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1 hapitre. Dérivées hapitre Le programme ontenus Modalités ommentaires Notions de fonction dérivée Nombre dérivés en a des fonctions de référence. Dérivée des fonctions de référence. Dérivée d une somme de deu fonctions et du produit d une fonction par un nombre réel. Position de la courbe par rapport à une tangente. Dans tous les autres cas où elle serait utile, la fonction dérivée sera fournie. On pourra observer graphiquement le fait que la courbe est au-dessous, au-dessus, traverse sa tangente et savoir l interpréter pour un problème de la vie courante. Sens de variation d une fonction numérique sur un intervalle I = [a ; b] Recherche d etremums : modélisation de quelques situations faisant intervenir des etremums de fonctions simples. Savoir faire le lien entre le signe du coefficient directeur de la tangente et le sens de variation de la fonction, puis entre le signe de la dérivée et le sens de variation de la fonction. Déduire de la lecture d un tableau de variation l eistence d un minimum ou d un maimum d une fonction sur un intervalle donné. Toute théorie est hors programme. Il sera uniquement question de lecture et d interprétation du tableau de variation et la représentation graphique. Associer un tableau de variation à une courbe donnée et associer une courbe à un tableau de variation donné. On étudiera des fonctions issues des domaines médical, social Nos objectifs Les élèves abordent dans ce chapitre la notion de fonction dérivée. Ils apprennent à «manipuler» et à utiliser les fonctions dérivées. Les problèmes sont aussi l occasion de retrouver des notions vues en re.

2 hapitre Activités et applications. Dérivées et fonctions de référence Activité. f (a) est le coefficient directeur de la tangente à au point A.. a) f ( ) = ; f () = ; f () = et f =. b) L équation f () = est équivalente à =, soit =. Au point d abscisse, le coefficient directeur de la tangente à est égal à. Application. f () =. T : = ; T : =. Application. On constate graphiquement que g ne semble pas posséder de tangente parallèle à l ae des abscisses.. Par le calcul : pour tout de ] ; ], f () =. L équation f () = est équivalente à = ; cette équation n a pas de solution ; il n eiste donc pas de tangente à g de coefficient directeur égal à.. Opérations sur les fonctions dérivables Activité. u () = ; v () =.. a) Tracé calculatrice. b) m = u (,) v (,) =. En plaçant une petite règle sur l écran de la calculatrice on visualise la tangente à au point d abscisse, ; on constate qu elle apparaît parallèle à la droite d équation =. f (,) étant le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse,, on en déduit que f (,) = u (,) v (,). c) Même principe avec m =.. g ( ) = u ( ) = et g () = u () = 6. Application. f est dérivable sur [ ; ] et f () =.. g est dérivable sur [, ;,] et g () =.. h est dérivable sur [ ; ] et h () =.. Dérivée, sens de variation et etremums d une fonction. Activité f(). Sur un intervalle où, pour tout, f () >, f est strictement croissante ; sur un intervalle où, pour tout, f () <, f est strictement décroissante. Application. f() =. f est dérivable sur [ ; ] ; f () = 6 ; f () = ( ). Signe de f () : f () Tableau de variation de f : f () f() f admet un minimum local égal à, en. f admet un maimum local égal à 6, en.. g() = ( ) =. g est dérivable sur [ ; ] ; g () = ( ). Tableau de variation de f : g () g() f () 8 g admet un minimum local égal à, en.. h() =., 6 8,

3 hapitre h est dérivable sur [ ; 6] ; h () =. Pour tout de [ ; 6], h () <. Tableau de variation de h : Eercices d entraînement indique que l eercice est corrigé dans le livre élève.. Pour tout de [, ; ], f () =.. f () = et f () =. Le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse est égal à et le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse est égal à.. f () =. f ( ) =, donc le coefficient directeur de T est égal à.. f (,) = 6,7, donc le coefficient directeur de T est égal à 6,7.. f () =.. f () = et f() =. L équation réduite de T est = p ; on a = p ; p =. Donc, T a pour équation =. h () h(). f () =. 6. f () = et f() =. L équation de la tangente est = p ; on a = p ; p =. Soit l équation réduite de la tangente : = Vérification à la calculatrice. 6 7 Eercice résolu dans le livre de l élève.. f ( ) est le coefficient directeur de T ; on lit f ( ) =.. f () =, donc on a : f ( ) = ; ce qui vérifie le résultat précédent. 8 f () est le coefficient directeur de T ; on lit f () =. De plus, f () =. T : =. 9 f () =. On a f () = et f ( ) =. f () = f ( ), donc les tangentes à au points d abscisses et sont parallèles. f () =. On a f ( ) =, donc le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse est égal à.. Vrai.. Fau ; le coefficient directeur de la tangente à g au point d abscisse est g ( ) =.. Vrai.. Vrai.. Fau ; g () =. 6. Fau ; tous les points de f d abscisses strictement négatives ont une tangente de coefficient directeur strictement négatif. 7. Vrai. 8. Vrai. 6 f () =. f () = équivaut à =. ette équation n a pas de solution ; on en conclut qu il n eiste pas de tangente à dont le coefficient directeur est égal à.. f () = ; >.. On résout l équation f () =, successivement équivalente à = ; = ; = ; =. De plus, f =. Au point de coordonnées ;,

