Correction DC1. Exercice 1: (5 points) 1. Conservation du volume total d eau du circuit : Pour tout entier naturel n,

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1 Correction DC1 Exercice 1: (5 points) 1. Conservation du volume total d eau du circuit : 00. Pour tout entier naturel n, L algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de n à partir de laquelle an est supérieur ou égal à Variables : n est un entier naturel a est un réel Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à a la valeur 800 Traitement : Tant que a < 1100 faire Affecter à a la valeur 330 Affecter à n la valeur n+1 Fin Tant que Sortie Afficher n Fin Algorithme 4. Pour tout entier naturel n, on note un = an 130 a La suite (un) est donc une suite géométrique de premier terme et de raison. b. Donc pour tout entier naturel n, 50 et c. Le volume d eau contenu dans le bassin A au bout d une année est donc :

2 Exercice : (6 points) Le plan est rapporté à un repère orthonormé ; ;. Soit f la fonction définie sur R par : 1. Faire apparaître sur l écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre : 5 x 5 et 4 y 4.. Limite de f en D après les règles opératoires sur les ites 1 Limite de f en + D après les règles opératoires sur les ites On se propose maintenan d étudier plus précisément la fonction f. a) f est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur

3 1 Comme le dénominateur est toujours positif cela signifie que le signe de f est celui de P(x). b) 4 31 Q est dérivable sur et 1 3 est toujours strictement positif! On dresse alors le tableau de variations de cette fonction : x - + Q (x) + + Q - Comme fonction polynôme de degré 3, avec un coefficient de positif, on sait que la ite en - est - et que celle en + est +. La fonction Q est continue et strictement croissante sur, l équation 0 admet donc une unique solution sur que l on note α. Pour obtenir une valeur approchée de α, on commence par en trouver un encadrement par entiers consécutifs. 0 1 et 1 6. Ainsi 0 1. Pour avoir une précision au millième on utilise alors le tableur de la calculatrice ou un algorithme (balayage, dichotomie ou méthode des tangentes). 0,98 0,99 c) En déduire le signe de Q(x) puis le signe de f (x). x - 0 α + Q(x) f (x) d) Tableau de variations de f sur R. x - 0 α + f (x) f - f(α) 3. Pour représenter sur l écran de la calculatrice les informations trouvées dans la question 3 : 0,98 1,016 Abscisses : 00,5 Ordonnées 1,0 1,00

4 Exercice 3: (5 points) Voici le tableau de répartition des principaux groupes sanguins des habitants de France : O A B AB Rhésus + 35,0 % 38,1 % 6, %,8 % Rhésus - 9,0 % 7, % 1, % 0,5 % 1. Probabilité de l événement Rh+ : 0,35 0,381 0,06 0,08 0,81. Probabilité que la personne soit du groupe O sachant qu elle a le facteur Rh+ : 3. a) Probabilité que la personne soit du groupe O : 0,35 0,46 0,81 0,35 0,09 0,440 b) Probabilité pour qu une personne appartenant au groupe O ait le facteur Rh+ : 0,35 0,795 0, a. On considère n personnes choisies au hasard dans la population donnée (les habitants de la France). Il s agit donc d une épreuve de Bernouilli répétée n fois de façon indépendante avec une probabilité de succès de 0,440. Etre du groupe O. En fonction de n, la probabilité p pour qu il y ait, parmi elles, au moins une personne du groupe O : 1 0 0, , ,560 b. Algorithme permettant de déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle on a : 0,999. Variables : n est un entier naturel p est un réel Initialisation : Affecter à n la valeur 0 Affecter à a la valeur 800 Traitement : Tant que a < 0,999 faire Affecter à p la valeur 1 0,560 Affecter à n la valeur n+1 Fin Tant que Sortie Afficher n Fin Algorithme

5 Exercice 4: (4 points) On considère une fonction f définie et dérivable sur ]0, + [ qui vérifie : 1 0 et On considère la fonction définie sur [0, + [, par : 1 a) Pour étudier le sens de variation de la fonction, étudions le signe de sa dérivée : Donc est positif sur [0, + [, par suite est croissante sur [0, + [. On a de plus : Donc 1 0 Donc pour tout x de [0, + [ b) On introduit la fonction ψ telle que: 1 ψx 1 3 ψ x 11 ψ x ψ x ψ x 1 Pour tout x dans [0, + [, on a donc ψ 0, ψ est donc continue et décroissante avec ψ0 0, c est-àdire que ψx est toujours négatif. 1 3 c) Encadrement de f (1 + x) valable pour tout x appartenant à [0, + [ : 1. En utilisant l encadrement obtenu on obtient, sachant que est toujours positif : Donc d après le théorème des gendarmes 1 1