CHAPITRE 9 GÉOMÉTRIE

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1 CHAPITRE 9 GÉOMÉTRIE A) Le triangle (Rappels) 1) Droites et points remarquables a) Médianes et centre de gravité Les médianes sont les droites issues des sommets et passant par le milieu du côté opposé à ce sommet. Les médianes d un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité, G. G est situé aux /3 de chaque médiane. AG GA BG GB CG GC b) Hauteurs et Orthocentre Les hauteurs d un triangle sont les droites issues des sommets et perpendiculaires au côté opposé. (AE) (BC) (BF) (AC) Page 1/1 (CD) (AB)

2 Les hauteurs d un triangle sont concourantes, leur point d intersection est l orthocentre O. c) Bissectrices et cercle inscrit Les bissectrices d un triangle sont Les droites issues des sommets qui partagent l angle du sommet en deux angles égaux. Les bissectrices d un triangle sont concourantes, et leur point d intersection est le centre I du cercle inscrit : IP IQ IR, où les points P, Q et R sont obtenus en traçant depuis I les perpendiculaires aux côtés du triangle : (IP) (BC), (IQ) (AB) et (IR) (AC). d) Médiatrices et cercle circonscrit Les médiatrices d un triangle sont les droites passant par les milieux des côtés et perpendiculaires à ces côtés. Les médiatrices d un triangle sont concourantes et leur point d intersection est le centre du cercle circonscrit : OA OB OC. Page /1

3 e) Exemples d application I) Tracer le triangle ABC avec AB cm, BC 4cm et AC 5cm II) Tracer les médianes (AK), (BJ) et (CI), vérifier qu elles sont concourantes en G. III) Vérifier que G est aux /3 de chaque médiane en mesurant AG, AK, BG, BJ,CG et CI IV) Tracer un parallélogramme ABCD, et I et J milieux de [AB] et [AD]. V) Tracer (BJ), (DI) et AC. Ces trois droites sont concourantes : pourquoi? Prouvez-le! Indication : Les diagonales d un parallélogramme se coupent en leurs milieux! (et a) de la leçon). B) Pythagore et le triangle rectangle 1) Théorème de Pythagore Si ABC est un triangle rectangle en A, alors AB² + AC² BC² Réciproque du théorème de Pythagore : Si ABC est un triangle et que AB² + AC² BC², alors ABC est rectangle en A. ) Triangle rectangle et cercle Si ABC est un triangle rectangle en A, alors A est sur le cercle de diamètre BC. Réciproque : Si A est sur le cercle de diamètre [BC] avec A différent de B et C, alors ABC est un triangle rectangle en A. Page 3/1

4 3) Triangle rectangle et médiane Si ABC est rectangle en A et O le milieu de [BC], alors BC AO. Réciproque : Si ABC est un triangle avec O milieu de [BC] et si BC AO, alors ABC est rectangle en A. 4) Trigonométrie Soit ABC un triangle rectangle en A. a) Sinus, cosinus, tangente et cotangente On aura cos(ĉ) AC / BC, sin(ĉ) AB / BC, tan(ĉ) AB / AC et cotan(ĉ) AC / AB. b) Valeurs remarquables À partir de certaines figures, on peut trouver des valeurs particulières : Triangle rectangle isocèle (45 / 45 / 90 ) AB AC et BC² AB² + AC² AB² d où, toutes ces longueurs étant positives, AB AC BC / cos(45 ) AC / BC 1, et de même : Page 4/1

5 cos(45 ) sin(45 ) tan(45 ) cotan(45 ) 1. Demi-triangle équilatéral (30 / 60 / 90 ) BD DC AC / et AD² + DC² AC² ( DC)² 4 DC², donc AD² 3 DC² et AC² 4 DC² D où on tire DC / AC, AD / AC et AD / DC 3 4 cos(30 ) cos(60 ) 3 1 sin(30 ) sin(60 ) 1 3 tan(30 ) tan(60 ) cotan(30 ) cotan(60 ) C) Thalès et les triangles semblables 1) Théorème des milieux a) Si I est le milieu de [AB] et si (IJ) // (AC), alors J est le milieu de [BC]. b) Réciproque : Si I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC], alors (IJ) // (BC). (même figure) Page 5/1

6 ) Théorème de Thalès Sur cette figure où (AC) // (BD) // (EF), on voit les deux cas de configuration de Thalès, à savoir entre les triangles OBD et OEF (cas 1) et entre les triangles OBD et OAC (cas ). Alors, on aura pour OBD et OEF :. Pour OBD et OAC, on aura : OB OD BD k 1 OE OF EF OB OD BD k. OA OC AC On dit que ces triangles ont leurs côtés proportionnels. De plus, aire(obd) k1 aire(oef) et aire(obd) k aire(oac). Si k < 1, OBD est une réduction de OEF, sinon c est un agrandissement. 3) Réciproque du théorème de Thalès Soit OBD un triangle, M un point de (OB) et N un point de (OD), M et N étant tous les deux, soit du même côté que B et D, soit de l autre côté (cf cas 1 et cas ci-dessus). Alors, si OB OD OM ON De plus, on a alors, alors (MN) // (BD). OB OD BD. OM ON MN Remarques : - le théorème de Thalès généralise le théorème des milieux. - Le théorème de Thalès permet de calculer des distances (hauteur des pyramides ). - Sa réciproque permet de démontrer le parallélisme de deux droites. Page 6/1