4 hapitre possède une tangente de coefficient directeur égal à. f () =. On résout l équation f () = successivement équivalente à : = ; = ; = ou =. f = et f =. Au points de coordonnées ; et ;, possède une tangente de coefficient directeur égal à f () =. f () = 7. f () =. f () =. f () =. f () = 6. f () =. f () =. f () =. f () = 8. f () =. f () =. f () =. f () =. 6 f () =. f () = f () = f () =. f () =. f () =. f () =. f () =. f () =. f () =. f () =. f() =, donc f () =. f() = 8, donc f () = 8 8. f() =, donc f () = 6. f () = 6 6, donc f () = f () = 8 8, donc f () = 8. f () =, donc f () =. f () =, donc f () =. f () =. f () f() f présente un minimum local égal à, en.

5 hapitre f () = 6. f présente un maimum local égal à, en. f () = 8. f présente un minimum local égal à, en. f () = 6 6. f () = 6( ). f présente un minimum local égal à, en, et un maimum local égal à, en. f () = = ( ). f ne présente pas d etremum local sur I. 6 f () f() f () f() f () f() f () f() f () = 6 9 = ( ). f () f() f ne présente pas d etremum local sur I. ( )( ) 7 f () = = ; f () =. f présente un minimum local égal à, en. ( )( ) 8 f () = = ; f () =. f présente un minimum local égal à, en,. 9 6 f () f() f () f() f () =. f () f() f ne présente pas d etremum local sur I. 6 f () =. 6 f (), f() f ne présente pas d etremum local sur I. 6 f () =. f () f(),,,, 8,,8 8 7,7 6

6 hapitre f ne présente pas d etremum local sur I. 6 f () =. f ne présente pas d etremum local sur I. 6 f () =. f ne présente pas d etremum local sur I f () =.. Le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse est f () =.. ( ) = = =. Ainsi, f () = ( ). Tableau de signe de f () : D où le tableau de variation de f : f () f() f () f() f () f() f () 9. Tracé sur l écran de la calculatrice f () = f () = 6 et f () = ; T : = = Tableau de signe de f : = 6, donc f () = 6. D où le tableau de variation de f : Eercice résolu dans le livre de l élève.. Tracé sur l écran de la calculatrice... f () =. 7.. f () =. 7 f () f() f () f () f () 8 f () f () 6 7 6

7 hapitre 7 7 tj O ti Au point d abscisse, traverse sa tangente : pour les abscisses inférieures à, est au-dessous de sa tangente et pour les abscisses supérieures à, est au-dessus de sa tangente. Au points d abscisses et,, est au-dessus de sa tangente. 8. f () =.. Pour tout de [ ; ], f () >. f () f() tj O ti tj O ti. Tracé sur l écran de la calculatrice.. Au point d abscisse, est au-dessous de sa tangente. Au point d abscisse, traverse sa tangente : pour les abscisses négatives, est au-dessous de sa tangente et pour les abscisses positives, est au-dessus de sa tangente. Au points d abscisses et,, est au-dessus de sa tangente. 8. a) Pour tout point d abscisse a de [ ; [, est au-dessous de sa tangente. b) traverse sa tangente au point d abscisse : pour les abscisses négatives, est au-dessous de sa tangente et pour les abscisses positives, est au-dessus de sa tangente. c) Pour tout point d abscisse a de ] ; ], est audessus de sa tangente.. a) Le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse a est supérieur au coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse b. b) Le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse a est inférieur au coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse b Eercice résolu dans le livre de l élève. Au point d abscisse,, est au-dessous de sa tangente. Au point d abscisse, est au-dessous de sa tangente. 8 f est associée à la courbe A ; f est associée à la courbe ; f est associée à la courbe D ; f est associée à la courbe B. 8 g est associée au tableau ; g est associée au tableau A ; g est associée au tableau B ; g est associée au tableau D. 7

