LE POINT D'EULER PONCELET

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1 LE POINT 'EULER PONELET 'UN QURILTÈRE Jean-Louis YME 1 Résumé. Nous présentons le point d'euler-poncelet ainsi qu'une longue étude conduisant aux cercles de ui et de l'auteur. es applications, une annexe et une archive sont également présentées. Les nombreuses figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement. 1 St-enis, Île de la Réunion, le 31/01/2011.

2 2 Sommaire. Euler et Poncelet I. Le point d'euler d'un quadrilatère 3 1. Le -cercle d'euler d'un quadrilatère 2. Les quatre cercles d'euler d'un quadrilatère 3. es cercles passant par le point d'euler II. Le point de Poncelet d'un quadrilatère 9 1. Le -cercle des milieux d'un quadrilatère 2. Les quatre cercles des milieux d'un quadrilatère 3. eux isogonales symétriques 4. Le -cercle pédal d'un quadrilatère 5. Intersection de deux cercles pédaux d'un quadrilatère 6. Les quatre cercles pédaux d'un quadrilatère III. Le point d'euler-poncelet d'un quadrilatère Un cercle passant par le point d'euler d'un quadrilatère 2. Point d'euler et point de Poncelet d'un quadrilatère. Étude d'une figure I. Le point de départ Le premier cercle de rianchon-poncelet 2. Une notation symétrique II. lignements et intersections Premières perpendicularités 2. Premiers alignements 3. Premières intersections sur un cercle pédal d'un quadrilatère 4. euxièmes intersections sur un cercle pédal d'un quadrilatère 5. Premières médiatrices 6. euxièmes alignements et deuxièmes médiatrices 7. Troisièmes intersections sur un cercle pédal d'un quadrilatère 8. Troisièmes alignements et troisièmes médiatrices 9. Segments égaux 10. Intersection sur un cercle d'euler d'un quadrilatère 11. Le -triangle de ui et le triangle X'dX"dXd III. Les points d'euler-poncelet et de Fontené Un alignement 2. vec l'isogonal * de relativement à 3. Le point de Fontené. ercles passant par le point de Poncelet d'un quadrilatère I. Les autres cercles de rianchon-poncelet Un lemme 2. Les trois autres cercles de rianchon-poncelet II. Les cercles de Quang Tuan ui Rappel 2. Les quatre premiers cercles de ui 3. Les quatre seconds cercles de ui 4. ommentaire III. Les cercles de l'auteur Le E-cercle d'yme 2. Le faisceau de odenmiller 3. Le E-cercle d'yme appartient à F 4. Le E-cercle d'yme passe par Po 5. ommentaire. pplications 1. Le point de Feuerbach d'un triangle Le cercle d'euler du triangle I La première question de anneels La deuxième question de anneels La troisième question de anneels 111 E. nnexe F. rchive rianchon. J., Poncelet J.-V., Recherche sur la détermination d'une hyperbole équilatère au moyen de quatre conditions données, nnales Mathématiques de

3 3 ommentaire : si une notation simple a été utilisée dans la partie, une notation symétrique a été mise en œuvre dans le reste de l'article afin de dégager les 23 cercles passant par le point d'euler- Poncelet. L'auteur rappelle qu'il n'a pas trouvé de solution élémentaire concernant le premier cercle de rianchon-poncelet et qu'une différence nette concernant le point d'euler-poncelet d'avec celui de Fontené n'a pu être précisée géométriquement mais seulement constatée visuellement. L'auteur a traité dans un autre article 2 le cas où le quadrilatère est cyclique.. EULER ET PONELET I. LE POINT 'EULER 'UN QURILTÈRE 1. Le -cercle d'euler d'un quadrilatère VISION Figure : 1 Finition : un quadrilatère, et 1 le cercle d'euler-evan 3 du triangle. éfinition : 1 est "le -cercle d'euler de ". 2. Les quatre cercles d'euler d'un quadrilatère VISION 2 3 yme J.-L., propos de l'anticentre d'un quadrilatère, G.G.G. vol. 8 ; yme J.-L., les cercles de Morley, Euler,, G.G.G. vol. 2 ;

4 4 Figure : Traits : un quadrilatère et 1, 2, 3, 4 les,,, -cercles d'euler de. onné : 1, 2, 3 et 4 sont concourants. VISULISTION 4 4 K 3 Eu L M N J I Notons I, J, K, L, M, N les milieux resp. de [], [], [], [], [], [] et Eu le point d'intersection de 3 et 4 qui n'appartient pas à []. Scolies : (1) (LM) // (JN) (2) (MI) // (NK). Une chasse angulaire à près : d'après le théorème "ngles à côtés parallèles", <LMI = <JNK ; d'après le théorème de l'angle inscrit, <JNK = <JEuK ; 4 de l'auteur.

5 5 par transitivité de la relation //, <LMI = <JEuK. 4 K 3 Eu L M N J I 2 'après "Le parallélogramme de Varignon" (f. nnexe 1), (LK) // (IJ). Le cercle 4, les points de base M et Eu, les moniennes brisées semblables naissantes (LMI) et (KEuJ), les parallèles (LK) et (IJ), conduisent au théorème des deux moniennes de Reim (f. nnexe 2) ; en conséquence, M, Eu, I et J sont cocycliques. Scolie : ce cercle est le -cercle d'euler de i.e. 2. onclusion partielle : 2, 3 et 4 sont concourants en Eu. 3 4 K Eu L M N J I 1 Mutatis mutandis, nous montrerions que 1, 3 et 4 sont concourants en Eu. onclusion : 1, 2, 3 et 4 sont concourants en Eu. Énoncé traditionnel : les cercles d'euler des quatre triangles déterminés par les sommets d'un quadrilatère, sont concourants.

6 6 Note historique : l'auteur a associé le nom d'euler au point de concours suite à un article 5 de la littérature géométrique qui indiquait qu'euler avait approché ce point en considérant un quadrilatère cyclique. En 1904, M. T. Lemoine 6 signale ce résultat et en 1912, Happach 7 précise que ce résultat devait être connu, sans doute, avant lui. En 1821, Jean-Victor Poncelet 8 publie en collaboration avec harles Julien rianchon, ce résultat qu'il avait envisagé durant sa captivité en Russie en considérant une conique et le concept de polaire. Signalons que dans son article, Poncelet (re)démontre dans le théorème IX, le cercle d'euler et plus précisément le cercle des neuf points. En 1929, Roger rthur Johnson 9 en donne une solution angulaire. Scolies : (1) sous le point de vue des cercles d'euler, Eu est "le point d'euler de ". (2) Eu existe si n'est pas orthocentrique i.e. que chaque sommet n'est pas l'orthocentre du triangle déterminé par les trois autres, sinon les quatre cercles d'euler coïncident. Une précision : intitulé d'après les recherches de l'historien James Sturgeon MacKay, le cercle dit d'euler n'apparaît nulle part dans l'oeuvre de celui-ci. Mackay 10 dans un article de 1892, History of the Nine Point ircle, attribue ce cercle à John Whitley 11. Une autre source attribue ce cercle à l'ingénieur civil enjamin evan 12 qui posait la question suivante : Montrer que le centre O du cercle circonscrit à un triangle est le milieu du segment joignant le centre I du cercle inscrit au centre du cercle circonscrit du triangle excentral et que le rayon de ce cercle est le double de celui circonscrivant. Une solution en a été donnée dans le même numéro de la revue citée à la page 143. Pour l'histoire de ce cercle, le lecteur pourra se reporter aux Proceedings 13. Une courte biographie de Leonhard Euler Référence non retrouvée. Lemoine M. T., Note de géométrie, Nouv. nn. Math. 4, , Happach, Zeitschrift für Math. und Nat. Unterricht 43 (1912) 175. rianchon. J., Poncelet J.-V., Recherche sur la détermination d'une hyperbole équilatère au moyen de quatre conditions données, nnales de Mathématiques pures et ppliquées ( ) ; nnales Mathématiques de Montpellier vol. XI (01/01/1821) ; théorème VII, p Johnson R., dvanced Euclidean Geometry, over, New York, 1960 (from 1929 original) MacKay J. S., Plane Geometry (1904). Whitley J., Gentleman's Mathematical ompanion (1808) 133. evan., Mathematical Repository de Leybourn I (1804) 18. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society vol. XI (1893)

7 7 Le cyclope mathématique 14 Léonhard Euler 15 est né le 15 avril 1707 à âle (Suisse). L'année suivante, il quitte cette ville pour aller à Riehen où son père devient le pasteur calviniste du lieu. Son père, Paul Euler qui avait étudié les mathématiques avec Jacques ernoulli ( ), commet pour ainsi dire, "l'erreur" de les enseigner à son fils et devient ainsi le premier maître de Léonhard. près des études de philosophie, Euler décide de se consacrer entièrement aux mathématiques. Élève de Jean ernoulli ( ), l'un des frères de Jacques, il se lie d'amitié avec ses fils Nicolas ( ) et aniel ( ), puis quitte dans sa vingtième année, sa famille pour aller les rejoindre à St. Petersbourg pour occuper un poste d'assistant à l'cadémie de cette ville où ils professaient les mathématiques depuis Les premières années de son séjour en Russie sont difficiles, mais le départ inattendu de aniel pour la Suisse en 1733, lui permet de devenir professeur à son tour et d'améliorer ainsi son quotidien. La même année, il épouse une compatriote, la fille du peintre Gsell dont la famille s'était établie en Russie depuis de nombreuses années. Les enfants naissent les uns après les autres et à 33 ans, en pleine force de l'âge, il perd son oeil droit. En 1741, il accepte l'invitation du roi de Prusse, Frédéric le Grand, pour aller travailler à l'cadémie de erlin. Il y demeure pendant 25 ans avant de retourner en 1766 en Russie où atherine II lui offre une maison pour ses 13 enfants. Sa vue continue de baisser et il se voit contraint d'écrire sur une ardoise pour faire ses calculs. En 1771, le feu détruit sa maison, mais il a le temps de sauver tous ses manuscrits. 69 ans, il devient veuf et l'année suivante, il se remarie avec la demi-soeur de sa femme. Il meurt le 18 septembre 1783 à St Petersbourg (Russie) alors qu'il buvait du thé avec des amis laissant à la postérité une oeuvre constituée de 45 volumes et plus de 700 articles. 3. es cercles passant par le point d'euler VISION Figure : 6 7 Eu H Surnom donné par Frédéric le Grand qui, tout en faisant allusion à la perte de son oeil droit, soulignait son oeuvre cyclopéenne dans le domaine mathématique. University of St ndrews ;

8 8 Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons H l'orthocentre de. et 5, 6, 7 les cercles d'euler des triangles H, H, H. onné : 5, 6 et 7 sont concourants en Eu. VISULISTION 4 Eu H 2 Scolie : 2, 4 sont resp. les, -cercles d'euler de. 'après. I. 2. Les quatre cercle d'euler d'un quadrilatère, appliqué à, 2 et 4 passent par Eu. 4 7 Eu H 5 2 'après "Le théorème d'hamilton" (f. nnexe 3), 'après. I. 2. Les quatre cercle d'euler d'un quadrilatère, appliqué à H, 2 est le cercle d'euler du triangle H. 2, 4 5 et 7 sont concourants en Eu.

