POLYGONES ET AXES DE SYMETRIE. RAPPELS : 1) Pour tracer le symétrique A d un point A par rapport à la droite "d".

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1 POLYGONES ET XES E SYMETRIE RPPELS : ) Pour tracer le symétrique un point par rapport à la roite "" ) Une figure géométrique possèe un axe e symétrie lorsqu elle se retrouve à la même place après avoir fait un retournement autour une roite. La figure possèe un axe e symétrie. 2 La figure ne possèe pas axe e symétrie. 3) En utilisant une symétrie par rapport à une roite (symétrie orthogonale), une figure géométrique fait un retournement autour une roite. = La figure géométrique n est pas éformée : Je peux ire que la symétrie par rapport à une roite (orthogonale) conserve (ne change pas) les longueurs et les angles. TRINGLES ET XES E SYMETRIE : J ai essiné 9 triangles. Quels sont ceux qui possèent un axe e symétrie? (Ils reprennent leur place après un retournement autour e l axe e symétrie)

2 Un triangle isocèle est un triangle qui a un axe e symétrie. TRINGLES ET SYMETRIE ORTHOGONLE La roite "" est l axe e symétrie u triangle onc : ) = et = car la symétrie orthogonale conserve les longueurs. 2) = ; = (angles roits) et = car la symétrie orthogonale conserve les angles 3) L aire u triangle est égale à l aire u triangle car la symétrie orthogonale conserve les aires. Exercice ) Trace en vraie graneur les triangles isocèles ci-essous cm 5 cm 7 cm 5 cm 4 cm 3 cm 3 cm 7 cm 2) En utilisant les essins ci-essus ou en faisant es mesures sur les essins en vraie graneur, calcule le périmètre e chacun es quatre triangles. IRE ES TRINGLES RETNGLES ET ISOELES RPPEL : l ire un rectangle : Longueur largeur = L l L L l l L Je écoupe le rectangle en eux triangles rectangles. J assemble les morceaux pour obtenir un triangle isocèle (ayant un axe e symétrie). La symétrie orthogonale conserve les aires. Les eux triangles rectangles ont onc même aire.

3 3 cm 6 cm L aire un triangle rectangle est onc égale à la moitié e l aire un rectangle Ici : = (3 cm 6 cm) : 2 = 9 cm 2 "3 cm 6 cm" est le prouit es longueurs es côtés e l angle roit u triangle. 3 cm 2 cm L aire un triangle isocèle est onc aussi égale à la moitié e l aire un rectangle Ici : = (2 cm 3 cm) : 2 = 8 cm 2 "2 cm 3 cm" est le prouit es longueurs e la base et e la hauteur u triangle. Exercices : ) alcule l aire es 4 triangles isocèles essinés précéemment : es tracés ou es mesures supplémentaires seront parfois nécessaires. 2) l aie e la perpeniculaire à la roite () passant par le point, j ai écoupé le triangle en eux triangles et. près avoir mesuré ce qui est nécessaire, tu vas calculer l aire es triangles rectangles et, puis l aire u triangle. Utilise ce qui vient être fait à la question 2 pour calculer les aires es triangles ci-essous

4 IRE UN TRINGLE En mesurant ce qui te paraît nécessaire et en traçant ce qui te semble utile, calcule l aire es 8 triangles e cette feuille. RPPELS :. L aire un triangle rectangle est la moitié e l aire un rectangle. 2. L aire un triangle isocèle est la moitié e l aire un rectangle.

5 IRE E QURILTERES En traçant ce qui te semble utile et en mesurant ce qui te paraît nécessaire, calcule l aire es 7 quarilatères ci-essous RPPELS :. L aire un triangle rectangle est la moitié e l aire un rectangle. 2. L aire un triangle isocèle est la moitié e l aire un rectangle.

6 éfinition : LE ERF-VOLNT Le cerf-volant est un quarilatère ont une iagonale est un axe e symétrie. onséquences : ) La symétrie par rapport à la roite () conserve les longueurs onc = et = 2) La symétrie par rapport à la roite () conserve les angles onc = ; = et = 3) La symétrie par rapport à la roite () conserve les aires onc les triangles et ont même aire 4) Le point est le symétrique u point par rapport à la roite (). Je suis onc sûr que les iagonales () et () sont perpeniculaires. Je suis aussi sûr que la iagonale () coupe le segment [] en son milieu. Exercice : En utilisant ce que tu sais à propos es cerfs-volants et en utilisant ce qui est noté sur les figures, essine en vraie graneur les six cerfs-volants ci-essous. 3 cm 2 cm 4 cm 3 cm 5 cm 4 cm 7 cm 4 2 cm 3 cm 8 cm 2 7 cm 5 cm 4 cm cm 0 cm 6 cm 5 cm

7 IRE UN ERF-VOLNT En traçant ce qui te semble utile et en mesurant ce qui te paraît nécessaire, calcule l aire es 6 cerfsvolants ci-essous RPPELS :. L aire un triangle rectangle est la moitié e l aire un rectangle. 2. L aire un triangle isocèle est la moitié e l aire un rectangle.