8 hapitre 8. f présente un minimum local égal à, en et un maimum local égal à, en.. Le minimum de f sur I est, atteint en ; le maimum de f sur I est 7, atteint en f présente un minimum local égal à, en.. Le minimum de f sur I est, atteint en ; le maimum de f sur I est, atteint en. 87. f présente un minimum local égal à, en et un maimum local égal à, en.. Le minimum de f sur I est, atteint en ; le maimum de f sur I est, atteint en. 88. f n a pas d etremum local sur I.. Le minimum de f sur I est, atteint en ; le maimum de f sur I est, atteint en. 89. f présente un minimum local égal à, en et un maimum local égal à, en.. Le minimum de f sur I est, atteint en ; le maimum de f sur I est, atteint en et en. 9. f présente un minimum local égal à, en. f présente un maimum local égal à, en et un autre maimum local égal à, en.. Le minimum de f sur I est, atteint en et en ; le maimum de f sur I est, atteint en et en. Je fais le point Savez-vous déterminer et utiliser la dérivée d une fonction de référence? Énoncé. f () =.. Le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse est f =. Énoncé. f () =.. Le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse est f =. Savez-vous calculer la dérivée d une fonction? Énoncé f () = et g () = 6. Énoncé f () = et g () =. Savez-vous étudier le sens de variation et déterminer les éventuels etremums locau d une fonction en utilisant sa dérivée? Énoncé ( )( ) f () = = ; f () =. f présente un minimum local égal à, en. Énoncé ( ) ( ) f () = = ; f () =. f présente un minimum local égal à, en. Activités guidées 9 AG f () f() f () f(),. a) f () =. b) Pour tout, >, donc f () <.. a) Pour tout de ] ; [, f () <, donc f est strictement décroissante sur ] ; [. Pour tout de ] ; [, f () <, donc f est strictement décroissante sur ] ; [.,, 8

9 hapitre b) Tracé sur la calculatrice. c) f n est pas strictement décroissante sur ] ; [ ] ; [. (Par eemple, < et f( ) < f().) L ensemble ] ; [ ] ; [, réunion des intervalles ] ; [ et ] ; [ n est pas un intervalle. 9 AG. f () =.. a) f (a) = a et f(a) = a. T A a pour équation réduite = a p. T A passe par le point de coordonnées (a ; a ), donc on a : a = a a p ; soit : p = a a p = a. Ainsi T A : = a a. b). a) Les tangentes, en créant une «sorte d enveloppe», permettent de visualiser l allure de la courbe.. a) Tracé sur la calculatrice. b) g est la courbe représentative de la fonction g définie sur [ ; ] par g() =. 9 a,,,,, T A : =,,,,,6,9,8,6, a,6,7,8,9 T A : =,,6,,9,6,6,8,8 AG. a) f (a) = a. f () =, donc f (a) = a. b) L équation réduite de T est : = a p. On a a = a a p ; p = a. Ainsi, T : = a a..,. et. ette activité peut permettre une mise en évidence du caractère local de la notion de position d une courbe par rapport à sa tangente en un point, et ainsi l occasion de commenter le «Le saviez-vous» de la page du livre élève : pour d éventuelles valeurs de a plus proches de que,, par eemple,, on pourra considérer un intervalle de moindre amplitude, par eemple en remplaçant, par, dans les cellules A et A, puis réitérer la démarche pour des valeurs de a encore plus proches de.. Pour tout point d abscisse a de [ ; [, est au-dessous de T. traverse sa tangente au point d abscisse ; pour les abscisses négatives, est au-dessous de et pour les abscisses positives, est au-dessus de T. Pour tout point d abscisse a de ] ; ], est audessus de T. 9 AG. a) f (a) = a a. f () =, donc f (a) = a. b) L équation réduite de T est : = ( a ) p. On a : a a = ( a )a p ; p = a. Ainsi, T : = ( a ) a..,. et. 9