9 9 6 Eu H 5 2 'après "Le théorème d'hamilton" (f. nnexe 3), 2 est le cercle d'euler du triangle H. 'après. I. 2. Les quatre cercle d'euler d'un quadrilatère, appliqué à H, 2, 5 et 6 sont concourants en Eu. onclusion : 5, 6 et 7 sont concourants en Eu. Scolie : Eu est le point d'euler des quadrilatères H, H et H. ommentaire : cette situation met indirectement en œuvre le concept de "cercle des milieux d'un quadrilatère" qui sera envisagé dans la partie II. II. LE POINT E PONELET 'UN QURILTÈRE ommentaire : l'auteur a préféré parler du point de Poncelet indépendamment de celui d'euler. Pour cela, il s'est inspiré d'une idée fractionnée sous forme d'exercices apparemment indépendants et distillée discrètement par Igor Federovitch Sharygin 16 dans son livre Problemas de geometria. Rappelons que Roger rthur Johnson 17 avait déloppé cette idée sous forme de théorèmes enchaînés en L'auteur n'a donc pas suivi la technique angulaire développée par Johnson. 1. Le -cercle des milieux d'un quadrilatère Sharygin I. F. (?-2004), Problemas de geometria, Editions Mir, Moscou (1986). Johnson R., dvanced Euclidean Geometry, over, New York, 1960 (from 1929 original)

10 10 VISION Figure : L M I 1 Finition : un quadrilatère, I, M, L les milieux resp. de [], [], [] et 1 le cercle passant par I, M, L. éfinition : 1 est "le -cercle des milieux de ". 2. Les quatre cercles des milieux d'un quadrilatère VISION Figure : K 3 4 L M N J 2 I 1 Traits : un quadrilatère, I, J, K, L, M, N les milieux resp. de [], [], [], [], [], [] et 1, 2, 3, 4 les,,, -cercles des milieux de. onné : 1, 2, 3 et 4 sont concourants Sharygin I. F., Problemas de geometria, Editions Mir, Moscou (1986), II. 210 p.112.

11 11 VISULISTION K 3 L M N J 2 I 1 onsidérons le triangle IJM et les triangles adjacents par un côté NIJ, KMJ et LIM. Scolies : (1) (NI), (KM) et () sont parallèles entre elles (2) (NJ), (LM) et () sont parallèles entre elles (3) (JK), (IL) et () sont parallèles entre elles. Une chasse angulaire à près : d'après le théorème "ngles à côtés parallèles", <INJ = <, <JKM = <, <MLI = <. La somme des angles <INJ, <JKM et <MLI est égal à l'angle nul à près. onclusion partielle : d'après Le théorème de Heis (f. nnexe 4), Mutatis mutandis, nous montrerions que 1, 2 et 3 sont concourants. 2, 3 et 4 sont concourants. K 3 4 L M N J Em 2 I 1 onclusion : 1, 2, 3 et 4 sont concourants. Notons Em ce point de concours. Énoncé traditionnel : les cercles des milieux d'un quadrilatère sont concourants.

12 12 Scolies : (1) les points Em et Eu 4 K 3 Eu M J L Em G N 2 I 1 Notons G le point médian de, 1, 2 les, -cercles des milieux de et 3, 4 les, -cercles d'euler de. (IK), (JL) et (MN) étant concourantes en G, 1 et 3 sont symétriques par rapport à G 2 et 4 sont symétriques par rapport à G. onclusion : Em est le symétrique de Eu par rapport à G. Note historique : ce résultat m'a été communiqué par le hollandais hris van Tienhoven. (2) Le quadrilatère EuMEmN est un parallélogramme. 3. eux isogonales symétriques VISION Figure :

13 13 1 Iac M Iad N Traits : 1 un cercle, [] un diamètre de 1,, deux points de 1 comme indiqué sur la figure, Iac l'isogonale de () relativement au triangle, Iad l'isogonale de () relativement au triangle et M, N les seconds points d'intersection resp. de Iac, Iad avec 1. onné : () est la médiatrice de [MN]. VISULISTION M 1 Iac Iad N Scolie : M et N sont distincts. Iac étant l'isogonale de () relativement à, Iad étant l'isogonale de () relativement à, (M) // () (N) // (). Les quadrilatères cycliques M et N étant deux trapèzes isocèles, M = et = N ; par transitivité de la relation =, M = N.

14 14 M 1 Iac O Iad N Notons O le centre de 1. 'après le théorème de la médiatrice, (O) est la médiatrice de [MN]. onclusion : () est la médiatrice de [MN]. Scolies (1) à partir du point N' Ibd Ibc M' 1 Traits : 1 un cercle, [] un diamètre de 1,, deux points de 1 comme indiqué sur la figure, Ibc l'isogonale de () relativement au triangle, Ibd l'isogonale de () relativement au triangle et M', N' les seconds points d'intersection resp. de Ibc, Ibd avec 1. onné : () est la médiatrice de [M'N']. (2) n'est pas sur 1

15 15 VISION M * N' Iac Ibd Ibc * M' Iad 1 N Traits : 1 un cercle, [] un diamètre de 1,, deux points de 1 comme indiqué sur la figure, Iac l'isogonale de () relativement au triangle, Iad l'isogonale de () relativement au triangle, M, N les seconds points d'intersection resp. de Iac, Iad avec 1, Ibc l'isogonale de () relativement au triangle, Ibd l'isogonale de () relativement au triangle, M', N' les seconds points d'intersection resp. de Ibc, Ibd avec 1, et *, * les points d'intersection resp. de Iac et Ibc, de Iad et Ibd. onné : () est la médiatrice de [**]. VISULISTION M * N' Iac Ibd Ibc * M' Iad 1 N * est l'isogonal de relativement à. * est l'isogonal de relativement à. 'après. II. 3. eux isogonales symétriques, * Iac et Iad sont symétriques par rapport à () * Ibc et Ibd sont symétriques par rapport à ()

16 16 en conséquence, onclusion : * et * sont symétriques par rapport à (). () est la médiatrice de [**]. 4. Le -cercle pédal d'un quadrilatère VISION Figure : J K I Finition : un quadrilatère, I, J, K les pieds des perpendiculaires abaissées de resp. sur (), (), (), et le cercle passant par I, J, K. éfinition : est "le -cercle pédal de ". 5. Intersection de deux cercles pédaux d'un quadrilatère VISION Figure :

17 17 Traits : un quadrilatère, et, les, -cercles pédaux de. onné : et se coupent sur (). VISULISTION J K I * X onsidérons le triangle et le point.

18 18 'après Mathieu "The isogonal theorem" (f. nnexe 5), les isogonales de (), () et () relativement à concourent à l'isogonal de. Notons * l'isogonal de. Scolie : (1) est le -cercle de Mathieu relativement à (2) * est le symétrique de par rapport au centre de. Notons X le second point d'intersection de () avec. onclusion partielle : d'après "Le cercle de Mathieu" (f. nnexe 6), (*X) (). Y * onsidérons le triangle et le point. 'après Mathieu "The isogonal theorem" (f. nnexe 5), les isogonales de (), () et () relativement à concourent à l'isogonal de. Notons * l'isogonal de. Scolies : (1) est le -cercle de Mathieu relativement à (2) * est le symétrique de par rapport au centre de. Notons Y le second point d'intersection de () avec. onclusion partielle : d'après "Le cercle de Mathieu" (f. nnexe 6), (*Y) ().

19 19 R * X, Y * 'après. II. 3. eux isogonales symétriques, () est la médiatrice de [**] ; en conséquences, (1) X et Y sont confondus (2) et passent par le milieu de [**]. onclusion : et se coupent sur (). Énoncé traditionnel : les cercles pédaux de deux sommets d'un quadrilatère se coupent en un même point sur le "côté" joignant les deux autres sommets. Scolie : (X) est la médiatrice de [**]. 6. Les quatre cercles pédaux d'un quadrilatère VISION Figure :

20 20 1b O L J M K R T N Q S P I 1c Traits : un quadrilatère, I, J, K les pieds des perpendiculaires abaissées de resp. sur (), (), (), L, M, N les pieds des perpendiculaires abaissées de resp. sur (), (), (), O, P, Q les pieds des perpendiculaires abaissées de resp. sur (), (), (), R, S, T les pieds des perpendiculaires abaissées de resp. sur (), (), (), et, 1b, 1c, les,,, -cercles pédaux de. onné :, 1b, 1c et sont concourants. VISULISTION

21 21 * 1b * O L J M K R T N Q S P I 1c * * Notons * l'isogonal de relativement au triangle, * l'isogonal de relativement au triangle, * l'isogonal de relativement au triangle et * l'isogonal de relativement au triangle. 'après. II. 5. Intersection de deux cercles pédaux d'un quadrilatère, mutatis mutandis, nous montrerions que (1) et 1b passent par le milieu de [**] 1b et 1c passent par le milieu de [**] 1c et passent par le milieu de [**] et passent par le milieu de [**]. (2) et 1c passent par le milieu de [**] 1b et passent par le milieu de [**]. onclusion : d'après. II. 2. Les quatre cercles des milieux d'un quadrilatère appliqué ****,, 1b, 1c et sont concourants. Notons Po ce point de concours. Énoncé traditionnel : les cercles pédaux de chaque sommet d'un quadrilatère relatif au triangle déterminé par les trois autres sommets, sont concourants.