8 IRE UN ERF-VOLNT Méthoe : Méthoe : alculs : alculs : Méthoe 2 : Méthoe 2 : alculs : alculs : Méthoe 3 : Méthoe 3 : alculs : alculs : Méthoe 4 : Méthoe 4 : alculs : Existe-t-il une formule permettant e calculer l aire e ce type e cerfvolant? alculs : Existe-t-il une formule permettant e calculer l aire e ce type e cerfvolant?

9 Méthoe : je trace les iagonales et j aitionne les aires es 4 triangles rectangles. IRE UN ERF-VOLNT (propositions élèves) Méthoe : je trace les iagonales et je soustrais les aires es petits triangles rectangles aux aires es grans triangles. Méthoe 2 : Je trace la iagonale qui n est pas l axe e symétrie et j aitionne les aires es 2 triangles isocèles. Méthoe 2 : Je trace la iagonale qui n est pas l axe e symétrie et je soustrais l aire u petit triangle isocèle à l aire u gran triangle isocèle. Méthoe 3 : J entoure le cerf volant par un rectangle. L aire u cerf volant est la moitié u gran rectangle. 4 u rectangle 4 u rectangle Méthoe 3 : L aire u cerf volant n est pas égale à la moitié e l aire u rectangle qui l entoure. alculs : Méthoe 4 : Je trace l axe e symétrie. Je calcule l aire un es 2 triangles en le écoupant en 2 triangles rectangles. Par symétrie, je connais l aire u 2 ème triangle onc u cerf volant. Existe-t-il une formule permettant e calculer l aire e ce type e cerfvolant? L aire u cerf-volant est la moitié e l aire u rectangle qui l entoure = ( ) : 2 Méthoe 4 : : Je trace l axe e symétrie. Je calcule l aire un es 2 triangles en le écoupant en 2 triangles rectangles. Par symétrie, je connais l aire u 2 ème triangle onc u cerf volant. Existe-t-il une formule permettant e calculer l aire e ce type e cerfvolant? La formule = ( ) : 2 semble être vraie sur cet exemple mais on ne sait pas pourquoi.

10 LE LOSNGE éfinition : Le losange est un quarilatère ont les iagonales sont es axes e symétrie. onséquences : Le losange est oublement un cerf-volant. onc : ) = = = (les 4 côtés sont égaux). les iagonales se coupent en leur milieu. 2) = et = (les angles opposés sont égaux). les iagonales sont perpeniculaires. Les iagonales coupent les angles qu elles traversent en eux angles superposables. 3) Les iagonales éfinissent 4 triangles rectangles e même aire. Exercice : En utilisant ce que tu sais à propos es losanges et en utilisant ce qui est noté sur les figures, essine en vraie graneur les 5 losanges ci-essous. 4 cm 6 cm 6 cm 7 cm 4 cm 5 cm 4 cm 4 cm 8 cm

11 USGE U OMPS ET ERF-VOLNT ) essine en vraie graneur le cerf-volant contre. 4cm 9cm 7cm 2) En utilisant le compas, et en traçant un cerf-volant, trace le symétrique u point par rapport à la roite. 3) En utilisant le compas et en utilisant la méthoe e la question 2), trace le symétrique u triangle par rapport à la roite. 4) Trace un cerf-volant ont le point est un sommet et ont les sommets et sont sur la roite. 5) En utilisant le compas et en utilisant ce que tu as fait à la question 4), trace la roite qui passe par le point et qui est perpeniculaire à la roite. 6) En utilisant le compas, trace la roite passant par le point et perpeniculaire à la roite. En utilisant le compas, trace la roite «2» passant par le point et perpeniculaire à la roite.

