalès a permis de s initier aux notions de réduction
Plus en détailLe contexte. Le questionnement du P.E.R. :
Le contexte Ce travail a débuté en janvier. Le P.E.R. engagé depuis fin septembre a permis de faire émerger ou de réactiver : Des raisons d être de la géométrie : Calculer des grandeurs inaccessibles et
Plus en détailDiviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000
Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000. 23 1 et 2 Pauline collectionne les cartes «Tokéron» depuis plusieurs mois. Elle en possède 364 et veut les
Plus en détail6 ème. Rallye mathématique de la Sarthe 2013/2014. 1 ère épreuve de qualification : Problèmes Jeudi 21 novembre 2013
Retrouver tous les sujets, les corrigés, les annales, les finales sur le site du rallye : http://sarthe.cijm.org I Stéphane, Eric et Christophe sont 3 garçons avec des chevelures différentes. Stéphane
Plus en détailLE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» )
SYNTHESE ( THEME ) FONCTIONS () : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE () : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Plus en détailChapitre 14. La diagonale du carré
Chapitre 4 La diagonale du carré Préambule Examinons un puzzle tout simple : on se donne deux carrés de même aire et on demande, au moyen de quelques découpages, de construire un nouveau carré qui aurait
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détailDévelopper, factoriser pour résoudre
Développer, factoriser pour résoudre Avec le vocabulaire Associer à chaque epression un terme A B A différence produit A+ B A B inverse quotient A B A opposé somme Écrire la somme de et du carré de + Écrire
Plus en détail4G2. Triangles et parallèles
4G2 Triangles et parallèles ST- QU TU T SOUVINS? 1) On te donne une droite (d) et un point n'appartenant pas à cette droite. vec une équerre et une règle non graduée, sais-tu construire la parallèle à
Plus en détailMAT2027 Activités sur Geogebra
MAT2027 Activités sur Geogebra NOTE: Il n est pas interdit d utiliser du papier et un crayon!! En particulier, quand vous demandez des informations sur les différentes mesures dans une construction, il
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailDu Premier au Second Degré
Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse
Plus en détailSÉQUENCE 4 Séance 1. Séquence. Je revise les acquis de l école 1) c) 2) a) 3) d) 4) c) Exercice 1
c Séquence 4 Ce que tu devais faire Je revise les acquis de l école 1) c) 2) a) 3) d) 4) c) Exercice 1 SÉQUENCE 4 Séance 1 Les commentaires du professeur 1) Pour calculer combien Paul dépense, on effectue
Plus en détailProblèmes de dénombrement.
Problèmes de dénombrement. 1. On se déplace dans le tableau suivant, pour aller de la case D (départ) à la case (arrivée). Les déplacements utilisés sont exclusivement les suivants : ller d une case vers
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détailÉVALUATION EN FIN DE CM1. Année scolaire 2014 2015 LIVRET DE L'ÉLÈVE MATHÉMATIQUES
ÉVALUATION EN FIN DE CM1 Année scolaire 2014 2015 LIVRET DE L'ÉLÈVE MATHÉMATIQUES NOM :....... Prénom :....... Né le :./../ École :............ Classe : Domaine Score de réussite NOMBRES ET CALCUL GÉOMÉTRIE
Plus en détailConstructions au compas seul, complément
Constructions au compas seul, complément Jean-Pierre Escofier et Jean-Michel Le Laouénan Nous ajoutons une ramification au chapitre V du livre Théorie de Galois, Jean-Pierre Escofier, Dunod, 2004 : quelques
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailConstruction de la bissectrice d un angle
onstruction de la bissectrice d un angle 1. Trace un angle. 1. 2. Trace un angle cercle. de centre (le sommet de l angle) et de rayon quelconque. 1. 2. 3. Trace Le cercle un angle cercle coupe. de la demi-droite
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailSommaire de la séquence 12
Sommaire de la séquence 12 Séance 1................................................................................................... 367 Je redécouvre le parallélépipède rectangle..........................................................