10 hapitre omme l AG, cette activité peut permettre une mise en évidence du caractère local de la notion de position d une courbe par rapport à sa tangente en un point, et ainsi l occasion de commenter le «Le saviez-vous» de la page du livre élève : pour d éventuelles valeurs de a plus proches de que,, par eemple,, on pourra considérer un intervalle de moindre amplitude, par eemple en remplaçant, par, dans les cellules A et A, puis réitérer la démarche pour des valeurs de a encore plus proches de.. Pour tout point d abscisse a de [ ; [, est au-dessus de T. traverse sa tangente au point d abscisse ; pour les abscisses négatives, est au-dessus de T et pour les abscisses positives, est au-dessous de T. Pour tout point d abscisse a de ] ; ], est audessous de T. 9 AG. a) f ( ) = ; f ( ) = ; f () = ; f () = et f () =. b) et c). f () f() 9. T : =.. a) ( )( ) =. b) f() = équivaut à ( )( ) =, soit = ou =. coupe l ae des abscisses pour = et pour =. c) ( )( ) Pour tout de [ ; [ ] ; ], est au-dessus de l ae des abscisses. Pour tout de ] ; [, est au-dessous de l ae des abscisses.. ej O ei. a) f () =. b) Tracé sur l écran de la calculatrice. tj O ti T Problèmes 96. Réponse c).. Réponse a).. Réponse a). 97. Réponse b).. Réponse c).. Réponse c).. Réponse a). 98. f () =. 99. f() = ; f() =. f () est le coefficient directeur de T, donc f () =.. f (). f() = équivaut à c =. f() = équivaut à a b =. f () = a b. f () = équivaut à a b =. 6

11 hapitre a b = D où le sstème : a b = c = a = ; b = ; c =. f() =.. f () est le coefficient directeur de T, on lit f () =. Par le calcul : f () = ; f () =.. On résout l équation f() =, successivement équivalente à = ; ( ) = ; ( )( ) =. Les solutions sont, et. On rejette = qui n appartient pas à [ ; ]. Ainsi, coupe l ae des abscisses au points de coordonnées ( ; ) et ( ; ).. f est strictement croissante sur [, ; 7].. coupant l ae des abscisses pour =,, la solution de l équation f () = est,.. f() =. f () = =. Or ( ) ( ) = ( )( ) = =. ( ) ( ) Donc f () =.. f () =, donc admet une tangente parallèle à l ae des abscisses en =.. Sur [, ; 7], ( ) et >, donc f () a le même signe que. 6. Au point d abscisse,, est située au-dessous de sa tangente ; au point d abscisse, traverse sa tangente et au point d abscisse, est située audessus de sa tangente. f () f(), 9,8 Partie A. a) f (t) =,t,. b) f (t) est nul pour t = et puisque, >, f (t) < pour t <, donc pour tout t de [; ], f (t) <. 7 7, c). tj Partie B. a) coupe la droite d équation = pour t = ; la quantité de médicament présente dans le sang est la moitié de la dose injectée au bout de heures. b) Graphiquement, on peut estimer à % le pourcentage de la quantité de médicament restant dans le sang au bout de heures. f(),7. a) =,6. f() b), (t ) (t ) =, t, t. L équation f(t) = f() est successivement équi- valente à :, t, t = ;, t, t = ;, (t ) (t ) = ; t = ou t = ; t = ou t =. t = n appartient pas à [ ; ] ; la seule solution est t =. f() c),6 % ; on retrouve le résultat de la question.b). La solution sur [ ; ] de l équation f() f(t) = f() permet de retrouver par le calcul le résultat de la question.a). O t f (t) f(t) ti Partie A. f () = 8 7 = ( 6 9) = ( ).. f () f() 7,7 7 9 t 6

12 hapitre. = f() c) Pour que le coût de fabrication n ecède par, il ne faut pas dépasser une production journalière de 7 litres.. a) oût (en euros) = g() f 6 7 Partie B. g() = 9.. Voir le graphique.. h() = g() f(). a) L équation h() = a trois solutions, les nombres, et 6. b) ( )(6 ) = 9 8. h() = = 9 8 = ( 9 8) = ( )(6 ). L équation h() = est équivalente à : ( )(6 ) =. Les solutions sont : ; et position de g par rapport à f L entreprise dégage un bénéfice pour les valeurs de telles que h() >, soit pour < < 6. g au-dessous de f g au-dessus de f g au-dessous de f h() Partie A. a) Pour une production journalière de litres, le coût de fabrication est ; pour 8 litres, 6. b) Un coût de fabrication de correspond à une production journalière de litres b) L entreprise est bénéficiaire pour une production journalière comprise strictement entre litres et 8 litres. Partie B. f () =,, ; f () > sur [ ; ]. f () f(). a) h () = g () f () = 7,,, ; h () =, 6,. h () h() 6, b) Le bénéfice est maimal pour une production journalière de litres ; ce bénéfice est alors égal à 6, euros. Volume (en L) 8 6

