Analyse des données: Pièces de 1 cent: données des années précédentes

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1 Analyse des données: Pièces de 1 cent: données des années précédentes 1

2 Tableau 1 Données brutes - tableau partiel, > 1500 pièces Tableau 1. Compteur Étude portant sur les masses de pièces de monnaie canadienne de 1 cent. TP1, module 2 Code de l'étudiant Année de frappe État de la pièce diamètre/ mm épaisseur /mm masse/g 1 p t.o p t.o p t.o p l.o p n p o p l.o p n p l.o p n p o p t.o p t.o p o p t.o p l.o p n p l.o p n p n

3 Analyse des résultats Trois objectifs: Établissement du nombre de chiffres significatifs d une valeur et intervalle de confiance Comparaison des résultats Choix du meilleur modèle mathématique pour représenter un ensemble de données expérimentales: moyenne, droite (m et b), autre modèle 3

4 Analyse tableau 1: Moyenne Avec Excel Utilitaire d analyse: sous l onglet «Outils» Si l utilitaire n est pas présent, ouvrir «macros complémentaires» et cocher l outil «utilitaire d analyse». Choisir «Statistiques descriptives» Trouver la masse moyenne des valeurs du tableau qui se trouvent dans la colonne G, de G8 à G1528 (1521 valeurs) 4

5 Résultats pour la masse = s = s

6 (Nombre de degrés de liberté) (Niveaux de confiance) N.B.: pour le calcul de l intervalle de confiance, 6 le nombre de degrés de liberté = n - 1

7 Oui ou non? La moyenne calculée doit bien représenter l ensemble des données Qu est la moyenne mathématique? Une évaluation de la valeur vraie, µ, de la population des valeurs possibles. Ces valeurs possibles supposent qu il n y a qu une vraie valeur et que les mesures sont distribuées normalement. Bonne conclusion? 7

8 Tableau 1: Moyenne Quand peut-on faire une moyenne? Comment vérifier si une distribution est une distribution normale? Calcul des probabilités Comparer la probabilité empirique à la probabilité calculée avec les paramètres de la distribution, moyenne et variance Droite de Henry La droite de Henry est une méthode graphique pour ajuster une distribution gaussienne à celle d'une série d'observations (d'une variable numérique continue). En cas d'ajustement, elle permet de lire rapidement la moyenne et l'écart type d'une telle distribution. 8

9 Loi normale La valeur de y dans cette fonction représente, en principe, le nombre de résultats ayant une valeur x, divisé par le nombre total de résultats observés. C'est la probabilité d'obtenir le résultat «x». L'équation est valable lorsque le nombre d'observations est très grand, soit n. 9

10 Loi normale Si le nombre de résultats possibles est infini, chacun des résultats a une probabilité d'occurrence nulle. Une courbe continue représente une densité de probabilité plutôt qu'une probabilité. La probabilité est obtenue en mesurant la surface sous la courbe donnant la densité de probabilité entre deux valeurs a et b (ex. entre x=-1 et x=-2 sur le graphique à droite). 10

11 Probabilités empiriques On peut construire un graphique des probabilités empiriques d occurrence d une valeur d intervalle en fonction de la valeur centrale de l intervalle (e.g. si la probabilité qu une valeur soit dans l intervalle [2,225 à 2,235] est 0,066, la valeur est mise en graphique au point central 2,23g ) 11

12 Calcul des probabilités empiriques 12

13 Calcul des probabilités empiriques 13

14 Calcul des probabilités empiriques 14

15 Calcul des probabilités empiriques 15

16 Distribution des probabilités en fonction des masses Valeurs A

17 Distribution calculée avec loi normale y s 2 e ( x x ) / 2s x g s = g Diapo #5 17

18 Conclusions 18

19 Masses vs. année de frappe 19

20 Composition pièce de 1cent Source: Wikipedia Penny (Canadian coin) 20

21 Masses vs. année de frappe 21

22 Masses vs. année de frappe: mise en graphique 22

23 Observations Les pièces de 2003 semblent différentes des pièces des autres années de 1997 à Voir la diapo 21. Comment tester si les masses des pièces de 2003 sont différentes de celles des autres années entre 1997 et 2006? 23

24 Comparaison des données 24

25 Statistiquement égaux. 25

26 Comparaison de données L un ou l autre des tests «t» suivants permet de comparer deux moyennes: Le premier suppose que les variances sont statistiquement égales Le second est utilisé quand les variances ne sont pas statistiquement égales Donc tester d abord si s 12 = s 2 2 t calcul é t calcul é x s 1 x groupé x s n 1 2 x 2 s n n1n 2 n n

27 Comparaison des variances Utiliser test F Variance de l échantillon 2003: (s 12 ); n 1 = 65 Variance de l échantillon sans 2003: (s 22 ); n 2 = 733 F = s 12 /s 2 2 (où s 1 > s 2 ) F = / = 5.93 F critique = 1.00 (voir diapo #28) F > F critique donc s 1 2 s

28 Tableau des valeurs critiques pour F F = s 12 /s 2 2 (où s 1 > s 2 ) 28

29 Test «t» t calcul é x s n 1 x s n 2 t calcul é t calcul é

30 Test «t» Nombre de degrés de liberté = (s 2 1 / n 1 s 2 2 / n 2 ) 2 (s 2 1 / n 1 ) 2 n 1 1 (s 2 2 / n 2 ) 2 2 n / / / /

31 (Nombre de degrés de liberté) (Niveaux de confiance) N.B.: pour le calcul de l intervalle de confiance, 31 le nombre de degrés de liberté = n - 1

32 Test «t» t calculé (= ) > t Student (= 2.000) CONCLUSION: Les masses des pièces de 2003 sont différentes de celles des autres années entre 1997 et

33 Comment vérifier si un échantillon de données suit une distribution normale? Données: 109, 89, 99, 99, 107, 111, 86, 74, 115, 107, 134, 113, 110, 88, 104 (n=15) = 100 x fréq. cumulative/(n+1) 33

34 Données d une distribution normale courbe en forme de «S» Données à la diapo 33 34

35 Droite de Henry Faire le graphique des valeurs de % fréquence cumulative en fonction des valeurs x i sur un papier graphique de probabilité (papier gausso-arithmétique). 35

36 Droite de Henry Données à la diapo 33 36