22 22 Scolies : (1) sous le point de vue des cercles pédaux, Po est "le point de Poncelet de ". (2) es médiatrices * () est la médiatrice de [**] * () est la médiatrice de [**] * () est la médiatrice de [**] * () est la médiatrice de [**] * () est la médiatrice de [**] * () est la médiatrice de [**]. Note historique : ce résultat attribué dans la littérature géométrique à Jean-Victor Poncelet 19 a été angulairement traité en 1929 par Roger rthur Johnson 20. L'auteur précise qu'il n'a pas constaté la présence de cercles pédaux dans l'article de rianchon-poncelet. e même résultat a été proposé en 1986 par Igor Federovitch Sharygin 21 dans son livre Problemas de geometria et rappelé en 1999 par E. M. Schröder 22 en utilisant une conique. Une courte biographie de Jean-Victor Poncelet : Le vrai créateur de la géométrie supérieure 23 Jean Victor Poncelet 24 est né le 1 juillet 1788 à Metz (Lorraine, France). Enfant illégitime de laude Poncelet et de nne-marie Perrein, Jean-Victor est le fils d'un riche propriétaire terrien et avocat au parlement de Metz. u fait de la nature de sa naissance, il est mis en nourrice au cours de sa première année dans la famille Olier à Saint-vold, une ville proche de Metz. près le mariage de son avec sa mère, Jean-Victor retrouve sa vraie famille mais reste auprès de sa chaleureuse famille d'accueil jusqu'en Élève du Lycée de Metz en classe préparatoire, il entre en 1807 à l'école polytechnique où il suit les cours de géométrie de arnot et de Monge qui lui permettent de redécouvrir les idées de esargues. e santé fragile, il manque la plupart des cours de troisième année. Promu officier en 1810 à l'âge de 22 ans, il poursuit durant deux années ses études à l'école d'pplication de Metz. Promu lieutenant à la sortie, il rejoint l'armée de Napoléon et se voit confier la tache de fortifier la ville de Rammekens (Pays-as) sur l'île de Walcheren situer à l'estuaire de l'escaut. En juin 1812, il rejoint la Grande rmée de Napoléon à Vitepsk (Lituanie) lors de la campagne de Russie. Le 18 août 1812, il est à Smolensk (iélorussie) et commence à entreprendre la construction de ponts sur le niepr. Il passe ensuite cinq semaines dans la ville dévastée de Moscou avant la retraite décidée par Napoléon le 19 octobre. urant cette retraite, il est rianchon. J., Poncelet J.-V., Recherche sur la détermination d'une hyperbole équilatère au moyen de quatre conditions données, nnales de Mathématiques pures et ppliquées ( ) ; nnales Mathématiques de Montpellier vol. XI (01/01/1821) ; théorème IX, p Johnson R., dvanced Euclidean Geometry, over, New York, 1960 (from 1929 original) Sharygin I. F. (?-2004), Problemas de geometria, Editions Mir, Moscou (1986), problème II. 212 p Schröder, E. M., Zwei 8-Kreise-Sätze für Vierecke, Mitt. Math. Ges. Hamburg 18, , Salmon G., oniques. University of St ndrews ;

23 23 fait prisonnier par l'armée de Kutuzov, le 19 novembre 1812 près de la ville de Smolensk. ommence alors pour lui cinq mois d'une marche de 800 km durant le terrible hiver de pour rejoindre à travers les steppes Saratov (Russie) sur la Volga où il est emprisonné. urant les deux années de captivité où il sera "privé de toute espèce de livres et de secours, surtout distrait par les malheurs de sa patrie et les miens propres", il met au point ses idées sur les propriétés projectives des figures. e retour à Metz en juin 1814, il travaille en tant qu'officier de génie. Entre 1817 et 1819, il écrit un mémoire sur La théorie générale des polaires réciproques donnant ainsi naissance à la géométrie supérieure i.e. à la géométrie des transformations. En 1821, il prouve que le triangle orthique et médian ont le même cercle circonscrit. L'année suivante, il publie le célèbre Traité des propriétés projectives des figures dans laquelle il introduit des éléments imaginaires, "la droite à l'infini", en s'appuyant sur le principe de continuité : si, si, alors, une figure se déduit d'une autre par un changement continu et la seconde est aussi générale que la première toute propriété de la première figure est nécessairement aussi une propriété de la seconde. En 1825, il devient professeur à l'école d'application de Metz qu'il quitte en 1835 pour aller à Paris enseigner à la faculté des sciences. Nommé général, il prend le commandement de l'école polytechnique. Il décède le 22 décembre 1867 à Paris (France). III. LE POINT 'EULER PONELET 'UN QURILTÈRE 1. Un cercle pédal passant par le point d'euler d'un quadrilatère VISION Figure :

24 24 Eu Traits : un quadrilatère, Eu le point d'euler de et le -cercle pédal de. onné : passe par Eu. VISULISTION de l'auteur.

25 25 3 J K Eu 2 4 R 1 ' I P Notons I, J, K les pieds des perpendiculaires abaissées de resp. sur (), (), (), P le pied de la perpendiculaire abaissée de sur (), R le pied de la perpendiculaire abaissée de sur (), 1, 2 les cercles d'euler resp. des triangles,, ' le milieu de [] et 3, 4 les cercles de diamètre resp. [], []. Scolies : (1) passe par I, J et K (2) 1 et 2 se coupent en ' et Eu. 'après Thalès "Triangle inscriptible dans un demi cercle", (1) I, J et P sont sur 3 (2) J, K et R sont sur 4. 'après Lebesgue "Le théorème des cinq cercles" 26 (f. nnexe 7) appliqué à 4, 1, 2 et 3, J, K, Eu et I sont cocycliques i.e. sur. onclusion : passe par Eu. ommentaire : ce résultat a été prouvé angulairement par Roger rthur Johnson Point d'euler et point de Poncelet d'un quadrilatère yme J.-L., u théorème de Reim au théorème des six cercles, G.G.G. vol. 2, p. 6-8 ; Johnson R., dvanced Euclidean Geometry, over, New York, 1960 (from 1929 original) n 397, p. 242.

26 26 VISION Figure : 1b Eu, Po 1c Traits : un quadrilatère, Eu le point d'euler de,, 1b, 1c, les,,, -cercle pédaux de et Po le point de Poncelet de. onné : Po et Eu sont confondus. VISULISTION Mutatis mutandis, nous montrerions que 'après. II. 6. Les quatre cercles pédaux d'un quadrilatère, 1b passe par Eu 1c passe par Eu passe par Eu., 1b, 1c et sont concourants en Po. onclusion : Po et Eu sont confondus.

27 27 Note historique : d'après Georges Fontené 28, ce résultat semble être très connu en e résultat de Jean-Victor Poncelet 29 que l'auteur n'a pas rencontré dans la référence citée, a été angulairement traité en 1929 par Roger rthur Johnson 30 et (re)démontré en 1999 par E. M. Schröder 31 en utilisant une conique. Scolie : Po est le point d'euler-poncelet de ou plus brièvement le point de Poncelet de.. ÉTUE 'UNE FIGURE I. LE POINT E ÉPRT 1. Le premier cercle de rianchon-poncelet VISION Figure : 0 F Po E G Traits : un quadrilatère, Po le point d'euler-poncelet de, E, F, G les points d'intersection de () et (), de () et (), de () et (), Fontené G., Extension du théorème de Feuerbach, Nouvelles nnales 5 (1905) rianchon. J., Poncelet J.-V., Recherche sur la détermination d'une hyperbole équilatère au moyen de quatre conditions données, nnales de Mathématiques pures et ppliquées ( ) ; nnales Mathématiques de Montpellier vol. XI (01/01/1821) ; théorèmes VII et IX, p Johnson R., dvanced Euclidean Geometry, over, New York, 1960 (from 1929 original) Schröder, E. M., "Zwei 8-Kreise-Sätze für Vierecke." Mitt. Math. Ges. Hamburg 18, , 1999.

28 28 et 0 le cercle circonscrit du triangle XYZ. onné : 0 passe par Po. 32 ommentaire : Jean-Pierre Ehrmann 33 a communiqué au site Hyacinthos l'article de rianchon-poncelet dans lequel une hyperbole équilatère et le concept de polaire permet de résoudre cette question. N'ayant pu trouver une preuve élémentaire, l'auteur se lance dans une recherche Pour cela, une nouvelle notation de la figure est nécessaire. Une courte biographie de harles-julien rianchon harles Julien rianchon est né à Sèvres, le 19 décembre En 1804, il entre à l'école Polytechnique où il devient l'élève de Monge. En 1806, alors qu'il est toujours élève, il publie dans le XII-ième cahier du Journal de l'école, le théorème qui aujourd'hui porte son nom, après avoir rétablit le théorème oublié de Pascal. Sorti premier de Polytechnique, il entre dans la carrière militaire en devenant lieutenant d'artillerie. Participant à la campagne du Portugal et d'espagne sous Napoléon, il quitte l'armée pour cause de santé et occupe un poste d'enseignant. près cinq années de galère, il trouve finalement un poste de professeur à l'école d'rtillerie de Vincennes. 'est entre 1816 et 1818 qu'il écrit un grand nombre d'articles. En 1817, il est promu capitaine d'artillerie. Il décède à Versailles, le 29 avril Une notation symétrique VISION Figure : rianchon. J., Poncelet J.-V., Recherche sur la détermination d'une hyperbole équilatère au moyen de quatre conditions données, nnales de Mathématiques pures et ppliquées ( ) ; nnales Mathématiques de Montpellier vol. XI (01/01/1821) ; théorème VI, p Ehrmann J.-P., Nine ircles oncur with nine points circle, Message Hyacinthos # du 26/03/2006 ; ;

29 29 * 1b * b a b c c b V* c d U* a a d d Z* 1c * T* * Traits : un quadrilatère, d, b, c les pieds des perpendiculaires abaissées de sur (), (), (), a, c, d les pieds des perpendiculaires abaissées de sur (), (), (), b, d, a les pieds des perpendiculaires abaissées de sur (), (), (), c, a, b les pieds des perpendiculaires abaissées de sur (), (), (),, 1b, 1c, les,,, -cercles pédaux de, Po le point d'euler-poncelet de, *, *, *, * les symétriques de,,, par rapport aux centres de, 1b, 1c, et,, Z*, T*, U*, V* les seconds points d'intersection de et 1b, de 1b et 1c, de 1c et, de et, de et 1c, de 1b et. onné : approfondir. II. LIGNEMENTS ET INTERSETIONS 1. Premières perpendicularités

30 30 VISION Figure : * 1b * V* U* Z* 1c * T* * Traits : onné : les hypothèses et notations sont les mêmes que précédemment. () est perpendiculaire à (V*). VISULISTION 'après. II. 6. Les quatre cercles pédaux d'un quadrilatère, () (**) ; d'après Thalès "La droite des milieux" appliqué au triangle ***, (**) // (V*) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, () (V*). onclusion : () est perpendiculaire à (V*). Scolie : autres perpendicularités

31 31 * 1b * V* U* Z* 1c * T* * onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que () (V*) () (U*) () (Z*V*) () (Z*) () (). 2. Premiers alignements VISION Figure :

32 32 * 1b * c c V* d U* d Z* 1c * T* * Traits : onné : les hypothèses et notations sont les mêmes que précédemment. c, d et sont alignés. VISULISTION

33 33 * 1b * c c V* d U* d Z* 1c b * T* * Notons b le cercle de diamètre [] ; il passe par c, c, d et d. Scolie : (d), (**) et (T*) sont parallèles entre elles. onclusion : les cercles b et, les points de base d et c, les parallèles (d) et (T*), conduisent au théorème 0' de Reim ; en conséquence, d, c et sont alignés. Scolies : (1) autres alignements