7 5) Exemples d applications a) Tracer le parallèle à (AB) passant par C avec seulement une règle graduée. b) Quelle est la hauteur de cet immeuble? b) A quelle distance est ce va a de 6 mètres le long? 6) Les triangles semblables a) Définition Deux triangles sont semblables lorsqu ils ont «la même forme», c est à dire que leurs angles sont égaux deux à deux. Page 7/1

8 Exemples :. ABC et FDE sont semblables car leurs angles sont égaux deux à deux : A, D F B et E C Remarque : Il suffit que les deux triangles aient angles égaux, puisque le troisième angle se déduit des deux autres grâce à la somme des angles 180. aurait suffi. Dans l exemple, D B et E C b) Théorème Lorsque deux triangles sont semblables, les côtés opposés aux angles égaux sont proportionnels AB BC AC k. On appelle k le rapport de similitude (ou de proportionnalité) des deux triangles. FD DE EF De plus, aire(abc) k² aire(fde). Ce théorème est une généralisation du théorème de Thalès. c) Réciproque Lorsque deux triangles ont leurs côtés proportionnels deux à deux avec le même rapport k, ils sont semblables. Ici, il faut que les trois côtés soient proportionnels, contre-exemple facile : Ici, DE DF EF mais on n a pas! Ces triangles ne sont clairement pas semblables. AB AC BC Page 8/1

9 d) Théorème Si deux triangles ont un angle égal et les deux côtés adjacents à cet angle proportionnels, ils sont semblables. 7) Triangles isométriques a) Définition C est le cas particulier des triangles semblables où k 1, c est à dire dont les côtés sont égaux deux à deux. Par conséquent, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux aussi. b) Propriétés I) Si deux triangles ont un angle égal entouré de deux côtés égaux, ils sont isométriques (voir 4) ci-dessus). II) Si deux triangles ont un côté égal entouré de deux angles égaux, ils sont isométriques. En effet, ils sont semblables à cause des deux angles égaux (remarque du 1) et le rapport de proportionnalité ne peut être que 1 puisqu ils ont un côté opposé à un angle égal qui a la même longueur. 8) Exemples a) Trouver les triangles semblables et les triangles isométriques ci-dessous et b) Les triangles ABC et TUV sont tels que A U B T. Écrire les égalités qui en découlent. V, AB BC AC (C UT TV UV ) Page 9/1

10 c) D après cette figure : On admettra que AB CD. et I) Prouver que A C D B II) En déduire que BI DI et AI CI III) Conclure que ABD et CDB sont isométriques IV) Prouver qu (OI) et (AC) sont perpendiculaires Indice : chercher la nature des triangles AIC et AOC. D) Les angles 1) Somme des angles d un triangle La somme des angles d un triangle est toujours de 180. ) Somme des angles d un polygone Dans le polygone ABCDE (5 sommets et 5 côtés, soit un pentagone), il suffit de tracer le triangle BED pour s apercevoir que la somme des angles de ABCDE sera la somme des angles des triangles ABE, BED et BCD, soit 3 * De même on peut prouver que la somme des angles d un polygone à n côtés vaut (n ) * 180 degrés. 3) Angles opposés par le sommet Deux angles opposés par le sommet sont égaux. Page 10/1

11 3) Angles alternes-internes, alternes-externes et angles correspondants LAD et CDF sont des angles correspondants Si (AB) // (CD), ils sont égaux. DAB et CDA sont des angles alternes internes Si (AB) // (CD), ils sont égaux. KAB et CDF sont des angles alternes externes Si (AB) // (CD), ils sont égaux. Théorème : Si (AB) // (CD), on a donc LAD CDF, DAB CDA et KAB CDF. Réciproquement : Si LAD CDF ou DAB CDA ou KAB CDF, alors (AB) // (CD) 4) Angles inscrits, angles au centre Soit un cercle de centre O, A et B sur le cercle, M et N sur le cercle "intercalés" par rapport à A et B. Page 11/1

12 . Si M est hors de l angle AOB, on aura AMB AOB / (ici, / ). On dit que l angle inscrit est égal à la moitié de l angle au centre.. Si N est dans l angle AOB, alors on aura ANB 180 AOB / (ici, / ). Ceci étant vrai quelle que soient les positions dans le cercle de M et N, cela veut aussi dire que l angle obtenu sur une corde à partir d un point du cercle est constant pour tout point à l extérieur de la corde et pour tout point à l intérieur (mais ave deux valeurs complémentaires). Page 1/1

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