13 hapitre Partie A. a) f (t) = 9t t = t ( t). b) t t t t( t) c) t f (t) f(t). t f (t) 8. = f t Partie B. Le nombre de personnes malades est maimal au e jour ; on compte alors malades.. Le nombre de malades est supérieur ou égal à entre le e et le 8 e jour.. b) En tout point d abscisse t de [ ; 7[, est située au-dessus de sa tangente. c) est située au-dessous de sa tangente en tout point d abscisse t de ]7 ; ].. Du jour, correspondant au seuil épidémique, jusqu au 7 e jour, le nombre de cas recensés a augmenté de plus en plus vite ; à partir du 7 e jour, il a augmenté de moins en moins vite. 6

14 hapitre 6 Partie A. f (t) = t 9t 67. Or, (t ) = (t t ) = t 9t 67, donc f (t) = (t ).. Pour tout t de [ ; 7], f (t). t f (t) f(t) T T T 7 t. a) f () = ; f () = et f () = 7. b) Au point d abscisse, est au-dessus de sa tangente ; au point d abscisse, traverse sa tangente et au point d abscisse, est au-dessous de sa tangente. Partie B. (t ) = (t ) (t ) ; (t ) = (t t ) (t ) ; (t ) = t t t t t 7 ; (t ) = t t 67t 7 = f (t).. Le nombre de bactéries à l instant t = est f () = 7.. Le nombre de bactéries a diminué de moitié (à peu près égal à 688) au bout d environ 7 heures. 6

15 hapitre. Le nombre de bactéries devient inférieur à % de sa population initiale ( 7) au bout de heures environ.. Le nombre de bactéries décroît de moins en moins vite jusqu à l instant t = heures, puis décroît de plus en plus vite jusqu à l instant t = 7 heures. 7 Partie A. a) f (t) =,t t = t (t ). b) t f (t) f(t) 7 c) T = t. a) f =. traverse sa tangente au point d abscisse. b) Pour tout point d abscisse t de ; située au-dessus de T., est c) Pour tout point d abscisse t de ;, est située au-dessous de T. Partie B. a) Graphiquement, on lit f (,) 7, ; au bout de heures et quart, il a environ 7, mg de principe actif dans le sang du malade. b) Par le calcul : f (,) 7, arrondi à.. La quantité de principe actif est maimale au bout de heures, soit heures minutes ; la quantité de principe actif est alors égale à 7, mg arrondi à.. De t = à t =, la quantité de principe actif croît de plus en plus vite ; de t = à t =, cette quantité croît de moins en moins vite. Elle décroît ensuite de plus en plus vite jusqu à t =.. Le médicament est efficace entre approimativement les instants t =, et t =,6, soit durant heures 6 minutes environ. 8 Partie A. a) Tracé sur la calculatrice. 6

16 hapitre b) g(t) > pour tout t de [ ; ], car la courbe représentative g est située au-dessus de l ae des abscisses.. a) f (t) = t t = g(t). b) D après les questions.b) et.a), f (t) > pour tout t de [ ; ]. t f (t) f(t) 7 c) f T T T 8 8 t d) f () =. traverse sa tangente au point d abscisse. e) Au point d abscisse, est située au-dessous de sa tangente ; au point d abscisse 8, est située audessus de sa tangente. Partie B De t = à t =, la population de bactéries croît, de moins en moins vite, puis croît toujours, mais de plus en plus vite, de t = à t =. La molécule a été efficace durant les premières heures Tableur sur papier. La courbe représentative de f correspond au tracé.. On entre les valeurs et,8 respectivement dans les cellules A et A. On sélectionne ces cellules que l on recopie vers le bas jusqu à la cellule A7.. a) f () = 6. b) Il s agit de la formule (). c) On obtient =*A6^6*A6. d) f () = équivaut successivement à : 6 = ; ( ) = ; = ou =. Les solutions de l équation f () = sont et. f () L ensemble des solutions de l inéquation f () > est ] ; [. L ensemble des solutions de l inéquation f () < est [ ; [ ] ; ]. On retrouve les solutions de l équation f () = dans les cellules A et A. e) f () 7 f() 66