34 34 * 1b * b c c V* b d U* a a d Z* 1c * T* * onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que d, a et sont alignés a, b et Z* sont alignés b, c et T* sont alignés b, d et U* sont alignés c, a et V* sont alignés. (2) utres alignements

35 35 * 1b * b a b c V* c b c d a U* a d d Z* 1c * T* * onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que d, c et sont alignés a, d et sont alignés b, a et Z* sont alignés c, b et T* sont alignés d, b et U* sont alignés a, c et V* sont alignés. (3) Un rappel onclusion : d'après. II. 5. Intersection de deux cercles pédaux d'un quadrilatère,, et sont alignés, et sont alignés, et Z* sont alignés, et T* sont alignés, et U* sont alignés, et V* sont lignés. (4) eux triangles en perspective

36 36 X'c * 1b Xb X'b * b Xc a b c c d V* U* b a c a d Z* 1c d Xd Xa X'a * X'd T* * onclusion : les triangles cda et dcb sont en perspective de centre les triangles dab et adc sont en perspective de centre les triangles abc et bad sont en perspective de centre Z* les triangles bcd et cba sont en perspective de centre T* les triangles bcd et dab sont en perspective de centre U* les triangles cda et abc sont en perspective de centre V*. 3. Premières intersections sur un cercle pédal d'un quadrilatère VISION Figure :

37 37 * 1b * b b c c V* d U* d d Z* 1c Xa b * T* * Traits : Xa aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons le point d'intersection de (cc) et (bb). onné : Xa est sur. VISULISTION

38 38 * 1b * b c b c c V* d U* d d Z* 1c Xa b * T* * Notons c le cercle de diamètre [] ; il passe par b, b, d et d ; 'après Miquel "Le théorème des trois cercles" (f. nnexe 8) appliqué à, b et c concourants en d, (cc) et (bb) se coupent sur. onclusion : Xa est sur. Scolie : autres intersections

39 39 * Xb * b Xc 1b a b c c bv* c d U* a a d d Z* 1c Xd Xa * T* * Notons Xb le point d'intersection de (dd) et (cc) Xc le point d'intersection de (aa) et (dd) Xd le point d'intersection de (bb) et (aa). onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que Xb est sur 1b Xc est sur 1c Xd est sur. 4. euxièmes intersections sur un cercle pédal d'un quadrilatère VISION Figure :

40 40 * 1b * b c b c bv* c U* d d Z* 1c X'a * T* * Traits : X'a aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons le point d'intersection de (cc) et (dd). onné : X'a est sur. VISULISTION

41 41 * 1b * b c b c c bv* d c U* d d Z* 1c X'a * T* * Notons d le cercle de diamètre [] ; il passe par b, c, b et c ; 'après Miquel "Le théorème des trois cercles" (f. nnexe 8) appliqué à, c et d concourants en b, (cc) et (dd) se coupent sur. onclusion : X'a est sur. Scolies : (1) autres intersections

42 42 X'c * 1b X'b b * a b c c d bv* U* a c a d d Z* 1c X'a * X'd T* * Notons X'b le point d'intersection de (dd) et (aa) X'c le point d'intersection de (aa) et (bb) X'd le point d'intersection de (bb) et (cc). onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que X'b est sur 1b X'c est sur 1c X'd est sur. (2) Figure récapitulative des intersections

43 43 X'c * 1b Xb X'b * b Xc a b c c d V* U* b a c a d Z* 1c d Xd Xa X'a * X'd T* * 5. Premières médiatrices VISION Figure :

44 44 X'c * 1b X'b b c * a b c c d bv* U* a c a d d Z* 1c Xa X'a * X'd T* * Traits : onné : les hypothèses et notations sont les mêmes que précédemment. (cd) est la médiatrice de [XaX'b]. VISULISTION

45 45 * X'b 1b * b Xc a b c c V* d a U* d Z* Xd 1c Xa * T* * ommentaire : nous allons montrer que les triangles Xacd et *cd sont égaux. Une première chasse angulaire à 2 près : d'après. II. 3. Premières intersections, <dxac = <dxac ; d'après "Le théorème de l'angle inscrit", <dxac = <dc ; d'après. II. 2. es alignements, <dc = <cd ; d'après "Le théorème de l'angle inscrit", <cd = <cx'bd ; d'après. II. 4. euxièmes intersections, <cx'bd = <cx'dd ; par transitivité de la relation =, <dxac = <cx'dd. Une seconde chasse angulaire à 2 près : d'après. II. 2. es alignements, <cdxa = <dxa ; d'après "Le théorème de l'angle inscrit", <dxa = <cxa d'après. II. 3. Premières intersections, <cxa = <cc le quadrilatère ccdd étant cyclique, <cc = <ddc ; d'après. II. 3. Premières intersections, <ddc = <X'ddc d'après. II. 2. es alignements, <X'ddc = <X'dd par transitivité de la relation =, <cdxa = <X'dd. En conséquence, <Xacd = <dcx'b. 'après le théorème "angle-côté-angle", les triangles Xacd et *cd sont égaux ; nous avons : cxa = cx'b dxa = dx'b.

46 46 onclusion : d'après le théorème de la médiatrice, (cd) est la médiatrice de [XaX'b]. Scolie : autres médiatrices X'c * 1b Xb X'b b * Xc a b c c V* b c d U* a a d d Z* Xd 1c Xa X'a * X'd T* * onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que (da) est la médiatrice de [XbX'c] (Z*ab) est la médiatrice de [XcX'd] (T*bc) est la médiatrice de [XdX'a]. 6. euxièmes alignements et deuxièmes médiatrices VISION Figure :

47 47 * 1b Xb * b b c V* c c Po U* d d Z* 1c Xa X'a * T* * Traits : onné : X'a, Xb et sont alignés. les hypothèses et notations sont les mêmes que précédemment. VISULISTION

48 48 * 1b Xb * b a b c V* c b c 1 Po d U* a a d d Z* 1c Xa X'a * T* * Notons 1 le -cercle d'euler de ; il passe par c, c, c et Po. onclusion : d'après Miquel "Le théorème des trois cercles" (f. nnexe 8) appliqué à, 1b et 1 concourants en Po, X'a, Xb et sont alignés. Scolies : (1) autres deuxièmes alignements onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que X'b, Xc et sont alignés X'c, Xd et Z* sont alignés X'd, Xa et T* sont alignés. (2) () est la médiatrice de [X'a]

49 49 * 1b Xb * b a c c c V* Po d U* d d Z* 1c X'a * T* * Nous allons montrer que les triangles X'adc et Xbdc sont égaux. Une chasse angulaire à 2. près : d'après. II. 4. euxième intersection sur un cercle pédal, <dx'ac = <dx'ac ; d'après "Le théorème de l'angle inscrit", <dx'ac = <dc ; d'après. II. 2. Premiers alignements, <dc = <cc ; <cc = <cd ; d'après "Le théorème de l'angle inscrit", <cd = <cxbd ; d'après. II. 3. Première intersection sur un cercle pédal, <cxbd = <cxbd ; par transitivité de la relation =, <dx'ac = <cxbd.

50 50 * 1b Xb * b a c c c V* Po d U* a d d Z* 1c X'a * T* * Une chasse angulaire à 2. près : d'après. II. 4. euxième intersection sur un cercle pédal, <cdx'a = <dd ; d'après "Le théorème de l'angle inscrit", <dd = <d ; par hypothèses, <d = <d ; d'après "Le théorème de l'angle inscrit", <d = <db ; d'après. II. 3. Première intersection sur un cercle pédal, <db = <Xbdc ; par transitivité de la relation =, <cdx'a = <Xbdc. En conséquence, <X'acd = <Xbdc. 'après "Le théorème angle-côté-angle", les triangles X'adc et Xbdc sont égaux ; en conséquence, cx'a = cxb dx'a = dxb. onclusion : d'après "Le théorème de la médiatrice", () est la médiatrice de [X'aXb]. (3) utres deuxièmes médiatrices

51 51 * X'c Xb X'b 1b * Xc V* U* Xd Z* 1c Xa X'd X'a * T* * onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que () est la médiatrice de [X'bXc] () est la médiatrice de [X'cXd] () est la médiatrice de [X'dXa]. (4) Figure récapitulative des secondes médiatrices

52 52 * 1b Xb X'b b a X'c * Xc b c c V* b c d U* a a d d Z* Xd 1c Xa X'a * X'd T* * 7. Troisièmes intersections sur un cercle pédal d'un quadrilatère VISION Figure :

53 53 * 1b * b c d c bv* c d U* X"a d Z* 1c b * T* * Traits : X"a aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons le point d'intersection de (bb) et (dd). onné : X"a est sur. VISULISTION 'après Miquel "Le théorème des trois cercles" (f. nnexe 8) appliqué à, b et d concourants en c, (bb) et (dd) se coupent sur. onclusion : X"a est sur. Scolies : (1) autres intersections

54 54 * 1b b X"b * X"c a b c c d V* b U* a c X"a a d d Z* 1c X"d * T* * Notons X"b le point d'intersection de (cc) et (aa) X"c le point d'intersection de (dd) et (bb) X"d le point d'intersection de (aa) et (cc). onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que X"b est sur 1b X"c est sur 1c X"d est sur. (2) Figure récapitulative

55 55 X'c * 1b Xb X'b b X"c a X"b * Xc b c c Po V* b c d a U* X"a a d d Z* Xd 1c X"d Xa X'a * X'd T* * 8. Troisièmes alignements et troisièmes médiatrices VISION Figure :

56 56 X'c * 1b X'b * b X"b X"c a b c c V* b c Po d U* a X"a a d d Z* 1c X"d Xa X'a * X'd T* * Traits : onné : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons X"a, X"c et U* sont alignés. VISULISTION

57 57 X'c * 1b X'b * 4 b X"c a X"b b c c V* b c Po d U* a X"a a d d Z* 1c X"d Xa X'a * X'd T* * Notons 4 le -cercle d'euler de ; il passe par b, b, b et Po. onclusion : d'après Miquel "Le théorème des trois cercles" (f. nnexe 8) appliqué à, 1c et 4 concourants en Po, X"a, X"c et U* sont alignés. Scolies : (1) autre troisième alignement

58 58 X'c * 1b X'b * b X"b X"c a b c c V* b c Po d U* a X"a a d d Z* 1c X"d Xa X'a * X'd T* * onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que X"b, X"d et V* sont alignés. (2) (cd) est la médiatrice de [X"aX"b]

59 59 * 1b Xb X'b b X"b * X"c a b c c Po V* b c d a U* X"a a d d Z* Xd 1c X"d b Xa X'a * X'd T* * Nous allons montrer que les triangles X"acd et X"bcd sont égaux. Une première chasse angulaire à 2 près : le quadrilatère XacX"ad étant cyclique, <dx"ac = <dxac ; d'après "Le théorème de l'angle inscrit", <dxac = <dc ; d'après. II. 2. Premiers alignements, <dc = <cd ; d'après "Le théorème de l'angle inscrit", <cd = <cx"bd ; d'après. II. 7. Troisièmes intersections, <cx"bd = <cx"bd ; par transitivité de la relation =, <dx"ac = <cx"dd. Une seconde chasse angulaire à 2 près : d'après. II. 7. Troisièmes intersections, <cdx"a = <cdd ; le quadrilatère cddc étant cyclique, <cdd = <cc ; d'après. II. 7. Troisièmes intersections, <cc = <X"bc ; d'après "Le théorème de l'angle inscrit", <X"bc = <X"bd ; d'après. II. 2. Premiers alignements, <X"bd = <X"bdc ; par transitivité de la relation =, <cdx"a = <X"bdc. En conséquence, <X"acd = <dcx"b. 'après "Le théorème angle-côté-angle", les triangles X"acd et X"bcd sont égaux ; nous avons : dx"a = dx"b cx"a = cx"b.