12 MEITRIE UN SEGMENT ET ERF VOLNT Un segment [] amet eux axes e symétrie. ) La roite qui porte le segment 2) Une euxième roite "" tel que le point soit le symétrique u point par rapport à cette roite "". Je suis onc sûr que : la roite "" est perpeniculaire à la roite () la roite "" passe par le milieu u segment [] e euxième axe e symétrie est appelé méiatrice u segment []. éfinition : Un segment [] amet eux axes e symétrie. Nous appellerons méiatrice u segment [], l axe e symétrie qui n est pas la roite (). onséquence : Le point a pour symétrique le point par la symétrie par rapport à la méiatrice u segment [] onc : ) la méiatrice u segment [] est perpeniculaire à la roite (). 2) La méiatrice u segment [] passe par le milieu u segment [] 3) Tout point M e la méiatrice u segment [] est équiistant (à la même istance) es extrémités et u segment [] : M = M M Propriété : M Lorsque le point M est tel que M = M, je suis sûr que le point M est sur la méiatrice u segment []. Preuve : M = M onc le triangle M est isocèle et le point M est sur l axe e symétrie u triangle. et axe e symétrie est perpeniculaire à la roite () et passe par le milieu u segment []. Le point M est onc sur la méiatrice u segment []. onséquences : M M ) L axe e symétrie un triangle isocèle est la méiatrice e la base e ce triangle. N M N 2) L axe e symétrie un cerf-volant est la méiatrice e l autre iagonale. 3) haque iagonale un losange ou un carré est la méiatrice e la secone iagonale. N

13 Exercices : ) En utilisant la règle grauée et l équerre, trace la méiatrice es segments ci-essous. F E 2) En utilisant le compas et la règle (en traçant es cerfs-volants), trace la méiatrice es segments ciessous. E F 3) En utilisant le compas et la règle (en traçant es losanges), trace la méiatrice es segments ci-essous. F E 4) Où sont les points à égale istance es points et? 5) La roite "" est la méiatrice u segment []. l aie e l équerre et e la règle grauée, retrouve le point. 6) La roite "" est la méiatrice u segment []. l aie u compas, retrouve le point 7) omplète les eux essins pour obtenir les losanges et EFGH. E F 8) omplète le essin ci-contre pour obtenir le cerf volant KLMN. K L M

14 ISSETRIE UN NGLE ET ERF-VOLNT éfinition : La bissectrice un angle est la partie e l axe e symétrie qui est à l intérieur e l angle. onséquence : La bissectrice un angle partage cet angle en eux angles superposables. Pour le triangle isocèle : L axe e symétrie u triangle isocèle est la bissectrice e l angle au sommet. La méiatrice e la base un triangle isocèle est aussi la bissectrice e l angle au sommet. Pour le cerf volant : L axe e symétrie u cerf-volant est la bissectrice es angles qu il traverse. La méiatrice e la iagonale qui n est pas axe e symétrie est la bissectrice es angles traversés par l axe e symétrie. Pour le losange et le carré : Les axes e symétrie u losange et u carré sont les bissectrices es angles qu ils traversent. Les iagonales u losange et u carré sont les bissectrices es angles qu ils traversent

15 Exercices : ) En utilisant la règle grauée, trace la bissectrice es eux angles cicontre. (Il faut tracer un triangle isocèle et son axe e symétrie.) 2) En utilisant le compas et la règle, trace la bissectrice es eux angles ci-contre. (Il faut tracer un cerf-volant ou un losange et son axe e symétrie.) 3) Trace le côté manquant à l angle pour lequel "" est la bissectrice. 4) Trace les côtés manquants au cerf-volant pour lequel "" est la bissectrice e eux e ses angles. 5) En traçant les bissectrices, partage les eux angles ci-essous en quatre angles superposables. 6) ans les trois essins ci-essous, trace les bissectrices es angles "" et "2". Quelle remarque peux-tu faire à propos es bissectrices tracées? ette remarque était-elle prévisible? 2 2 2

16 UTRES QURILTERES SYMETRIQUES Nous avons étuié es quarilatères ont une iagonale pouvait être axe e symétrie. Existe-t-il es quarilatères qui ont autre chose qu une iagonale comme axe e symétrie? vec un axe e symétrie, nous obtenons le trapèze isocèle qui n est pas étuié en sixième. vec eux axes e symétrie, une figure bien connue est obtenue : le rectangle. Nous pouvons onc ire qu un rectangle est un quarilatère qui a eux axes e symétrie qui ne sont pas ses iagonales. Nous obtenons ainsi une quatrième façon e tracer un rectangle Remarque : ) Le carré est un rectangle particulier et un losange particulier. Il a onc les eux axes e symétrie u rectangle et les eux axes e symétrie u losange. 2) Le carré est un rectangle particulier. ire = longueur largeur onc ire = côté côté 3) Le carré est un losange particulier ire = (première iagonale euxième iagonale) : 2 ire = (iagonale iagonale) : 2