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailRessources pour la classe de seconde
Mathématiques Lycée Ressources pour la classe de seconde - Fonctions - Ce document peut être utilisé librement dans le cadre des enseignements et de la formation des enseignants. Toute reproduction, même
Plus en détailFonction quadratique et trajectoire
Fonction quadratique et trajectoire saé La sécurité routière On peut établir que la vitesse maimale permise sur une chaussée mouillée doit être inférieure à celle permise sur une chaussée sèche La vitesse
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailClasse de troisième. Exercices de Mathématiques
lasse de troisième Exercices de Mathématiques 2 hapitre I : Révision d algèbre 1 alculer : = 21 7 + 2 4 21 = 7 2 1 5 2 = 84 17 4 27 5 2 D = 4 9 2 + 25 9 10 E = 7 12 (1 9 + 18 7 ) F = 12 7 2 5 + 8 5 2 Soit
Plus en détailPROPORTIONNALITÉ LES ÉCHELLES. Dossier n 2 Juin 2005. Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE
PROPORTIONNALITÉ LES ÉCHELLES 0 000 000 Dossier n 2 Juin 2005 Tous droits réservés au réseau AGRIMÉDIA Conçu et réalisé par : Marie-Christine LIEFOOGHE Bruno VANBAELINGHEM Annie VANDERSTRAELE C.D.R. AGRIMEDIA
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détail2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh
2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailThème 17: Optimisation
OPTIMISATION 45 Thème 17: Optimisation Introduction : Dans la plupart des applications, les grandeurs physiques ou géométriques sont exprimées à l aide d une formule contenant une fonction. Il peut s agir
Plus en détailEVALUATIONS FIN CM1. Mathématiques. Livret élève
Les enseignants de CM1 de la circonscription de METZ-SUD proposent EVALUATIONS FIN CM1 Mathématiques Livret élève Circonscription de METZ-SUD page 1 NOMBRES ET CALCUL Exercice 1 : Écris en chiffres les
Plus en détailProposition de programmes de calculs en mise en train
Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.
Plus en détailComment démontrer que deux droites sont perpendiculaires?
omment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? Utilisons On sait que (hypothèses) or...(propriété, définition) donc...(conclusion) Réciproque de Pythagore,5 1,5 = + Si dans un triangle le carré
Plus en détailcent mille NOMBRES RELATIFS ET REPÉRAGEȘ 1 Chapitre 3 Notion de nombre relatif Comparaison Repérage sur une droite et dans le plan Calcul littéral
Chapitre 3 cent NOMBRS 5 T RPÉRAGȘ RLATIFS Notion de nombre relatif 3 Comparaison 9 mille Repérage sur une droite et dans le plan Calcul littéral ACTIVITÉS USAG DS NOMBRS RLATIFS ACTIVITÉ Dans la vie quotidienne
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailL AIDE AUX ATELIERS D ARTISTES :
RAPPORT DAVID LANGLOIS-MALLET SOUS LA COORDINATION DE CORINNE RUFET, CONSEILLERE REGIONALE D ILE DE FRANCE L AIDE AUX ATELIERS D ARTISTES : PROBLÉMATIQUES INDIVIDUELLES, SOLUTIONS COLLECTIVES? DE L ATELIER-LOGEMENT
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailpoint On obtient ainsi le ou les points d inter- entre deux objets».
Déplacer un objet Cliquer sur le bouton «Déplacer». On peut ainsi rendre la figure dynamique. Attraper l objet à déplacer avec la souris. Ici, on veut déplacer le point A du triangle point ABC. A du triangle
Plus en détailExercice n o 54 : Tracer le graphique d une fonction
Eercice n o 54 : Tracer le graphique d une fonction G- Pour chaque fonction donnée dans les problèmes à 6 : a) Dessine le graphique correspondant. b) Indique le domaine et l'image. c) Évalue f(0). d) Trouve
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailCOMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?
Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire
Plus en détail1 Définition. 2 Systèmes matériels et solides. 3 Les actions mécaniques. Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..
1 Définition GÉNÉRALITÉS Statique 1 2 Systèmes matériels et solides Le système matériel : Il peut être un ensemble.un sous-ensemble..une pièce mais aussi un liquide ou un gaz Le solide : Il est supposé
Plus en détailNotion de fonction. Série 1 : Tableaux de données. Série 2 : Graphiques. Série 3 : Formules. Série 4 : Synthèse
N7 Notion de fonction Série : Tableaux de données Série 2 : Graphiques Série 3 : Formules Série 4 : Synthèse 57 SÉRIE : TABLEAUX DE DONNÉES Le cours avec les aides animées Q. Si f désigne une fonction,
Plus en détail