60 60 onclusion : d'après "Le théorème de la médiatrice", (cd) est la médiatrice de [X"aX"b]. (3) utres troisièmes médiatrices onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que (da) est la médiatrice de [X"bX"c] (Z*ab) est la médiatrice de [X"cX"d] (T*bc) est la médiatrice de [X"dX"a]. (4) () est la médiatrice de [X"aX"c] X'c * 1b Xb X'b b X"c a X"b * Xc b c c Po V* b c d a U* X"a a d d Z* Xd 1c X"d Xa X'a * X'd T* * ommentaire : nous allons montrer que les triangles X"abd et X"cbd sont égaux. Une première chasse angulaire à 2 près : le quadrilatère bx"adxa étant cyclique <dx"ab = <dxab ; d'après "Le théorème de l'angle inscrit", <dxab = <db ; le quadrilatère dxabu* étant cyclique <db = <du*d ; le quadrilatère bu*dxc étant cyclique <du*d = <bxcd ; le quadrilatère dxcbx"c étant cyclique, <bxcd = <bx"cd ; par transitivité de la relation =, <dx"ab = <bx"cd.

61 61 Une seconde chasse angulaire à 2 près : d'après. II. 7. Troisièmes intersections, <bdx"a = <dd d'après "Le théorème de l'angle inscrit", <dd = <d ; d'après "Le théorème des angles opposés", <d = <d ; d'après "Le théorème de l'angle inscrit", <d = <dd ; d'après "Le théorème des angles opposés", <dd = <X"cdb ; par transitivité de la relation =, <bdx"a = <X"cdb. En conséquence, <X"abd = <dbx"b. 'après "Le théorème angle-côté-angle", les triangles X"abd et X"cbd sont égaux ; nous avons : dx"a = dx"c cx"a = cx"c. onclusion : d'après "Le théorème de la médiatrice", () est la médiatrice de [X"aX"c]. (5) utre troisième médiatrice onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que () est la médiatrice de [X"bX"d].

62 62 9. Segments égaux VISION Figure : X'c * 1b Xb X'b b X"c a X"b * Xc b c c Po V* b c d a U* X"a a d d Z* Xd 1c X"d Xa X'a * X'd T* * Traits : onné : Xa = X"b. les hypothèses et notations sont les mêmes que précédemment. VISULISTION

63 63 X'c * 1b Xb X'b b X"c a X"b * Xc b c c Po V* b c d a U* X"a a d d Z* Xd 1c X"d Xa X'a * X'd T* * 'après. II. 6. euxièmes médiatrices, (c) est la médiatrice de [X'aXb] ; en conséquence, le triangle cx'axb est c-isocèle. Une chasse angulaire à 2. près : d'après. II. 7. Troisièmes intersections, <X"bXa = <cxa ; d'après "Le théorème de l'angle inscrit", <cxa = <cx'a ; d'après. II. 3. Premières intersections, <cx'a = <cx'a ; le triangle cx'axb étant c-isocèle, <cx'a = <X'aXbc ; d'après. II. 6. euxièmes médiatrices, <X'aXbc = <Xbc ; d'après. II. 3. Premières intersections, <Xbc = <Xbc ; d'après "Le théorème de l'angle inscrit", <Xbc = <X"bc ; d'après. II. 7. Troisièmes intersections, <X"bc = <X"bXa ; par transitivité de la relation =, <X"bXa = <X"bXa ; en conséquence, le triangle XaX"b est -isocèle. onclusion : Xa = X"b Scolies : (1) des segments égaux onclusion : d'après. II. 8. Troisièmes médiatrices, Xa = X"b = X"a

64 64 (2) utres segments égaux X'c * 1b Xb X'b b X"c a X"b * Xc b c c Po V* b c d a U* X"a a d Z* 1c d Xd X"d Xa X'a * X'd T* * onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que Xb = X"c = X"b Z*Xc = Z*X"d = Z*X"c T*Xd = T*X"a = Z*X"d. 10. Intersection sur un cercle d'euler d'un quadrilatère VISION Figure :

65 65 * 1b Xb * b b c V* c b c a Yda d Po U* a 3 a d d Z* 1c Xa X'a * T* * Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons Yda le point d'intersection de (ac) et (ba), et 3 le -cercle d'euler de. onné : Yda est sur 3. VISULISTION

66 66 * 1b Xb b 1cd * a b c Yda Po d c b V* U* a c 1bd 3 a d d Z* 1c Xa X'a * T* * Notons 1bd, 1cd les cercles de diamètres resp. [], []. onclusion : d'après Miquel "Le théorème des trois cercles" (f. nnexe 8) appliqué au triangle cbya avec sur (cb), a sur (cya) et a sur (Yac) et aux cercles 1bd, 1cd et 3 concourants en a, Yda est sur 3. Scolies : (1) une deuxième intersection

67 67 * 1b Xb b 4 a 1cd * b c V* c b d c Ydb d Po U* a a d d Z* 1c Xa X'a * T* * Notons Ydb le point d'intersection de (ba) et (cb), 1cd, d les cercles de diamètres resp. [], [] et 4 le -cercle d'euler de. onclusion : d'après Miquel "Le théorème des trois cercles" (f. nnexe 8) appliqué au triangle acyb avec sur (ac), a sur (cyb) et a sur (Yba) et aux cercles 1cd, d et 4 concourants en b, Ydb est sur 4. (2) Une troisième intersection

68 68 * 1b Xb * b 1bd a b c Ydc d c b V* c 1 d Po U* a a d d Z* 1c Xa X'a * T* * Notons Ydc le point d'intersection de (cb) et (ac), d, 1bd les cercles de diamètres resp. [], [] et 1 le -cercle d'euler de. onclusion : d'après Miquel "Le théorème des trois cercles" (f. nnexe 8) appliqué au triangle bayc avec sur (ba), c sur (ayc) et c sur (Ycb) et aux cercles d, 1bd et 1 concourants en c, Ydc est sur 1. (3) Le -triangle de Quang Tuan ui

69 69 X'c * 1b Xb X'b b X"b * Xc b c X"c a Yda cydc d Ydb V* Po b a U* c X"a a d d Z* Xd 1c X"d Xa X'a * X'd T* * éfinition : YdaYdbYdc est le -triangle de ui relativement à ". 34 (4) Les trois autres triangles de ui Notons Yab le point d'intersection de (bd) et (cb), Yac le point d'intersection de (cb) et (dc), et Yad le point d'intersection de (dc) et (bd). Par définition, YabYacYad est le -triangle de ui relativement à. Notons Ybc le point d'intersection de (ca) et (dc), Ybd le point d'intersection de (dc) et (ad), et Yba le point d'intersection de (ad) et (ba). Par définition, YbcYbdYba est le -triangle de ui relativement à. Notons Ycd le point d'intersection de (db) et (ad), Yca le point d'intersection de (ac) et (ba), et Yab le point d'intersection de (ba) et (db). Par définition, YcdYcaYab est le -triangle de ui relativement à. 34 ui Quang tuan, Nine ircles oncur with nine points circle, Message Hyacinthos # 12403, du 16 et 26/03/2006 ;

70 Le -triangle de ui et le triangle X'dX'dXd VISION Figure : X'c * 1b Xb X'b b X"b * Xc b c X"c a Yda cydc d Ydb V* Po b a U* c X"a a d d Z* Xd 1c X"d Xa X'a * X'd T* * Traits : onné : les hypothèses et notations sont les mêmes que précédemment. YdaYdbYdc est homothétique à X'dX"dXd. VISULISTION

71 71 X'c * 1b Xb X'b b X"b * Xc b c d X"c a Yda cydc d Ydb V* Po b a U* c X"a a d d Z* Xd 1c X"d Xa X'a * X'd T* * Notons d le cercle de diamètre [] ; il passe par b, c, b et c. 'après. II. 3. Première intersection sur un cercle pédal, b, b et Xd sont alignés ; d'après. II. 7. Troisième intersection sur un cercle pédal, c, c et X"d sont alignés. Les cercles d et, les points de base b et c, les moniennes (bbxd) et (ccx"d), connduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (bc) // (XdX"d) i.e. (YdbYdc) // (XdX"d). Mutatis mutandis, nous montrerions que (YdcYda) // (XdX'd) (YdaYdb) // (X'dX"d). onclusion : YdaYdbYdc est homothétique à X'dX"dXd. ommentaire : nous préciserons le centre de cette homothétie dans la partie suivante. Scolie : mutatis mutandis, nous montrerions que YabYacYad est homothétique à X'aX"aXa YbcYbdYba est homothétique à X'bX"bXb YcdYcaYab est homothétique à X'cX"cXc.

72 72 III. LES POINTS E PONELET ET E FONTENÉ 1. Un alignement VISION Figure : * * b Hd c Po d 2 Hc c 1 I d Z* * T* * Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons I le milieu de [] et Hd, Hc les, -points d'euler de, onné :, Hd, Hc et Po sont alignés. 35 VISULISTION 35 Résultat de l'auteur.

73 73 * * b Hd c Po d 2 Hc c 1 I d Z* * T* * Les cercles 1 et 2, les points de base I et Po, la moniennes (cid), les parallèles (chd) et (dhc), conduisent au théorème 0' de Reim ; en conséquence, Hd, Po et Hc sont alignés. Scolie : (HdHc) passe par le point de Poncelet de.

74 74 * * b Hd c Po d 2 Hc d c 1 I d Z* * T* * Notons d le cercle de diamètre []. 'après Miquel "Le théorème des trois cercles" (f. nnexe 8) appliqué au triangle chd avec b sur (c), c sur (chd) et aux cercles, d et 1 concourants en c,, Hd et Po sont alignés. onclusion : d'après l'axiome d'incidence Ia,, Hd, Hc et Po sont alignés. Scolie : deux parallèles

75 75 * * b Hd c E' E d Po 2 Hc c 1 I d Z* * T* * Nous savons que * c, d et sont alignés * (Hd) // (Hc). Notons E le point d'intersection de () et (), et E' le point d'intersection de (chd) et (Hcd). onclusion : d'après esargues "Le théorème des deux triangles" (f. nnexe 9), les triangles dhc et chd étant en perspective de centre, (EE') // (Hc). 2. vec l'isogonal * de relativement à VISION Figure :

76 76 * 1b * b a b c Po c bv* c d U* a a 2 Po* d Z* d 1c * T* * Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons 2 le cercle d'euler de et Po* le second point d'intersection de 2 avec. onné : Po* est le point de Poncelet de *. VISULISTION 'après Mathieu "The pedal circle theorem" (f. nnexe 6), (1) est le -cercle pédal de * (2) le centre de est le milieu de [*].

77 77 * * c Hd c b c 1 d Po I' I 1* 2 a Po* d Z* d Hd* * T* * Notons 1* le cercle d'euler de *, Hd* le *-point d'euler de * et I' le second point d'intersection de 1* et 1. Les cercles 1 et 1*, les points de base I et I', la moniennes (ciz*), les parallèles (chd) et (Z*Hd*), conduisent au théorème 0' de Reim ; en conséquence, Hd, I' et Hd* sont alignés.

78 78 * * c Hd c b c 1 d Po I' I 2 Hc Po* d Z* d Hd* 1* * T* * Nous savons que Hd, Po et Hc sont alignés. 'après Miquel "Le théorème des trois cercles" (f. nnexe 8) appliqué aux cercles 1*, 1 et 2 concourants en I, (Hd*Hc) passe par le second point d'intersection de 1* et 2, i.e. le point de Poncelet de *. La figure étant en position générale, ce point est Po*. onclusion : Po* est le point de Poncelet de *. 3. Le point de Fontené VISION Figure :

79 79 * * b Po M d a 2 J Po* L c d d Z* * T* * Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons O le centre du cercle circonscrit de, J, M les milieux resp. de [], [] et L le point d'intersection (JM) et (ab). onné : Po* est le point de Fontené de O et relativement au triangle. VISULISTION 'après "Le premier théorème de Fontené" 36, (cl) passe par l'un des points d'intersection de et 2 i.e. par Po ou Po*. ttention : l'auteur n'a pas trouvé une preuve simple permettant de montrer que (cl) passe par Po*. onclusion : Po* est le point de Fontené de O et relativement au triangle. Énoncé traditionnel : le point de Fontené de O et du triangle est le point de Poncelet du quadrilatère * ; le point de Poncelet du quadrilatère est le point de Fontené de O et * du triangle. 36 yme J.-L., Les trois théorèmes de Fontené, G.G.G. vol. 5 ;

80 80 Scolie : ce résultat permet d'apporter une réponse à une question posée par Éric anneels 37.. ERLES PSSNT PR LE POINT E PONELET 'UN QURILTÈRE I. LES UTRES ERLES E RINHON - PONELET ommentaire : ce paragraphe est une suite du. II. 1. Le premier cercle de rianchon-poncelet. 1. Un lemme X VISION Figure : J L J' 2 1 L' I Traits : un quadrilatère, 1, 2 les cercles d'euler resp. des triangles,, I, J, L les milieux resp. de [], [], [], L' le second point d'intersection de la parallèle à () passant par L avec 1 et J' le second point d'intersection de la parallèle à () passant par J avec 2. onné : (J'L') passe par I anneels E., how to proof Fontene theorems?, Message Hyacinthos # 8794 du 08/12/2003 ; yme J.-L., Nice ollinear points, Mathlinks du 15/08/2009 ;

81 81 VISULISTION X M 3 N E J L F J' 2 1 L' I Notons X le point d'intersection de () et (), M, N les milieux resp. de [X], [X], 3 le cercle d'euler du triangle X ; il passe par M, N et I ; et E, F les pieds des, -hauteurs de,. Scolies : (1) 1 passe par I, L et F (2) 2 passe par I, J et E 'après Thalès "La droite des milieux" appliqué à X, (MI) // (X) ; par hypothèse, (X) // (LL') ; par transitivité de la relation //, (MI) // (LL'). Les cercles 3 et 1, les points de base F et I, la monienne (MFL), (les parallèles (MI) et (LL'), conduisent au théorème 3' de Reim ; en conséquence, (IL') est tangente à 3 en I. Mutatis mutandis, nous montrerions que (IJ') est tangente à 3 en I ; en conséquence, (IJ') et (IL') sont confondues. onclusion : (J'L') passe par I. Note historique : cette preuve s'inspire de celle de Vladimir Zajic plus connu sous le pseudonyme "Yetti" sur le site Mathlinks. 2. Les trois autres cercles de rianchon-poncelet VISION

82 82 L Po J Pl Pj 1x' X' Traits : un quadrilatère, Po le point d'euler-poncelet de, J, L les milieux resp. de [], [], Pj la parallèle à () passant par J, Pl la parallèle à () passant par L X' le point d'intersection de Pj et Pl, et 1x' le cercle passant par X', J et L. onné : 1x' passe par Po. 39 VISULISTION 39 rianchon. J., Poncelet J.-V., Recherche sur la détermination d'une hyperbole équilatère au moyen de quatre conditions données, nnales Mathématiques de Montpellier vol. XI (01/01/1821) ; théorème VII, p. 511.

83 83 L Po J' J 1 L' I 2 1x' X' Notons 1, 2 les cercles d'euler resp. des triangles,, I le milieu de [], L' le second point d'intersection de Pl avec 1, J' le second point d'intersection de Pj avec 2. 'après. I. 1. Un lemme, (J'L') passe par I. 'après Miquel "Le théorème du pivot" (f. nnexe 10) appliqué au triangle X'J'L' avec J sur (X'J'), I sur (J'L') et L sur (L'X'), 'après. I. 2. Les quatre cercles d'euler d'un quadrilatère, 1, 2 et 1x sont concourants. Po est le point de concours. onclusion : 1x' passe par Po. Note historique : ce résultat est le théorème III de l'article de rianchon-poncelet 40 prouvé à l'aide d'une hyperbole équilatère ; il réapparaît dans la preuve du théorème VII. Scolies : (1) 1x' est "le X'-cercle de rianchon-poncelet de ". 40 rianchon. J., Poncelet J.-V., Recherche sur la détermination d'une hyperbole équilatère au moyen de quatre conditions données, nnales Mathématiques de Montpellier vol. XI (01/01/1821) ; théorème VII, p. 506, 511.

84 84 (2) Les deux derniers cercles de rianchon-poncelet 1y' L K Po M 1z' Z' N J Y' I 1x' X' Notons K, M, N les milieux resp. de [], [], [] Y' le point d'intersection de la parallèle à () passant par K et de la parallèle à () passant par I, Z' le point d'intersection de la parallèle à () passant par M et de la parallèle à () passant par N, 1y' le cercle passant par Y', I, K et 1z' le cercle passant par Z', M, N. onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que 1y' et 1z' passent par Po. (3) 1y' et 1z' sont resp. "les Y', Z'-cercles de rianchon-poncelet de ". (4) Le théorème VIII ou un résultat angulaire rianchon. J., Poncelet J.-V., Recherche sur la détermination d'une hyperbole équilatère au moyen de quatre conditions données, nnales Mathématiques de Montpellier vol. XI (01/01/1821) ; théorème VIII, p. 512.

85 85 X L Po J Pl Pj 1x' X' Notons X le point d'intersection de () et (). onclusion : <LPoJ et <LXJ sont égaux ou supplémentaires.

86 86 1y' X L K Po M Z 1z' Z' N J Y' Y I 1x' X' Notons X, Y, Z les points d'intersection de () et (), de () et (), de () et (). Mutatis mutandis, nous montrerions que <IPoK et <IYK sont égaux ou supplémentaires <MPoN et <MZN sont égaux ou supplémentaires. II. LES ERLES E QUNG TUN UI 1. Rappels Voir. II. 7. Troisième intersections sur un cercle pédal, scolie 2.

87 87 X'c * 1b Xb X'b b X"c a X"b * Xc b c c Po V* b c d a U* X"a a d d Z* Xd 1c X"d Xa X'a * X'd T* * ttention : l'auteur reprend les hypothèses et les notations de la partie. 2. Les quatre premiers cercles de ui VISION Figure :

88 88 X'c * 1b X'b 1+ * b X"b X"c a b c c Po bv* c d U* a X"a a d d Z* 1c X"d Xa X'a * X'd T* * Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons et 1+ le cercle circonscrit au triangle XaX"bX'c onné : 1+ passe par Po. 43 VISULISTION 'après Miquel "Le théorème du pivot" (f. nnexe 10) appliqué au triangle cx"ba avec Xa sur (cx"b), X'c sur (X"ba), U* sur (ac),, 1+ et 1c sont concourants. 'après. II. 6. les quatre cercles pédaux d'un quadrilatère, et 1c passent par Po. onclusion : 1+ passe par Po. Scolies : (1) les trois autres premiers cercles de ui 43 ui Q. T., Nine ircles oncur with nine points circle, Message Hyacinthos # du 16/03/2006 ;

89 89 X'c * 1b Xb X'b b X"c 1+ X"b * Xc a b c c Po bv* c d U* a X"a a d d Z* Xd 1c X"d Xa X'a * X'd T* * Notons 2+, 3+, 4+ les cercles circonscrit aux triangles XbX"cX'd, XcX"dX'a, XdX"aX'b. onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que 2+, 3+, 4+ passent par Po. Note historique : dans son premier message (# 12403) de 2006 au groupe Hyacinthos Quang Tuan ui 44 donne sans preuve les cercles 1+ et 3+. ans son dernier message, ui 45 ajoute sans preuve les cercles 2+ et Les quatre seconds cercles de ui VISION Figure : ui Quang tuan, Nine ircles oncur with nine points circle, Message Hyacinthos # 12403, du 16 et 26/03/2006 ; ui Quang tuan, Nine ircles oncur with nine points circle, Message Hyacinthos # du 29/03/2006 ;

90 90 X'c * 1b Xb X'b b X"b * Xc b c X"c a Yda cydc d Ydb V* Po b a U* c X"a a d d Z* Xd 1c X"d Xa X'a * X'd T* * Traits : un quadrilatère, Po le point d'euler-poncelet de, YdaYdbYdc le -triangle de ui relativement à et 1#d le cercle circonscrit à YdaYdbYdc. onné : 1#d passe par Po. 46 VISULISTION 46 ui Q. T., Nine ircles oncur with nine points circle, Message Hyacinthos # du 29/03/2006 ;

91 * 91 1b * b b c c Ya Yc Po N Yb a 3 1c 1 a Z* * Notons 1, 3 les, -cercle d'euler de T* et N le milieu de []. Scolie : 1 et 3 passe par N. * 'après Miquel "Le théorème du pivot" (f. nnexe 10) appliqué au triangle cyba avec Yc sur (cyb), Ya sur (YbYa) et N sur (ac), 1, 3 et 1#d sont concourants. onclusion : 1#d passe par Po. Scolies : (1) centre homothétie

92 92 * 1b * b a b c c c 1 Yc Ya Po N Yb a Z* 1c X'd Xd * X'd T* * 'après Miquel "Le théorème des trois cercles" (f. nnexe 8) appliqué au triangle X'dcYa avec c sur (X'dc), Yc sur (cya) et aux cercles, 1 et 1#d concourants en Po, Ya, Po et X'd sont alignés. Mutatis mutandis, nous montrerions que Nous savons que Yb, Po et X"d sont alignés Yc, Po et Xd sont alignés. les triangles YaYbYc et X'dX"dXd sont homothétiques. onclusion : Po est le centre d'homothétie de YaYbYc et X'dX"dXd. (2) eux cercles tangents onclusion : les cercles 1#d, le point de base Po, les moniennes (YbPoX"d) et (YcPoXd), les parallèles (YbYc) et (X"dXd), conduisent au théorème 7" de Reim ; en conséquence, est tangent à 1#d en Po. (3) Les autres seconds cercles de ui Notons 1#a, 1#b, 1#c les cercles circonscrits de YabYacYad, YbcYbdYba, YcdYcaYab. onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que est tangent à 1#a en Po 1b est tangent à 1#b en Po 1c est tangent à 1#c en Po.

93 93 4. ommentaire * les quatre cercles d'euler * les quatre cercles pédaux * les quatre cercles de rianchon-poncelet * les quatre premiers cercles de ui * les quatre seconds cercles de ui d'un quadrilatère passe par le point d'euler-poncelet de ce quadrilatère. Rappelons que nous n'avons pas prouvé synthétiquement que le premier cercle de rianchon-poncelet d'un quadrilatère passe par le point d'euler-poncelet de ce quadrilatère. III. LES ERLES E L'UTEUR 1. Le E-cercle d'yme VISION Figure :

94 94 * 1b * b a b c c b c E V* E* d U* a a d d Z* 1c * T* * Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons et E, E* les points d'intersection de () et (), de (**) et (**). onné : E*, U*, V* et E sont cocycliques. VISULISTION

95 95 * 1b * b a b c c b c E V* 0e E* d U* a a d d Z* 1c * T* * 'après. 5. Intersection de deux cercles pédaux d'un quadrilatère, () est la médiatrice de [**] () est la médiatrice de [**] onclusion : d'après Thalès "Triangle inscriptible dans un demi cercle", E*, U*, V* et E sont cocycliques. Notons 0e ce cercle de diamètre [EE*]. Scolie : 0e est "le E-cercle d'yme de ". 2. Le faiceau de odenmiller VISION Figure :

96 96 * 1b * b c 1bd a b c c b c E V* 0e E* d U* a a d d Z* 1c * T* * Traits : aux hypothèses et notations précédentes, nous ajoutons F, G le point d'intersection resp. de () et (), de () et (), et c, 1bd, 1fg les cercles resp. de diamètre [], [], [FG]. onné 47 : 1fg appartient au faisceau, noté F, déterminé par * c et 1bd et * la droite de Steiner du delta, triangle F et ménélienne (G). Scolie : F est "le faisceau de odenmiller de ". 3. Le E-cercle d'yme appartient à F VISION Figure : 47 Résultat de odenmiller.

97 97 * 1b * b c 1bd a b c c b c E V* 0e E* d U* a a d d Z* 1c * T* * Traits : les hypothèses et notations sont les mêmes que précédemment. onné : 0e appartient à F. VISULISTION

98 98 * 1b * b c 1bd a b X c c E bv* c 0e d a U* E* a Z Z* d d 1c * T* * Notons X, Z les pieds des perpendiculaires abaissées de V* resp. sur (), (). P c (V*) la puissance de V* relativement à c et P 1bd (V*) la puissance de V* relativement à 1bd. Par définition : P c (V*) = V *. V * P 1bd (V*) = V * c. V * a. Par définition des lignes trigonométriques, V* = V*X / sin <b V*c = V*X / sin <ac V* = V*Z / sin <d V*a = V*Z / sin <ca. alculons le rapport des puissance de V* relativement à c et 1bd i.e. P c (V*) / P 1bd (V*) = V * V *. V * c V * a ; par substitution, V * V *. V * c V * a = sin sin ac sin. b sin ca ; d d'après "Le théorème des angles inscrits", sin sin ac sin. b sin ca = d sin sin sin. sin ;

99 99 notons Ra, Rb, Rc, Rd les rayons des cercles circonscrits des triangles,,, ; d'après "La loi des sinus", sin sin sin. sin = Rb Rd. ; Ra Rc par transitivité de la relation =, P c (V*) / P 1bd (V*) = Rb Rd.. Ra Rc * 1b * b c 1bd Y a b c c b c E V* 0* E* d U* a T a d d Z* 1c * T* * Notons Y, T les pieds des perpendiculaires abaissées de U* resp. sur (), (). P c (U*) la puissance de U* relativement à c et P 1bd (U*) la puissance de U* relativement à 1bd. Par définition : P c (U*) = U * d. U * b P 1bd (U*) = U *. U *. Par définition des lignes trigonométriques, U*d = U*Y / sin <bd U* = U*Y / sin <c U*b = U*T / sin <db U* = U*T / sin <a. alculons le rapport des puissance de U* relativement à c et 1bd

100 100 i.e. P c (U*) / P 1bd (U*) = U * d U * b. U * U * ; par substitution, U * d U * b. U * U * = sin sin c bd. sin sin a db ; d'après "Le théorème des angles inscrits", sin sin c bd. sin sin a db = sin sin sin. sin ; d'après "La loi des sinus", sin sin sin. sin = Rd Rb. ; Rc Ra Rd Rb Rb Rd. =. ; Rc Ra Rc Ra par transitivité de la relation =, P c (U*) / P 1bd (U*) = Rb Rd.. Rc Ra * 1b * b c 1bd a b c K c E b V* c I 0e E* d U* a a d d Z* 1c * T* * Notons I, K les pieds des perpendiculaires abaissées de E resp. sur (), (), P c (E) la puissance de E relativement à c et P bd (E) la puissance de E relativement à 1bd.

101 101 Par définition : P c (E) = E. E P 1bd (E) = alculons le rapport des puissance de E relativement à 1* et 2* E. E. i.e. P c (E) / P 1bd (E) = E E.. E E Par définition des lignes trigonométriques, Par substitution, E = EI / sin < E = EI / sin < E = EL / sin < E = EL / sin <. E E sin sin. =. E E sin sin ; d'après "La loi des sinus", sin sin sin. sin = Rd Rb. ; Rc Ra Rd Rb Rb Rd. =. ; Rc Ra Rc Ra par transitivité de la relation =, P c (E) / P 1bd (E) = Rb Rd.. Rc Ra Rb Rd Nous avons : P c (U*) / P 1bd (U*) = P c (V*) / P 1bd (V*) = P c (E) / P 1bd (E) (=. ). Ra Rc onclusion : le cercle passant par U*, V* et E i.e. 0* appartient à F. Scolie : une formule 48 sin sin sin sin dans tout quadrilatère, sin sin sin sin 4. Le E-cercle d'yme passe par Po VISION Figure : 48 yme J.-L., a conjecture : true or not true, Mathlinks du 10/08/2009 ;

102 102 * 1b * b a b c c E Po b V* c 0e E* d U* a a d d Z* 1c * T* * Traits : onné : 0e passe par Po. les hypothèses et notations sont les mêmes que précédemment. VISULISTION

103 103 * 1b * b a b c c b d c E Po E* d U* a 0e a d d Z* 1c * T* * Notons d le cercle de diamètre [] ; il passe par b, c, b et c. Par hypothèse, (c) () ; 'après. II. 1. Premières perpendicularités, () (Z*T*) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (c) // (Z*T*). Les cercles d et, les points de base c et b, le monienne (cz*), les parallèles (c) et (Z*T*), conduisent au théorème 0' de Reim ; en conséquence, c, b et T* sont alignés.

104 104 * 1b * b a b c c b d c E Po V* d U* a E* 0e a d d Z* 1c ** * T* ** * Notons ** le second point d'intersection de (**) avec et ** le second point d'intersection de (V**) avec. Scolies : (1) [**a] est un diamètre de (2) [**c] est un diamètre de. 'après Thalès "Triangle inscriptible dans un demi cercle", (**T*) (T*c) ; (T*c) (T***) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (**T*) // (T***) ; d'après le postulat d'euclide, (**T*) = (T***) ; en conséquence, **, T* et ** sont alignés. 'après Miquel" Le théorème du pivot" (f. nnexe 10) appliqué au triangle E***** avec U* sur (E***), T* sur (****) et V* sur (**E*),, et 0e sont concourants. onclusion : 0e passe par Po. Scolies : (1) le triangle EPoE* est rectangle en Po (2) Les deux autres cercles d'yme

105 105 Notons F, G les points d'intersection resp. de () et (), de () et (), F*, G* les points d'intersection resp. de (**) et (**), de (**) et (**) 0f le cercle passant par F, F*, et Z* et 0g le cercle passant par G, G*, et T*. F 0f et Og sont resp. "les F, G-cercles d'yme de ". onclusion : mutatis mutandis, nous montrerions que 0f passe par Po 0g passe par Po. 5. ommentaire : nous venons de répertorier trois nouveaux cercles passant par Po en plus des vingt cercles déjà recensés. * 1b * G 0e E Po V* 0f U* Z* 1c E* 0g * T* *. PPLITIONS

106 Le point de Feuerbach d'un triangle VISION Figure : Fe I 1 Traits : un triangle, 1 le cercle inscrit de I le centre de 1 et Fe le point de Feuerbach de. onné : Fe est le point d'euler-poncelet du quadrilatère I. VISULISTION Fe I 1 2 Notons Po le point d'euler-poncelet de I et 2 le cercle d'euler 49 de. Scolie : 1 est le I-cercle pédal de I. 'après. I. 6. Les quatre cercles pédaux d'un quadrilatère, Po est sur 1. 'après. I. 2. Les quatre cercles d'euler d'un quadrilatère, Po est sur 2. 'après "Le théorème de Feuerbach" 50, 1 et 2 sont tangents en Fe ; yme J.-L., Les cercles de Morley, Euler, G.G.G. vol. 2 ; yme J.-L., Le théorème de Feuerbach, G.G.G. vol. 1 ;

107 107 en conséquence, Fe et Po sont concondus. onclusion : Fe est le point d'euler-poncelet du quadrilatère I. Scolie : Fe est répertorié sous X 11 chez ET Le cercle d'euler du triangle I VISION Figure : Fe 2 I 1 Traits : un triangle, 1 le cercle inscrit de I le centre de 1 Fe le point de Feuerbach de. et 2 le cercle d'euler de. onné : 2 passe par Fe. VISULISTION Fe 2 I 1 51 El theorema de Feuerbach, Revistaoim (Espagne) 26 (2006) ; Kimberling lark, Triangle enters and entral Triangles ;

108 108 'après. 1. Le point de Feuerbach, Fe est le point d'euler-poncelet du quadrilatère I. 'après. I. 2. Les quatre cercles d'euler d'un quadrilatère, Fe est sur 2. onclusion : 2 passe par Fe. 3. La première question d'éric anneels VISION Figure : 2 F X O 1 "' Traits : un triangle, 1 le cercle d'euler de, X un point, 2 le X-cercle pédal de, O le centre du cercle circonscrit à, F le point de Fontené de O et X relativement à, "' le point d'intersection de (OX) et () et le cercle de diamètre ["']. onné : passe par F. 52 VISULISTION Scolies : (1) F est l'orthopôle de (OX) relativement à 53 (2) 1 et 2 passe par F (3) est le "'-cercle pédal de (4) "' est sur (OX) anneels E., how to proof Fontene theorems?, Message Hyacinthos # 8794 du 08/12/2003 ; yme J.-L., Les trois théorèmes de Fontené, G.G.G. vol. 5 ;

109 109 onclusion : d'après. Le second théorème de Griffiths-Fontené 54, passe par F. Scolies : (1) deux autres cercles passant par F 2 ' F Q ' 1c x "' R X O 1 "' "' P ' 1b Notons "', "' les points d'intersection de (OX) resp. avec (), () et 1b, 1c les cercles de diamètre resp. ["'], ["']. onclusion : d'après. Le second théorème de Griffiths-Fontené, 1b passe par F 1b passe par F. Note historique : arij Grinberg 55 a en donné une réponse. Éric anneels de ruges (Flandre-Occidentale, elgique) est un géomètre qui participe activement au site ET de lark Kimberling 56. (2) Trois cercles coaxiaux à points de base yme J.-L., Griberg., how to proof Fontene theorems?, Message Hyacinthos # 8796 du 08/12/2003 ;

110 110 2 ' F Q ' 1c x "' R X O 1 "' "' P ' F' 1b 'après odenmiller "Trois céviennes diamétrales" (f. nnexe 11) appliqué à et à la ménélienne (OX),, 1b et 1c étant concourants en F, concourent en un second point. Notons F' ce second point de concours. onclusion :, 1b et 1c sont trois cercles coaxiaux à points de base F et F'. 4. La deuxième question d'éric anneels ou une généralisation du cercle d'euler de I M VISION Figure : 2 F * 1 X O Traits : un triangle, 1 le cercle d'euler de,

111 111 X un point, 2 le X-cercle pédal de, O le centre du cercle circonscrit à, F le point de Fontené de O et X relativement à, l'isogonal de X relativement à et * le cercle d'euler du triangle. onné : * passe par F. 57 VISULISTION Scolies : (1) F est l'orthopôle de (OX) relativement à 58 (2) 1 et 2 passe par F. 'après. III. 2. vec l'isogonal * de relativement à, F est le point d'euler-poncelet de. onclusion : * passe par F. 5. La troisième question d'éric anneels VISION Figure : M F 2 P" P' X 1 O P Traits : un triangle, 1 le cercle d'euler de, anneels E., how to proof Fontene theorems?, Message Hyacinthos # 8794 du 08/12/2003 ; yme J.-L., Les trois théorèmes de Fontené, G.G.G. vol. 5 ;

112 112 X un point, P le sommet du triangle X-pédal sur (), 2 le X-cercle pédal de, P' l'antipôle de P relativement à 2, O le centre du cercle circonscrit à, F le point de Fontené de O et X relativement à, l'isogonal de X relativement à et P" le milieu de []. onné : P", F et P' sont alignés. 59 VISULISTION M F P" P' ' ' 2 X 1 3 O P ' 'après. III. 2. vec l'isogonal * de relativement à, F est le point de Poncelet de. Notons PQR le triangle X-pédal de, ''' le triangle médian de et 3 le cercle d'euler du triangle. 'après. III. 3. Le point de Fontené, 3 passe par F, ' et P". 59 anneels E., how to proof Fontene theorems?, Message Hyacinthos # 8794 du 08/12/2003 ;

113 113 M R* F P" P' 4 2 ' 3 X O P P* Notons P*Q*R* le triangle -pédal de, et 4 le cercle de diamètre [] ; il passe par P* et R*. R* F P" P' U 4 2 ' 3 X O P P* Notons U le second point d'intersection de 3 et 4.

114 114 'après Thalès "La droite des milieux" appliqué au triangle, ('P") // (). Les cercles 3 et 4, les points de base R* et U, la monienne ('R*), les parallèles ('P") et (), conduisent au théorème 0' de Reim ; en conséquence, P", U et sont alignés. R* F P" P' U 4 2 ' 3 O' X O P P* Notons O' le centre de 2. 'après Mathieu "The pedal circle theorem" (f. nnexe 6), O' est le milieu de [X] ; par hypothèse, O' est le milieu de [PP']. Le quadrilatère PP'X ayant ses diagonales se coupant en leur milieu est un parallélogramme ; en conséquence, (P') // (PX) ; par hypothèse, (PX) () ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (P') () ; par hypothèse, () (P*) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (P') // (P*) ; d'après le postulat d'euclide, (P') = (P*) ; en conséquence, P*, et P' sont alignés. onclusion : d'après Miquel "Le théorème des trois cercles" (f. nnexe 8) appliqué au triangle P'P" avec U sur (P"), P* sur (P') et aux cercles 2, 3 et 4 concourants en R*, P", F et P' sont alignés.. NNEXE

115 Le parallélogramme de Varignon 60 K J L I Traits : un quadrilatère convexe, et I, J, K, L les milieux respectifs de [], [], [] et []. onné : le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. 2. Le théorème des moniennes semblables de Reim Q Mb Q' P' P 0 Ma Traits : 0 un cercle,, deux points de 0, P, Q deux points de 0, Ma la parallèle à (Q) passant par, Mb la parallèle à (P) passant par et P', Q' deux points resp. de Ma, Mb tels que (P'Q') soit parallèle à (PQ). onné :,, P' et Q' sont cocycliques. 3. Le théorème d'hamilton Varignon P., Éléments de mathématiques (1731). Hamilton, The Quaterly Journal (1861) 249; Hamilton, Question 594, Nouvelles nnales de mathématiques XX (1861) 216 ; solution de Saint-Michel (de) G., (1862) 183.

116 116 H Traits : un triangle, H l'orthocentre de, et 1 le cercle d'euler de. onné : 1 est le cercle d'euler des triangles H, H et H. 3. Le théorème de Heis 62 Q R P Traits : un triangle, P, Q, R trois triangles extérieurement adjacents à et 1, 2, 3 les cercles circonscrits à P, Q, R. onné : <P + <Q + <R = 180 si, et seulement si, 1, 2 et 3 sont concourants. 5. The isogonal theorem 63 P Heis E. ( ), résultat de Mathieu J. J.., Nouvelles nnales (1865) 393 ff., 400.

117 117 Traits : un triangle, P un point non situé sur le cercle circonscrit de et a, b, c les isogonales resp. de (P), (P), (P). onné : a, b et c sont concourantes. 6. Le cercle de Mathieu ou "The pedal circle theorem" 64 N J M K P Q I L Traits : un triangle, P un point non situé sur le cercle circonscrit de, I, J, K les pieds des perpendiculaires abaissées de P resp. sur (), (), (), Q l'isogonal de P relativement à et L, M, N les pieds des perpendiculaires abaissées de Q resp. sur (), (), (). onné : Scolie : I, J, K, L, M et N sont cocycliques. le centre de cercle est le milieu de [PQ]. 7. Le théorème des cinq cercles Mathieu. Lebesgue H. L., Sur deux théorèmes de Miquel et de lifford, Nouvelles nnales de Mathématiques (1916).

118 Q" Q Q' 1 P" P 0 Ma P' Traits : 0, 1 deux cercles sécants,, les points d'intersection de 0 et 1, Ma une droite passant par, P, P' les seconds points d'intersection de Ma avec 0 et 1, 2 un cercle passant par, Q, Q' les seconds points d'intersection de 2 resp. avec 0 et 1, 3 un cercle passant par P et Q, et P", Q" les seconds points d'intersection de 3 resp. avec Ma et 2. onné : P', Q', P" et Q" sont cocycliques. ommentaire : le résultat reste vraie dans les cas de tangence des droites ou de deux cercles. 8. Le théorème des trois cercles

119 119 R 3 M 2 Ma P 1 Q Traits : 1, 2, 3 trois cercles concourants, M le point de concours de 1, 2, 3, le second point d'intersection de 1 et 2, Ma une -monienne de 1 et 2, P, Q les seconds points d'intersection de Ma resp. avec 1, 2,, les seconds points d'intersection de 3 resp. avec 2, 1 et R un point de 3. onné : (QR) est une monienne de 2 et 3 si, et seulement si, (PR) est une -monienne de 1 et Le théorème des deux triangles de esargues I ' J ' O ' K Traits : un triangle,

120 120 ''' un triangle tel que les droites (') et (') soient concourantes, O le point de concours de (') et ('), et I, J, K le point d'intersection de () et (''), de () et (''), de () et (''). onné : (') passe par O si, et seulement si, I, J et K sont alignés. 10. Le théorème du pivot 66 1 K P 2 J 3 I Traits : 1, 2, 3 trois cercles sécants deux à deux, K, P les points d'intersection de 1 et 2, I l'un des points d'intersection de 2 et 3, J l'un des points d'intersection de 3 et 1, un point de 1, le second point d'intersection de la monienne (K) avec 2 et le second point d'intersection de la monienne (I) avec 3. onné : (J) est une monienne de 3 et 1 si, et seulement si, 3 passe par P. 11. Trois céviennes diamétrales 67 R 3 1 U Q 2 V P Traits : un triangle, P, Q, R trois points resp. de (), (), (), et 1, 2, 3 les cercles de diamètre resp. [P], [Q], [R] U, V les points d'intersection de 2 et 3. onné : (PQR) est une ménélienne si, et seulement si, 1 passe par U et V Miquel, Théorèmes de Géométrie, Journal de mathématiques pures et appliquées de Liouville vol. 1, 3 (1838) odenmiller, nalytische Sphärik, ologne (1830) 138.

121 F. RHIVE 121

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